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專題02 預備知識二：集合間的基本關系
1、理解集合之間的包含與相等的含義；
2、能識別給定集合的子集，了解空集含義
3、能進行自然語言、圖形語言(Venn圖)、符號語言間的轉換
1、子集、空集與Venn圖
1.1子集的定義：
一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的 子集，記作（或），讀作“ 包含于 ”（或“包含”）。
1.2 Venn圖：
在數學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖形稱為圖。則上述集合和集合的包含關系，可以用如下圖表示：
要點說明：
①子集的定義可以理解為：若任意的，都有，則.這可以作為證明的方法；
②規定：空集是任何集合的子集；
③任何一個集合是它本身的子集，記作AA；
④包含關系具有傳遞性，即若AB，且BC，則AC；
⑤集合是集合的子集不能理解為集合是由集合中的“部分元素”組成的，因為集合可能是空集，也可能是集合．
⑥注意符號“”與“”的區別：“”只用于集合與 集合之間，如{0}N，而不能寫成{0}N；“”只能用于元素與集合之間，如0N，而不能寫成0N．
2、集合的相等
如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合 相等，記作。
要點說明：
①若且，則；反之，如果，則且。這就給出了我們證明兩個集合全等的方法，即預證，只需證且都成立即可；
　②兩集合相等，則所含元素完全相同，與元素順序無關；
③要判斷兩個集合是否相等，對于元素比較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來，看兩個集合的元素是否完全相同；若是無限集，應依據“互為子集”從兩個方向入手進行判斷。
④同一個集合，可以有不同的表示方法，這也是定義兩個集合相等的意義所在；
⑤集合中的關系與實數中的結論類比
實數 集合
包含兩層含義：，或 AB包含兩層含義：，或
若，且，則 若AB，且AB，則A＝B
若，，則 若AB，BC，則AC
3、真子集
真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于 ”或“真包含 ”.
要點說明：
理解真子集的定義要注意一下幾點：
①空集是任何非空集合的真子集；
②對于集合A，B，C，如果，，那么；
③若，則與有兩種可能的關系：即或；
4、空集
我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；
要點說明：
空集的性質：
①空集只有一個子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；
③空集是任何非空集合的真子集，即若，則，反之也成立。
④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是無限集；
對點特訓一：判斷集合子集（真子集）個數
典型例題
例題1．（23-24高一下·廣東梅州·階段練習）集合的子集的個數是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
【答案】D
【分析】首先判斷出集合有2個元素，再求子集個數即可.
【詳解】易知集合有2個元素，
所以集合的子集個數是.
故選：D.
例題2．（23-24高一上·山東·階段練習）滿足的集合M的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根據子集的概念可得集合的個數.
【詳解】因為，所以集合可能為：，，，共4種情況.
故選：C
精練
1．（2020·廣東梅州·模擬預測）已知集合，，則的子集個數為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根據，求出集合中元素的個數，根據個元素的集合，其子集個數為個.
【詳解】，，
當，時，，
當，或，時，，
當，時，，
，
中元素的個數是個，
的子集個數為個.
故選：A.
2．（23-24高一上·廣東中山·階段練習）集合的子集個數為 ．
【答案】8
【分析】首先計算出集合A，再根據子集個數的公式得出答案.
【詳解】由題意可知，所以集合A的子集的個數為
故答案為：8
對點特訓二：求集合子集（真子集）
典型例題
例題1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一個子集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化簡集合，結合選項可得答案.
【詳解】因為，所以的子集有，；
故選：D.
例題2．（多選）（23-24高一上·江蘇南京·期中）下列各個選項中，滿足 的集合有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】先化簡集合，利用子集的含義可得答案.
【詳解】因為，即有 ，
所以中定有和3，故排除B，又因為是的真子集，故排除D．
故選：AC.
精練
1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一個真子集可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由真子集的定義對選項一一判斷即可得出答案.
【詳解】，故A錯誤；
，故B錯誤；
因為是集合的子集，但不是真子集，故D錯誤；
是集合的真子集，故C正確.
故選：C.
2．（多選）（23-24高一上·山西太原·階段練習）已知集合M滿足 ，則這樣的集合M可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根據子集和真子集的概念進行求解.
【詳解】因為 ，故或或，
ABC正確，D錯誤.
故選：ABC
對點特訓三：判斷集合的包含關系
典型例題
例題1．（23-24高一上·江蘇宿遷·階段練習）已知集合，，則 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據集合，元素的特征可判斷它們的包含關系.
【詳解】因為，，
故
故選：B
例題2．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知集合，，則正確表示與的關系的示意圖是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由題意求出，進而，結合韋恩圖即可求解.
【詳解】由，得，即，
所以，即.
故選：B
精練
1．（2024·廣東·一模）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合的元素特性，可得集合間的關系.
【詳解】由集合，，得.
故選：D
2．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）已知集合，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
化簡集合，由元素與集合，集合與集合之間的關系即可判斷.
【詳解】
由已知，，從而 ，不是的子集.
故選：C.
對點特訓四：根據集合的包含關系求參數
典型例題
例題1．（2024·青海西寧·二模）設集合,若,則（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】根據A是B的子集，分類討論的值，然后檢驗是否符合題意.
【詳解】由已知得,若,解得，
此時，符合題意;
若,解得,
此時,不符合題意;
若,解得,此時,不符合題意,
綜上所述,.
故選:C.
例題2．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用集合的包含關系列式求解即得.
【詳解】集合，，由，得，
所以的取值范圍是.
故選：A
精練
1．（23-24高三下·重慶·階段練習）集合，，若，則實數（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】C
【分析】根據集合的包含關系，討論或或，結合集合中元素的互異性，即可判斷和選擇.
【詳解】因為，故．
①當時，，則，與元素的互異性矛盾，故不成立；
②當時，解得，與元素的互異性矛盾，故不成立；
③當時，即，則，，故成立，故.
故選：C．
2．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實數的取值集合為 ．
【答案】
【分析】
根據，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.
【詳解】由題意，所以或，則或，
所以實數的取值集合為.
故答案為：.
對點特訓五：判斷兩個集合是否相等
典型例題
例題1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】根據同一集合的概念可知，兩個集合中的元素應一樣.
【詳解】A：根據集合元素具有無序性，則，故A正確；
B：和是不同元素，故B錯誤；
C：圖為中的元素是有序實數對，而中的元素是實數，所以C錯誤；
D：因為中有兩個元素，即4，3，而中有一個元素，即，所以D錯誤.
故選：A
例題2．（23-24高一上·上海·期中）是有理數集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
與集合相等的集合序號是 .
【答案】④
【分析】集合相等的條件為集合中的元素相同，根據此條件分別判斷①②③④中四個集合中元素是否與集合一致即可.
【詳解】對于①，因為，設，
則，
不妨取，可知，而，顯然，所以①與集合不相等；
對于②，令，則，
顯然，但，即②與集合不相等；
對于③，當時，此時，即，
而集合中不包含元素0，所以③與集合不相等；
對于④，令，
則，其中，
所以④與集合相等；
故答案為：④
精練
1．（23-24高一上·寧夏石嘴山·階段練習）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．整數，整數集
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】由集合的定義，依次對集合判斷，從而確定集合是否相等即可.
【詳解】A選項，整數中的元素是整數，整數集中的元素是整數集，故不是同一集合；
B選項，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合；
C選項，與都表示直線上的所有點，故是同一集合；
D選項，中的元素是數1，2，中的元素是有序數對，故不是同一集合；
故選：C.
2．（多選）（23-24高一上·新疆伊犁·階段練習）給出以下幾組集合，其中相等的集合有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通過此定義逐一判定各選項即可.
【詳解】對于選項A，是點集,是數集，所以不是相等集合；
對于選項B, , 都表達的是奇數集，所以是相等集合；
對于選項C，,所以是相等集合；
對于選項D, 是空集沒有元素，有元素為0，所以不是相等集合.
故選：BC.
對點特訓六：根據兩個集合相等求參數
典型例題
例題1．（2024·云南大理·模擬預測）已知，其中，則（ ）
A．0 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】
分二次項系數是否為0結合韋達定理求解.
【詳解】
由題意知：為方程的根，
當時，；
當時，二次方程有兩個相同的根，則有，此時.
故選:B.
例題2．（23-24高一上·山東臨沂·期末）集合，，且，則實數 ．
【答案】
【分析】根據集合關系，可得，從而可求解.
【詳解】由題意得，
則，解得.
故答案為：.
精練
1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，則實數（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根據集合相等的概念列式求解即可.
【詳解】∵集合，
當且時，結合，解得，
經檢驗，不符合元素的互異性，舍去；
當且時，結合，解得，經檢驗，符合題意，
故.
故選：C.
2．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，若，則c的值為 .
【答案】
【分析】根據集合，利用元素的互異性分類討論求解.
【詳解】①若，消去b得，
當時，集合B中的三個元素相同，不滿足集合中元素的互異性，
故，，即，此時集合B中的三個元素也相同，
∴舍去，即此時無解．
②若，消去得，同理，
∴，經檢驗滿足題意
故答案為：
對點特訓七：空集
典型例題
例題1．（23-24高一上·廣東汕頭·階段練習）有下列關系式：①；②；③；④；⑤ ；⑥其中不正確的是（ ）
A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④
【答案】D
【分析】根據集合、空集性質及元素與集合關系判斷各項正誤即可.
【詳解】由集合的性質及關系知，、，①②對；
由空集的性質知，、、 ，③④錯，⑤對；
由元素與集合關系知，，⑥對.
故選：D
例題2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是實數，若集合是任何集合的子集，則a的取值范圍值是 .
【答案】
【分析】根據題意分析可知方程無解，結合判別式分析求解.
【詳解】由題意可知：集合是空集，即方程無解，
則，解得，
所以a的取值范圍值是.
故答案為：.
精練
1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四個關系式中正確的個數是（ ）
（1） ；（2）；（3）；（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據空集的定義，可得答案.
【詳解】解：對于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1） 正確；
對于（2），表示有一個元素0的單元素集合，所以（2）錯誤；
對于（3），，所以錯誤；
對于（4），由于空集是任何集合的子集，故正確．
所以正確的有：（1），（4）共2個．
故選：B．
2．（23-24高一上·四川廣安·期中）若集合，則實數a的值的集合為 ．
【答案】
【分析】分與兩種情況，結合根的判別式得到不等式，求出答案.
【詳解】當時，滿足題意；
當時，應滿足，解得；
綜上可知，a的值的集合為．
故答案為：．
一、單選題
1．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）設集合，則下列表述正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據元素與集合以及集合子集的定義即可結合選項求解.
【詳解】,
所以，，，故ABD錯誤,C正確,
故選：C
2．（2024·云南貴州·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先確定集合A中的元素，再確定兩個集合的關系.
【詳解】由題意可得，所以.
故選：A
3．（2024·廣東廣州·一模）設集合，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用集合元素的互異性及集合的包含關系列式計算即得.
【詳解】由，得，即，此時，
由，得，而，所以.
故選：A
4．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）下列能正確表示集合和關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解方程求集合N，結合韋恩圖及集合間的關系判定選項即可.
【詳解】易知，顯然，且互不包含.
故選：A
5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）設集合，則下列選項中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出，即可得出兩集合之間的關系.
【詳解】由題意， 在中，，，
∴，∴ ，
故選：B.
6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】化簡集合，與集合對比，結合子集的定義即可得答案．
【詳解】集合,，，,，
．
故選：B．
7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個數為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根據包含關系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.
【詳解】因為，
所以可以是，共8個，
故選：D
8．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）若集合有15個真子集，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據真子集的定義可得集合A中有4個元素，得解.
【詳解】因為集合A有15個真子集，所以集合A中有4個元素，所以.
故選：A．
二、多選題
9．（23-24高一上·重慶云陽·階段練習）下列集合中，與集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根據集合的性質得到AC錯誤，BD正確.
【詳解】A選項，，A錯誤；
B選項，，B正確；
C選項，，C錯誤；
D選項，只有當和時，，故，D正確.
故選：BD
10．（23-24高一上·河北保定·階段練習）若集合恰有兩個子集，則的值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】AB
【分析】根據集合為單元素集，即可分類對討論求解.
【詳解】集合恰有兩個子集，則集合中只有一個元素，
當時，，符合要求，
當時，，此時，符合要求，
故或，
故選：AB
三、填空題
11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】利用建立不等關系，求解即可.
【詳解】因為，所以，解得.
故答案為：
12．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，，若，則實數的值為 .
【答案】
【分析】由于方程中項含參數，需要對其分兩種情況和討論即可.
【詳解】由題意知，當時，，滿足題意；
當時，方程的根是，由得：，即或，
解得或，
綜上，的值為.
故答案是：.
四、解答題
13．（23-24高一上·陜西延安·階段練習）集合
(1)若是空集，求的取值范圍
(2)若中只有一個元素，求的值并把這個元素寫出來
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）討論當時和當時兩種情況，當時，，從而可得答案.
（2）討論當時和當時兩種情況，列出方程，即可得解；
【詳解】（1）當時，原方程可化為，得，不符合題意；
當即時解集為空集，
所以的取值范圍是.
（2）當時，原方程可化為，得，符合題意；
當時，方程為一元二次方程，由題意得，，得.
所以當或時，集合A中只有一個元素．
14．（23-24高一上·上海青浦·階段練習）設集合且滿足①;②若，則.
(1)能否為單元素集合，為什么
(2)求出只含有兩個元素的集合；
(3)滿足題設條件的集合共有幾個 能否列出來
【答案】(1)不為單元素集合，理由見解析；
(2)或或；
(3)共7個，，，，，，，.
【分析】（1）假設為單元素集合，其元素為，則得到方程，求出，不為正整數，得到結論；
（2）分析得到，則，故只需滿足，從而由12的正整數公約數求出答案；
（3）在（2）的基礎上進行求解.
【詳解】（1）假設為單元素集合，其元素為，則，
故，解得或，均不是正整數，不滿足，
故假設不成立，不為單元素集合；
（2）由題意得，則，
故只需滿足，
其中能整除的正整數有，
令，即時，，此時集合，
令，即時，，此時集合，
令，即時，，此時集合，
令，即時，，此時集合，
令，即時，，此時集合，
令，即時，，此時集合，
綜上：或或；
（3）由（2）可知，中元素只能從選取，且同時出現，同時出現，同時出現，
故滿足條件的集合為，，，，，，，共7個.專題02 預備知識二：集合間的基本關系
1、理解集合之間的包含與相等的含義；
2、能識別給定集合的子集，了解空集含義
3、能進行自然語言、圖形語言(Venn圖)、符號語言間的轉換
1、子集、空集與Venn圖
1.1子集的定義：
一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的 子集，記作（或），讀作“ 包含于 ”（或“包含”）。
1.2 Venn圖：
在數學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖形稱為圖。則上述集合和集合的包含關系，可以用如下圖表示：
要點說明：
①子集的定義可以理解為：若任意的，都有，則.這可以作為證明的方法；
②規定：空集是任何集合的子集；
③任何一個集合是它本身的子集，記作AA；
④包含關系具有傳遞性，即若AB，且BC，則AC；
⑤集合是集合的子集不能理解為集合是由集合中的“部分元素”組成的，因為集合可能是空集，也可能是集合．
⑥注意符號“”與“”的區別：“”只用于集合與 集合之間，如{0}N，而不能寫成{0}N；“”只能用于元素與集合之間，如0N，而不能寫成0N．
2、集合的相等
如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合 相等，記作。
要點說明：
①若且，則；反之，如果，則且。這就給出了我們證明兩個集合全等的方法，即預證，只需證且都成立即可；
　②兩集合相等，則所含元素完全相同，與元素順序無關；
③要判斷兩個集合是否相等，對于元素比較少的有限集，可用列舉法將元素列舉出來，看兩個集合的元素是否完全相同；若是無限集，應依據“互為子集”從兩個方向入手進行判斷。
④同一個集合，可以有不同的表示方法，這也是定義兩個集合相等的意義所在；
⑤集合中的關系與實數中的結論類比
實數 集合
包含兩層含義：，或 AB包含兩層含義：，或
若，且，則 若AB，且AB，則A＝B
若，，則 若AB，BC，則AC
3、真子集
真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于 ”或“真包含 ”.
要點說明：
理解真子集的定義要注意一下幾點：
①空集是任何非空集合的真子集；
②對于集合A，B，C，如果，，那么；
③若，則與有兩種可能的關系：即或；
4、空集
我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；
要點說明：
空集的性質：
①空集只有一個子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；
③空集是任何非空集合的真子集，即若，則，反之也成立。
④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是無限集；
對點特訓一：判斷集合子集（真子集）個數
典型例題
例題1．（23-24高一下·廣東梅州·階段練習）集合的子集的個數是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
例題2．（23-24高一上·山東·階段練習）滿足的集合M的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
精練
1．（2020·廣東梅州·模擬預測）已知集合，，則的子集個數為（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．（23-24高一上·廣東中山·階段練習）集合的子集個數為 ．
對點特訓二：求集合子集（真子集）
典型例題
例題1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一個子集是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（多選）（23-24高一上·江蘇南京·期中）下列各個選項中，滿足 的集合有（ ）
A． B． C． D．
精練
1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一個真子集可以為（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）（23-24高一上·山西太原·階段練習）已知集合M滿足 ，則這樣的集合M可能為（ ）
A． B． C． D．
對點特訓三：判斷集合的包含關系
典型例題
例題1．（23-24高一上·江蘇宿遷·階段練習）已知集合，，則 （ ）
A． B．
C． D．
例題2．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習）已知集合，，則正確表示與的關系的示意圖是（ ）
A． B．
C． D．
精練
1．（2024·廣東·一模）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）已知集合，則有（ ）
A． B． C． D．
對點特訓四：根據集合的包含關系求參數
典型例題
例題1．（2024·青海西寧·二模）設集合,若,則（ ）
A． B． C．1 D．3
例題2．（23-24高一下·貴州遵義·階段練習）已知集合，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
精練
1．（23-24高三下·重慶·階段練習）集合，，若，則實數（ ）
A． B．0 C． D．1
2．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知集合，．若，則實數的取值集合為 ．
對點特訓五：判斷兩個集合是否相等
典型例題
例題1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
例題2．（23-24高一上·上海·期中）是有理數集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
與集合相等的集合序號是 .
精練
1．（23-24高一上·寧夏石嘴山·階段練習）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．整數，整數集
B．，
C．，
D．，
2．（多選）（23-24高一上·新疆伊犁·階段練習）給出以下幾組集合，其中相等的集合有（ ）
A．
B．
C．
D．
對點特訓六：根據兩個集合相等求參數
典型例題
例題1．（2024·云南大理·模擬預測）已知，其中，則（ ）
A．0 B．或 C． D．
例題2．（23-24高一上·山東臨沂·期末）集合，，且，則實數 ．
精練
1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，則實數（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
2．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，若，則c的值為 .
對點特訓七：空集
典型例題
例題1．（23-24高一上·廣東汕頭·階段練習）有下列關系式：①；②；③；④；⑤ ；⑥其中不正確的是（ ）
A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④
例題2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是實數，若集合是任何集合的子集，則a的取值范圍值是 .
精練
1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四個關系式中正確的個數是（ ）
（1） ；（2）；（3）；（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24高一上·四川廣安·期中）若集合，則實數a的值的集合為 ．
一、單選題
1．（23-24高一下·貴州貴陽·階段練習）設集合，則下列表述正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·云南貴州·二模）已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東廣州·一模）設集合，，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）下列能正確表示集合和關系的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）設集合，則下列選項中正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設全集，集合，，則（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個數為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
8．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）若集合有15個真子集，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高一上·重慶云陽·階段練習）下列集合中，與集合相等的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一上·河北保定·階段練習）若集合恰有兩個子集，則的值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
三、填空題
11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．則實數的取值范圍為 ．
12．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，，若，則實數的值為 .
四、解答題
13．（23-24高一上·陜西延安·階段練習）集合
(1)若是空集，求的取值范圍
(2)若中只有一個元素，求的值并把這個元素寫出來
14．（23-24高一上·上海青浦·階段練習）設集合且滿足①;②若，則.
(1)能否為單元素集合，為什么
(2)求出只含有兩個元素的集合；
(3)滿足題設條件的集合共有幾個 能否列出來

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