資源簡介

專題09 預備知識九：函數的概念
1、學會運用集合語言表示函數，理解函數的定義及構成要素，會求解簡單函數的定義域和值域
2、掌握函數相等與判定的方法
知識點一：函數的概念
1、初中學習的函數的傳統定義
設在一個變化的過程中，有兩個變量和，如果給定了一個值，相應地就有唯一確定的一個值與之對應，那么我們就稱是的函數，其中是自變量，是因變量.它們描述的是兩個變量之間的依賴關系.
2、函數的近代定義
一般地，設，是非空的實數集，如果對于集合中的任意一個數，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．顯然，值域是集合的子集.
函數的四個特征：
①非空性：，必須為非空數集（注意不僅非空，還要是數集），定義域或值域為空集的函數是不存在的.
②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數值.
③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數值與之對應（可以多對一，不能一對多）.
④方向性：函數是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定
的關系就不一定是函數關系.
知識點二：函數的三要素
1、定義域：函數的定義域是自變量的取值范圍．
2、對應關系：對應關系是函數的核心，它是對自變量實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．
3、值域：與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域(range).
知識點三：函數相等
同一函數：只有當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同時,這兩個函數才相等,即是同一個函數.
知識點四：區間的概念
1區間的概念
設 ， 是實數，且，滿足的實數的全體，叫做閉區間，
記作，即，。如圖：， 叫做區間的端點．在數軸上表示一個區間時，若區間包括端點，則端點用實心點表示；若區間不包括端點，則端點用空心點表示．
集合
區間
2含有無窮大的表示
全體實數也可用區間表示為，符號“”讀作“正無窮大”，“”讀作“負無窮大”，即。
集合
區間
對點特訓一：函數關系的判斷
典型例題
例題1．（23-24高一上·北京·期中）若函數的定義域為，值域為，那么函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根據各選項一一判斷其定義域與值域，即可得解.
【詳解】對于A：函數的定義域為，但是值域不是，故A錯誤；
對于B：函數的定義域不是，值域為，故B錯誤；
對于C：函數的定義域為，值域為，故C正確；
對于D：不滿足函數的定義，不是一個函數的圖象，故D錯誤.
故選：C
例題2．（23-24高一上·山東青島·期中）中國清朝數學家李善蘭在1859年翻譯《代數學》中首次將“function”譯做：“函數”，沿用至今，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”.已知集合，，給出下列四個對應法則，請由函數定義判斷，其中能構成從到的函數的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根據函數的概念判斷即可.
【詳解】根據函數的定義，在集合中任意一個數在中有且只有一個與之對應，
選項A中集合中2對應的數有兩個，故錯誤；
選項B中集合中3沒有對應的數，故錯誤；
選項C中對應法則為從到的函數，箭頭應從指向，故錯誤；
選項D中集合中任意一個數在集合中都有唯一數與之對應，故D正確，
故選：D
精練
1．（23-24高一上·上海奉賢·期末）以下圖形中，不是函數圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用函數定義逐一判斷選項中自變量與函數值的對應關系即可得出結論.
【詳解】根據函數定義，對于每一個自變量都有唯一確定的函數值與之對應，
A選項中存在一個自變量對應兩個函數值，所以A不是函數圖象.
故選：A
2．（多選）（22-23高一上·陜西西安·期末）設集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數關系的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據函數的定義分別檢驗各選項即可判斷．
【詳解】對于A：由圖象可知定義域不是，不滿足；
對于B：定義域為，值域為的子集，故符合函數的定義，滿足；
對于C：集合中有的元素在集合中對應兩個值，不符合函數定義，不滿足；
對于D： 由函數定義可知D滿足．
故選：BD．
對點特訓二：集合與區間的轉化
典型例題
例題1．（23-24高一上·全國·課后作業）區間表示的集合是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據區間的定義判斷.
【詳解】區間表示的集合是.
故選：C．
例題2．（23-24高一上·河北石家莊·期中）用區間表示為 ；用區間表示為 ．
【答案】
【分析】根據區間的定義直接得到答案.
【詳解】，.
故答案為：；.
例題3．（23-24高一上·全國·課后作業）把下列數集用區間表示：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用區間的概念表示出各個集合.
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）或
精練
1．（23-24高一上·新疆阿克蘇·階段練習）下列敘述正確的是（ ）
A．用區間可表示為 B．用區間可表示為
C．用集合可表示為 D．用集合可表示為
【答案】D
【分析】根據區間的概念逐項判斷即可.
【詳解】對于A，用區間可表示為，錯誤；
對于B，用區間可表示為，錯誤；
對于C，用集合可表示為，錯誤；
對于D，用集合可表示為，正確；
故選：D
2．（23-24高一上·重慶·期中）集合用區間表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據題意，結合集合與區間的關系，準確改寫，即可求解.
【詳解】根據集合的表示方法，集合用區間表示為.
故選：D.
3．（23-24高一上·廣東江門·期中）不等式的解集用區間表達為 ．
【答案】.
【分析】根據不等式的解法，求得不等式的解集，進而得到答案.
【詳解】由不等式，解得或，即不等式的解集為.
故答案為：.
對點特訓三：同一個函數
典型例題
例題1．（23-24高二下·福建三明·階段練習）下列各組函數相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】分別求每個選項中兩個函數的定義域和對應關系，即可判斷是否為相同函數，進而可得正確選項.
【詳解】對于A中，函數的定義域為R，的定義域為，
所以定義域不同，不是相同的函數，故A錯誤；
對于B中，函數的定義域為R，的定義域為，
所以定義域不同，不是相同的函數，故B錯誤；
對于C中，函數的定義域為R，與的定義域為，
所以定義域不同，所以不是相同的函數,故C錯誤；
對于D中，函數與的定義域均為R，
可知兩個函數的定義域相同，對應關系也相同，所以是相同的函數, 故D正確；
故選：D.
例題2．（多選）（23-24高一上·浙江·期中）下列各組函數不是同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】利用相同函數的定義逐項判斷即得.
【詳解】對于A，函數的定義域為，定義域為R，是不同函數，A是；
對于B，函數的定義域都為R，對應法則相同，它們是相同函數，B不是；
對于C，的定義域都為R，又，即對應法則相同，它們是相同函數，C不是；
對于D，函數的定義域為，的定義域為，
是不同函數，D是.
故答案為：AD
精練
1．（多選）（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）下列各組函數表示同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用函數的定義判斷.
【詳解】A. ，定義域都為R，故表示同一函數；
B. ，故不是同一函數；
C. ，解析式相同，定義域都為R，故表示同一函數；
D. ，的定義域為R，的定義域為 ，故不是同一函數，
故選：AC
2．（多選）（23-24高一上·陜西寶雞·期中）下列函數與表示同一函數的是（ ）
A．， B．，
C． D．
【答案】CD
【分析】根據定義域和對應關系都相同即為相等函數逐項判斷．
【詳解】對于A ：的定義域是，的定義域是，
故，不是同一函數，故A錯誤；
對于的定義域是，的定義域是，，
故，不是同一函數，故錯誤；
對于的定義域是，的定義域是，且，
故，是同一函數，故正確；
對于的定義域是，的定義域是，且，
故，是同一函數，故正確．
故選：CD．
對點特訓四：函數求值問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·山西大同·階段練習）已知函數的對應關系如下表，函數的圖象是如圖的曲線，其中，則的值為（ ）
1 2 3
2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】根據表格中的數據及圖象可求函數值.
【詳解】，
故選：A.
例題2．（23-24高一上·山東濟寧·階段練習）已知，.
(1)求，的值；
(2)求，的值.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）將分別代入與的解析式即可得解；
（2）利用（1）中結論，將，的值分別代入與的解析式，從而得解.
【詳解】（1）因為，所以，
因為，所以.
（2）由（1）知，
.
精練
1．（23-24高一上·上海·階段練習）已知，則 ．
【答案】
【分析】對賦值，即可得到結果.
【詳解】令，故可得.
故答案為：.
2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若表示不大于的最大整數，比如，則 ．
【答案】3
【分析】根據表示不大于的最大整數求解.
【詳解】解：因為表示不大于的最大整數，
所以，
故答案為：3
對點特訓五：求函數的定義域
典型例題
例題1．（23-24高一下·廣東汕頭·期中）函數的定義域為（ ）
A．{且} B．{且}
C． D．{且}
【答案】D
【分析】根據函數解析式，列出使函數解析式有意義的不等式組，求出解集即可.
【詳解】由題意得，解得且，
即定義域為.
故選：D.
例題2．（22-23高一上·全國·期中）已知函數的定義域是，則函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】整體代入法求函數的定義域，再由有意義的條件，求定義域.
【詳解】因為函數的定義域是，由，解得，
所以函數的定義域為.
要使有意義，則，解得，
所以的定義域是.
故選：.
例題3．（23-24高一上·湖南張家界·階段練習）已知函數，則的定義域為
【答案】
【分析】根據一元二次不等式的解法，結合二次根式的性質、復合函數定義域的性質進行求解即可.
【詳解】由，
于是有，
所以函數的定義域為，
故答案為：
精練
1．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據二次根式和分式的意義建立不等式組，解之即可求解.
【詳解】由，解得且，
所以函數的定義域為.
故選：D
2．（23-24高一上·山東·期中）若函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函數定義域的概念及復合函數定義域的求解方法運算求解即可.
【詳解】∵函數的定義域為，
∴要使函數有意義，
則有，解得，
∴，即函數的定義域為.
故選：D.
3．（2024·湖北武漢·二模）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 .
【答案】
【分析】借助函數定義域的定義計算即可得.
【詳解】由函數的定義域為，則有，
令，解得.
故答案為：.
對點特訓六：函數的值域
角度1：一次、二次、反比例函數的值域
典型例題
例題1．（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數，函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二次函數的性質即可得到值域.
【詳解】，
因為，所以的值域為，即，
故選：A.
例題2．（2023高一·全國·專題練習）求下列函數的值域：
(1)，；
(2)，；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據函數的解析式求得值域.
（2）根據二次函數的性質求得值域.
【詳解】（1）由，分別代入求值，
可得函數的值域為．
（2），
由，當時，；當時，；，
再結合函數的圖像，可得函數的值域為．

精練
1．（23-24高一上·湖南長沙·期中）函數的值域為 .
【答案】
【分析】先求出分母的范圍，然后根據倒數關系即可得的值域.
【詳解】因為二次函數的值域為，
所以的定義域是，值域為.
故答案為：.
2．（23-24高一上·北京·期中）函數，的值域為 .
【答案】
【分析】根據二次函數的知識求得正確答案.
【詳解】二次函數的開口向上，對稱軸為，
所以當時，取得最小值為，
當時，取得最大值為，
所以函數的值域為.
故答案為：
角度2：根式型值域
典型例題
例題1．（2024高三·全國·專題練習）函數的值域為 ．
【答案】
【分析】可以通過換元法轉換為求二次函數在某區間上的值域即可求解.
【詳解】令，因為，所以，則，
所以原函數可化為，其對稱軸為，
所以函數在上單調遞增，所以，
所以函數的值域為.
故答案為：.
例題2．（22-23高一上·浙江·期中）函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，轉化為二次函數的值域問題求解.
【詳解】設，則
因為，
所以，即，
所以函數的值域為，
故選：D.
精練
1．（23-24高一上·安徽亳州·期中）函數的值域為
【答案】
【分析】令，將原函數轉化為關于t的二次函數，然后由二次函數的性質可得.
【詳解】令，則，
于是，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，，沒有最大值，所以函數的值域是.
故答案為：
2．（22-23高一上·湖北鄂州·期中）函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二次函數性質求值域即可.
【詳解】，
所以.
故選：A.
角度3：分式型值域
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化簡函數，結合，求得的取值范圍，即可求解.
【詳解】由題意，函數（），
令，則，可得，
故（）的值域為．
故選：A.
例題2．（23-24高一上·全國·課后作業）函數的值域是 ．
【答案】
【分析】求出函數的定義域，化簡函數并求出值域即得.
【詳解】函數有意義，則，解得且，
顯然，則，由，得，
所以函數的值域是．
故答案為：
精練
1．（23-24高一上·重慶云陽·階段練習）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分離常數后，得到函數值域.
【詳解】，
因為，所以，故值域為．
故選：D
2．（23-24高一上·江蘇南京·期中）函數的最大值為 ．
【答案】/
【分析】將采用分離常數法得到，然后當取到最小值時，函數有最大值，即得到答案.
【詳解】，因為，
所以，當時等號成立，所以．
故答案為：.
一、單選題
1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）下列各組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用同一個函數的條件是定義域相同，解析式也要相同，從而來作出判斷.
【詳解】選項A，解析式等價，定義域也相同，所以是同一個函數；
選項B，解析式化簡后相同，但定義域不同，因為分母不能取0，所以不是同一個函數；
選項C，解析式化簡后都是1，但定義域不同，因為0的0次冪沒有意義，所以不是同一個函數；
選項D，解析式不同，定義域也不同，所以不是同一個函數.
故選:A.
2．（23-24高一上·北京·期中）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函數有意義的條件求定義域.
【詳解】函數有意義，則有，
解得且，所以函數定義域為.
故選：D
3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函數的定義域，得即函數的定義域，再整體代入求函數的定義域.
【詳解】函數的定義域為，由，有，
即函數的定義域為，
令，解得，函數的定義域為.
故選：C
4．（23-24高一上·湖北咸寧·階段練習）對任意的，表示不超過x的最大整數，十八世紀，被“數學王子”高斯采用，因此得名高斯函數，人們更習慣稱之為“取整函數”，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據題目的高斯函數取整即可.
【詳解】
依題意，
故選：D
5．（23-24高一上·河南駐馬店·階段練習）函數的值域為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據反比例函數的性質求解即可.
【詳解】因為，所以，所以，
所以函數的值域為.
故選：B.
6．（23-24高一上·河南·期中）若函數的定義域為R，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據函數定義域可知對任意恒成立求解即可.
【詳解】若函數的定義域為R，
則對任意恒成立．
當時，不等式化為，恒成立；
當時，需，解得．
綜上所述，實數a的取值范圍是．
故選：B．
7．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習）已知函數的定義域為R，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】根據分式函數中分母不為0得，恒成立，分類討論，時符合題意，時利用判別式法列不等式求解即可.
【詳解】由函數的定義域為R，得，恒成立.
當時，恒成立；
當時，，解得.
綜上所述，實數a的取值范圍為.
故選：C.
8．（19-20高一上·安徽蕪湖·階段練習）在實數集中定義一種運算“”，具有下列性質：
①對任意a，，；
②對任意，；
③對任意a，，．
則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】注意新定義的運算方式即可.
【詳解】在③中，令，則，所以．
函數在時取最小值，最小值為；在時取最大值，最大值為5，所以函數的值域是．
故選：B．
二、多選題
9．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習）下列各組函數是同一個函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】BC
【分析】依次判斷四個選項中的兩個函數的定義域和對應法則是否均相同即可得解．
【詳解】函數與，，，對應法則不同，不是同一個函數，A不是；
函數與的定義域相同，對應法則也相同，所以是同一個函數，B是；
函數與的定義域相同，都是，
化簡函數解析式得與，對應法則也相同，所以是同一個函數，C是；
函數與，，，對應法則不同，不是同一個函數，D不是.
故選：BC
三、填空題
10．（23-24高一上·寧夏石嘴山·期中）函數的值域為
【答案】
【分析】根據題意，由二次函數的單調性，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，且，則當時，，當時，，則函數值域為.
故答案為：
四、解答題
11．（23-24高三上·天津河西·期中）已知函數.
(1)當時，求的值域；
(2)若的定義域為，求實數的值；
(3)若的定義域為，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)2
(3).
【分析】（1）配方求解值域；
（2）得到-2和1是方程的兩個根，由韋達定理求解；
（3）考慮，和時，結合開口方向和根的判別式得到不等式，求出實數的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
所以的值域為.
（2）因為的定義域為，
所以-2和1是方程的兩個根，
故，解得，檢驗符合，故,.
（3）當時，，定義域為，符合題意；
當時，，定義域不為，不符合題意；
當時，由題意，在上恒成立，
令，解得，
綜上所述，實數的取值范圍.
12．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）完成下列各小題:
(1)若正數，滿足，求的最小值.
(2)已知，求的最小值.
(3)已知定義在的函數，求函數的值域
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用表示得，再利用基本不等式即可；
（2）利用換元法和基本不等式即可；
（3）利用基本不等式即可.
【詳解】（1）由題得，正數，滿足，
因為，所以，
所以；
當且僅當，得，即時，等號成立；
所以的最小值為.
（2）因為，所以，令，所以，
所以，
當且僅當，即時，等號成立；
所以時，的最小值為.
（3）因為,所以
所以
因此
當且僅當時,取等號,即時取等號，
因為，所以
所以，即
所以函數的值域為專題09 預備知識九：函數的概念
1、學會運用集合語言表示函數，理解函數的定義及構成要素，會求解簡單函數的定義域和值域
2、掌握函數相等與判定的方法
知識點一：函數的概念
1、初中學習的函數的傳統定義
設在一個變化的過程中，有兩個變量和，如果給定了一個值，相應地就有唯一確定的一個值與之對應，那么我們就稱是的函數，其中是自變量，是因變量.它們描述的是兩個變量之間的依賴關系.
2、函數的近代定義
一般地，設，是非空的實數集，如果對于集合中的任意一個數，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數(function)，記作，.其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．顯然，值域是集合的子集.
函數的四個特征：
①非空性：，必須為非空數集（注意不僅非空，還要是數集），定義域或值域為空集的函數是不存在的.
②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數值.
③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數值與之對應（可以多對一，不能一對多）.
④方向性：函數是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定
的關系就不一定是函數關系.
知識點二：函數的三要素
1、定義域：函數的定義域是自變量的取值范圍．
2、對應關系：對應關系是函數的核心，它是對自變量實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．
3、值域：與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域(range).
知識點三：函數相等
同一函數：只有當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同時,這兩個函數才相等,即是同一個函數.
知識點四：區間的概念
1區間的概念
設 ， 是實數，且，滿足的實數的全體，叫做閉區間，
記作，即，。如圖：， 叫做區間的端點．在數軸上表示一個區間時，若區間包括端點，則端點用實心點表示；若區間不包括端點，則端點用空心點表示．
集合
區間
2含有無窮大的表示
全體實數也可用區間表示為，符號“”讀作“正無窮大”，“”讀作“負無窮大”，即。
集合
區間
對點特訓一：函數關系的判斷
典型例題
例題1．（23-24高一上·北京·期中）若函數的定義域為，值域為，那么函數的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（23-24高一上·山東青島·期中）中國清朝數學家李善蘭在1859年翻譯《代數學》中首次將“function”譯做：“函數”，沿用至今，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”.已知集合，，給出下列四個對應法則，請由函數定義判斷，其中能構成從到的函數的是（ ）
A．B．C． D．
精練
1．（23-24高一上·上海奉賢·期末）以下圖形中，不是函數圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（22-23高一上·陜西西安·期末）設集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數關系的有（　　）
A． B．
C． D．
對點特訓二：集合與區間的轉化
典型例題
例題1．（23-24高一上·全國·課后作業）區間表示的集合是（ ）
A．或 B．
C． D．
例題2．（23-24高一上·河北石家莊·期中）用區間表示為 ；用區間表示為 ．
例題3．（23-24高一上·全國·課后作業）把下列數集用區間表示：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)或.
精練
1．（23-24高一上·新疆阿克蘇·階段練習）下列敘述正確的是（ ）
A．用區間可表示為 B．用區間可表示為
C．用集合可表示為 D．用集合可表示為
2．（23-24高一上·重慶·期中）集合用區間表示為（　　）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·廣東江門·期中）不等式的解集用區間表達為 ．
對點特訓三：同一個函數
典型例題
例題1．（23-24高二下·福建三明·階段練習）下列各組函數相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例題2．（多選）（23-24高一上·浙江·期中）下列各組函數不是同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
精練
1．（多選）（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）下列各組函數表示同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（23-24高一上·陜西寶雞·期中）下列函數與表示同一函數的是（ ）
A．， B．，
C． D．
對點特訓四：函數求值問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·山西大同·階段練習）已知函數的對應關系如下表，函數的圖象是如圖的曲線，其中，則的值為（ ）
1 2 3
2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
例題2．（23-24高一上·山東濟寧·階段練習）已知，.
(1)求，的值；
(2)求，的值.
精練
1．（23-24高一上·上海·階段練習）已知，則 ．
2．（23-24高一上·上海虹口·期末）若表示不大于的最大整數，比如，則 ．
對點特訓五：求函數的定義域
典型例題
例題1．（23-24高一下·廣東汕頭·期中）函數的定義域為（ ）
A．{且} B．{且}
C． D．{且}
例題2．（22-23高一上·全國·期中）已知函數的定義域是，則函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（23-24高一上·湖南張家界·階段練習）已知函數，則的定義域為
精練
1．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·山東·期中）若函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北武漢·二模）已知函數的定義域為，則函數的定義域為 .
對點特訓六：函數的值域
角度1：一次、二次、反比例函數的值域
典型例題
例題1．（23-24高一上·福建廈門·期中）已知函數，函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023高一·全國·專題練習）求下列函數的值域：
(1)，；
(2)，；

精練
1．（23-24高一上·湖南長沙·期中）函數的值域為 .
2．（23-24高一上·北京·期中）函數，的值域為 .
角度2：根式型值域
典型例題
例題1．（2024高三·全國·專題練習）函數的值域為 ．
例題2．（22-23高一上·浙江·期中）函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
精練
1．（23-24高一上·安徽亳州·期中）函數的值域為
2．（22-23高一上·湖北鄂州·期中）函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
角度3：分式型值域
典型例題
例題1．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一上·全國·課后作業）函數的值域是 ．
精練
1．（23-24高一上·重慶云陽·階段練習）函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江蘇南京·期中）函數的最大值為 ．
一、單選題
1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）下列各組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·北京·期中）函數的定義域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函數的定義域為，則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·湖北咸寧·階段練習）對任意的，表示不超過x的最大整數，十八世紀，被“數學王子”高斯采用，因此得名高斯函數，人們更習慣稱之為“取整函數”，則（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·河南駐馬店·階段練習）函數的值域為（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高一上·河南·期中）若函數的定義域為R，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高三上·陜西漢中·階段練習）已知函數的定義域為R，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B．或
C． D．或
8．（19-20高一上·安徽蕪湖·階段練習）在實數集中定義一種運算“”，具有下列性質：
①對任意a，，；
②對任意，；
③對任意a，，．
則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高一上·福建龍巖·階段練習）下列各組函數是同一個函數的是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
三、填空題
10．（23-24高一上·寧夏石嘴山·期中）函數的值域為
四、解答題
11．（23-24高三上·天津河西·期中）已知函數.
(1)當時，求的值域；
(2)若的定義域為，求實數的值；
(3)若的定義域為，求實數的取值范圍.
12．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）完成下列各小題:
(1)若正數，滿足，求的最小值.
(2)已知，求的最小值.
(3)已知定義在的函數，求函數的值域

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