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專題05 預(yù)備知識五：全稱量詞與存在量詞
1、理解全稱量詞與存在量詞的含義,熟悉常見的全稱量詞和存在量詞
2、了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義,并能用數(shù)學(xué)符號表示含有量詞的命題及判斷命題的真假性
3、能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定,理解全稱命題與特稱命題之間的關(guān)系
全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞
短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.
（2）存在量詞
短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.
（3）全稱量詞命題及其否定（高頻考點）
①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數(shù)學(xué)語言：.
②全稱量詞命題的否定：.
（4）存在量詞命題及其否定（高頻考點）
①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學(xué)語言：.
②存在量詞命題的否定：.
（5）常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
正面詞語 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定詞語 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面詞語 都是 任意的 所有的 至多一個 至少一個
否定詞語 不都是 某個 某些 至少兩個 一個也沒有
對點特訓(xùn)一：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
典型例題
例題1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）下列命題為真命題的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全稱量詞命題和特稱量詞命題的定義判斷.
【詳解】對于A，因為，所以，A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，C正確；
由可得均為無理數(shù)，故D錯誤，
故選:C.
例題2．（23-24高三下·全國·自主招生）下列哪些命題是真命題？
（1）是的充要條件
（2）
（3），使得
（4）若為無理數(shù)，則為無理數(shù)
【答案】（1）（2）（3）
【分析】逐一判斷命題的真假即可.
【詳解】對（1）顯然是成立的，故（1）是真命題；
對（2）當(dāng)時，，，故（2）是真命題；
對（3）取，其中是不大于的最大整數(shù)，即的整數(shù)部分，則，
令，則，故（3）為真命題；
對（4）取，，可以驗證（4）是假命題.
故答案為：（1）（2）（3）
精練
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列正確命題的個數(shù)為（ ）
①，；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用全稱量詞命題、存在量詞命題真假判斷方法逐一判斷各個命題即得.
【詳解】，，①正確；當(dāng)時，，②錯誤；
當(dāng)時，，③正確；由于，而都是無理數(shù)，④錯誤，
所以正確命題的個數(shù)為2.
故選：B
2．（多選）（23-24高二上·湖南常德·期中）下列命題錯誤的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【解析】A. 解不等式判斷；B.解方程判斷； C. 解方程判斷； D. 由判斷.
【詳解】A. 由，得，故錯誤；
B.由得：或，故正確；
C. 由得：，故錯誤；
D. 由，故正確；
故選：AC
對點特訓(xùn)二：含有一個量詞的命題的否定
典型例題
例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知命題，則為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.
【詳解】由題意，全稱命題的否定是特稱命題，可得：
命題的否定為：為．
故選：C．
例題2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）命題的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結(jié)果.
【詳解】因為命題，
則其否定為.
故選:B
精練
1．（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·開學(xué)考試）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.
【詳解】命題“，”為存在量詞命題，
其否定為：，.
故選：D
2．（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）已知命題p：，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】在給命題取否定時，需要將任意量詞和存在量詞互相轉(zhuǎn)換，并對結(jié)論取否定.
【詳解】將原命題的任意量詞換成存在量詞，結(jié)論中的“”換成“”就得到原命題的否定為：
，，
從而A正確.
故選：A
對點特訓(xùn)三：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù)
典型例題
例題1．（22-23高三上·山東淄博·階段練習(xí)）若命題p：“，”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用基本不等式求實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】由題可知，，則有，
因為，所以，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以，
故選:C.
例題2．（23-24高一上·甘肅白銀·期末）已知為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用二次方程判別式與存在量詞命題的真假性即可得解.
【詳解】因為為真命題，
所以，解得.
故選：A.
例題3．（23-24高一上·河南·階段練習(xí)）已知命題，若命題是假命題，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】綜合應(yīng)用含量詞命題的否定和真假的判斷即可求得結(jié)果.
【詳解】若命題是假命題，則命題是真命題.
因為，
所以，
只需，
即，
故選：D.
例題4．（23-24高一上·陜西榆林·階段練習(xí)）命題：“，”為假命題，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】由題意可得：，為真命題，從而得，求解即可.
【詳解】∵為假命題，
∴：，為真命題，
∴，解得：，
即的取值范圍為.
故答案為：
例題5．（22-23高一上·遼寧錦州·期末）已知命題：，為假命題，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】或
【分析】利用給定條件為假命題，說明有解，結(jié)合二次函數(shù)圖象可得答案.
【詳解】因為，為假命題，所以有解，
所以，解得或.
故答案為：或
例題6．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）若命題：“，”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題中條件可得方程無實數(shù)解，則，解出即可.
【詳解】由題意可知方程無實數(shù)解，
所以，解得，
故實數(shù)m的取值范圍為.
故答案為：.
精練
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若命題“”是真命題，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)全稱命題為真，結(jié)合不等式恒成立分類討論，即可求得的取值范圍.
【詳解】若命題“”是真命題，
則當(dāng)時，不等式為對恒成立；
當(dāng)時，要使得不等式恒成立，則，解得
綜上，的取值范圍為.
故選：D.
2．（23-24高三上·寧夏銀川·期中）“，恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)全稱量詞命題為真求出參數(shù)的取值范圍，即可判斷.
【詳解】若，恒成立，
當(dāng)時恒成立，
當(dāng)時，解得，
綜上可得，
所以“，恒成立”是“”的充要條件.
故選：C
3．（23-24高一上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意知需要大于的最小值，求出其最小值即可得.
【詳解】由題意得，又，此時，故.
故選：A.
4．（23-24高三上·天津南開·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】將存在量詞命題轉(zhuǎn)化為有解問題，再利用一元二次不等式有解及充分條件和必要條件的定義即可求解.
【詳解】因為，
所以，解得.
所以 ，
故 “”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
5．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若命題“，使”是假命題，則實數(shù)的一個可能取值為 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】由題意得有解，再根據(jù)一元二次方程根的判別式即可得解.
【詳解】因為命題“，使”是假命題，
所以命題“，使”是真命題，
即方程有解，
所以，得，
故實數(shù)的一個可能取值為（滿足即可）．
故答案為：（答案不唯一）.
6．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若命題“，使得”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】原命題轉(zhuǎn)化為“方程有實數(shù)解”，再由可求實數(shù)的取值范圍.
【詳解】若命題“，使得”是真命題，也就是“方程有實數(shù)解”，
∴.
故答案為：
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)命題“，”的否定是“，”直接得出結(jié)果.
【詳解】命題“，”的否定是“，”．
故選：C．
2．（22-23高一下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根據(jù)題目條件，結(jié)合含有量詞的命題的否定即可求解．
【詳解】命題“，”的否定是，．
故選：A．
3．（23-24高一上·新疆·階段練習(xí)）下列三個命題中有幾個真命題（ ）
①，；②，；③至少有一個實數(shù)，使得
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)已知命題的描述判斷真假，即可得答案.
【詳解】①由，可得或，為真命題；
②由，為假命題；
③當(dāng)時，為真命題.
故選：C
4．（23-24高一上·青海西寧·階段練習(xí)）以下是真命題的（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，有 D．，有
【答案】C
【分析】利用全稱量詞命題、存在量詞命題真假判定方法逐項判斷即得.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，A是假命題；
對于B，當(dāng)時，，B是假命題；
對于C，當(dāng)時，滿足，C是真命題；
對于D，當(dāng)且僅當(dāng)時，，因此不存在，使得，D是假命題.
故選：C
5．（23-24高一上·廣東廣州·期中）下列命題中的假命題是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用全稱量詞命題與存在量詞命題真假性的判斷即可得解.
【詳解】對于A，當(dāng)時，，為真命題，故A錯誤；
對于B，因為，所以，則，為真命題，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，，為假命題，故C正確；
對于D，由，得，為真命題，故D錯誤.
故選：C.
6．（22-23高二下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）下列命題中是真命題的為（ ）
A．，使 B．，
C．， D．，使
【答案】B
【分析】
對于A，通過解不等式判斷，對于B，由一個數(shù)的平方非負(fù)判斷，對于C，舉例判斷，對于D，解方程判斷.
【詳解】對于A，由，得，所以不存在自然數(shù)使成立，所以A錯誤，
對于B，因為時，，所以，所以B正確，
對于C，當(dāng)時，，所以C錯誤，
對于D，由，得，所以D錯誤，
故選：B
7．（23-24高一上·遼寧·期末）已知命題：“，方程有解”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由根的判別式列出不等關(guān)系，求出實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】“，方程有解”是真命題，故，解得：，
故選：B
8．（23-24高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知命題p：為真命題，則實數(shù)a的值不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程的根與判別式的關(guān)系求解.
【詳解】因為命題p：為真命題，
所以解得，
結(jié)合選項可得實數(shù)a的值不能是，
故選:D.
二、多選題
9．（23-24高一上·江西·期中）命題，是假命題，則實數(shù)b的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】先由p是假命題，得到是真命題，求出b的范圍，對四個選項一一驗證.
【詳解】由，，得，.
由于命題p是假命題，所以是真命題，所以在時恒成立，則，解得.
故選：BCD.
10．（23-24高一上·黑龍江佳木斯·期中）已知命題，.若為假命題，則實數(shù)的值可以是（ ）
A． B．
C．0 D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意，求得當(dāng)命題為真命題時，的取值范圍，即可得到結(jié)果.
【詳解】若命題為真命題，則，解得，則當(dāng)命題為假命題時，.
故選：BC
三、填空題
11．（23-24高一上·四川成都·開學(xué)考試）已知命題“，”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】或.
【分析】根據(jù)命題為假，得到，解得答案.
【詳解】命題“，”是假命題，故，
解得或.
故答案為：或.
12．（23-24高一上·福建泉州·階段練習(xí)）已知命題，.若為真命題，則實數(shù)的取值范圍 .
【答案】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的真假性列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】依題意，命題，，是真命題，
所以，
解得，所以的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題
13．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命題：，為假命題．
(1)求實數(shù)的取值集合；
(2)設(shè)非空集合，若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程無解的條件即求解即可；
（2）根據(jù)題意可得 ，結(jié)合得到，解得即可．
【詳解】（1）因為命題：，為假命題，
所以命題的否定為：，，為真命題，
且，解得．
∴．
（2）由解得，即，
若“”是“”的必要不充分條件，則是的真子集，
又，所以，解得，
所以實數(shù)的取值集合為．
14．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知集合，.
(1)若“命題，”是真命題，求的取值范圍；
(2)若“命題，”是真命題，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先解不等式求集合A、B，再根據(jù)題意判定兩集合的關(guān)系計算范圍即可；
（2）根據(jù)題意判定兩集合的關(guān)系計算范圍即可.
【詳解】（1）由題意可知，即,
若“命題，”是真命題，則，
所以，
故的取值范圍為：；
（2）若“命題，”是真命題，則，
結(jié)合上問可知：
或，
所以或，
所以.
故的取值范圍為：專題05 預(yù)備知識五：全稱量詞與存在量詞
1、理解全稱量詞與存在量詞的含義,熟悉常見的全稱量詞和存在量詞
2、了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義,并能用數(shù)學(xué)符號表示含有量詞的命題及判斷命題的真假性
3、能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否定,理解全稱命題與特稱命題之間的關(guān)系
全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞
短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.
（2）存在量詞
短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.
（3）全稱量詞命題及其否定（高頻考點）
①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數(shù)學(xué)語言：.
②全稱量詞命題的否定：.
（4）存在量詞命題及其否定（高頻考點）
①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學(xué)語言：.
②存在量詞命題的否定：.
（5）常用的正面敘述詞語和它的否定詞語
正面詞語 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定詞語 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面詞語 都是 任意的 所有的 至多一個 至少一個
否定詞語 不都是 某個 某些 至少兩個 一個也沒有
對點特訓(xùn)一：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
典型例題
例題1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）下列命題為真命題的是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（23-24高三下·全國·自主招生）下列哪些命題是真命題？
（1）是的充要條件
（2）
（3），使得
（4）若為無理數(shù)，則為無理數(shù)
精練
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列正確命題的個數(shù)為（ ）
①，；②；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（多選）（23-24高二上·湖南常德·期中）下列命題錯誤的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
對點特訓(xùn)二：含有一個量詞的命題的否定
典型例題
例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知命題，則為（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）命題的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
精練
1．（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·開學(xué)考試）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）已知命題p：，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
對點特訓(xùn)三：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù)
典型例題
例題1．（22-23高三上·山東淄博·階段練習(xí)）若命題p：“，”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一上·甘肅白銀·期末）已知為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（23-24高一上·河南·階段練習(xí)）已知命題，若命題是假命題，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題4．（23-24高一上·陜西榆林·階段練習(xí)）命題：“，”為假命題，則的取值范圍為 .
例題5．（22-23高一上·遼寧錦州·期末）已知命題：，為假命題，則實數(shù)的取值范圍是 .
例題6．（23-24高三上·山西呂梁·階段練習(xí)）若命題：“，”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍為 .
精練
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）若命題“”是真命題，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·寧夏銀川·期中）“，恒成立”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（23-24高一上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·天津南開·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若命題“，使”是假命題，則實數(shù)的一個可能取值為 .
6．（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）若命題“，使得”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為 ．
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（22-23高一下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（23-24高一上·新疆·階段練習(xí)）下列三個命題中有幾個真命題（ ）
①，；②，；③至少有一個實數(shù)，使得
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（23-24高一上·青海西寧·階段練習(xí)）以下是真命題的（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，有 D．，有
5．（23-24高一上·廣東廣州·期中）下列命題中的假命題是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高二下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）下列命題中是真命題的為（ ）
A．，使 B．，
C．， D．，使
7．（23-24高一上·遼寧·期末）已知命題：“，方程有解”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·河南南陽·階段練習(xí)）已知命題p：為真命題，則實數(shù)a的值不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、多選題
9．（23-24高一上·江西·期中）命題，是假命題，則實數(shù)b的值可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一上·黑龍江佳木斯·期中）已知命題，.若為假命題，則實數(shù)的值可以是（ ）
A． B．
C．0 D．
三、填空題
11．（23-24高一上·四川成都·開學(xué)考試）已知命題“，”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
12．（23-24高一上·福建泉州·階段練習(xí)）已知命題，.若為真命題，則實數(shù)的取值范圍 .
四、解答題
13．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命題：，為假命題．
(1)求實數(shù)的取值集合；
(2)設(shè)非空集合，若“”是“”的必要不充分條件，求實數(shù)的取值集合．
14．（23-24高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知集合，.
(1)若“命題，”是真命題，求的取值范圍；
(2)若“命題，”是真命題，求的取值范圍.

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