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專題07 預(yù)備知識七：基本不等式
1、學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等
2、基本不等式的推導與證明過程，提升邏輯推理的思維能力
3、基本不等式的簡單應(yīng)用，理解積定與和定問題
知識點一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
基本不等式:,,（當且僅當時，取“”號）其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．
如果，有（當且僅當時，取“”號）
特別的，如果,用分別代替,代入，可得：，當且僅當時，“”號成立.
知識點二：利用基本不等式求最值
①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當且僅當時，和有最小值；
②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當且僅當時，積有最大值；
知識點三：基本不等式鏈
（其中，當且僅當時，取“”號）
知識點四：三個正數(shù)的基本不等式
如果，，，那么（當且僅當時，取“”號）
對點特訓一：對基本不等式的理解
典型例題
例題1．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）判斷正誤（正確的填“正確”，錯誤的填“錯誤”）
（1）兩個不等式與成立的條件是相同的.( )
（2）當時，.( )
（3）當時，.( )
（4）函數(shù)的最小值是2.( )
例題2．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）下列不等式的推導過程正確的是 ．
①若，則；
②若，則；
③若，則.
精練
1．（多選）（23-24高一上·江蘇南通·階段練習）下列說法中正確的有（ ）
A．不等式恒成立
B．存在實數(shù),使得不等式成立
C．若,,則
D．若,且,則
2．（23-24高一上·上海松江·期末）“”是“”的 條件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
對點特訓二：利用基本不等式求最值
角度1：和為定值求積的最值
典型例題
例題1．（23-24高一上·湖南婁底·期末）若，，且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
例題2．（2024高二下·湖南株洲·學業(yè)考試）已知，則的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．3
例題3．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，則“”是“”的（ ）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
精練
1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知正數(shù)，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，則xy的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
3．（23-24高一上·貴州六盤水·期末）已知，則的最大值為 ．
角度2：積為定值求和的最值
典型例題
例題1．（23-24高二下·福建三明·階段練習）若，則的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
例題2．（2024·甘肅定西·一模）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（23-24高一上·上海·期末）函數(shù)（）的最小值是 .
精練
1．（23-24高一上·重慶·期末）函數(shù)的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
2．（23-24高一上·廣東·期中）已知，則的最小值為（ ）
A．50 B．40 C．20 D．10
3．（23-24高一上·新疆·期末）的最小值為 .
角度3：常數(shù)代換法
典型例題
例題1．（2024高三上·全國·專題練習）若，，且，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例題2．（23-24高一上·貴州黔南·階段練習）已知且，則的最小值為（　　）
A． B．8 C．9 D．10
例題3．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知且，則的最小值為（ ）
A． B．10 C．9 D．
精練
1．（23-24高一上·河南南陽·階段練習）若，，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．8
2．（2024·四川南充·二模）已知x，y是實數(shù)，，且，則的最小值為
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，若，則的最小值為 .
角度4：湊配法
典型例題
例題1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）函數(shù)的最小值為（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
例題2．（23-24高一上·吉林·階段練習）已知，則的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
例題3．（23-24高一上·陜西西安·期末）已知，則的最小值是 .
精練
1．（23-24高一上·湖南衡陽·階段練習）若，則的最小值為（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．
2．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習）已知，則的最小值為 ．
3．（23-24高一上·北京·期中）已知，則當 時，取最小值為 ．
角度5：二次與二次（或一次）商式
典型例題
例題1．（23-24高一上·云南楚雄·階段練習）函數(shù) 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
例題2．（23-24高二上·云南昆明·期末）函數(shù)的值域是 .
例題3．（23-24高三上·福建泉州·期中）函數(shù)在上的最大值為 ．
精練
1．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知，則的最小值為 ．
2．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù) 的最大值為 .
3．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的最小值為 ．
對點特訓三：基本不等式在實際中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60系列手機，全系搭載麒麟芯片強勢回歸，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，正所謂“輕舟已過萬重山”.發(fā)布后的第一周銷量約達80萬臺，第二周的增長率為a，第三周的增長率為b，這兩周的平均增長率為x（a，b，x均大于零），則（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（22-23高一上·廣東廣州·期中）港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行．由于燃油的價格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加升的燃油；第二種方案，每次加元的燃油．
(1)分別用表示劉先生先后兩次加油時燃油的價格，請你計算出每種加油方案的均價；
(2)選擇哪種加油方案比較經(jīng)濟劃算？請你給出證明．
例題3．（21-22高一上·吉林白山·期末）某工廠分批生產(chǎn)某產(chǎn)品，生產(chǎn)每批產(chǎn)品的費用包括前期的準備費用 生產(chǎn)過程中的成本費用以及生產(chǎn)完成后產(chǎn)品的倉儲費用.已知生產(chǎn)每批產(chǎn)品前期的準備費用為800元，成本費用與產(chǎn)品數(shù)量成正比，倉儲費用與產(chǎn)品數(shù)量的平方成正比.記生產(chǎn)件產(chǎn)品的總費用為y元.當時，成本費用為3000元，倉儲費用為450元.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)試問當每批產(chǎn)品生產(chǎn)多少件時平均費用最少？平均費用最少是多少？
精練
1．（23-24高一上·河北·階段練習）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不確定”）
附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時有，其中，分別為左右盤中物體質(zhì)量，，分別為左右橫梁臂長.
2．（22-23高二上·廣西南寧·開學考試）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：）成反比，每月庫存貨物費（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為2萬元和8萬元，這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？并求出該值．
3．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，為長方形薄板，沿折疊后，交于點.當?shù)拿娣e最大時最節(jié)能．
（1）設(shè)米，用表示圖中的長度，并寫出的取值范圍；
（2）若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計薄板的長和寬？
對點特訓四：與基本不等式有關(guān)的恒成立問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·福建廈門·階段練習）“對所有，不等式恒成立”的充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（多選）（23-24高一下·湖南株洲·開學考試）若對于任意，恒成立，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（23-24高一上·四川成都·階段練習）設(shè)，，若，且不等式恒成立，則的取值范圍是 .
精練
1．（2024高一·全國·專題練習）若關(guān)于x的不等式對任意實數(shù)x＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}
2．（2024高三·全國·專題練習）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·福建廈門·期中）若對有恒成立，則的取值范圍是
一、單選題
1．（22-23高一上·江蘇宿遷·階段練習）若，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·山東青島·期末）已知x，y為正實數(shù)，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（20-21高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若，且，則的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．（23-24高一上·陜西延安·階段練習）當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·四川眉山·開學考試）阿基米德有這樣一句流傳很久的名言：“給我一個支點，我就能撬起整個地球！”這句話說的便是杠桿原理，即“動力×動力臂=阻力×阻力臂”．現(xiàn)有一商店使用兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤中，取出黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，取黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將稱得的黃金交給顧客，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．以上選項都有可能
7．（23-24高三下·浙江·階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（ ）
A． B．8 C． D．
8．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）若，則函數(shù)有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值
二、多選題
9．（2024高三·全國·專題練習）【多選題】下列命題中，為真命題的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
10．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
四、解答題
11．（23-24高一上·四川遂寧·期末）（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值．
12．（23-24高一上·河南開封·期末）如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為 32，它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為 1的空白.記紙張的面積為 S，排版矩形的長和寬分別為x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小 并求最小面積.專題07 預(yù)備知識七：基本不等式
1、學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等
2、基本不等式的推導與證明過程，提升邏輯推理的思維能力
3、基本不等式的簡單應(yīng)用，理解積定與和定問題
知識點一：基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
基本不等式:,,（當且僅當時，取“”號）其中叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù)；叫做正數(shù)，的算數(shù)平均數(shù)．
如果，有（當且僅當時，取“”號）
特別的，如果,用分別代替,代入，可得：，當且僅當時，“”號成立.
知識點二：利用基本不等式求最值
①已知，是正數(shù)，如果積等于定值，那么當且僅當時，和有最小值；
②已知，是正數(shù)，如果和等于定值，那么當且僅當時，積有最大值；
知識點三：基本不等式鏈
（其中，當且僅當時，取“”號）
知識點四：三個正數(shù)的基本不等式
如果，，，那么（當且僅當時，取“”號）
對點特訓一：對基本不等式的理解
典型例題
例題1．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）判斷正誤（正確的填“正確”，錯誤的填“錯誤”）
（1）兩個不等式與成立的條件是相同的.( )
（2）當時，.( )
（3）當時，.( )
（4）函數(shù)的最小值是2.( )
【答案】 錯誤 正確 正確 錯誤
【分析】根據(jù)基本不等式的概念和定義一一判定即可.
【詳解】對于（1），不等式成立的條件是；不等式成立的條件是，錯誤；
對于（2），是基本不等式的變形公式，正確；
對于（3），是基本不等式的變形公式，正確；
對于（4），當時，是負數(shù)，錯誤；
故答案為：（1）錯誤 （2）正確 （3）正確 （4）錯誤.
例題2．（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）下列不等式的推導過程正確的是 ．
①若，則；
②若，則；
③若，則.
【答案】②
【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件進行判斷即可.
【詳解】①中忽視了基本不等式等號成立的條件，
當，即時，等號成立，
因為，所以，故①錯誤；
②因為，所以，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，故②正確；
③中忽視了利用基本不等式時每一項必須為正數(shù)這一條件，
當時，，故③錯誤．
故答案為： ②.
精練
1．（多選）（23-24高一上·江蘇南通·階段練習）下列說法中正確的有（ ）
A．不等式恒成立
B．存在實數(shù),使得不等式成立
C．若,,則
D．若,且,則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”判斷ABC的正誤,用 “1”的代換判斷D的正誤.
【詳解】解:不等式只有在a,b都為非負數(shù)的時候才恒成立,
故A錯誤;
當時,,
故B正確;
若,
則由基本不等式得,
當且僅當即時,等號成立,
故C正確;
因為,,且,
所以,
所以
當且僅當且時取等號,即時取等號;
故D正確.
故選:BCD.
2．（23-24高一上·上海松江·期末）“”是“”的 條件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【分析】利用充分不必要判斷即可
【詳解】當時，，
當且僅當時，取等號，所以充分性成立，
由，
所以，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故答案為：充分不必要
對點特訓二：利用基本不等式求最值
角度1：和為定值求積的最值
典型例題
例題1．（23-24高一上·湖南婁底·期末）若，，且，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】
直接由基本不等式即可求解.
【詳解】由題意，解得，等號成立當且僅當.
故選：B.
例題2．（2024高二下·湖南株洲·學業(yè)考試）已知，則的最大值為（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【分析】利用基本不等式直接求出最大值.
【詳解】當時，，當且僅當，即時取等號，
所以的最大值為3.
故選：D
例題3．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，則“”是“”的（ ）
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由均值不等式判斷充分條件，再舉出反例得到不是必要條件即可.
【詳解】因為，解得，所以是充分條件；
當時滿足，此時，所以不是必要條件，
所以“”是“”的充分不必要條件，
故選：B
精練
1．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知正數(shù)，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式直接計算即可.
【詳解】由題意得，，則， ，即，
當且僅當，即時等號成立.
故選：C
2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，則xy的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】由于，，，所以，故，
當且僅當，即時等號成立，
故選：B
3．（23-24高一上·貴州六盤水·期末）已知，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】由基本不等式求積的最大值.
【詳解】，
由基本不等式可知，
當且僅當時等號成立，即的最大值為.
故答案為：
角度2：積為定值求和的最值
典型例題
例題1．（23-24高二下·福建三明·階段練習）若，則的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用基本不等式計算可得.
【詳解】因為，所以，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值是.
故選：C
例題2．（2024·甘肅定西·一模）的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可得解.
【詳解】由題意知，所以，
所以.
當且僅當，即時，等號成立.
故選：B.
例題3．（23-24高一上·上海·期末）函數(shù)（）的最小值是 .
【答案】
【分析】借助基本不等式即可得.
【詳解】由，故，
當且僅當時，等號成立.
故答案為：.
精練
1．（23-24高一上·重慶·期末）函數(shù)的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式即可得解.
【詳解】因為，
所以，
當且僅當，即時，等號成立.
則的最小值是.
故選：D.
2．（23-24高一上·廣東·期中）已知，則的最小值為（ ）
A．50 B．40 C．20 D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式計算即可.
【詳解】由，則，當且僅當，即時，
等號成立，故的最小值為20．
故選：C
3．（23-24高一上·新疆·期末）的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)基本不等式進行求解即可.
【詳解】由已知，
所以，當且僅當，即時，等號成立.
故答案為：.
角度3：常數(shù)代換法
典型例題
例題1．（2024高三上·全國·專題練習）若，，且，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【詳解】將展開利用基本不等式求得最小值可得答案.
【分析】因為且，所以，
，
當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為2.
故選：A.
例題2．（23-24高一上·貴州黔南·階段練習）已知且，則的最小值為（　　）
A． B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為9.
故選：C
例題3．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知且，則的最小值為（ ）
A． B．10 C．9 D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【詳解】由可得，，
所以，
當且僅當，即時取得等號，
所以的最小值為9，
故選:C.
精練
1．（23-24高一上·河南南陽·階段練習）若，，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．3 D．8
【答案】B
【分析】利用常數(shù)代換的思想和基本不等式即可求得.
【詳解】因，，故由，
當且僅當時，等號成立.由解得：
即當且僅當時，取最小值為4.
故選：B.
2．（2024·四川南充·二模）已知x，y是實數(shù)，，且，則的最小值為
【答案】1
【分析】利用基本不等式"1"的妙用求最值可求答案.
【詳解】因為，且，所以，
因為，當且僅當時，取到等號，
所以，即的最小值為1.
故答案為：1
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，若，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】將所求的式子乘以“1”,然后利用基本不等式求解即可.
【詳解】，
當且僅當，即時等號成立.
故答案為：
角度4：湊配法
典型例題
例題1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）函數(shù)的最小值為（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.
【詳解】由可得，所以，
當且僅當，即時等號成立，
故選:D
例題2．（23-24高一上·吉林·階段練習）已知，則的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值條件.
【詳解】由，則，
當且僅當時等號成立，故最小值為.
故選：C
例題3．（23-24高一上·陜西西安·期末）已知，則的最小值是 .
【答案】6
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為，
當且僅當，即時，等號成立.
所以的最小值是6.
故答案為：6.
精練
1．（23-24高一上·湖南衡陽·階段練習）若，則的最小值為（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】變形后由基本不等式求出最值.
【詳解】因為，所以，
當且僅當,即時，等號成立.
故選：B
2．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習）已知，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】利用基本不等式即可求值.
【詳解】因為，
所以，
當且僅當，即時等號成立.
故答案為：4
3．（23-24高一上·北京·期中）已知，則當 時，取最小值為 ．
【答案】 5 14
【分析】利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為，所以，
則，
當且僅當，即時取等號，
所以當時，取最小值為.
故答案為：；.
角度5：二次與二次（或一次）商式
典型例題
例題1．（23-24高一上·云南楚雄·階段練習）函數(shù) 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
【答案】A
【分析】由基本不等式求解，
【詳解】
因為 所以 ， (當且僅當 即 時，等號成立
故最小值為，
故選：A
例題2．（23-24高二上·云南昆明·期末）函數(shù)的值域是 .
【答案】
【解析】將化簡可得，然后討論和時，利用基本不等式求最值即可求解.
【詳解】，
當時，
當時，
所以，
所以函數(shù)的值域是，
故答案為：
【點睛】方法點睛：形如二次比一次的形式的函數(shù)，先對其化簡整理，使之具備使用基本不等式的條件，再利用基本不等式求最值，可得值域.
例題3．（23-24高三上·福建泉州·期中）函數(shù)在上的最大值為 ．
【答案】
【分析】令，則，則，利用基本不等式計算可得.
【詳解】解：因為，，令，則，
則，
當且僅當，即時，等號成立．
故的最大值為．
故答案為：
精練
1．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知，則的最小值為 ．
【答案】1
【解析】將函數(shù)解析式化簡后，利用基本不等式求得函數(shù)的最小值.
【詳解】．當且僅當，即時等號成立．
故答案為：1
【點睛】本小題主要考查利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.
2．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù) 的最大值為 .
【答案】/
【分析】首先化簡可得，由則可以利用基本不等式求最值即可.
【詳解】因為，則，
所以
≤，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最大值為.
故答案為：.
3．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的最小值為 ．
【答案】
【分析】將函數(shù)化為，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.
【詳解】由，又，
所以，當且僅當，即時等號成立，
所以原函數(shù)的最小值為.
故答案為：
對點特訓三：基本不等式在實際中的應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，華為在官方網(wǎng)站發(fā)布了Mate60系列手機，全系搭載麒麟芯片強勢回歸，5G技術(shù)更是遙遙領(lǐng)先，正所謂“輕舟已過萬重山”.發(fā)布后的第一周銷量約達80萬臺，第二周的增長率為a，第三周的增長率為b，這兩周的平均增長率為x（a，b，x均大于零），則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，列出等式，再利用基本不等式求解判斷即可.
【詳解】依題意，，而，
因此，當且僅當時取等號，
所以.
故選：B
例題2．（22-23高一上·廣東廣州·期中）港珠澳大橋通車后，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行．由于燃油的價格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加升的燃油；第二種方案，每次加元的燃油．
(1)分別用表示劉先生先后兩次加油時燃油的價格，請你計算出每種加油方案的均價；
(2)選擇哪種加油方案比較經(jīng)濟劃算？請你給出證明．
【答案】(1)第一種方案的均價為；第二種方案的均價為；
(2)第二種加油方案比較經(jīng)濟劃算，詳見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意即得；
（2）利用基本不等式即得.
【詳解】（1）由題可得第一種方案的均價為，
第二種方案的均價為；
（2）因為，，
所以，，
所以，
即第二種加油方案比較經(jīng)濟劃算.
例題3．（21-22高一上·吉林白山·期末）某工廠分批生產(chǎn)某產(chǎn)品，生產(chǎn)每批產(chǎn)品的費用包括前期的準備費用 生產(chǎn)過程中的成本費用以及生產(chǎn)完成后產(chǎn)品的倉儲費用.已知生產(chǎn)每批產(chǎn)品前期的準備費用為800元，成本費用與產(chǎn)品數(shù)量成正比，倉儲費用與產(chǎn)品數(shù)量的平方成正比.記生產(chǎn)件產(chǎn)品的總費用為y元.當時，成本費用為3000元，倉儲費用為450元.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
(2)試問當每批產(chǎn)品生產(chǎn)多少件時平均費用最少？平均費用最少是多少？
【答案】(1)
(2)當每批產(chǎn)品生產(chǎn)80件時，平均費用最少，且平均費用最少為70元
【分析】（1）根據(jù)已知設(shè)成本費用為，倉儲費用為元，則，，當時，，，代入即可求得解析式.
（2）平均費用為，利用基本不等式計算即可.
【詳解】（1）設(shè)成本費用為，倉儲費用為元，則，，
當時，，，可得，，
故.
（2）平均費用，
當且僅當，即時，等號成立.
故當每批產(chǎn)品生產(chǎn)80件時，平均費用最少，且平均費用最少為70元.
精練
1．（23-24高一上·河北·階段練習）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不確定”）
附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時有，其中，分別為左右盤中物體質(zhì)量，，分別為左右橫梁臂長.
【答案】大于
【分析】根據(jù)力矩平衡原理，列出等量關(guān)系，即可由基本不等式求解.
【詳解】由于天平兩臂不等長，可設(shè)天平左臂長為，右臂長為，則，
再設(shè)先稱得黃金為，后稱得黃金為，則，，
，，
，
當且僅當，即時等號成立，
但，等號不成立，即．
因此，顧客購得的黃金大于．
故答案為：大于
2．（22-23高二上·廣西南寧·開學考試）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：）成反比，每月庫存貨物費（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為2萬元和8萬元，這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站多少千米處，才能使兩項費用之和最小？并求出該值．
【答案】5km；最小費用為8萬元
【分析】先設(shè)出，代入自變量及對應(yīng)的函數(shù)值，求出，從而得到兩項費用之和，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】設(shè)，
當時，，
∴，
∴，
∴兩項費用之和為．
當且僅當時，即當時等號成立．
即應(yīng)將這家倉庫建在距離車站處，才能使兩項費用之和最小，
且最小費用為8萬元．
3．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，為長方形薄板，沿折疊后，交于點.當?shù)拿娣e最大時最節(jié)能．
（1）設(shè)米，用表示圖中的長度，并寫出的取值范圍；
（2）若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計薄板的長和寬？
【答案】（1）；（2）長為米，寬為米.
【分析】（1）根據(jù)可得，由勾股定理可得的關(guān)系，再根據(jù)可得的取值范圍；
（2）設(shè)的面積為，計算可得，利用基本不等式可得何時取最大值.
【詳解】解：（1）由題意，.
因，故.
設(shè)，則.
因，故.
由，得，
化簡得.
（2）設(shè)的面積為，，
當且僅當)時，取得最大值．
答：當薄板長為米，寬為米時，節(jié)能效果最好．
【點睛】本題考查基本不等式在實際問題中的應(yīng)用，本題中注意折疊前后各幾何量之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值時注意“一正、二定、三相等”.
對點特訓四：與基本不等式有關(guān)的恒成立問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·福建廈門·階段練習）“對所有，不等式恒成立”的充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式恒成立和構(gòu)造基本不等式可確定，即可求解.
【詳解】由不等式恒成立，得恒成立，
因為，
當且僅當，即時取得等號，
所以不等式恒成立，則，
因為是的充分不必要條件，
故選:D.
例題2．（多選）（23-24高一下·湖南株洲·開學考試）若對于任意，恒成立，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求出的最大值，結(jié)合選項可得
【詳解】因為，所以，
當且僅當，即時等號成立，
由任意，恒成立， 所以，
符合條件有，，，故A、C、D對；，故B錯；
故選：ACD
例題3．（23-24高一上·四川成都·階段練習）設(shè)，，若，且不等式恒成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】首先根據(jù)已知條件得到，然后結(jié)合基本不等式即可求得最小值，再解關(guān)于的一元二次不等式即可求得的取值范圍.
【詳解】因為，，，所以，
則，
當且僅當時，即時取等號，
所以，
解得.
故答案為：
精練
1．（2024高一·全國·專題練習）若關(guān)于x的不等式對任意實數(shù)x＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5}
【答案】A
【分析】利用基本不等式求出不等式x的最小值為4，轉(zhuǎn)化為4≥a2﹣3a，由此解得實數(shù)a的取值范圍．
【詳解】解：∵x＞0，∴不等式x24，當且僅當x＝2時，表達式取得最小值為4，
由關(guān)于x的不等式xa2﹣3a對任意實數(shù)x＞0恒成立，
可得 4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4，
故選：A．
2．（2024高三·全國·專題練習）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分離變量可得在時恒成立，然后利用均值不等式求最值即可.
【詳解】解：當時，不等式恒成立，等價于在時恒成立，
即等價于；
而因為，故,當且僅當，即時取得最大值.
故.
故選：D.
【點睛】本題考查了分離變量最值法，重點考查了不等式恒成立問題，屬基礎(chǔ)題.
3．（23-24高二上·福建廈門·期中）若對有恒成立，則的取值范圍是
【答案】
【詳解】試題分析：因為，而恒成立，則，當且僅當x=2y時取得等號那么可知只要小于等于表達式的最小值8即可，故答案為
考點：本試題主要考查了運用均值不等式求解最值．
點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于不等式的恒成立問題，我們一般轉(zhuǎn)換為函數(shù)的最值來研究，從而得到參數(shù)a的范圍．
一、單選題
1．（22-23高一上·江蘇宿遷·階段練習）若，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【詳解】因為，所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值是.
故選：C.
2．（23-24高一上·山東青島·期末）已知x，y為正實數(shù)，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意利用基本不等式運算求解.
【詳解】因為x，y為正實數(shù)，則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：D.
3．（20-21高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若，且，則的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得答案.
【詳解】因為，且，
所以，
當且僅當時等號成立，
故選：A.
4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】由題意可得，根據(jù)“1”的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式運算求解.
【詳解】因為，可得，
且，，可知，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為1.
故選：B.
5．（23-24高一上·陜西延安·階段練習）當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式求解最值即可求解.
【詳解】當時，，故，當且僅當，即時等號成立，
所以不等式恒成立，故，故，
故選：D
6．（23-24高一下·四川眉山·開學考試）阿基米德有這樣一句流傳很久的名言：“給我一個支點，我就能撬起整個地球！”這句話說的便是杠桿原理，即“動力×動力臂=阻力×阻力臂”．現(xiàn)有一商店使用兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤中，取出黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，取黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將稱得的黃金交給顧客，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．以上選項都有可能
【答案】A
【分析】設(shè)天平的左臂長為，右臂長為，再分別求出，，結(jié)合基本不等式判斷即可.
【詳解】由于天平的兩臂不等長，故可設(shè)天平的左臂長為，右臂長為，.
由杠桿原理得，，解得，，
則，當且僅當取等號.
又，故.
故選：A
7．（23-24高三下·浙江·階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【分析】由題意得，進一步表示出，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】因為，且，所以，
從而，等號成立當且僅當，
所以的最小值為.
故選：A.
8．（2023·河南信陽·模擬預(yù)測）若，則函數(shù)有（ ）
A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值
【答案】D
【分析】由題意，，，利用基本不等式求解.
【詳解】因為，所以，
.
當且僅當，即時等號成立，
所以函數(shù)有最大值.
故選：D.
二、多選題
9．（2024高三·全國·專題練習）【多選題】下列命題中，為真命題的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用基本不等式對選項AC進行判斷即可得A正確，C錯誤；當時，可將不等式化為，再由基本不等式判斷可得B錯誤，取代入可得D正確.
【詳解】對于A：利用基本不等式可得，
當且僅當時，等號成立，故A正確；
對于B：對于，，
當且僅當時，等號成立；即命題不成立，故B錯誤；
對于C：易知對于，，
當且僅當時，等號成立，故C錯誤；
對于D：易知當時，，即，所以D正確.
故選：AD.
三、填空題
10．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】由正數(shù)滿足，可得，
所以，當且僅當時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
四、解答題
11．（23-24高一上·四川遂寧·期末）（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用基本不等式即可得解；
（2）利用基本不等式，結(jié)合換元法即可得解.
【詳解】（1）因為，所以，
則，當且僅當，即時，取到等號，
所以的最大值為；
（2）因為，所以，
令，則，
所以，
當且僅當，即，即時，取到等號，
所以的最小值為.
12．（23-24高一上·河南開封·期末）如圖，一份印刷品的排版（陰影部分）為矩形，面積為 32，它的左、右兩邊都留有寬為2的空白，上、下兩邊都留有寬為 1的空白.記紙張的面積為 S，排版矩形的長和寬分別為x，y.
(1)用x，y 表示 S;
(2)如何選擇紙張的尺寸，才能使紙張的面積最小 并求最小面積.
【答案】(1)
(2)紙張的長和寬分別為12，6時，紙張的面積最小，最小面積為72.
【分析】（1）由題意知，再代入化簡即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【詳解】（1）由題意，，
.
（2），
當且僅當，即時等號成立，
所以紙張的長和寬分別為12，6時，紙張的面積最小，最小面積為72.

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