資源簡介

專題11 預備知識十一：函數的單調性與最大（小）值
1、通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合的思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力
2、會用定義證明簡單函數的單調性，提高學生的推理論證能力，發展學生的數學運算素養
3、在經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程中，讓學生體會從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程
知識點一：函數的單調性
1、增函數與減函數
1.1增函數
一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，
那么就稱函數在區間上單調遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）
特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是增函數(increasing function).
1.2減函數
一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，
那么就稱函數在區間上是單調遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）
特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是減函數(decreasing function).
2、函數的單調性與單調區間
如果函數在區間上單調遞增或單調遞減，那么就說函數在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間叫做的單調區間．
3、常見函數的單調性
函數 單調性
一次函數（） 當時，在上單調遞增
當時，在上單調遞減
反比例函數（） 當時，在和上單調遞減
當時，在和上單調遞增
二次函數（） 對稱軸為 當時，在上單調遞減； 在上單調遞增
當時，在上單調遞增； 在上單調遞減
知識點二：函數單調性的判斷與證明
1、定義法：一般用于證明，設函數，證明的單調區間為
①取值：任取，，且；
②作差：計算；
③變形：對進行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數；
④定號：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數；
⑤下結論：指出函數在給定區間上的單調性
2、圖象法
一般通過已知條件作出函數的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數的單調性.
3、性質法
（1）函數在給定區間上的單調性與在給定區間上的單調性相反；
（2）函數在給定區間上的單調性與的單調性相同；
（3）和的公共定義區間，有如下結論；
增 增 增 不確定
增 減 不確定 增
減 減 減 不確定
減 增 不確定 減
知識點三：函數的最大（小）值
1、最大值：對于函數，其定義域為，如果存在實數滿足：
①，都有
②，使得
那么稱是函數的最大值；
2、最小值：對于函數，其定義域為，如果存在實數滿足：
①，都有
②，使得
那么稱是函數的最小值
對點特訓一：利用定義法判斷或證明函數的單調性
典型例題
例題1．（23-24高二下·福建三明·階段練習）已知函數，．
(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)在上單調遞減；證明見解析
(2)
【分析】（1）根據條件，利用單調性的定義即可證明結果；
（2）利用（1）中結果，即可建立不等式組，即可求出結果.
【詳解】（1）在上單調遞減，證明如下：
任取，
則，
因為，所以，，，
所以，即，
故在上單調遞減.
（2）在上單調遞減，
所以，可得，解得，
故實數m的取值范圍是．
例題2．（2024高一·全國·專題練習）已知函數的定義域為，判斷在上的單調性，并用定義證明；
【答案】在上單調遞增，證明見解析
【分析】判斷函數的單調性，利用函數單調性的定義即可證明.
【詳解】
在上單調遞增，證明如下：設，
；
因為，，，，所以，
所以是在上單調遞增.
精練
1．（23-24高一上·新疆克孜勒蘇·期末）已知函數，且．
(1)求函數的解析式；
(2)用定義證明函數在上是增函數.
【答案】(1)；
(2)證明見解析
【分析】（1）代入，即可求解函數的解析式；
（2）利用函數單調性的定義，設，再作差，分解因式，判斷正負，即可證明函數的單調性.
【詳解】（1），；
（2）設，
，
，即
則函數在上是增函數
2．（23-24高一上·甘肅白銀·期中）函數.
(1)判斷函數在上的單調性，并加以證明.
【答案】(1)函數在上單調遞減，證明見解析
【分析】（1）判斷函數的單調性，利用函數單調性的定義即可證明；
【詳解】（1）函數在上單調遞減，證明如下：
函數，任取，設，
則，
因為，，則，
故，即，
故函數在上單調遞減；
對點特訓二：求函數的單調區間
典型例題
例題1．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．和
【答案】D
【分析】先求出定義域，然后由反比例函數的性質可得答案
【詳解】的定義域為，
由反比例函數的性質可知的單調遞增區間為和，
故選：D
例題2．（23-24高一上·天津和平·期中）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．，
【答案】D
【分析】由對勾函數的單調性求解即可.
【詳解】函數為對勾函數，
由對勾函數的性質知，函數的單調遞減區間為：，.
不能選C，因為不滿足減函數的定義.
故選：D.
例題3．（2024高一上·全國·專題練習）函數的單調增區間是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分離常數，然后根據圖像平移得到函數圖像，繼而求出單調增區間.
【詳解】
的圖象是由的圖象沿軸向右平移個單位，然后沿軸向下平移個單位得到， 如下圖
的單調增區間是．
故選：C.
精練
1．（2024高三·全國·專題練習）函數y＝的單調遞減區間為（　　）
A．（－∞，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，0）∪（0，＋∞）
D．（－∞，0），（0，＋∞）
【答案】D
【解析】略
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函數，的單調減區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函數的對稱軸，即可判斷函數的單調性.
【詳解】解：函數對稱軸為，開口向上，
所以函數，的單調減區間為.
故選：D
3．（23-24高一上·天津南開·期中）函數單調減區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根據二次函數的性質即可得出答案.
【詳解】因為函數的圖象是開口向上，且以直線為對稱軸的拋物線，
故函數的單調遞減區間是.
故選：C．
對點特訓三：利用函數的單調性解不等式
典型例題
例題1．（2024·湖北武漢·二模）已知函數，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】消去絕對值可得函數的單調性，利用函數單調性解不等式即可得.
【詳解】由，故在上單調遞增，
由，有，即.
故選：A.
例題2．（23-24高一上·山西大同·階段練習）已知是定義在R上的增函數，且，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由函數的單調性，將抽象不等式化成一元二次不等式，結合二次函數的圖象即得.
【詳解】因是定義在R上的增函數，故由可得
，即，解得.
故答案為：.
例題3．（23-24高二上·福建福州·階段練習）已知函數，．
(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)在上單調遞增；證明見解析
(2)
【分析】（1）利用定義法證明函數的單調性即可；
（2）結合函數的單調性將函數不等式轉化為自變量的不等式，解得即可.
【詳解】（1）在上單調遞增，證明如下：
因為，，
任取，可知，
因為，所以，，，
所以，即，
故在上單調遞增；
（2）由（1）知在上單調遞增，
所以，可得，解得
故實數的范圍是．
精練
1．（2024高三·全國·專題練習）已知f（x）在定義域R上是增函數．若f（a2－2）＞f（a），則實數a的取值范圍是
【答案】（－∞，－1）∪（2，＋∞）
【解析】略
2．（23-24高一上·青海西寧·期末）若函數在上是減函數，且，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據題意，轉化為不等式，即可求解.
【詳解】由函數在上是減函數，因為，可得，解得，所以實數的取值范圍是.
故答案為：.
3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函數．
(1)判斷函數在上的單調性，并證明；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)函數在上單調遞增，證明見解析
(2)
【分析】（1）利用定義法即可證明函數在上單調遞增；
（2）由（1），根據可得，解之即可求解.
【詳解】（1）函數在上單調遞增.
證明：設，
則，
由，得，
所以，即，
所以函數在上單調遞增；
（2）由（1）知函數在上單調遞增，
又，
則，解得，
即實數a的取值范圍為.
對點特訓四：利用函數的單調性求參數
典型例題
例題1．（23-24高一上·北京·期中）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】將函數寫成分段函數，即可得到函數的單調區間，依題意可得，解得即可.
【詳解】因為，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
又函數在上單調遞減，所以，解得，
即實數的取值范圍是.
故答案為：
例題2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）設，若在R上單調，則m的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】作出函數，的圖象，根據一次函數和二次函數的單調性結合圖象即可得出答案.
【詳解】在同一平面直角坐標系中，作出函數，的圖象如圖，
當時，或1，
由圖象可知，當時，函數在上單調遞增.
故答案為：.
例題3．（23-24高一上·河北·階段練習）若函數在上為減函數，則實數的取值范圍 .
【答案】
【分析】分段函數在R上遞減，需要滿足在每一段上均單調遞減，且分段處，左端點函數值大于等于右端點函數值.
【詳解】由題意得，解得，
故實數的取值范圍為.
故答案為：
精練
1．（23-24高一上·陜西西安·期末）若函數在區間上是增函數，則a的取值范圍 .
【答案】
【分析】利用二次函數單調性列出不等式，求解不等式即得.
【詳解】函數圖象開口向上，對稱軸為，
由函數在區間上單調遞增，得，解得，
所以a的取值范圍是
故答案為：
2．（23-24高一上·湖南長沙·階段練習）已知函數，若在R上是增函數，則實數a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用分段函數的單調性，列出不等式組并求解即得.
【詳解】由函數在R上是增函數，得，解得，
所以實數a的取值范圍是.
故答案為：
3．（23-24高一上·安徽阜陽·期中）已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】分段函數單調遞增，在各段區間單調遞增，且由區間端點處滿足的大小關系列不等式組求解即可.
【詳解】函數在R上單調遞增，
所以，解得，
所以a的取值范圍是，
故答案為：.
對點特訓五：求函數最值（值域）
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習）定義為中的最小值，設，則的最大值是 ．
【答案】2
【分析】
作出函數的圖象，根據圖象即可求解.
【詳解】將三個解析式的圖像作在同一坐標系下，則為三段函數圖像中靠下的部分，
從而通過數形結合可得的最大值點為與在第一象限的交點，
即，
所以．
故答案為：2.
例題2．（2024·山西運城·模擬預測）已知函數，若的最小值為，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】分別討論和時，結合基本不等式和二次函數的單調性可得的最小值，解不等式可得所求范圍.
【詳解】函數，可得時，，當且僅當時，取得最小值，
由時，，
若時，在遞減，可得，
由于的最小值為，所以，解得；
若時，在處取得最小值與題意矛盾，故舍去；
綜上得實數a的取值范圍是，
故答案為：.
【點睛】本題主要考查分段函數的最值求法，考查二次函數的單調性和運用，以及不等式的解法，屬于中檔題.
精練
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，設，則函數的最大值是 ．
【答案】1
【分析】分兩種情況，求出分段函數在各自區間上的取值范圍或最大值，最終求出結果.
【詳解】令，解得；令，解得或；
所以，
當時，在上單調遞增，則；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
且，，所以；
綜上所述：函數的最大值為1.
故答案為：1.
2．（23-24高一上·廣東汕頭·期末）若函數的值域為，則的取值范圍是
【答案】
【分析】根據分段函數的單調性確定時的的范圍，再根據函數的值域為列不等式即可求得的取值范圍.
【詳解】當時，，則函數在上遞減，在上遞增，
所以，則此時；
當時，，要使得的值域為，則，解得，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
對點特訓六：二次函數（含參數）最值問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·北京東城·期中）函數函數的單調減區間是 ，在區間的最大值是 ．
【答案】 4
【分析】由二次函數的對稱軸及開口方向得單調性，由單調性可得最值．
【詳解】由題意，它的圖象是開口向下的拋物線，
對稱軸是直線，因此減區間是，
在區間上，時，遞增，時，遞減，因此，
故答案為：；4.
例題2．（23-24高一上·河南南陽·階段練習）函數的最小值是 .
【答案】
【分析】根據二次函數的性質求得正確答案.
【詳解】函數的開口向上，對稱軸為，
所以當時取得最小值.
故答案為：
例題3．（23-24高一上·北京房山·期中）函數在上的最大值等于 ．
【答案】8
【分析】先求出二次函數對稱軸，再結合定義域與二次函數增減性即可求出函數最值.
【詳解】，函數對稱軸為，開口向下，故在單減，.
故答案為：8
精練
1．（23-24高一上·四川達州·期中）函數在上的最小值為 .
【答案】
【分析】二次函數在某區間的最值，結合圖像的開口方向，對稱軸，離對稱軸的遠近可得.
【詳解】函數,其圖像開口向下，對稱軸為，
，離對稱軸較遠，則
故答案為：
2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函數，求的最小值 .
【答案】5
【分析】二次函數的對稱軸為，可得二次函數在區間上的增減性，從而求得的最小值.
【詳解】因為，所以二次函數的對稱軸為，而，所以二次函數在區間上隨的增大而減小，所以當時，.
故答案為：5
3．（23-24高一上·吉林白城·期末）函數，的值域是 .
【答案】
【分析】由二次函數的性質即可得出答案.
【詳解】因為，
∴函數的最小值是2，又，，
∴函數的值域是.
故答案為：.
對點特訓七：根據最值（值域）求參數
典型例題
例題1．（23-24高一上·北京·期中）若函數的值域為，則實數的取值范圍為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函數在上的值域，由已知可得函數在上的值域包含，再列出不等式求解即得.
【詳解】當時，函數在上單調遞減，在上的值域為，
因為函數在R上的值域為，則函數在上的值域包含，
顯然，否則當時，，不符合題意，
于是函數在上單調遞減，其值域為，因此，則，
所以實數的取值范圍為.
故選：D
例題2．（23-24高一上·遼寧·期中）已知函數的值域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據復合函數的性質，由題意，可得內函數的值域，分類討論，結合二次函數的性質，可得答案.
【詳解】由題意，令，則為其值域的一個子集，
當時，，令，解得，故當時，；
當時，，該函數為開口向下的二次函數，則必定存在最大值，故不符合題意；
當時，，該函數為開口向上的二次函數，令，則，整理可得，即，解得或，此時符合題意.
綜上，可得.
故選：D.
例題3．（23-24高一上·山西大同·階段練習）若函數的定義域和值域都為，則的值是 ．
【答案】
【分析】根據為一次函數列式計算即可.
【詳解】由題意知為一次函數，則
所以.
故答案為：.
例題4．（2024高一·江蘇·專題練習）函數的定義域為，值域為，則
【答案】
【分析】根據函數值域，結合二次函數的性質進行求解即可.
【詳解】當時，顯然不符合題意，
當時，因為該函數的定義域為全體實數，值域為，
所以，解得，
故答案為：．
精練
1．（23-24高一上·北京·期中）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】討論，，三種情況，列式求的取值范圍.
【詳解】當時，，函數的值域是，滿足條件，
當時，，解得：，
當，不滿足條件，
綜上可知，.
故選：A
2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函數的最小值為8.則實數的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】將原函數分離常數，由題意，結合反比例函數的性質建立方程，解之即可.
【詳解】由，
而函數在上單調遞減，所以函數在上單調遞減，
又其在上的最小值為8，
所以，解得.
故選：C.
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函數的值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據分段函數的值域為，結合分段函數性質，列出相應的不等式組，即可求得答案.
【詳解】由題意知當時，，
故要使函數的值域為，
需滿足，解得，
故的取值范圍是，
故選：D
4．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函數的值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據函數的值域求得的正確答案.
【詳解】當時，；
當時，，
要使的值域為，則需，
解得，所以的取值范圍是.
故選：A
對點特訓八：恒成立（能）成立問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）若存在，使不等式成立，則實數的最大值為（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】C
【分析】設，由題意可得，求出二次函數最值即可求解.
【詳解】設，開口向上，對稱軸為直線，
若存在，使不等式成立，則只要即可，
函數在上單調遞減，所以，所以，
所以實數的最大值為0.
故選：C
例題2．（23-24高一下·云南·階段練習）設函數，其中.
(1)若命題“”為假命題，求實數的取值范圍；
(2)若函數在區間內恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，轉化為命題“”為真命題，結合，即可求解；.
（2）根據題意，轉化為在區間內恒成立，利用基本不等式求得的最小值為，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：因為函數，
由命題“”為假命題，即命題“”為真命題，
根據二次函數的性質，可得，解得或，
所以實數的取值范圍為.
（2）解：由函數，可得，
因為函數在區間內恒成立，
即在區間內恒成立，
又因為，當且僅當時，即時，等號成立，
所以的最小值為，
所以，解得，
所以實數的取值范圍為.
例題3．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函數的最小值為，且．
(1)求的解析式；
(2)當時，恒成立，試確定實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，設，根據，求得，即可得到函數的解析式；
（2）依題意可得不等式在區間上恒成立，令，結合二次函數的性質，即可求解.
【詳解】（1）由題意，函數是二次函數，且，可得函數的對稱軸為，
又由最小值為，可設，
又，即，解得，
所以函數的解析式為.
（2）因為當時，恒成立，
即當時，恒成立，
即當時，恒成立，
設函數，，
則在區間上單調遞減，
∴在區間上的最小值為，
∴，
故實數的取值范圍為：.
例題4．（23-24高一上·重慶永川·期中）已知函數.
(1)解不等式；
(2)若對任意的，總存在，使得成立，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）討論的取值范圍確定不等式的解集；
（2）將問題轉化為兩個函數值域的包含關系問題求解.
【詳解】（1），所以，令，
若，解得，
當時，，不等式的解集為，
當或時，，此時方程有兩根，，且，
此時不等式的解集為，
綜上：當時，不等式的解集為；
當或時，
（2）記函數，的值域為集合A，
，的值域為集合B；
則對任意的，總存在，使得成立；
因為的圖象開口向上，對稱軸為，所以當，
，得；
當時，的值域為，顯然不滿足題意；
當時，的值域為，因為，
所以，解得；
當時，的值域為，因為，
所以，解得；
綜上：實數a的取值范圍為.
精練
1．（2024·陜西西安·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 ．
【答案】.
【分析】根據題意分離參數，進而構造函數求定區間的最值即可.
【詳解】當時，不等式恒成立，
所以當時，恒成立，則，
令，則在單調遞增，
所以，所以.
故答案為：.
2．（23-24高一下·湖南岳陽·開學考試）設函數，其中.
(1)若，求函數在區間上的值域；
(2)若，且對任意的，都有，求實數的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據二次函數的對稱性即可求解；
（2）將問題轉化為，再利用二次函數的性質得在上的最大值為或，從而得解；
【詳解】（1）當時，則，，
由二次函數的對稱性知：當時，的最小值為1；
當時，的最大值為10；
所以在區間值域的為.
（2）“對任意的，都有”等價于“在區間上”.
由（1）知時，，
由二次函數的性質知函數的圖象開口向上，
所以在上的最大值為或，
則，即，解得，
故實數的取值范圍為區間.
3．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數.
(1)求；
(2)當時，試運用函數單調性的定義判定的單調性；
(3)設，若在時有解，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)當時，在上是單調遞增函數
(3)或
【分析】（1）直接代入求解即可.
（2）利用單調性定義法證明即可.
（3）根據與時的單調性，求解不等式在定區間上有解問題即可.
【詳解】（1）因為，
所以.
（2）當時，設，則，
，
顯然，，
當有一個值為0時，因為，所以有；
當時，因為，所以有；
當時，，所以有；
當時，，所以有；
綜上，當時，必有，
當時，在上是單調遞增函數；
（3）由上知當時，在上是單調遞增函數；
同理可證明：當時，在上是單調遞減函數；
令，所以，可得，在時有解，等價于在時有解，
當時，由的單調性知，令，得；
當時，由的單調性知，令，得；
當時，無解；
綜上，的取值范圍這或.
4．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知函數．
(1)若方程的兩根分別是，滿足，求實數的值；
(2)若對，都存在，使得對任意恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韋達定理代入計算即可；
（2）將問題轉化為對任意恒成立，求出得到關于的恒成立問題，繼續轉化為最值求解即可.
【詳解】（1）若方程的兩根分別是，得，得
又由韋達定理得，
因為
所以
所以，
解得；
（2）若對，都存在，使得對任意恒成立，
則對任意恒成立，
對于，，，
對稱軸，
則，
對于，，
又，當且僅當時等號成立，
所以，
所以在時恒成立，
所以
又，當取最小值，且最小值為
所以，
解得.
一、單選題
1．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數在上不單調，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用二次函數的單調性列出不等式求解即得.
【詳解】函數的圖象對稱軸為，依題意，，得，
所以的取值范圍為.
故選：C
2．（23-24高一上·北京·期中）函數 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據函數單調性求出值域.
【詳解】，
因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，
故在上的值域為.
故選：D
3．（23-24高一上·廣東潮州·期中）下列函數在區間上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函數解析式，逐項判斷在上的單調性即可.
【詳解】函數，，在上都單調遞增，ABC不是；
當時，，因此函數在上單調遞減，D是.
故選：D
4．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）函數在上是單調函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據二次函數的單調性判斷.
【詳解】因為函數開口向上，對稱軸為，
所以函數在上單調遞減，
，解得，所以的取值范圍是.
故選：A.
5．（2024高一·全國·專題練習）若函數在單調遞增，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由函數單調遞增得，解一元二次不等式即可得解.
【詳解】
因為函數在單調遞增，且，
所以，即，解得.
故選：D.
6．（23-24高一上·北京·期中）已知函數，，若有最小值，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析函數在上的單調性，根據函數的最小值求出的值，進而可得出函數的最大值.
【詳解】因為函數在上單調遞增，
則，則，故.
故選：A.
7．（23-24高一上·云南·期末）已知函數是上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據分段函數的單調性的判定方法，結合二次函數與反比例函數的性質，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數是上的減函數，
則滿足，解得，所以a的取值范圍為.
故選：D．
8．（23-24高二上·甘肅隴南·期末）已知函數，且不等式對任意恒成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意得到對任意恒成立，根據開口方向和對稱軸，得到，求出答案.
【詳解】由不等式對任意恒成立，
即對任意恒成立，
∵，對稱軸，
∴只需即可，
可得．
即，
解得，
又，所以，
故選：D．
二、多選題
9．（23-24高一上·四川內江·期中）下列函數中，滿足“，都有”的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】結合單調性的定義，由題意可得函數在區間上單調遞減，結合常見函數單調性即可判斷求解.
【詳解】，都有，
知是在上單調遞減的函數，
對于A，在R上是增函數，不合題意；
對于B，在R上是減函數，符合題意；
對于C，為二次函數，其開口向下且對稱軸為，
所以在上單調遞減，符合題意；
對于D，由反比例函數的單調性可得是上的增函數，不合題意.
故選：BC
三、填空題
10．（23-24高一上·浙江·期中）已知是減函數，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，利用一次函數、二次函數的單調性，結合分段函數是減函數，列出不等式組求解即可.
【詳解】由函數是減函數，得，解得，
所以實數a的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題
11．（23-24高一上·北京·期中）函數，其中．
(1)當時，求不等式的解集；
(2)當時，f（x）的最小值為0，求a的值．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）直接解一元二次不等式；
（2）先求出對稱軸，然后分，和三種情況求其最小值即可.
【詳解】（1）當時， 不等式，
即，解得或，
所以不等式的解集為或；
（2）易知的對稱軸為，
①當時，函數在上單調遞增，
則，得，符合題意；
②當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
則，
解得或（舍）；
③當時，函數在上單調遞減，
則，解得，不符合題意，
綜上所述，的值為或.
12．（23-24高一上·浙江·期中）已知二次函數．
(1)若的解集為，解關于x的不等式；
(2)若，對于，不等式恒成立，求實數c的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用給定的解集用表示，再代入所解不等式并求解即得.
（2）利用給定的恒等式求出，再對不等式分離參數，構造函數并利用單調性求出最小值即得.
【詳解】（1）由的解集為，得是方程的兩個實根，且，
則，解得，，
不等式化為：，整理得，
解得，所以所求不等式的解集是.
（2）由，得，
整理得，則，解得，即，
不等式，
依題意，，，
令，
顯然函數在上都遞增，則函數在上遞增，
當時，，因此，
所以實數c的取值范圍是.專題11 預備知識十一：函數的單調性與最大（小）值
1、通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合的思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力
2、會用定義證明簡單函數的單調性，提高學生的推理論證能力，發展學生的數學運算素養
3、在經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程中，讓學生體會從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程
知識點一：函數的單調性
1、增函數與減函數
1.1增函數
一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，
那么就稱函數在區間上單調遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）
特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是增函數(increasing function).
1.2減函數
一般地，設函數的定義域為，區間，如果，當時，都有，
那么就稱函數在區間上是單調遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）
特別地，當函數在它的定義域上單調遞增時，稱它是減函數(decreasing function).
2、函數的單調性與單調區間
如果函數在區間上單調遞增或單調遞減，那么就說函數在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間叫做的單調區間．
3、常見函數的單調性
函數 單調性
一次函數（） 當時，在上單調遞增
當時，在上單調遞減
反比例函數（） 當時，在和上單調遞減
當時，在和上單調遞增
二次函數（） 對稱軸為 當時，在上單調遞減； 在上單調遞增
當時，在上單調遞增； 在上單調遞減
知識點二：函數單調性的判斷與證明
1、定義法：一般用于證明，設函數，證明的單調區間為
①取值：任取，，且；
②作差：計算；
③變形：對進行有利于符號判斷的變形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需討論參數；
④定號：通過變形，判斷或（），如有必要需討論參數；
⑤下結論：指出函數在給定區間上的單調性
2、圖象法
一般通過已知條件作出函數的圖象（或者草圖），利用圖象判斷函數的單調性.
3、性質法
（1）函數在給定區間上的單調性與在給定區間上的單調性相反；
（2）函數在給定區間上的單調性與的單調性相同；
（3）和的公共定義區間，有如下結論；
增 增 增 不確定
增 減 不確定 增
減 減 減 不確定
減 增 不確定 減
知識點三：函數的最大（小）值
1、最大值：對于函數，其定義域為，如果存在實數滿足：
①，都有
②，使得
那么稱是函數的最大值；
2、最小值：對于函數，其定義域為，如果存在實數滿足：
①，都有
②，使得
那么稱是函數的最小值
對點特訓一：利用定義法判斷或證明函數的單調性
典型例題
例題1．（23-24高二下·福建三明·階段練習）已知函數，．
(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；
(2)若，求實數的取值范圍．
例題2．（2024高一·全國·專題練習）已知函數的定義域為，判斷在上的單調性，并用定義證明；
精練
1．（23-24高一上·新疆克孜勒蘇·期末）已知函數，且．
(1)求函數的解析式；
(2)用定義證明函數在上是增函數.
2．（23-24高一上·甘肅白銀·期中）函數.
(1)判斷函數在上的單調性，并加以證明.
對點特訓二：求函數的單調區間
典型例題
例題1．（23-24高一上·四川攀枝花·階段練習）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．和
例題2．（23-24高一上·天津和平·期中）函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．，
例題3．（2024高一上·全國·專題練習）函數的單調增區間是（　　）
A． B．
C． D．
精練
1．（2024高三·全國·專題練習）函數y＝的單調遞減區間為（　　）
A．（－∞，＋∞）
B．（0，＋∞）
C．（－∞，0）∪（0，＋∞）
D．（－∞，0），（0，＋∞）
2．（23-24高一上·新疆喀什·期末）函數，的單調減區間為（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·天津南開·期中）函數單調減區間是（ ）
A． B． C． D．
對點特訓三：利用函數的單調性解不等式
典型例題
例題1．（2024·湖北武漢·二模）已知函數，則關于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一上·山西大同·階段練習）已知是定義在R上的增函數，且，則的取值范圍是 ．
例題3．（23-24高二上·福建福州·階段練習）已知函數，．
(1)判斷函數的單調性，并利用定義證明；
(2)若，求實數的取值范圍．
精練
1．（2024高三·全國·專題練習）已知f（x）在定義域R上是增函數．若f（a2－2）＞f（a），則實數a的取值范圍是
2．（23-24高一上·青海西寧·期末）若函數在上是減函數，且，則實數的取值范圍是 .
3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知函數．
(1)判斷函數在上的單調性，并證明；
(2)若，求的取值范圍．
對點特訓四：利用函數的單調性求參數
典型例題
例題1．（23-24高一上·北京·期中）已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是 ．
例題2．（23-24高一上·湖南株洲·期中）設，若在R上單調，則m的取值范圍為 ．
例題3．（23-24高一上·河北·階段練習）若函數在上為減函數，則實數的取值范圍 .
精練
1．（23-24高一上·陜西西安·期末）若函數在區間上是增函數，則a的取值范圍 .
2．（23-24高一上·湖南長沙·階段練習）已知函數，若在R上是增函數，則實數a的取值范圍是 .
3．（23-24高一上·安徽阜陽·期中）已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是 ．
對點特訓五：求函數最值（值域）
典型例題
例題1．（2024高一上·全國·專題練習）定義為中的最小值，設，則的最大值是 ．
例題2．（2024·山西運城·模擬預測）已知函數，若的最小值為，則實數的取值范圍是 .
精練
1．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知，設，則函數的最大值是 ．
2．（23-24高一上·廣東汕頭·期末）若函數的值域為，則的取值范圍是
對點特訓六：二次函數（含參數）最值問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·北京東城·期中）函數函數的單調減區間是 ，在區間的最大值是 ．
例題2．（23-24高一上·河南南陽·階段練習）函數的最小值是 .
例題3．（23-24高一上·北京房山·期中）函數在上的最大值等于 ．
精練
1．（23-24高一上·四川達州·期中）函數在上的最小值為 .
2．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函數，求的最小值 .
3．（23-24高一上·吉林白城·期末）函數，的值域是 .
對點特訓七：根據最值（值域）求參數
典型例題
例題1．（23-24高一上·北京·期中）若函數的值域為，則實數的取值范圍為（ ）.
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一上·遼寧·期中）已知函數的值域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（23-24高一上·山西大同·階段練習）若函數的定義域和值域都為，則的值是 ．
例題4．（2024高一·江蘇·專題練習）函數的定義域為，值域為，則
精練
1．（23-24高一上·北京·期中）已知函數的值域為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函數的最小值為8.則實數的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知函數的值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·安徽宿州·期中）已知函數的值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
對點特訓八：恒成立（能）成立問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）若存在，使不等式成立，則實數的最大值為（ ）
A． B． C．0 D．3
例題2．（23-24高一下·云南·階段練習）設函數，其中.
(1)若命題“”為假命題，求實數的取值范圍；
(2)若函數在區間內恒成立，求實數的取值范圍.
例題3．（23-24高一上·北京·期中）已知二次函數的最小值為，且．
(1)求的解析式；
(2)當時，恒成立，試確定實數的取值范圍．
例題4．（23-24高一上·重慶永川·期中）已知函數.
(1)解不等式；
(2)若對任意的，總存在，使得成立，求實數a的取值范圍.
精練
1．（2024·陜西西安·模擬預測）當時，不等式恒成立，則實數的取值范圍是 ．
2．（23-24高一下·湖南岳陽·開學考試）設函數，其中.
(1)若，求函數在區間上的值域；
(2)若，且對任意的，都有，求實數的取值范圍；
3．（23-24高一上·江蘇南京·期中）已知函數.
(1)求；
(2)當時，試運用函數單調性的定義判定的單調性；
(3)設，若在時有解，求的取值范圍.
4．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知函數．
(1)若方程的兩根分別是，滿足，求實數的值；
(2)若對，都存在，使得對任意恒成立，求實數的取值范圍．
一、單選題
1．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數在上不單調，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·北京·期中）函數 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·廣東潮州·期中）下列函數在區間上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）函數在上是單調函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一·全國·專題練習）若函數在單調遞增，且，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·北京·期中）已知函數，，若有最小值，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一上·云南·期末）已知函數是上的減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高二上·甘肅隴南·期末）已知函數，且不等式對任意恒成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高一上·四川內江·期中）下列函數中，滿足“，都有”的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
10．（23-24高一上·浙江·期中）已知是減函數，則實數a的取值范圍是 ．
四、解答題
11．（23-24高一上·北京·期中）函數，其中．
(1)當時，求不等式的解集；
(2)當時，f（x）的最小值為0，求a的值．
12．（23-24高一上·浙江·期中）已知二次函數．
(1)若的解集為，解關于x的不等式；
(2)若，對于，不等式恒成立，求實數c的取值范圍．

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