資源簡介

專題08 預備知識八：二次函數與一元二次方程、不等式
1、經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義
2、借助二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系，體會數學的整體性
3、能夠借助二次函數，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解決一些實際應用問題，提升數學運算素養
知識點一：一元二次不等式的有關概念
1、一元二次不等式
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均為常數）
②（其中均為常數）
③（其中均為常數）
④（其中均為常數）
2、一元二次不等式的解與解集
使某一個一元二次不等式成立的的值，叫作這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集.
將一個不等式轉化為另一個與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.
知識點二：四個二次的關系
2.1一元二次函數的零點
一般地，對于二次函數，我們把使的實數叫做二次函數的零點．
2.2次函數與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系
對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數的圖象與軸的位置關系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.
判別式
二次函數(的圖象
一元二次方程 ()的根 有兩個不相等的實數根，() 有兩個相等的實數根 沒有實數根
()的解集
()的解集
知識點三：一元二次不等式的解法
1：先看二次項系數是否為正，若為負，則將二次項系數化為正數；
2：寫出相應的方程，計算判別式：
①時，求出兩根，且（注意靈活運用十字相乘法）；
②時，求根；
③時，方程無解
3：根據不等式，寫出解集.
知識點四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定義：
與分式方程類似，分母中含有未知數的不等式稱為分式不等式，如：形如或（其中,為整式且的不等式稱為分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移項化零：將分式不等式右邊化為0：
②
③
④
⑤
對點特訓一：一元二次不等式（不含參）的求解
典型例題
例題1．（2024高一·全國·專題練習）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】根據題意，利用一元二次不等式的解法，即可求解.
【詳解】由不等式，可化為，解得，
故不等式的解集為.
故選：D.
例題2．（23-24高一上·北京·期中）求下列關于的不等式的解集.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）首先將式子因式分解，再解得即可.
【詳解】（1）不等式，即，解得，
所以不等式的解集為.
（2）不等式，即，即，
解得，所以不等式的解集為.
精練
1．（2024高三·全國·專題練習）不等式－x2－2x＋3≥0的解集為 （ ）
A．{x|x≥－3} B．{x|x≥1}
C．{x|x≤2} D．{x|－3≤x≤1}
【答案】D
【詳解】
－x2－2x＋3≥0，即x2＋2x－3≤0 (x－1)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤1，所以不等式的解集為{x|－3≤x≤1}.
2．（23-24高一上·北京·期中）解關于的不等式.
(1);
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】由公式解不含參數的一元二次不等式，分類討論解含參數的一元二次不等式.
【詳解】（1）不等式，即，解得，
所以不等式的解集為；
（2）不等式，即，解得或，
所以不等式的解集為；
對點特訓二：一元二次不等式（含參）的求解
角度1：二次項系數不含參數
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）解關于的不等式：.
【答案】答案見解析
【分析】首先將不等式左側因式分解，再分、、三種情況討論，分別求出不等式的解集.
【詳解】不等式，即，
當時，原不等式即，解得，即不等式的解集為；
當時，解得或，即不等式的解集為或；
當時，解得或，即不等式的解集為或；
綜上可得：當時不等式的解集為，
當時不等式的解集為或，
當時不等式的解集為或.
例題2．（2024高三·全國·專題練習）（1）解關于實數的不等式：．
（2）解關于實數的不等式：．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；
【分析】對不等式所對應方程的判別式進行判斷，分情況討論參數即可求得（1）（2）中的不等式解集.
【詳解】（1）易知方程的，
由得，解得，
當時，的解集為，
當時，的解集為，
當時，的解集為．
（2）對方程 ，
當時，
即時,不等式的解集為
當時，
即或時,
的根為，
不等式的解集為；
綜上可得，時,不等式的解集為，
或時，不等式的解集為.
精練
1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）若關于的不等式的解集中，恰有3個整數，則實數的取值集合是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】對不等式因式分解，分，，三種情況，得到不等式解集，結合恰有3個整數得到不等式，求出答案.
【詳解】，
當時，不等式解集為，此時恰有3個整數解，
則3個整數解分別為，故，解得，
當時，不等式解集為，此時恰有3個整數解，
則3個整數解分別為，故，解得，
當時，不等式解集為，不合要求，
故實數的取值集合為或.
故選：D
2．（23-24高一下·四川成都·開學考試）已知函數．
(1)若關于x的不等式的解集為R，求實數a的取值范圍；
(2)解關于x的不等式．
【答案】(1),
(2)答案見解析
【分析】（1）由題意可知，進而求出實數的取值范圍；
（2）根據和兩種情況討論，結合二次函數的性質求解即可．
【詳解】（1）若不等式的解集為R，
則，
解得，
即實數的取值范圍,；
（2）不等式，
①當時，即時，不等式的解集為，
②當時，即或時，
由，解得或，
所以不等式的解集為，
綜上所述，當時，不等式的解集為；
當或時，不等式的解集為．
角度2：二次項系數含參
典型例題
例題1．（多選）（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知，關于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
分，，三種情況結合與的大小關系討論，可得不等式的解集.
【詳解】當時，；
當時，或，故A正確；
當時，，
若，則解集為空集；
若，則不等式的解為：，故D正確；
若，則不等式的解為：，故C正確.
故選：ACD
例題2．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命題“R，”是真命題，求實數a的取值范圍；
（2）求關于的不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）答案見解析
【分析】（1）利用二次函數圖象得出解得結果；
（2）分成，，，，五種情況討論一元二次不等式的解集.
【詳解】（1）∵R，為真命題，
則函數與x軸有交點，
∴，即，解得或．
∴實數的取值范圍是或．
（2）當時，不等式等價于，即；
當時，原不等式化為，
當時，即時，解得或；
當時，即時，原不等式即為，解得；
當時，即時，解得或．
當時，原不等式化為， 解得．
綜上所述，當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為R；
當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
精練
1．（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習）解關于的不等式．（只需結果，不需過程）
可因式分解為 ．
當 時，解集為 ；
當 時，解集為 ；
當 時，解集為 ；
當 時，解集為 ；
當 時，解集為 ．
【答案】
【分析】根據題意，結合一元二次不等式的解法，合理分類討論，即可求解.
【詳解】由題意得：方程可分解為，
若時，不等式即為，解得，不等式的解集為；
若時，令，解得或，
當時，即時，由，解得，此時解集為；
當時，即時，由，解得，此時解集為；
當時，即或時，由，解得，此時解集為；
故答案為：；；；；；；；；；；.
2．（2024高三·全國·專題練習）設函數
(1)若不等式對一切實數x恒成立，求a的取值范圍；
(2)解關于的不等式：．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）對是否為零進行討論，再結合二次函數的性質即可求解.
（2）不等式化簡為，根據一元二次不等式的解法，分類討論即可求解.
【詳解】（1）對一切實數x恒成立，等價于恒成立.
當時，不等式可化為，不滿足題意.
當，有，即，解得
所以的取值范圍是．
（2）依題意，等價于，
當時，不等式可化為，所以不等式的解集為.
當時，不等式化為，此時，所以不等式的解集為.
當時，不等式化為，
①當時，，不等式的解集為；
②當時，，不等式的解集為；
③當時，，不等式的解集為；
綜上，當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為.
對點特訓三：一元二次不等式與對應函數、方程的關系
典型例題
例題1．（多選）（2023高一上·江蘇·專題練習）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集為
C．不等式的解集為
D．
【答案】AC
【分析】
根據題中不等式取兩邊且是大于等于號判斷二次函數的開口方向，即可判斷選項A；根據題意由韋達定理可得，代入不等式，根據即可判斷選項B；根據，代入不等式求解，即可判斷選項C；根據，代入不等式，根據即可判斷選項D.
【詳解】關于的不等式的解集為，
所以二次函數的開口方向向上，即，故A正確；
且方程的兩根為、4，
由韋達定理得，解得.
對于B，，由于，所以，
所以不等式的解集為，故B不正確；
對于C，因為，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集為，故C正確；
對于D，，故D不正確.
故選：AC.
例題2．（23-24高一上·江西景德鎮·期中）已知關于x的不等式的解集為，則不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據的解集為得到，且，進而根據二次函數的性質即可求解.
【詳解】由題意得的兩個根為，，且，
，，則，，
則，即，
即，解得，
則不等式的解集為.
故答案為：.
精練
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意得出a、b、c的關系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【詳解】一元二次不等式的解為，
所以的解為，且，
由韋達定理得，代入得
，
故選：D.
2．（23-24高一上·湖南岳陽·期中）已知關于x的不等式的解集為或，不等式的解集為 ．
【答案】.
【分析】根據不等式解集知，利用韋達定理得，代入目標不等式求解即可.
【詳解】因為不等式的解集為或，
所以，且和4為方程的兩根，
故，得，
又，所以，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：
對點特訓四：分式不等式的解法
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南許昌·開學考試）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將不等式移項，通分，轉化為，等價于，利用一元二次不等式的求法，即可得出結果.
【詳解】不等式可以轉化為.
等價于，∴，
∴，
∴不等式的解集為.
故選：A
例題2．（2024·吉林長春·模擬預測）已知集合. 則 .
【答案】
【分析】根據集合交集的概念求解即可答案.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
精練
1．（23-24高三下·河南·階段練習）已知集合 則（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】先化簡集合A，進而求得.
【詳解】或，
則
故選： A.
2．（23-24高三下·北京·開學考試）不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】利用分式不等式的解法列不等式組求解即可.
【詳解】等價于，
解得：，
所以不等式的解集為.
故答案為：
對點特訓五：不等式恒成立問題
角度1：判別法
典型例題
例題1．（23-24高二下·浙江·期中）關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】由題意可知恒成立，根據判別式即可求出.
【詳解】的解集為,
即恒成立，
當時，即，不符合題意，
當時，則’解得
綜上所述，實數的取值范圍是.
故選：B
例題2．（2024高三·全國·專題練習）若不等式對一切恒成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對二次項系數進行分類討論可得符合題意，當時利用判別式可求得結果.
【詳解】當，即時，不等式為對一切恒成立．
當時，需滿足，
即，解得.
綜上可知，實數a的取值范圍是．
故選：C
精練
1．（2024·浙江·模擬預測）若不等式的解為全體實數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分類討論與兩種情況，結合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.
【詳解】當時，不等式可化為，顯然不合題意；
當時，因為的解為全體實數，
所以，解得；
綜上：.
故選：C.
2．（多選）（23-24高一下·黑龍江綏化·開學考試）若對于，都有，則的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】AB
【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可；
【詳解】依題意，命題等價于恒成立，
所以，解得，即，故AB正確，CD錯誤.
故選：AB.
角度2：分離變量法
典型例題
例題1．（23-24高一上·廣東東莞·期中）已知函數，若函數在上是單調函數，則實數a的取值范圍為 ；當，時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為 ．
【答案】或，
【分析】首先確定函數的對稱軸方程，然后由對稱軸與區間的位置關系，列出不等關系，求解即可；不等關系對恒成立，構造函數，利用二次函數的性質求出，即可得到的取值范圍.
【詳解】函數的對稱軸方程為，
因為函數在上是單調函數，
所以或，解得或，
所以，實數a的取值范圍為；
由題意，當時，不等式對恒成立，
即 對恒成立，
令 ，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，且，
所以當時， ，
所以，即實數的取值范圍為.
故答案為：或，
例題2．（23-24高一上·湖南張家界·期中）（1）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍；
（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）題目轉化為，利用均值不等式計算最值得到答案.
（2）變換得到，計算函數的最小值得到答案.
【詳解】（1）當時，有解，
即在上有解，
又，于是等價于，
故，又，
當且僅當即，即時等號成立，所以
所以實數的取值范圍是
（2）當時，恒成立．
因為，且當時有最大值為，
所以等價于．
在區間上的最小值為，故只需即可，
所以實數的取值范圍是．
精練
1．（2024·遼寧·三模）若“，使”是假命題，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【分析】將問題轉化為“在上恒成立”，再利用對勾函數的單調性求得最值，從而得解.
【詳解】因為“，使”是假命題，
所以“，”為真命題，
其等價于在上恒成立，
又因為對勾函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
所以，即實數的取值范圍為.
故答案為：.
2．（22-23高一上·江蘇宿遷·階段練習）已知二次函數.
(1)若時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍；
(2)解關于x的不等式（其中）.
【答案】(1),．
(2)答案見解析.
【分析】（1）分離參數a，轉化為函數最值問題求解；
（2）分類討論求解即可．
【詳解】（1）不等式即為：，
當,時，可變形為：，
即,
又，當且僅當，即時，等號成立，
，即，
實數的取值范圍是：,．
（2）不等式，
即，
等價于，
即，
當時，
當時，因為，解不等式得：；
當時，因為，不等式的解集為；
當時，因為，解不等式得：；
綜上所述，不等式的解集為：
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為；
當時，不等式解集為．
對點特訓六：一元二次不等式的實際問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·江蘇鎮江·階段練習）2022 年 2 月 24 日, 俄烏爆發戰爭，至今戰火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆發沖突.與以往戰爭不同的是，無人機在戰場中起到了偵察和情報收集，攻擊敵方目標和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色. 某無人機企業原有 200 名科技人員， 年人均工資 萬元 ，現加大對無人機研發的投入，該企業把原有科技人員分成技術人員和研發人員，其中技術人員 名 且 ，調整后研發人員的年人均工資增加 ，技術人員的年人均工資調整為 萬元.
(1)若要使調整后研發人員的年總工資不低于調整前 200 名科技人員的年總工資，求調整后的研發人員的人數最少為多少人
(2)為了激勵研發人員的工作熱情和保持技術人員的工作積極性，企業決定在工資方面要同時滿足以下兩個條件：①研發人員的年總工資始終不低于技術人員的年總工資; ②技術人員的年人均工資始終不減少. 請問是否存在這樣的實數 ，滿足以上兩個條件，若存在，求出 的范圍; 若不存在,說明理由.
【答案】(1)100
(2)存在，
【分析】（1）由條件“調整后研發人員的年總工資不低于調整前 200 名科技人員的年總工資”建立不等關系可求解；
（2）根據條件①②建立不等關系，假設存在實數轉化為恒成立問題，由基本不等式及一次函數求最值可得結果.
【詳解】（1）依題意可得調整后研發人員的年人均工資為 萬元,
則 ,
整理得 , 解得 ,
因為 且 , 所以 , 故 ,
所以要使這 名研發人員的年總工資不低于調整前 200 名科技人員的年總工資,
調整后的研發人員的人數最少為 100 人.
（2）由條件①研發人員的年總工資始終不低于技術人員的年總工資，
得 ,
整理得 ;
由條件②技術人員年人均工資不減少, 得 , 解得
假設存在這樣的實數 , 使得技術人員在已知范圍內調整后, 滿足以上兩個條件,
即 恒成立，
因為 ,
當且僅當 , 即 時等號成立, 所以 ,
又因為 , 當 時, 取得最大值 11 , 所以
所以 , 即 ,
即存在這樣的 滿足條件, 其范圍為 .
例題2．（23-24高一上·上海·期中）近幾年來，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經在中國落地生根，并發展處具有中國特色的盲盒經濟，某盲盒生產及銷售公司今年初用98萬購進一批盲盒生產線，每年可有50萬的總收入，已知生產此盲盒年（為正整數）所用的各種費用總計為萬元．
(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？
(2)該公司幾年后年平均利潤最大，最大是多少？
【答案】(1)第年
(2)第年最大，為萬元
【分析】（1）先求得利潤的表達式，由此列不等式來求得正確答案.
（2）先求得平均利潤的表達式，然后利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】（1）設利潤為，則，
由整理得，
解得，由于，
所以，所以第年首次盈利.
（2）首先，
由（1）得平均利潤萬元，
當且僅當萬元時等號成立，
第7年，平均利潤最大，為12萬元.
精練
1．（23-24高一下·河南·開學考試）河南是華夏文明的主要發祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃河等自然風光構成了河南豐富的旅游資源，在旅游業蓬勃發展的帶動下，餐飲、酒店、工藝品等行業持續發展．某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價在200元的基礎上提高元（，），則被租出的客房會減少套．若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過106600元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價應為（ ）
A．250元 B．260元 C．270元 D．280元
【答案】C
【分析】根據題意列出不等式求解.
【詳解】依題意，每天有間客房被租出，該連鎖酒店每天租賃客房的收入為
．
因為要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過106600元，
所以，即，解得．
因為且，所以，即該連鎖酒店每間客房每天的租價應定為270元．
故選：C．
2．（23-24高一上·廣東江門·期中）為擺脫美國政府針對中國高科技企業的封鎖，加強自主性，某企業計劃加大對芯片研發部的投入，據了解，該企業研發部原有100名技術人員，年人均投入a萬元，現把原有技術人員分成兩部分：技術人員和研發人員，其中技術人員x名（且），調整后研發人員的年人均投入增加，技術人員的年人均投入調整為萬元．
(1)要使這名研發人員的年總投入不低于調整前100名技術人員的年總投入，求調整后的技術人員的人數最多多少人？
(2)是否存在這樣的實數m，使得技術人員在已知范圍內調整后，同時滿足以下兩個條件：①技術人員的年均投入始終不減少；②研發人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入．
【答案】(1)
(2)存在
【分析】（1）根據題意直接列出不等式可求解；
（2）由①可得，由②可得，分別利用函數單調性和基本不等式即可求解.
【詳解】（1）依題意可得調整后研發人員的年人均投入為萬元，
則，即，解得，
又且，所以調整后的技術人員的人數最多75人.
（2）由①，即技術人員的年均投入始終不減少，則有，解得，
由②，即研發人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入，
則有，兩邊同除以，得到，整理得到，
故有，
又，當且僅當，即時取等號，所以，
又因為，當時，取得最大值7，所以，
即存在這樣的滿足條件，使得其范圍為.
一、單選題
1．（23-24高一下·云南·期中）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用集合觀點，子集是全集的充分條件，只有真子集才是全集的充分不必要條件，就可以得到答案.
【詳解】由，得，因為是的真子集，
所以是的充分不必要條件，
故選：A．
2．（2024高三·全國·專題練習）若命題“”為真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由題意可得不等式在R上有解，結合計算即可求解.
【詳解】由題意可知，不等式在R上有解，
∴，解得，
∴實數m的取值范圍是.
故選：A.
3．（2024·陜西·二模）若，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】
將代入原不等式，可得，解之即可求解.
【詳解】由題意知，當時，可變為，符合題意；
當時，由，得，
即，解得或且；
綜上，實數a的取值范圍為.
故選：D
4．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）命題：“使得不等式成立”是真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，轉化為不等式在有解，結合二次函數的性質，求得其最小值，即可求解.
【詳解】由使得不等式成立是真命題，
即不等式在有解，
因為，當時，，
所以，即實數的取值范圍為.
故選：C.
5．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習）關于的不等式：的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】將分式不等式轉化為整式不等式即可解.
【詳解】由得，
其解集等價于，
解得.
故選：B
6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知條件：“不等式的解集是空集”，則條件： “”是條件的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】先分和兩種情況討論求出的范圍，再根據充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】因為不等式的解集是空集，
所以不等式的解集是，
當即 時，
若 ，則 ， 舍；
若 ，則 ， ；
當時，則 ，解得 ，
綜上所述 ，
所以條件是條件的充分不必要條件．
故選：A．
7．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集為R，則實數的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】分類討論，結合一元二次不等式解集的性質進行求解即可.
【詳解】由題意可知恒成立，
當時，恒成立，
當時需滿足，即，求得，
所以實數的取值范圍是
故選：C
8．（22-23高一上·河北石家莊·期中）已知關于的一元二次不等式的解集為，其中，，為常數，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式與對應方程的關系，由韋達定理得到的關系，再根據一元二次不等式的解法，即可求解.
【詳解】因為關于的一元二次不等式的解集為，
所以，且和是一元二次方程的兩根，
所以，解得
所以不等式可化為，即，
解得，則不等式的解集是．
故選：A
二、多選題
9．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）與不等式不同解的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
結合分式不等式，二次不等式及一次不等式的求法分別檢驗各選項即可判斷.
【詳解】
由得，解得，
A：由得，不同；
B：由得，相同；
C：由得且，解得，不同；
D：由得，不同．
故選：ACD．
10．（23-24高一下·廣東潮州·開學考試）對于給定的實數，關于實數的一元二次不等式的解集可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】對進行分、和討論即可.
【詳解】當時，此時解集為；
當時，此時解集為；
當時，此時解集為；
故選：CD.
三、填空題
11．（2024·云南·模擬預測）已知集合，若且，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據已知條件，利用分式不等式求解集合，結合集合交集 并集的定義，即可求解.
【詳解】由得：，
所以，
因為且，
所以.
故答案為：.
12．（23-24高一上·陜西寶雞·期中）已知函數，若不等式的解集是，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】根據題意，可得一元二次不等式的解集是，由此列式算出實數的值．
【詳解】，即，解集是，
所以，且是方程的兩個實數根，
于是由韋達定理可得，
解得不符合題意，舍去）．
故答案為：．
四、解答題
13．（23-24高三下·北京·階段練習）已知關于的不等式的解集是．
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若，求實數的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）直接將代入不等式即可解出；
（2）使用二次函數知識將二次不等式化為兩根式，然后比較系數得到方程組，再解出方程組即可.
【詳解】（1）等價于原不等式對成立，即.
解得，所以的取值范圍是.
（2）意味著，且.
展開并比較系數可知，故.
而，故，從而，解得，進而得到.
經驗證當，時條件滿足，所以，.
14．（22-23高一上·陜西咸陽·階段練習）（1）若對于一切實數，不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）若，檢驗不等式是否恒成立，若，則，可求的取值范圍；
（2）當時，不等式恒成立，令，結合二次函數的性質可知，和時，可求的取值范圍．
【詳解】（1）要使恒成立，若，顯然，滿足題意；
若，則解得，
綜上，的取值范圍是．
（2）令．
當時，恒成立，則的根一個小于1，另一個大于2．
如圖，得即解得，
的取值范圍是．專題08 預備知識八：二次函數與一元二次方程、不等式
1、經歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現實意義
2、借助二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系，體會數學的整體性
3、能夠借助二次函數，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解決一些實際應用問題，提升數學運算素養
知識點一：一元二次不等式的有關概念
1、一元二次不等式
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式：
①（其中均為常數）
②（其中均為常數）
③（其中均為常數）
④（其中均為常數）
2、一元二次不等式的解與解集
使某一個一元二次不等式成立的的值，叫作這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集.
將一個不等式轉化為另一個與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.
知識點二：四個二次的關系
2.1一元二次函數的零點
一般地，對于二次函數，我們把使的實數叫做二次函數的零點．
2.2次函數與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應關系
對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數的圖象與軸的位置關系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.
判別式
二次函數(的圖象
一元二次方程 ()的根 有兩個不相等的實數根，() 有兩個相等的實數根 沒有實數根
()的解集
()的解集
知識點三：一元二次不等式的解法
1：先看二次項系數是否為正，若為負，則將二次項系數化為正數；
2：寫出相應的方程，計算判別式：
①時，求出兩根，且（注意靈活運用十字相乘法）；
②時，求根；
③時，方程無解
3：根據不等式，寫出解集.
知識點四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定義：
與分式方程類似，分母中含有未知數的不等式稱為分式不等式，如：形如或（其中,為整式且的不等式稱為分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移項化零：將分式不等式右邊化為0：
②
③
④
⑤
對點特訓一：一元二次不等式（不含參）的求解
典型例題
例題1．（2024高一·全國·專題練習）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
例題2．（23-24高一上·北京·期中）求下列關于的不等式的解集.
(1)
(2)
精練
1．（2024高三·全國·專題練習）不等式－x2－2x＋3≥0的解集為 （ ）
A．{x|x≥－3} B．{x|x≥1}
C．{x|x≤2} D．{x|－3≤x≤1}
．（23-24高一上·北京·期中）解關于的不等式.
(1);
(2)
對點特訓二：一元二次不等式（含參）的求解
角度1：二次項系數不含參數
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）解關于的不等式：.
例題2．（2024高三·全國·專題練習）（1）解關于實數的不等式：．
（2）解關于實數的不等式：．
精練
1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）若關于的不等式的解集中，恰有3個整數，則實數的取值集合是（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（23-24高一下·四川成都·開學考試）已知函數．
(1)若關于x的不等式的解集為R，求實數a的取值范圍；
(2)解關于x的不等式．
角度2：二次項系數含參
典型例題
例題1．（多選）（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知，關于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或 B．
C． D．
例題2．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命題“R，”是真命題，求實數a的取值范圍；
（2）求關于的不等式的解集．
精練
1．（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習）解關于的不等式．（只需結果，不需過程）
可因式分解為 ．
當 時，解集為 ；
當 時，解集為 ；
當 時，解集為 ；
當 時，解集為 ；
當 時，解集為 ．
2．（2024高三·全國·專題練習）設函數
(1)若不等式對一切實數x恒成立，求a的取值范圍；
(2)解關于的不等式：．
對點特訓三：一元二次不等式與對應函數、方程的關系
典型例題
例題1．（多選）（2023高一上·江蘇·專題練習）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集為
C．不等式的解集為
D．
例題2．（23-24高一上·江西景德鎮·期中）已知關于x的不等式的解集為，則不等式的解集為 ．
精練
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·湖南岳陽·期中）已知關于x的不等式的解集為或，不等式的解集為 ．
對點特訓四：分式不等式的解法
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南許昌·開學考試）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2024·吉林長春·模擬預測）已知集合. 則 .
精練
1．（23-24高三下·河南·階段練習）已知集合 則（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（23-24高三下·北京·開學考試）不等式的解集是 ．
對點特訓五：不等式恒成立問題
角度1：判別法
典型例題
例題1．（23-24高二下·浙江·期中）關于的不等式的解集為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．或
例題2．（2024高三·全國·專題練習）若不等式對一切恒成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
精練
1．（2024·浙江·模擬預測）若不等式的解為全體實數，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（23-24高一下·黑龍江綏化·開學考試）若對于，都有，則的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
角度2：分離變量法
典型例題
例題1．（23-24高一上·廣東東莞·期中）已知函數，若函數在上是單調函數，則實數a的取值范圍為 ；當，時，不等式恒成立，則實數的取值范圍為 ．
例題2．（23-24高一上·湖南張家界·期中）（1）若關于的不等式在上有解，求實數的取值范圍；
（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.
精練
1．（2024·遼寧·三模）若“，使”是假命題，則實數的取值范圍為 .
2．（22-23高一上·江蘇宿遷·階段練習）已知二次函數.
(1)若時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍；
(2)解關于x的不等式（其中）.
對點特訓六：一元二次不等式的實際問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·江蘇鎮江·階段練習）2022 年 2 月 24 日, 俄烏爆發戰爭，至今戰火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆發沖突.與以往戰爭不同的是，無人機在戰場中起到了偵察和情報收集，攻擊敵方目標和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色. 某無人機企業原有 200 名科技人員， 年人均工資 萬元 ，現加大對無人機研發的投入，該企業把原有科技人員分成技術人員和研發人員，其中技術人員 名 且 ，調整后研發人員的年人均工資增加 ，技術人員的年人均工資調整為 萬元.
(1)若要使調整后研發人員的年總工資不低于調整前 200 名科技人員的年總工資，求調整后的研發人員的人數最少為多少人
(2)為了激勵研發人員的工作熱情和保持技術人員的工作積極性，企業決定在工資方面要同時滿足以下兩個條件：①研發人員的年總工資始終不低于技術人員的年總工資; ②技術人員的年人均工資始終不減少. 請問是否存在這樣的實數 ，滿足以上兩個條件，若存在，求出 的范圍; 若不存在,說明理由.
例題2．（23-24高一上·上海·期中）近幾年來，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經在中國落地生根，并發展處具有中國特色的盲盒經濟，某盲盒生產及銷售公司今年初用98萬購進一批盲盒生產線，每年可有50萬的總收入，已知生產此盲盒年（為正整數）所用的各種費用總計為萬元．
(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？
(2)該公司幾年后年平均利潤最大，最大是多少？
精練
1．（23-24高一下·河南·開學考試）河南是華夏文明的主要發祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃河等自然風光構成了河南豐富的旅游資源，在旅游業蓬勃發展的帶動下，餐飲、酒店、工藝品等行業持續發展．某連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價在200元的基礎上提高元（，），則被租出的客房會減少套．若要使該連鎖酒店每天租賃客房的收入超過106600元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價應為（ ）
A．250元 B．260元 C．270元 D．280元
2．（23-24高一上·廣東江門·期中）為擺脫美國政府針對中國高科技企業的封鎖，加強自主性，某企業計劃加大對芯片研發部的投入，據了解，該企業研發部原有100名技術人員，年人均投入a萬元，現把原有技術人員分成兩部分：技術人員和研發人員，其中技術人員x名（且），調整后研發人員的年人均投入增加，技術人員的年人均投入調整為萬元．
(1)要使這名研發人員的年總投入不低于調整前100名技術人員的年總投入，求調整后的技術人員的人數最多多少人？
(2)是否存在這樣的實數m，使得技術人員在已知范圍內調整后，同時滿足以下兩個條件：①技術人員的年均投入始終不減少；②研發人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入．
一、單選題
1．（23-24高一下·云南·期中）設，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024高三·全國·專題練習）若命題“”為真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陜西·二模）若，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）命題：“使得不等式成立”是真命題，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·湖南株洲·階段練習）關于的不等式：的解集為（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知條件：“不等式的解集是空集”，則條件： “”是條件的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式的解集為R，則實數的取值范圍是（ ）
A．或 B．
C． D．
8．（22-23高一上·河北石家莊·期中）已知關于的一元二次不等式的解集為，其中，，為常數，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）與不等式不同解的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一下·廣東潮州·開學考試）對于給定的實數，關于實數的一元二次不等式的解集可能為（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
11．（2024·云南·模擬預測）已知集合，若且，則實數的取值范圍是 .
12．（23-24高一上·陜西寶雞·期中）已知函數，若不等式的解集是，則實數的值為 ．
四、解答題
13．（23-24高三下·北京·階段練習）已知關于的不等式的解集是．
(1)若，求實數的取值范圍；
(2)若，求實數的值．
14．（22-23高一上·陜西咸陽·階段練習）（1）若對于一切實數，不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．

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