資源簡介

銜接點04 一元二次方程
1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程
2、會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根
3、能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程，理解方程解的意義。
1、一元二次方程根的判別式
一元二次方程（均為常數）的判別式.
（1）時，（）有兩個不相等的實數根；
（2）時，（）有兩個相等的實數根；
（3）時，（）沒有實數根.
注意：(1)在使用根的判別式之前，應將一元二次方程化成一般式；
(2)在確定一元二次方程待定系數的取值范圍時，必須檢驗二次項系數
(3)證明恒為正數的常用方法：把△的表達式通過配方化成“完全平方
式+正數”的形式.
2、一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）
一元二次方程有兩個根分別是，則：
，，則
所以，一元二次方程的根與系數之間存在如下關系
如果的兩個根分別為，則：
，這一關系式也被稱為韋達定理.
對點特訓一：利用根的判別式判斷一元二次方程根的個數
典型例題
例題1．（2024·安徽·三模）關于的一元二次方程的根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法確定
【答案】B
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，據此求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
∴原方程有兩個相等的實數根，
故選：B．
例題2．（2024·四川瀘州·一模）關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．只有一個實數根 D．沒有實數根
【答案】A
【分析】本題考查根的判別式，解題的關鍵是掌握一元二次方程的根與有如下關系：①當時，方程有兩個不相等的兩個實數根；②當時，方程有兩個相等的兩個實數根；③當時，方程無實數根．判斷出判別式的值，可得結論．
【詳解】解：對于一元二次方程，
，
方程有兩個不相等的實數根．
故選：A．
精練
1．（23-24八年級下·安徽安慶·期中）已知a，b，c為常數，，則關于x的一元二次方程的根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法判定
【答案】A
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根，據此求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
∵，
∴，
∴，
∴原方程有兩個不相等的實數根，
故選：A．
2．（23-24九年級下·湖南郴州·期中）方程不相等的實數根的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本題考查解一元二次方程，將作為一個整體，解方程，再根據根的判別式，進行判斷，即可得出結果．
【詳解】解：∵，
∴，
∴或，
當時，，方程由兩個相等的實數根；
當時，，方程沒有實數根；
故選A．
對點特訓二：根據根的個數求參數
典型例題
例題1．（2024·北京大興·一模）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．根據判別式的意義得到，然后求出不等式的解集即可．
【詳解】解：根據題意得，
解得．
故選：A．
例題2．（2024·上海靜安·二模）如果關于x的一元二次方程有實數根，那么a的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】本題主要考查一元二次方程定義和根的判別式，根據一元二次方程根的判別式可進行求解．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程沒有實數根，
∴，而且
解得：且；
故答案為：且．
精練
1．（2024·四川廣安·二模）若關于的方程有實數根，則下列的值中，不符合要求的是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，一元二次方程的定義，掌握分類討論思想是關鍵．由于方程有實數根，當方程為一元二次方程時，令，即可求出的取值范圍，要注意，．再令方程為一元一次方程，進行解答．
【詳解】解：當方程為一元二次方程時，方程有解，
則且，
解得：且，
當方程為一元一次方程時，
方程有解，則，
綜上：當時，方程有實數根．
∴四個數中,不符合要求的值是2，
故選：A．
2．（2024年北京市石景山區九年級中考一模數學試題）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關鍵．根據“關于的一元二次方程有兩個相等的實數根”，結合根的判別式公式，得到關于的一元一次方程，解之即可．
【詳解】解：根據題意得：
，
整理得：，
解得：，
故答案為：．
對點特訓三：解一元二次方程
角度1：直接開平方法
典型例題
例題1．（23-24七年級下·河北保定·期中）若，則等于（ ）
A．4 B． C． D．或4
【答案】D
【分析】用直接開方法求解即可，
本題考查了，直接開方法解一元二次方程，解題的關鍵是：熟練掌握直接開方法．
【詳解】解：∵
∴
∴或，
∴或，
故選：．
例題2．（2024八年級下·浙江·專題練習）求下列方程中的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1),
(2)，
【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．
（1）先移項，再開平方即可得到答案；
（2）直接開平方即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
，
則,；
（2）解：，
或，
解得，．
精練
1．（24-25八年級上·全國·課后作業）求x的值：．
【答案】或
【分析】本題考查了解一元二次方程—直接開平方法，解題的關鍵是熟練掌握平方根的定義，
方程兩邊同時除以4，再利用平方根的定義即可求解；
【詳解】解：
或，
解得或．
2．（23-24七年級下·內蒙古呼和浩特·階段練習）求滿足下列各式x的值
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本題主要考查了解一元二次方程以及利用立方根解方程．
（1）直接利用開平方法解一元二次方程即可．
（2）根據立方根得定義求出的值，然后再求x的值即可．
【詳解】（1）解：，
整理得：
，
∴，．
（2）
∴，
解得：．
角度2：配方法
典型例題
例題1．（安徽省蚌埠市2023-2024學年八年級下學期期中數學試題）用配方法解方程時，變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常數項移到方程右邊，再把二次項系數化為1，接著把方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方進行配方即可得到答案．
【詳解】解；
，
故選：A．
例題2．（2024·甘肅隴南·一模）解方程：．
【答案】
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，直接利用配方法解方程即可．
【詳解】解：，
，
解得．
精練
1．（2024·內蒙古呼和浩特·模擬預測）用配方法解一元二次方程，配方正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化為：，再“兩邊同時加上一次項系數一半的平方”，從而可得答案．
【詳解】解：，
，
配方得，即，
故選：A．
2．（23-24八年級上·上海青浦·期中）用配方法解方程：
【答案】，
【分析】本題考查了解一元二次方程-配方法：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
移項，然后兩邊都加上一次項系數的一半的平方，再根據完全平方公式整理，然后求解即可．
【詳解】解：移項得，，
配方得，，
即，
，
，．
∴方程的解為，．
角度3：因式分解法
典型例題
例題1．（23-24九年級下·四川眉山·期中）方程的解為 ．
【答案】，
【分析】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當的方法解方程是解此題的關鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．利用因式分解法求解即可．
【詳解】解:
或，
，
故答案是: ，．
例題2．（23-24八年級下·安徽池州·期中）（1）解方程：
（2）解方程：
【答案】（1），；（2），
【分析】本題考查解一元二次方程：
（1）因式分解法解方程即可；
（2）因式分解法解方程即可．
【詳解】解：（1）
，
則，
或；
解得，；
（2）∵，
∴，
即或；
解得，．
精練
1．（23-24八年級下·安徽淮北·階段練習）用適當的方法解下列方程．
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了解一元二次方程；
（1）先化為一般形式，然后根據因式分解法解一元二次方程；
（2）根據因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【詳解】（1）解：
∴
∴
∴或
解得：
（2）解：
∴
∴
∴
∴或
解得：
2．（22-23八年級下·福建福州·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題關鍵：
（1）利用直接開平方法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【詳解】（1）解：，
等號兩邊開平方，得或，
解得，；
（2）解：，
∴或
，．
角度4：利用求根公式求解
典型例題
例題1．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）解方程：
(1)．
【答案】(1)．
【詳解】（1）解：，
，
，，，
，
，
解得．
例題2．（2024·陜西西安·三模）解方程：．
【答案】，．
【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵，先將所給的一元二次方程整理后，分別找到二次項系數、一次項系數、常數項，利用一元二次方程的求根公式計算即可．
【詳解】解：方程整理得：，
則，，,
∵，
∴，
解得：，．
精練
1．（23-24八年級下·北京·期中）解下列一元二次方程
(1)（公式法）．
【答案】()
【詳解】（1）解：，
，
，
解得．
2．（23-24八年級下·山東泰安·期中）解方程．
(1)；
【答案】(1)，
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，．
角度5：換元法求解
典型例題
例題1．（23-24九年級上·重慶江津·期中）閱讀下面的例題，回答問題：
例：解方程：
令，原方程化成
解得（不合題意，舍去）
原方程的解是．
請模仿上面的方法解方程：
【答案】
【分析】本題主要考查了換元法解一元二次方程，令，則原方程化為，解方程得到，則，據此求解即可．
【詳解】解：令，則原方程化為，
∴，
解得或（不合題意，舍去），
∴，
∴，
解得．
例題2．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）閱讀下面的材料，回答問題：
解方程，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：
設，那么，于是原方程可變為①，解得，．
當時，，；
當時，，；
原方程有四個根：，，，．
這一方法，在由原方程得到方程①的過程中，利用“換元法”達到降次的目的，體現了數學的轉化思想．
(1)方程的解為________．
(2)仿照材料中的方法，嘗試解方程．
【答案】(1)，
(2)，；
【分析】本題考查了根的判別式，換元法解一元二次方程，能夠正確換元是解此題的關鍵．
（1）結合材料，利用，再換元，求出的值，再代入求出即可；
（2）結合材料，利用，再換元，求出的值，再代入求出即可．
【詳解】（1）解：設，則原方程變為，
解得：，，
當時，，解得；
當時，，方程無解；
故原方程的解為：，，
故答案為：，．
（2）解：設，則原方程變為，
解得：，，
當時，，解得：，；
當時，，即，
，
方程無解；
故原方程的解為：，．
精練
1．（23-24八年級下·安徽亳州·階段練習）解高次方程的思想就是“降次”，將含未知數的某部分用低次項替換，例如解四次方程時，可設，則原方程可化為，先解出y，將y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以將方程中某個部分看作一個整體，例如上述方程中，可將看作一個整體，得，解出的值，再進一步求解即可．
根據上述方法，完成下列問題：
(1)若，則的值為___________；
(2)解方程：．
【答案】(1)2
(2)或或或
【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，注意，解方程時要解完整．
（1）根據題意，設，然后解關于k的一元二次方程，再根據取值即可；
（2）設，然后解關于t的一元二次方程，然后再來求關于y的一元二次方程．
【詳解】（1）解：設，
原方程為：，即，
，
，
或，
，
，
，
故答案為：2；
（2）解：設，
原方程為：，即，
，
或，
當時，，
，
或；
當時，，
，
或；
綜上，或或或．
2．（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習）閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個整體，然后設，將原方程化為，解得，．
當時，，．
當時，，，．
原方程的解為，，，．
由原方程得到的過程，利用換元法達到了簡化方程的目的，體現了整體轉化的數學思想．
閱讀后解答問題：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的兩根分別為，，則方程的兩根分別是什么？請說明理由．
【答案】(1)原方程的解為，，
(2)方程的兩根分別是和，理由見詳解
【分析】
本題主要考查換元法解一元二次方程，熟練掌握換元法和一元二次方程的解法是關鍵，體現了整體轉化的數學思想，
（1）設，用m代替方程中的，然后解關于m的一元二次方程，然后再來求關于x的一元二次方程即可
（2）根據已知方程的解，得出或，求出x的值即可．
【詳解】（1）
解：令，
則，
，
或，
解得或，
當時，，即，
解得，，
當時，，即，
解得，
綜上，原方程的解為，，
（2）
一元二次方程的兩根分別為，，
方程中或，
解得：或，
即方程的兩根分別是和．
對點特訓四：利用根與系數的關系（韋達定理）求參數
典型例題
例題1．（23-24八年級下·安徽六安·期中）設、是方程的兩個實數根，則 ．
【答案】2023
【分析】本題主要考查了一元二次方程解的定義，一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數根，則，據此得到，再由進行求解即可．
【詳解】解：∵、是方程的兩個實數根，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
例題2．（23-24九年級下·江西九江·期中）已知，是關于的方程的兩根，且，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數根，則，據此可得，進而可得，解方程即可得到答案．
【詳解】解：∵，是關于的方程的兩根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
精練
1．（23-24八年級下·江西宜春·期中）關于x的方程的兩個實數根互為相反數，則k的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查的是根與系數的關系．，是一元二次方程的兩根時，一元二次方程的根與系數的關系為：，．根據一元二次方程根與系數的關系列出方程求解即可．
【詳解】解：設，是關于的一元二次方程的兩個實數根，且兩個實數根互為相反數，則
，即，
當時，方程無解，故舍去．
，
故答案為：
2．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）已知方程的一根是，方程的另一根為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題關鍵．根據一元二次方程根與系數的關系即可得．
【詳解】解：設方程的另一根為，
由一元二次方程根與系數的關系得：，
解得，
即方程的另一根為，
故答案為：．
對點特訓五：利用根與系數的關系（韋達定理）求對稱式的值
典型例題
例題1．（23-24九年級下·湖南郴州·期中）已知是方程的兩個實數根，則的值是 ．
【答案】/
【分析】本題考查根與系數的關系，完全平方公式變形．根據題意先將通分得，再計算和的值，代入通分式子即可．
【詳解】解：∵，
∵是方程的兩個實數根，
∴，，
∴，
故答案為：．
例題2．（23-24八年級下·安徽安慶·期中）已知關于x的一元二次方程.
(1)求證：無論m取任何實數，方程總有實數根；
(2)若一元二次方程的兩根為，，且滿足，求m的值.
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】本題考查了根的判別式，根與系數的關系，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．一元二次方程的兩個根，，滿足，．
（1）根據一元二次方程根的判別式進行判斷即可；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系進行解答即可．
【詳解】（1）證明：∵
，
∵，
∴，
∴無論m取任何實數，方程總有實數根；
（2）解：∵，，，
∴，
解得，
故m的值為．
精練
1．（2024·湖南岳陽·一模）已知是一元二次方程的兩個實數根，則的值是 ．
【答案】8
【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，解答的關鍵是熟記一元二次方程根與系數的關系：．
由根與系數的關系可得：，再把所求的式子進行整理，代入相應的值運算即可．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩個實數根分別是，
，
，
故答案為：8．
2．（22-23八年級下·福建福州·期中）關于的一元二次方程．
(1)如果方程有實數根，求的取值范圍；
(2)如果是這個方程的兩個根，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與系數的關系，完全平方公式等知識．熟練掌握一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與系數的關系，完全平方公式是解題的關鍵．
（1）由題意知，計算求解即可；
（2）由題意知，，，由，可得，即，計算求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
解得，；
（2）解：由題意知，，，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴的值為．
對點特訓六：根的判別式和韋達定理綜合應用
典型例題
例題1．（2024·天津和平·一模）已知，是一元二次方程（是常數）的兩個不相等的實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求一元二次方程的根；
(3)若，則的值為______．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根據題意，由一元二次方程根的判別式，解不等式即可得到答案；
（2）將代入原方程得到，因式分解法解一元二次方程即可得到答案；
（3）根據題意，由一元二次方程根與系數的關系直接求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵有兩個不相等的實數根，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，因式分解得，
或，解得，；
（3）解：，是一元二次方程（是常數）的兩個不相等的實數根，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查一元二次方程綜合，涉及一元二次方程根的判別式、解不等式、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程根與系數的關系等知識，熟練掌握一元二次方程性質與解法是解決問題的關鍵．
例題2．（23-24九年級下·江蘇泰州·階段練習）對于代數式，若存在實數n，當時，代數式的值也等于n，則稱n為這個代數式的不變值．例如：對于代數式，當時，代數式等于0；當時，代數式等于1，我們就稱0和1都是這個代數式的不變值．在代數式存在不變值時，該代數式的最大不變值與最小不變值的差記作A．特別地，當代數式只有一個不變值時，則．
(1)代數式的不變值是________， _______．
(2)已知代數式，
① 若，求b的值；
② 若，b為整數，求所有整數b的和．
【答案】(1)0，3；3
(2)①1；②4
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式的意義，根與系數的關系；
（1）根據新定義得出關于x的一元二次方程，解方程可得代數式的不變值，再根據最大不變值與最小不變值的差記作A計算即可；
（2）①根據可知，關于x的一元二次方程只有一個實數根，即，據此可求b的值；
②根據題意得出關于x的一元二次方程，設方程的兩根為，利用根與系數的關系求出，可得，然后根據，得出關于b的不等式組，解不等式組求出所有符合條件的b的值即可．
【詳解】（1）解：由題意得，
解得：，
∴代數式的不變值是0，3；
∴，
故答案為：0，3；3；
（2）①由題意得，即，
∵，
∴關于x的一元二次方程只有一個實數根，
∴，
解得：；
②由題意得，即
設方程的兩根為，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，b為整數，
∴當時，可得，
解得：；
當時，可得，
解得：；
∴所有整數b的值為，0，2，3，
∴所有整數b的和為．
精練
1．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）【綜合與實踐】
【問題情境】對于關于的一元二次方程（，，為常數，且），求方程的根的實質是找到一個的具體的值，代入之后等式成立．一般情況下，如果有兩個不同的的具體值都滿足，這就說明這個方程有兩個根，且兩根與，，之間具有一定的關系．
【操作判斷】項目研究小組經過討論得到兩個結論：
（1）當時，則一元二次方程必有一根是．
（2）當時，則一元二次方程必有一根是．
請判斷兩個結論的真假，并說明原因．
【實踐探究】項目研究小組經過討論編制了以下問題，請幫助解決：
方程的較大的根為，方程的較小的根為，求的值．
【答案】（1）結論正確，理由見解析；（2）結論正確，理由見解析；實踐探究：
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程根與系數的關系．
（1）將代入，即可判斷；
（2）將代入，即可判斷；
實踐探究：由可推出是方程的根，設方程的另外一個根是，根據根與系數的關系可得：，進而得到；將代入可推出是方程的一個根，設方程的另外一個根為，根據根與系數的關系可得，進而得到，即可求解．
【詳解】解：（1）結論正確，理由如下：
令代入得，符合題意；
（2）結論正確，理由如下：
令代入得：，即，符合題意；
實踐探究：
∵
，
是方程的根．
設方程的另外一個根是，則，
；
又，
是方程的一個根，
設方程的另外一個根為，
則，
，
．
2．（23-24八年級下·山東泰安·期中）閱讀材料：如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個實數根比另一個大1，稱這樣的方程為“連根方程”，如方程就是一個連根方程．
(1)問題解決：請你判斷方程是否是連根方程；
(2)問題拓展：若關于x的一元二次方程（m是常數）是連根方程，求m的值；
(3)方法總結：如果關于x的一元二次方程（b、c是常數）是連根方程，請直接寫出b、c之間的關系式．
【答案】(1)方程是連根方程
(2)
(3)
【分析】本題考查解一元二次方程、根與系數之間的關系等知識點，掌握“連根方程”的定義是解題的關鍵．
（1）先用因式分解法解方程，再根據“連根方程”的定義進行判斷即可；
（2）根據方程為“連根方程”，設其中一個根為a，則另一個根為，再根據根與系數的關系進行求解即可；
（3）根據“連根方程”的定義和根與系數的關系求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，解得：，
∵，
∴是連根方程．
（2）
解：∵方程（是常數）是“連根方程”，
設的兩個根為，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（3）解：方程（b、c是常數）是“連根方程”，
設方程的兩個根為：，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴．
一、單選題
1．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有兩個不相等的實數根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．分別計算四個方程的根的判別式，然后根據判別式的意義判斷根的情況．
【詳解】解：A、∵，∴方程有兩個相等的實數根，不合題意；
B、∵，∴方程有兩個不相等的實數根，符合題意；
C、∵，∴方程沒有實數根，不合題意；
D、∵，∴方程有兩個相等的實數根，不合題意．
故選：B．
2．（2024·河南濮陽·一模）已知關于的一元二次方程，則該一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．只有一個實數根 D．沒有實數根
【答案】A
【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．
先計算判別式的值，然后根據判別式的意義進行判斷．
【詳解】解：
∵
∴即
∴該一元二次方程有兩個不相等的實數根，
故選：A．
3．（23-24九年級下·江蘇連云港·期中）關于x的一元二次方程一個實數根為2024，則方程一定有實數根（ ）
A．2024 B． C．－2024 D．
【答案】D
【分析】此題考查了一元二次方程的解．根據一元二次方程根的定義：將代入方程中，再兩邊同時除以，可得結論．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程一個實數根為2024，
∴，
∴，
∴，
∴是方程一定有實數根．
故選：D
4．（2024·重慶·二模）參加足球聯賽的每兩隊之間都進行一場比賽，共要比賽場，設共有個隊參加比賽，則下列方程符合題意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，熟練掌握每兩隊之間都進行一場比賽的意義是解題的關鍵．
【詳解】根據題意，得，
故選C．
5．（2023·云南曲靖·模擬預測）已知是關于x的一元二次方程的一個根，則k的值和方程的另一個根分別為（ ）
A．1和2 B．和2 C．2和 D．和
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，一元二次方程的解，解題的關鍵是把代入方程計算即可求出的值，再把的值代入方程，求出另一個根即可．
【詳解】解：把代入方程得：，
解得：，
原方程可化為，
設方程的另一個根為，則，
．
故選：B．
6．（2024·湖南常德·一模）某種商品原價是200元，經兩次降價后的價格是160元．設平均每次降價的百分率為x，可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用．設該商品平均每次降價的百分率為x，第一次降價后的價格是，第二次后的價格是，據此即可列方程求解．
【詳解】解：根據題意得：，
故選：D．
7．（23-24八年級下·安徽淮北·期中）若關于的一元二次方程有實數根，則實數 的值可能是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2
【答案】D
【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，根據題意列出關于的不等式是解答此題的關鍵．若一元二次方程沒有實數根，則根的判別式，建立關于的不等式，求出的取值范圍．還要注意二次項系數不為0．
【詳解】解：關于的一元二次方程有實數根，
且，
即且，
，且
故選：D．
8．（23-24七年級下·湖南岳陽·期中）問題：聰明的你知道代數式的最小值為多少嗎？解：因為，又因為，所以，所以的最小值為1．請用上述方法，解決代數式的最小值為（ ）
A．3 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本題考查了配方法的應用，模仿題意的解題過程，進行變形作答即可．
【詳解】解：依題意，，
∵，
∴，
∴所以的最小值為，
故選：B．
二、填空題
9．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知關于x的方程的一個根是1，則另一個根是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了根與系數的關系，掌握的兩根為，則有成為解題的關鍵．
設關于x的方程的兩根分別為1和a，然后根據根與系數的關系列關于a的方程求解即可．
【詳解】解：設關于x的方程的兩根分別為1和a，
則有：，即：．
故答案為：．
10．（23-24八年級下·北京·期中）關于x的方程的一個根為，則另一個根是 ；關于x的方程的兩個根分別為、5，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，設方程的另一個根為，根據根與系數的關系可得，即；根據根與系數的關系可得，即，據此可得答案．對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數根，則．
【詳解】解：設方程的另一個根為，
∴，
∴；
∵關于x的方程的兩個根分別為、5，
∴，即，
∴，
故答案為：；．
三、解答題
11．（23-24八年級下·北京·期中）定義：若是方程的兩個實數根，若滿足，則稱此類方程為“差積方程”．例如：是差積方程．
(1)下列方程是“差積方程”的是 ；
①
②
③
(2)若方程是“差積方程”，直接寫出m的值；
(3)當方程為“差積方程”時，寫出a、b、c滿足的數量關系并證明．
【答案】(1)①②
(2)或，
(3)
【分析】（1）分別根據因式分解法解一元二次方程，然后根據定義判斷即可求解；
（2）先根據因式分解法解一元二次方程，然后根據定義列出絕對值方程，解方程即可求解；
（3）根據求根公式求得，根據新定義列出方程即可求解．
本題考查了新定義運算，解一元二次方程，理解新定義是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：①，
即，
解得：，
，
是差積方程；
②，
即，
解得，
，
是差積方程；
③，
即，
解得：，，故③不是差積方程；
故答案為：①②；
（2）解：，
即，
解得：，，
是差積方程，
，
即或．
解得：或，
（3）解：，
解得：，
，
是差積方程，
，
即，
即．
12．（2024·山東德州·一模）紅燈籠，象征著闔家團圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統文化．小明在春節前購進甲、乙兩種紅燈籠，用6240元購進甲燈籠與用8400 元購進乙燈籠的數量相同，已知乙燈籠每對進價比甲燈籠每對進價多9元．
(1)求甲、乙兩種燈籠每對的進價；
(2)經市場調查發現，乙燈籠每對售價50元時，每天可售出98對，售價每提高1元，則每天少售出2對．銷售部門規定其銷售單價不高于每對65元，設乙燈籠每對漲價為x元，小明一天通過乙燈籠獲得利潤y元．
①求出y與x之間的函數解析式；
②乙種燈籠的銷售單價為多少元時，一天獲得利潤最大？
【答案】(1)甲種燈籠26元，乙種燈籠35元
(2)①；②乙種燈籠的銷售單價為65元時，一天獲得利潤最大
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，二次函數的實際應用：
（1）設設每對甲種燈籠的進價x元，每對乙種燈籠的進價元，根據用6240元購進甲燈籠與用8400 元購進乙燈籠的數量相同，列分式方程可解；
（2）①利用總利潤等于每對燈籠的利潤乘以賣出的燈籠的實際數量，可以列出函數的解析式；②由函數為開口向下的二次函數，可知有最大值，結合問題的實際意義，可得答案．
【詳解】（1）解：設每對甲種燈籠的進價x元，每對乙種燈籠的進價元，

兩邊同乘得：，
解得：，
經檢驗：為該分式方程的解，且符合題意．
答：甲種燈籠26元，乙種燈籠35元；
（2）解：①，
故y與x的函數解析式為
②，
∴函數在對稱軸時有最大值．
∵銷售部門規定其銷售單價不高于每對65元
，
∴乙種燈籠的銷售單價為65元時，一天獲得利潤最大．銜接點04 一元二次方程
1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程
2、會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根
3、能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程，理解方程解的意義。
1、一元二次方程根的判別式
一元二次方程（均為常數）的判別式.
（1）時，（）有兩個不相等的實數根；
（2）時，（）有兩個相等的實數根；
（3）時，（）沒有實數根.
注意：(1)在使用根的判別式之前，應將一元二次方程化成一般式；
(2)在確定一元二次方程待定系數的取值范圍時，必須檢驗二次項系數
(3)證明恒為正數的常用方法：把△的表達式通過配方化成“完全平方
式+正數”的形式.
2、一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）
一元二次方程有兩個根分別是，則：
，，則
所以，一元二次方程的根與系數之間存在如下關系
如果的兩個根分別為，則：
，這一關系式也被稱為韋達定理.
對點特訓一：利用根的判別式判斷一元二次方程根的個數
典型例題
例題1．（2024·安徽·三模）關于的一元二次方程的根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法確定
例題2．（2024·四川瀘州·一模）關于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．只有一個實數根 D．沒有實數根
精練
1．（23-24八年級下·安徽安慶·期中）已知a，b，c為常數，，則關于x的一元二次方程的根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法判定
2．（23-24九年級下·湖南郴州·期中）方程不相等的實數根的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
對點特訓二：根據根的個數求參數
典型例題
例題1．（2024·北京大興·一模）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024·上海靜安·二模）如果關于x的一元二次方程有實數根，那么a的取值范圍是 ．
精練
1．（2024·四川廣安·二模）若關于的方程有實數根，則下列的值中，不符合要求的是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（2024年北京市石景山區九年級中考一模數學試題）若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則實數的值為 ．
對點特訓三：解一元二次方程
角度1：直接開平方法
典型例題
例題1．（23-24七年級下·河北保定·期中）若，則等于（ ）
A．4 B． C． D．或4
例題2．（2024八年級下·浙江·專題練習）求下列方程中的值：
(1)；
(2)．
精練
1．（24-25八年級上·全國·課后作業）求x的值：．
2．（23-24七年級下·內蒙古呼和浩特·階段練習）求滿足下列各式x的值
(1)；
(2)．
角度2：配方法
典型例題
例題1．（安徽省蚌埠市2023-2024學年八年級下學期期中數學試題）用配方法解方程時，變形正確的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024·甘肅隴南·一模）解方程：．
精練
1．（2024·內蒙古呼和浩特·模擬預測）用配方法解一元二次方程，配方正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年級上·上海青浦·期中）用配方法解方程：
角度3：因式分解法
典型例題
例題1．（23-24九年級下·四川眉山·期中）方程的解為 ．
例題2．（23-24八年級下·安徽池州·期中）（1）解方程：
（2）解方程：
精練
1．（23-24八年級下·安徽淮北·階段練習）用適當的方法解下列方程．
(1)．
(2)．
2．（22-23八年級下·福建福州·期中）解方程：
(1)；
(2)．
角度4：利用求根公式求解
典型例題
例題1．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）解方程：
(1)．
例題2．（2024·陜西西安·三模）解方程：．
精練
1．（23-24八年級下·北京·期中）解下列一元二次方程
(1)（公式法）．
2．（23-24八年級下·山東泰安·期中）解方程．
(1)；
角度5：換元法求解
典型例題
例題1．（23-24九年級上·重慶江津·期中）閱讀下面的例題，回答問題：
例：解方程：
令，原方程化成
解得（不合題意，舍去）
原方程的解是．
請模仿上面的方法解方程：
例題2．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）閱讀下面的材料，回答問題：
解方程，這是一個一元四次方程，根據該方程的特點，它的解法通常是：
設，那么，于是原方程可變為①，解得，．
當時，，；
當時，，；
原方程有四個根：，，，．
這一方法，在由原方程得到方程①的過程中，利用“換元法”達到降次的目的，體現了數學的轉化思想．
(1)方程的解為________．
(2)仿照材料中的方法，嘗試解方程．
精練
1．（23-24八年級下·安徽亳州·階段練習）解高次方程的思想就是“降次”，將含未知數的某部分用低次項替換，例如解四次方程時，可設，則原方程可化為，先解出y，將y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以將方程中某個部分看作一個整體，例如上述方程中，可將看作一個整體，得，解出的值，再進一步求解即可．
根據上述方法，完成下列問題：
(1)若，則的值為___________；
(2)解方程：．
2．（23-24九年級上·四川瀘州·階段練習）閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個整體，然后設，將原方程化為，解得，．
當時，，．
當時，，，．
原方程的解為，，，．
由原方程得到的過程，利用換元法達到了簡化方程的目的，體現了整體轉化的數學思想．
閱讀后解答問題：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的兩根分別為，，則方程的兩根分別是什么？請說明理由．
對點特訓四：利用根與系數的關系（韋達定理）求參數
典型例題
例題1．（23-24八年級下·安徽六安·期中）設、是方程的兩個實數根，則 ．
例題2．（23-24九年級下·江西九江·期中）已知，是關于的方程的兩根，且，則的值是 ．
精練
1．（23-24八年級下·江西宜春·期中）關于x的方程的兩個實數根互為相反數，則k的值是 ．
2．（23-24九年級上·廣東廣州·期中）已知方程的一根是，方程的另一根為 ．
對點特訓五：利用根與系數的關系（韋達定理）求對稱式的值
典型例題
例題1．（23-24九年級下·湖南郴州·期中）已知是方程的兩個實數根，則的值是 ．
例題2．（23-24八年級下·安徽安慶·期中）已知關于x的一元二次方程.
(1)求證：無論m取任何實數，方程總有實數根；
(2)若一元二次方程的兩根為，，且滿足，求m的值.
精練
1．（2024·湖南岳陽·一模）已知是一元二次方程的兩個實數根，則的值是 ．
2．（22-23八年級下·福建福州·期中）關于的一元二次方程．
(1)如果方程有實數根，求的取值范圍；
(2)如果是這個方程的兩個根，且，求的值．
對點特訓六：根的判別式和韋達定理綜合應用
典型例題
例題1．（2024·天津和平·一模）已知，是一元二次方程（是常數）的兩個不相等的實數根．
(1)求的取值范圍；
(2)若，求一元二次方程的根；
(3)若，則的值為______．
例題2．（23-24九年級下·江蘇泰州·階段練習）對于代數式，若存在實數n，當時，代數式的值也等于n，則稱n為這個代數式的不變值．例如：對于代數式，當時，代數式等于0；當時，代數式等于1，我們就稱0和1都是這個代數式的不變值．在代數式存在不變值時，該代數式的最大不變值與最小不變值的差記作A．特別地，當代數式只有一個不變值時，則．
(1)代數式的不變值是________， _______．
(2)已知代數式，
① 若，求b的值；
② 若，b為整數，求所有整數b的和．
精練
1．（23-24八年級下·浙江杭州·期中）【綜合與實踐】
【問題情境】對于關于的一元二次方程（，，為常數，且），求方程的根的實質是找到一個的具體的值，代入之后等式成立．一般情況下，如果有兩個不同的的具體值都滿足，這就說明這個方程有兩個根，且兩根與，，之間具有一定的關系．
【操作判斷】項目研究小組經過討論得到兩個結論：
（1）當時，則一元二次方程必有一根是．
（2）當時，則一元二次方程必有一根是．
請判斷兩個結論的真假，并說明原因．
【實踐探究】項目研究小組經過討論編制了以下問題，請幫助解決：
方程的較大的根為，方程的較小的根為，求的值．
2．（23-24八年級下·山東泰安·期中）閱讀材料：如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個實數根比另一個大1，稱這樣的方程為“連根方程”，如方程就是一個連根方程．
(1)問題解決：請你判斷方程是否是連根方程；
(2)問題拓展：若關于x的一元二次方程（m是常數）是連根方程，求m的值；
(3)方法總結：如果關于x的一元二次方程（b、c是常數）是連根方程，請直接寫出b、c之間的關系式．
一、單選題
1．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有兩個不相等的實數根的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南濮陽·一模）已知關于的一元二次方程，則該一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．只有一個實數根 D．沒有實數根
3．（23-24九年級下·江蘇連云港·期中）關于x的一元二次方程一個實數根為2024，則方程一定有實數根（ ）
A．2024 B． C．－2024 D．
4．（2024·重慶·二模）參加足球聯賽的每兩隊之間都進行一場比賽，共要比賽場，設共有個隊參加比賽，則下列方程符合題意的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·云南曲靖·模擬預測）已知是關于x的一元二次方程的一個根，則k的值和方程的另一個根分別為（ ）
A．1和2 B．和2 C．2和 D．和
6．（2024·湖南常德·一模）某種商品原價是200元，經兩次降價后的價格是160元．設平均每次降價的百分率為x，可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24八年級下·安徽淮北·期中）若關于的一元二次方程有實數根，則實數 的值可能是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2
8．（23-24七年級下·湖南岳陽·期中）問題：聰明的你知道代數式的最小值為多少嗎？解：因為，又因為，所以，所以的最小值為1．請用上述方法，解決代數式的最小值為（ ）
A．3 B． C．6 D．
二、填空題
9．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知關于x的方程的一個根是1，則另一個根是 ．
10．（23-24八年級下·北京·期中）關于x的方程的一個根為，則另一個根是 ；關于x的方程的兩個根分別為、5，則的值為 ．
三、解答題
11．（23-24八年級下·北京·期中）定義：若是方程的兩個實數根，若滿足，則稱此類方程為“差積方程”．例如：是差積方程．
(1)下列方程是“差積方程”的是 ；
①
②
③
(2)若方程是“差積方程”，直接寫出m的值；
(3)當方程為“差積方程”時，寫出a、b、c滿足的數量關系并證明．
12．（2024·山東德州·一模）紅燈籠，象征著闔家團圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統文化．小明在春節前購進甲、乙兩種紅燈籠，用6240元購進甲燈籠與用8400 元購進乙燈籠的數量相同，已知乙燈籠每對進價比甲燈籠每對進價多9元．
(1)求甲、乙兩種燈籠每對的進價；
(2)經市場調查發現，乙燈籠每對售價50元時，每天可售出98對，售價每提高1元，則每天少售出2對．銷售部門規定其銷售單價不高于每對65元，設乙燈籠每對漲價為x元，小明一天通過乙燈籠獲得利潤y元．
①求出y與x之間的函數解析式；
②乙種燈籠的銷售單價為多少元時，一天獲得利潤最大？

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