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專題13 預(yù)備知識十三：冪函數(shù)
1、通過具體實例，了解冪函數(shù)的定義，會畫，，，，五個冪函數(shù)的圖象，理解它們的性質(zhì)；
2、通過對冪函數(shù)的研究，體會研究一類函數(shù)的基本內(nèi)容與方法．
知識點一：冪函數(shù)的概念
1、定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).
2、冪函數(shù)的特征
①中前的系數(shù)為“1”
②中的底數(shù)是單個的自變量“”
③中是常數(shù)
知識點二：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1、五個冪函數(shù)的圖象(記憶五個冪函數(shù)的圖象）
當時，我們得到五個冪函數(shù)：
；；；；
2、五個冪函數(shù)的性質(zhì)
定義域
值域
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶 奇函數(shù)
單調(diào)性 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 在單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 在上單調(diào)遞減
定點
3、拓展：
①，當時，在單調(diào)遞增；
②，當時，在單調(diào)遞減.
對點特訓一：求冪函數(shù)的值
典型例題
例題1．（2024高三·全國·專題練習）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則＝（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】利用已知條件求得冪函數(shù)解析式，然后代入求解即可.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因為的圖象經(jīng)過點，所以，解得，
所以，所以.
故選：C
例題2．（23-24高一上·山東聊城·期末）已知冪函數(shù)的圖象通過點，則 ．
【答案】/0.5
【分析】由冪函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)過求得函數(shù)解析式，進而可得的值.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)的解析式為
∵冪函數(shù)過點
∴
∴
∴該函數(shù)的解析式為，
∴.
故答案為：
精練
1．（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知冪函數(shù)，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可.
【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，即，
所以，.
故選：A.
2．（23-24高一下·廣西南寧·開學考試）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再代入計算可得.
【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，
所以，解得，，.
故答案為：
對點特訓二：求冪函數(shù)的解析式
典型例題
例題1．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A．2或 B． C．2 D．或
【答案】B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)解析式的特征，以及冪函數(shù)的性質(zhì)，即可求解的值.
【詳解】由題意可知，，解得：或，
當時，，函數(shù)在上是減函數(shù)，成立，
當時，，函數(shù)在上是增函數(shù)，不成立，
所以.
故選：B
例題2．（23-24高一下·遼寧·階段練習）已知冪函數(shù)的圖象與坐標軸無交點.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
【答案】(1)；
(2)且.
【分析】（1）利用冪函數(shù)的定義，結(jié)合圖象特征求出即得.
（2）由冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合奇偶性求解不等式.
【詳解】（1）由是冪函數(shù)，得，解得或，
由的圖象與坐標軸無交點，得，則，
所以的解析式是.
（2）顯然函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
不等式，
因此，解得且，
所以原不等式的解集為且.
精練
1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數(shù)滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過原點;②，寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題根據(jù)冪函數(shù)的概念，結(jié)合題目給的限制性條件即可找到符合條件的函數(shù).
【詳解】因為對，則在上為減函數(shù)，
又因為冪函數(shù)（為常數(shù)），當不經(jīng)過原點時，即可，
故可取.
故答案為：（答案不唯一）.
2．（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則 .
【答案】1
【分析】由冪函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，所以，解得或.
當時，，是奇函數(shù)，圖象不關(guān)于軸對稱；
當時，，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，符合題意，所以的值為1.
故答案為：.
對點特訓三：求冪函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（23-24高一上·陜西商洛·期中）已知冪函數(shù)滿足：
①在上為增函數(shù)，
②對，都有，
求同時滿足①②的冪函數(shù)的解析式，并求出時，的值域.
【答案】，
【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及題設(shè)條件可確定表達式，進而確定其在指定區(qū)間上的值域.
【詳解】因為在上為增函數(shù)，所以，解得，
又，所以，或．
又因為，所以是偶函數(shù)，所以為偶數(shù)．
當時，滿足題意；當時，不滿足題意，
所以，
又因為在上遞增，所以，，
故時，的值域是．
例題2．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)，其中，滿足：
①在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②對任意的，都有.
求同時滿足條件①②的冪函數(shù)的解析式，并求時的值域.
【答案】，值域為
【分析】先根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求出，，再根據(jù)單調(diào)性可得的值域.
【詳解】因冪函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，
則，即，
解得：，
又因，所以或，
當時，為偶函數(shù)，不滿足；
當時，為奇函數(shù)，滿足；
故，
當時，，
即函數(shù)的值域.
精練
1．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間，上的值域．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）設(shè)出函數(shù)的解析式，代入點的坐標，求出函數(shù)的解析式即可；
（2）求出的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可．
【詳解】解：設(shè)函數(shù)的解析式為，
則，解得：，
故，；
（2）由（1），
在遞增，
故，
，
故函數(shù)的值域是．
【點睛】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的值域以及函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題．
2．（23-24高一上·山東泰安·階段練習）已知冪函數(shù)（其中，）滿足：
①在區(qū)間上為減函數(shù)；
②對任意的，都有.
求冪函數(shù)的解析式，并求當時，的值域.
【答案】，值域為
【解析】根據(jù)條件分析，0，1，依次檢驗①②，即可得解.
【詳解】解：，，，0，1.
對任意，都有，即，是偶函數(shù).
當時，，滿足條件①②；
當時，，不滿足條件①；
當時，，條件①②都不滿足，故同時滿足條件①②的冪函數(shù)的解析式為，且在區(qū)間上是增函數(shù)，當時，函數(shù)的值域為.
【點睛】此題考查根據(jù)冪函數(shù)的概念結(jié)合單調(diào)性和奇偶性求函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)值域.
對點特訓四：冪函數(shù)的圖象問題
典型例題
例題1．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.
【詳解】對于A：函數(shù)的定義域為，顯然不符合題意，故A錯誤；
對于B：函數(shù)的定義域為，顯然不符合題意，故B錯誤；
對于C：函數(shù)的定義域為，又為奇函數(shù)，又在上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題意，故C錯誤；
對于D：函數(shù)的定義域為，又為奇函數(shù)，且在上函數(shù)是上凸遞增，故D正確.
故選：D
例題2．（23-24高一上·山東濟南·期末）已知函數(shù)則的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】結(jié)合冪函數(shù)知識，畫出的圖象，將該圖象沿軸對稱即可.
【詳解】結(jié)合題意可得：當時，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增；
當時，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增.
故函數(shù),圖象如圖所示:
要得到，只需將的圖象沿軸對稱即可得到.
故選：C.
精練
1．（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習）冪函數(shù)，，，在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線（ ）

A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在第一象限內(nèi)的圖像，當時，圖像遞增，
且越大，圖像遞增速度越快，由此可判斷是曲線，是曲線；
當時，圖像遞減，且越大，圖像越陡，由此可判斷是曲線，
是曲線；綜上所述冪函數(shù)，，，，
在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線，，，.
故選：D.
2．（23-24高一上·上海閔行·期末）如圖為三個冪函數(shù)在其定義域上的局部圖像，則實數(shù)從小到大的排列順序為 .（請用“”連接）
【答案】
【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷的大小即可得解.
【詳解】對于，由其圖象可知，例如；
對于，由其圖象可知，例如；
對于，由其圖象可知，例如；
所以.
故答案為：.
對點特訓五：冪函數(shù)圖象過定點問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習）冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，但所有圖象過定點，定點坐標為 .
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直接求出定點坐標即得.
【詳解】因為對任意實數(shù)，當時，，
所以所有冪函數(shù)的圖象都過點.
故答案為：
例題2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函數(shù)的圖象恒過定點，若點在一次函數(shù)的圖象上，其中，，則的最小值為 .
【答案】4
【分析】求出函數(shù)的圖象恒過定點，得到，使用基本不等式求的最小值.
【詳解】函數(shù)的圖象恒過定點，所以 ,
因為，所以，
當時，的最小值為4.
故答案為：4
精練
1．（22-23高一上·上海靜安·期中）不論實數(shù)取何值，函數(shù)恒過的定點坐標是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)，即可知恒過定點.
【詳解】因為，故當，即時，，
即函數(shù)恒過定點.
故答案為：.
2．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的圖象過定點 ．
【答案】
【分析】由冪函數(shù)的圖象過，將代入，可求出答案.
【詳解】冪函數(shù)的圖象過，
將代入，可得，
所以函數(shù)的圖象過定點.
故答案為：.
【點睛】本題考查函數(shù)圖象過定點問題，注意利用冪函數(shù)過定點的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
對點特訓六：冪函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一上·浙江溫州·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若a，，且，則的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷
【答案】A
【分析】先通過函數(shù)是冪函數(shù)以及單調(diào)性求出的解析式，再利用單調(diào)性和奇偶性可得答案.
【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，
所以，解得或，
又因為對任意，且，滿足，
即對任意，都有，
故函數(shù)是冪函數(shù)且在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，
則，明顯為上的奇函數(shù)，
由得，
所以，
所以.
故選：A.
例題2．（23-24高一上·江西·階段練習）已知冪函數(shù)（）的圖像關(guān)于軸對稱，且.
（1）求的值及函數(shù)的解析式；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得到函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，即求解.
（2）根據(jù)函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，將不等式，轉(zhuǎn)化為求解.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)（）的圖像關(guān)于軸對稱，且，
所以在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，解得，
由，。
又函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，
所以為偶數(shù)，
所以，
所以.
（2）因為函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以不等式，等價于，
解得或，
所以實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.
精練
1．（23-24高二·浙江·期末）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，則的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．無法判斷
【答案】B
【解析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)在的單調(diào)性，可得，然后可得函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，可得結(jié)果.
【詳解】由題可知：函數(shù)是冪函數(shù)
則或
又對任意的且，滿足
所以函數(shù)為的增函數(shù)，故
所以，又，
所以為單調(diào)遞增的奇函數(shù)
由，則，所以
則
故選：B
【點睛】本題考查冪函數(shù)的概念以及函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟悉函數(shù)單調(diào)遞增的幾種表示，比如，屬中檔題.
2．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數(shù)滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過原點;②，寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題根據(jù)冪函數(shù)的概念，結(jié)合題目給的限制性條件即可找到符合條件的函數(shù).
【詳解】因為對，則在上為減函數(shù)，
又因為冪函數(shù)（為常數(shù)），當不經(jīng)過原點時，即可，
故可取.
故答案為：（答案不唯一）.
對點特訓七：冪函數(shù)的奇偶性
典型例題
例題1．（23-24高三上·上海浦東新·期中）已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上嚴格單調(diào)遞減，則 .
【答案】或
【分析】由題意，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)知，，在第一象限內(nèi)，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當為奇數(shù)時，函數(shù)為奇函數(shù)，
所以當或時，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).
故答案為：或
例題2．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．
(1)求m和k的值；
(2)求滿足的實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)，或；
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，列式計算，即可求得k的值；根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求得m的值，結(jié)合奇偶性即可確定m的取值.
（2）結(jié)合（1）可得，即為，利用冪函數(shù)的性質(zhì)，分類求解不等式，即可求得答案.
【詳解】（1）由函數(shù)為冪函數(shù)，
則，解得或；
由在上單調(diào)遞減，
得，解得，而，故或2，
當時，，定義域為，且為偶函數(shù)，符合題意；
當時，，定義域為，函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；
故，或；
（2）結(jié)合（1）可知，即為，
故或或，
解得或或，
故實數(shù)a的取值范圍為.
精練
1．（23-24高一上·河南·階段練習）已知，若冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的取值集合是 .
【答案】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)得到，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性求出答案.
【詳解】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，
當時，，定義域為，又，
故為奇函數(shù)，舍去；
當時，，定義域為，又，
故為奇函數(shù)，舍去；
當時，，定義域為，又，
故為偶函數(shù)，滿足要求，
當時，，定義域為，故不為偶函數(shù)，舍去.
故答案為：
2．（23-24高一上·安徽阜陽·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)運算求解；
（2）根據(jù)的定義域以及單調(diào)性分析求解.
【詳解】（1）因為函數(shù)是冪函數(shù)，
則，即，解得或1，
又因為函數(shù)關(guān)于軸對稱，
當時，則為偶函數(shù)，滿足題意；
當時，則為奇函數(shù)，不滿足題意；
綜上所述：實數(shù)的值為.
（2）函數(shù)，則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
由可得:，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
1．（2024高三·全國·專題練習）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則＝（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】利用已知條件求得冪函數(shù)解析式，然后代入求解即可.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因為的圖象經(jīng)過點，所以，解得，
所以，所以.
故選：C
2．（23-24高一下·山西臨汾·階段練習）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行判斷即可.
【詳解】對于A，為偶函數(shù)，不符合題意；
對于B，為奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；
對于C，為偶函數(shù)，不符合題意；
對于D，為奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意．
故選：B．
3．（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知冪函數(shù)，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)得到方程，求出，得到解析式，代入求值即可.
【詳解】因為是冪函數(shù)，所以，即，
所以，.
故選：A.
4．（22-23高一·全國·課堂例題）冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的指數(shù)的大小與曲線的位置關(guān)系（可在直線右側(cè)）比較從而得出結(jié)論．
【詳解】在第一象限內(nèi)直線的右側(cè)，冪函數(shù)的圖象從上到下相應(yīng)的指數(shù)由大變小，即“指大圖高”，
所以冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象為在第一象限內(nèi)的圖象為，
在第一象限內(nèi)的圖象為在第一象限內(nèi)的圖象為.
故選：D
5．（23-24高一上·上海·階段練習）已知冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過坐標原點，則（ ）
A． B．3 C．1或 D．或3
【答案】A
【分析】令系數(shù)等于1，得到或，排除不合要求的解，得到答案.
【詳解】令，解得或，
當時，，圖象經(jīng)過坐標原點，不合要求，
當時，，圖象不經(jīng)過坐標原點，滿足要求.
故選：A
6．（23-24高一下·上海·期中）已知實數(shù)，若函數(shù)滿足：當時，恒成立，則可取值的個數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】把的取值逐個代入檢驗可得答案.
【詳解】當時，若恒成立，則，即，
由于，所以恒成立，此時符合題意；
當時，若恒成立，則，即，
由于，所以恒成立，此時符合題意；
當時，若恒成立，則，即，
由于，所以不成立，此時不符合題意；
當時，若，則，不滿足，不合題意.
故選：C
7．（2024·北京西城·一模）已知函數(shù)，若存在最小值，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值，再結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，由題意列出不等式，求解即可.
【詳解】當時，，故當時，有最小值為；
時，單調(diào)遞減，所以，
由題意存在最小值，則，解得，即的最大值為.
故選：A
8．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)，是上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】依題意，在上單調(diào)遞減，
所以，解得，
所以的取值范圍是
故選：C
二、多選題
9．（23-24高一下·四川眉山·開學考試）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．的定義域是 D．為偶函數(shù)
【答案】BC
【分析】先求出冪函數(shù)的解析式，再利用冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】由冪函數(shù)，
則，即，
且，解得，
，則A錯誤，B正確；
的定義域為，故C正確，D錯誤.
故選：BC.
三、填空題
10．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數(shù)滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過原點;②，寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】本題根據(jù)冪函數(shù)的概念，結(jié)合題目給的限制性條件即可找到符合條件的函數(shù).
【詳解】因為對，則在上為減函數(shù)，
又因為冪函數(shù)（為常數(shù)），當不經(jīng)過原點時，即可，
故可取.
故答案為：（答案不唯一）.
四、解答題
11．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知冪函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．
【答案】(1)
(2)為奇函數(shù)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求出可得答案；
（2）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義判斷可得答案.
【詳解】（1）依題意可得，
解得，所以；
（2）為奇函數(shù)．
理由如下：
的定義域為，關(guān)于原點對稱，
因為，
所以為奇函數(shù)．
12．（23-24高一上·重慶九龍坡·期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．
(1)求的值及函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的值域．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)計算可得；
（2）首先得到解析式，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】（1）因為為冪函數(shù)，
所以，解得或，
當時，，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，符合題意；
當時，，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，不符合題意；
綜上可得，.
（2）因為，，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，，所以，
即在區(qū)間上的值域為.專題13 預(yù)備知識十三：冪函數(shù)
1、通過具體實例，了解冪函數(shù)的定義，會畫，，，，五個冪函數(shù)的圖象，理解它們的性質(zhì)；
2、通過對冪函數(shù)的研究，體會研究一類函數(shù)的基本內(nèi)容與方法．
知識點一：冪函數(shù)的概念
1、定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).
2、冪函數(shù)的特征
①中前的系數(shù)為“1”
②中的底數(shù)是單個的自變量“”
③中是常數(shù)
知識點二：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1、五個冪函數(shù)的圖象(記憶五個冪函數(shù)的圖象）
當時，我們得到五個冪函數(shù)：
；；；；
2、五個冪函數(shù)的性質(zhì)
定義域
值域
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶 奇函數(shù)
單調(diào)性 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 在單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減 在上單調(diào)遞減
定點
3、拓展：
①，當時，在單調(diào)遞增；
②，當時，在單調(diào)遞減.
對點特訓一：求冪函數(shù)的值
典型例題
例題1．（2024高三·全國·專題練習）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則＝（　　）
A． B．2 C．4 D．
例題2．（23-24高一上·山東聊城·期末）已知冪函數(shù)的圖象通過點，則 ．
精練
1．（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知冪函數(shù)，則（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（23-24高一下·廣西南寧·開學考試）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則 ．
對點特訓二：求冪函數(shù)的解析式
典型例題
例題1．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開學考試）冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A．2或 B． C．2 D．或
例題2．（23-24高一下·遼寧·階段練習）已知冪函數(shù)的圖象與坐標軸無交點.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
精練
1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數(shù)滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過原點;②，寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式 .
2．（23-24高一上·遼寧朝陽·期末）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則 .
對點特訓三：求冪函數(shù)的值域
典型例題
例題1．（23-24高一上·陜西商洛·期中）已知冪函數(shù)滿足：
①在上為增函數(shù)，
②對，都有，
求同時滿足①②的冪函數(shù)的解析式，并求出時，的值域.
例題2．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)，其中，滿足：
①在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②對任意的，都有.
求同時滿足條件①②的冪函數(shù)的解析式，并求時的值域.
精練
1．（23-24高一·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間，上的值域．
2．（23-24高一上·山東泰安·階段練習）已知冪函數(shù)（其中，）滿足：
①在區(qū)間上為減函數(shù)；
②對任意的，都有.
求冪函數(shù)的解析式，并求當時，的值域.
對點特訓四：冪函數(shù)的圖象問題
典型例題
例題1．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（23-24高一上·山東濟南·期末）已知函數(shù)則的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
精練
1．（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習）冪函數(shù)，，，在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線（ ）

A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．（23-24高一上·上海閔行·期末）如圖為三個冪函數(shù)在其定義域上的局部圖像，則實數(shù)從小到大的排列順序為 .（請用“”連接）
對點特訓五：冪函數(shù)圖象過定點問題
典型例題
例題1．（23-24高一上·上海浦東新·階段練習）冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，但所有圖象過定點，定點坐標為 .
例題2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函數(shù)的圖象恒過定點，若點在一次函數(shù)的圖象上，其中，，則的最小值為 .
精練
1．（22-23高一上·上海靜安·期中）不論實數(shù)取何值，函數(shù)恒過的定點坐標是 ．
2．（20-21高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的圖象過定點 ．
對點特訓六：冪函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用
典型例題
例題1．（23-24高一上·浙江溫州·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若a，，且，則的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷
例題2．（23-24高一上·江西·階段練習）已知冪函數(shù)（）的圖像關(guān)于軸對稱，且.
（1）求的值及函數(shù)的解析式；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
精練
1．（23-24高二·浙江·期末）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意的且，滿足，若，則的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．無法判斷
2．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數(shù)滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過原點;②，寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式 .
對點特訓七：冪函數(shù)的奇偶性
典型例題
例題1．（23-24高三上·上海浦東新·期中）已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上嚴格單調(diào)遞減，則 .
例題2．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減．
(1)求m和k的值；
(2)求滿足的實數(shù)a的取值范圍．
精練
1．（23-24高一上·河南·階段練習）已知，若冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的取值集合是 .
2．（23-24高一上·安徽阜陽·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.
1．（2024高三·全國·專題練習）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則＝（　　）
A． B．2 C．4 D．
2．（23-24高一下·山西臨汾·階段練習）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·廣東茂名·期末）已知冪函數(shù)，則（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（22-23高一·全國·課堂例題）冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·上海·階段練習）已知冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過坐標原點，則（ ）
A． B．3 C．1或 D．或3
6．（23-24高一下·上海·期中）已知實數(shù)，若函數(shù)滿足：當時，恒成立，則可取值的個數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2024·北京西城·一模）已知函數(shù)，若存在最小值，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函數(shù)，是上的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（23-24高一下·四川眉山·開學考試）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C．的定義域是 D．為偶函數(shù)
三、填空題
10．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數(shù)滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過原點;②，寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式 .
四、解答題
11．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知冪函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．
12．（23-24高一上·重慶九龍坡·期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱．
(1)求的值及函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的值域．

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