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專(zhuān)題06 預(yù)備知識(shí)六：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
1、掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
2、進(jìn)一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實(shí)數(shù)的大小．
知識(shí)點(diǎn)一：不等式的概念
在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式.
自然語(yǔ)言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于
符號(hào)語(yǔ)言
知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)大小的比較
1、如果是正數(shù)，那么；如果等于，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么，反過(guò)來(lái)也對(duì).
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性質(zhì)
性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變
性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變
性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變
知識(shí)點(diǎn)三：不等式的探究
一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
知識(shí)點(diǎn)四：不等式的性質(zhì)
性質(zhì) 性質(zhì)內(nèi)容 特別提醒
對(duì)稱(chēng)性 （等價(jià)于）
傳遞性 （推出）
可加性 （等價(jià)于
可乘性 注意c的符號(hào)（涉及分類(lèi)討論的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 a，b同為正數(shù)
對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)一：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小
角度1：由不等式比較數(shù)（式）的大小
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（多選）（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·期中）如果，那么下面結(jié)論一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（多選）（23-24高一上·廣東·期末）下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
精練
1．（2024高二下·山東）已知，則下列大小關(guān)系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（多選）（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
角度2：利用作差法比較大小
典型例題
例題1．（23-24高二上·河南·期末）已知且，，則、的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
例題2．（23-24高一上·河南洛陽(yáng)·期末）今年某地因天氣干旱導(dǎo)致白菜價(jià)格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價(jià)格分別為元斤、元斤，王大媽每周購(gòu)買(mǎi)元的白菜，李阿姨每周購(gòu)買(mǎi)斤白菜，王大媽和李阿姨兩周買(mǎi)白菜的平均價(jià)格分別記為，，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．無(wú)法確定
例題3．（23-24高一上·云南昆明·期中）設(shè)，，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．無(wú)法確定
精練
1．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，求證：.
3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)．求證：.
角度3：利用作商法比較大小
典型例題
例題1．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，，則 （填入“＞”或“＜”）．
例題2．（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.
精練
1．（2024高一·上海·專(zhuān)題練習(xí)），則的大小關(guān)系為 ．
2．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，比較與的大小
3．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若，求證：．
對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)二：利用不等式的性質(zhì)證明不等式
典型例題
例題1．（23-24高一上·河北石家莊·期中）（1）比較與的大小．
（2）已知，求證：；
例題2．（23-24高一上·寧夏·階段練習(xí)）（1）比較下列兩個(gè)代數(shù)式的大小：與；
（2）若，，求證：.
精練
1．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）若，，求證：.
2．（23-24高一上·陜西榆林·期中）證明下列不等式：
(1)已知，求證：；
(2)已知，求證：.
對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)三：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍
典型例題
例題1．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知且滿(mǎn)足，則的取值范圍是 .
例題3．（23-24高一上·云南玉溪·階段練習(xí)）（1）已知，求證：；
（2）已知，求的取值范圍；
（3）已知，求的取值范圍．
精練
1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的取值范圍是 ，的取值范圍是 .
3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的取值范圍為 .
一．單選題
1．（23-24高二下·上海·期中）已知，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足：，則下列不等式一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）下列命題中真命題是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4．（2024·天津·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（23-24高一上·重慶長(zhǎng)壽·期末）下列命題為真命題的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海兩人同時(shí)相約兩次到同一水果店購(gòu)買(mǎi)葡萄，小港每次購(gòu)買(mǎi)50元葡萄，小海每次購(gòu)買(mǎi)3千克葡萄，若這兩次葡萄的單價(jià)不同，則（ ）
A．小港兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格比小海低 B．小海兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格比小港低
C．小港與小海兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格一樣 D．丙次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格無(wú)法比較
8．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）已知，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·期末）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)教育家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).下列關(guān)于不等式的命題，正確的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，則
D．如果，，，那么
三、填空題
11．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，則a與b的大小關(guān)系為 ．
12．（23-24高一上·上海浦東新·期末）已知對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，滿(mǎn)足，，則的最大值為 ．
四、解答題
13．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）（1）已知，比較與的大小；
（2）設(shè)x，y是不全為零的實(shí)數(shù)，試比較與的大小，并說(shuō)明理由．
14．（21-22高一上·湖北十堰·階段練習(xí)）（1）已知，，求和的取值范圍；
（2）已知，，求的取值范圍.專(zhuān)題06 預(yù)備知識(shí)六：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
1、掌握等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)以及推論，能夠運(yùn)用其解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
2、進(jìn)一步掌握作差、作商、綜合法等比較法比較實(shí)數(shù)的大小．
知識(shí)點(diǎn)一：不等式的概念
在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系.含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式.
自然語(yǔ)言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于
符號(hào)語(yǔ)言
知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)大小的比較
1、如果是正數(shù)，那么；如果等于，那么；如果是負(fù)數(shù)，那么，反過(guò)來(lái)也對(duì).
2、作差法比大小：①；②；③
3、不等式性質(zhì)
性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變
性質(zhì)2：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變
性質(zhì)3：不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變
知識(shí)點(diǎn)三：不等式的探究
一般地，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
知識(shí)點(diǎn)四：不等式的性質(zhì)
性質(zhì) 性質(zhì)內(nèi)容 特別提醒
對(duì)稱(chēng)性 （等價(jià)于）
傳遞性 （推出）
可加性 （等價(jià)于
可乘性 注意c的符號(hào)（涉及分類(lèi)討論的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 a，b同為正數(shù)
對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)一：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小
角度1：由不等式比較數(shù)（式）的大小
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則下列不等式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋刹坏仁降幕拘再|(zhì)可得，，故.
故選：C.
例題2．（多選）（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·期中）如果，那么下面結(jié)論一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】由不等式的性質(zhì)即可判斷ABC，舉反例即可判斷D.
【詳解】因?yàn)椋裕蔄BC正確，
取，則，故D錯(cuò)誤.
故選；ABC.
例題3．（多選）（23-24高一上·廣東·期末）下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BCD
【分析】綜合運(yùn)用不等式的性質(zhì)和作差法即可做出判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，由糖水不等式可得B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋裕瑒t，C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋裕裕珼正確.
故選：BCD.
精練
1．（2024高二下·山東）已知，則下列大小關(guān)系正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可解.
【詳解】由，可得，
又因?yàn)椋?
故選：B
2．（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知，，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷A，舉反例排除BCD，從而得解.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋裕蔄正確；
對(duì)于B，取，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，取，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，取，，則， 故D錯(cuò)誤.
故選：A.
3．（多選）（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知，，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】舉例說(shuō)明判斷AC；利用不等式性質(zhì)推理判斷BD.
【詳解】對(duì)于A，取，滿(mǎn)足，取，有，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，得，而，因此，B正確；
對(duì)于C，取，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，得，因此，D正確.
故選：BD
角度2：利用作差法比較大小
典型例題
例題1．（23-24高二上·河南·期末）已知且，，則、的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】C
【分析】由作差法比較大小.
【詳解】已知.則，
所以，
，因此，.
故選:C.
例題2．（23-24高一上·河南洛陽(yáng)·期末）今年某地因天氣干旱導(dǎo)致白菜價(jià)格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價(jià)格分別為元斤、元斤，王大媽每周購(gòu)買(mǎi)元的白菜，李阿姨每周購(gòu)買(mǎi)斤白菜，王大媽和李阿姨兩周買(mǎi)白菜的平均價(jià)格分別記為，，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．無(wú)法確定
【答案】C
【分析】由題意可知，，再利用作差法比較大小即可．
【詳解】由題意可得，，，，
，，
，
．
故選：C．
例題3．（23-24高一上·云南昆明·期中）設(shè)，，則與的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．無(wú)法確定
【答案】A
【分析】利用作差法分析判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以.
故選：A.
精練
1．（23-24高一上·浙江嘉興·期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】利用作差法，得出的等價(jià)條件，再分析充分性和必要性，即可得出結(jié)論.
【詳解】由于，則成立，等價(jià)于成立，
充分性：若，且，則，則，
所以成立，滿(mǎn)足充分性；
必要性：若，則成立，
其中，且，
則可得成立，即成立，滿(mǎn)足必要性；
故選：C.
2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，求證：.
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】利用作差法比較大小即可證明.
【詳解】
，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知為正實(shí)數(shù)．求證：.
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證.
【詳解】證明：因?yàn)椋?br/>又因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以.
角度3：利用作商法比較大小
典型例題
例題1．（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）設(shè)，，則 （填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【分析】由均大于0，可用作商法，再化簡(jiǎn)后與1作大小比較，即可得出答案.
【詳解】∵，即.
又，
.
故答案為：>.
例題2．（23-24高一·江蘇·假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.
【答案】
【分析】方法1：采用作商比較法，結(jié)合分母有理化即可求解；方法2：先計(jì)算，從而可得，進(jìn)而可求解.
【詳解】（方法1）因?yàn)椋?
所以.
因?yàn)椋裕矗?br/>（方法2）所以，
又，
所以 , 所以.
精練
1．（2024高一·上海·專(zhuān)題練習(xí)），則的大小關(guān)系為 ．
【答案】≥
【分析】用作商法比較的大小關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?則
由
所以
故答案為：
2．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，比較與的大小
【答案】
【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.
【詳解】，
，
，
.
3．（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若，求證：．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】作商法證明不等式.
【詳解】證明：∵a>b>0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)二：利用不等式的性質(zhì)證明不等式
典型例題
例題1．（23-24高一上·河北石家莊·期中）（1）比較與的大小．
（2）已知，求證：；
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用作差比較法來(lái)比較大小；
（2）利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明.
【詳解】（1）
，
所以.
（2）因?yàn)椋裕裕?br/>所以，即.
例題2．（23-24高一上·寧夏·階段練習(xí)）（1）比較下列兩個(gè)代數(shù)式的大小：與；
（2）若，，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】利用作差法結(jié)合不等式的性質(zhì)即得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以；
（2）因?yàn)椋?br/>所以，
故.
精練
1．（23-24高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）若，，求證：.
【答案】證明見(jiàn)解析．
【分析】利用作差法即可證明．
【詳解】∵，，
∴，
∴．
2．（23-24高一上·陜西榆林·期中）證明下列不等式：
(1)已知，求證：；
(2)已知，求證：.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）依題意可得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明；
（2）利用作差法證明即可.
【詳解】（1），即，
，則.
（2），
，
，
則，
對(duì)點(diǎn)特訓(xùn)三：利用不等式的性質(zhì)求取值范圍
典型例題
例題1．（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由不等式的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以.
故選：D.
例題2．（2024高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知且滿(mǎn)足，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法得到，再結(jié)合同向不等式的可加性求解即可.
【詳解】設(shè)，可得，
解得，，
因?yàn)榭傻茫?br/>所以.
故答案為：.
例題3．（23-24高一上·云南玉溪·階段練習(xí)）（1）已知，求證：；
（2）已知，求的取值范圍；
（3）已知，求的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．
【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)可證明該不等式.
（2）先求出的范圍，從而可求的取值范圍.
（3）根據(jù)可求的取值范圍．
【詳解】（1）因?yàn)椋?則．
（2）因?yàn)椋裕?br/>所以，所以.
（3）已知，
因?yàn)椋?br/>精練
1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計(jì)算求解.
【詳解】設(shè)，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D錯(cuò)誤.
故選：B.
2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的取值范圍是 ，的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?
又，
所以，
所以，
即的取值范圍是.
因?yàn)樗裕?br/>即，
所以的取值范圍是
答案：,
3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由不等式的加法性質(zhì)可求.
【詳解】由，，，
則，，，
又，所以,
所以的取值范圍為.
故答案為：.
一．單選題
1．（23-24高二下·上海·期中）已知，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用特值或不等式的性質(zhì)可得答案.
【詳解】對(duì)于A， ，而，A不成立；
對(duì)于B，，而，B不成立；
對(duì)于C，，因?yàn)椋裕矗珻不成立；
對(duì)于D，，因?yàn)椋裕矗珼成立.
故選：D
2．（2024·上海楊浦·二模）已知實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足：，則下列不等式一定正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】舉例說(shuō)明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.
【詳解】對(duì)于ABD，取，滿(mǎn)足，
顯然，，，ABD錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，則，C正確.
故選：C
3．（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）下列命題中真命題是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】D
【分析】利用不等式的性質(zhì)一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，若，顯然不能得出，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則，故D正確.
故選：D
4．（2024·天津·一模）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，有，則成立，即充分性成立；
當(dāng)時(shí)，，即成立，而，即不成立，進(jìn)而必要性不成立.
所以，“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
5．（23-24高一上·重慶長(zhǎng)壽·期末）下列命題為真命題的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，如果，那么，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
6．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)充要條件的概念即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，或，則，即充分性成立；
當(dāng)時(shí)，，則，即必要性成立；
綜上可知，“”是“”的充要條件.
故選：C.
7．（23-24高二上·浙江杭州·期末）小港、小海兩人同時(shí)相約兩次到同一水果店購(gòu)買(mǎi)葡萄，小港每次購(gòu)買(mǎi)50元葡萄，小海每次購(gòu)買(mǎi)3千克葡萄，若這兩次葡萄的單價(jià)不同，則（ ）
A．小港兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格比小海低 B．小海兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格比小港低
C．小港與小海兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格一樣 D．丙次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格無(wú)法比較
【答案】A
【分析】
根據(jù)題意計(jì)算出兩人兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格，作差比較大小即可.
【詳解】設(shè)兩次葡萄的單價(jià)分別為元/千克和元/千克，且，
則小海兩次均購(gòu)買(mǎi)3千克葡萄，平均價(jià)格為元/千克，
小港兩次均購(gòu)買(mǎi)50元葡萄，平均價(jià)格為元．
因?yàn)椋?br/>所以小港兩次購(gòu)買(mǎi)葡萄的平均價(jià)格比小海低．
故選：A.
8．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若，則下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對(duì)A、D，可借助特殊值法舉出反例即可得；對(duì)B、C，借助不等式的基本性質(zhì)即可得.
【詳解】對(duì)A，令，，有，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，由，故，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，
即只需，，由，故，故C正確；
對(duì)D，令，有，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
二、多選題
9．（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）已知，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)和作差比較法，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由
對(duì)于A中，由，所以，所以A正確；
對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，所以B不正確；
對(duì)于C中，由，因?yàn)榈姆?hào)不確定，無(wú)法比較大小，
所以C不正確；
對(duì)于D中，由A知，且，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以D正確.
故選：AD.
10．（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·期末）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)教育家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈里奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).下列關(guān)于不等式的命題，正確的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，則
D．如果，，，那么
【答案】AD
【分析】
根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)推導(dǎo)即可.
【詳解】對(duì)A，如果，，則，那么，故A正確；
對(duì)B，如果，那么，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若，，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，如果，，，則，故，
則，，故D正確；
故選：AD
三、填空題
11．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，則a與b的大小關(guān)系為 ．
【答案】a＜b
【詳解】
解析：因?yàn)閎－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋1＞0，所以a＜b.
【考查意圖】
作差比較法比較大小．
12．（23-24高一上·上海浦東新·期末）已知對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，滿(mǎn)足，，則的最大值為 ．
【答案】7
【分析】先得到，根據(jù)得到答案.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，
故，所以，
，
由于，
故，
即.
故答案為：7
四、解答題
13．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）（1）已知，比較與的大小；
（2）設(shè)x，y是不全為零的實(shí)數(shù)，試比較與的大小，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）
【分析】作差法比較大小.
【詳解】（1），所以
（2），
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
故
14．（21-22高一上·湖北十堰·階段練習(xí)）（1）已知，，求和的取值范圍；
（2）已知，，求的取值范圍.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)求解
（2）由待定系數(shù)法配湊后求解
【詳解】（1），
又，
，
又，
（2）設(shè)，得
即
而，

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