資源簡介

專題14 預備知識十四：函數的應用（一）
1、會利用已知函數模型解決實際問題（一次函數、二次函數、分段函數模型）
2、能建立函數模型解決實際問題
3、運用函數思想理解和處理現實生活和社會中的簡單問題
知識點一：常見幾類函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 (，為常數，)
二次函數模型 (，，為常數，)
分段函數模型
冪函數模型 (，，為常數，)
知識點二：對鉤函數（耐克函數）
1、對鉤函數（一般模型）：對勾函數是一種類似于反比例函數的一般雙曲函數，又被稱為“雙勾函數”、“勾函數”、“對號函數”、“雙飛燕函數”；所謂的對勾函數，是形如：（，）的函數；
①定義域：；
②是奇函數，圖象關于原點對稱；
③在，上單調遞減；在，上單調遞增；
④當時，；當時，；
2、（高頻考試模型）特別的，對鉤函數的簡易形式：（）其圖象如圖：
①定義域：；
②（）是奇函數，圖象關于原點對稱；
③在，上單調遞減；在，上單調遞增；
④當時，；當時，；
對點特訓一：一次函數模型
典型例題
例題1．（23-24高一上·四川眉山·開學考試）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網店選中兩種玩偶，決定從該網店進貨并銷售，第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元．

(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少？
(2)第二次小雅進貨時，網店規定冰墩墩玩偶的進貨數量不得超過雪容融玩偶進貨數量的1.5倍．小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
例題2．（23-24高一上·吉林長春·期中）某種商品在30天內每件的銷售價格P(元)與時間t(t∈N＋)(天)的函數關系用如圖的兩條線段表示，該商品在30天內日銷售量Q(件)與時間t(t∈N＋)(天)之間的關系如下表：
t/天 5 10 20 30
Q/件 35 30 20 10
(1)根據提供的圖象(如圖)，寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系式；
(2)根據上表提供的數據，寫出日銷售量Q與時間t的一個函數關系式；
(3)求該商品日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天(日銷售金額＝每件的銷售價格×日銷售量).
精練
1．（2024高一·全國·專題練習）商店出售茶壺和茶杯，茶壺每個定價為20元，茶杯每個定價為5元，該商店現推出兩種優惠辦法：
（1）買一個茶壺贈送一個茶杯．
（2）按購買總價的92%付款．
某顧客需購茶壺4個，茶杯若干個（不小于茶壺數），若購買茶杯數為x（個），付款數為y（元），試用兩種優惠辦法分別建立y與x之間的函數解析式，并指出如果顧客需買茶杯40個應選擇哪種優惠辦法．
2．（23-24高一·全國·課后作業）如圖所示，是某輛汽車的行駛情況記錄，根據圖中數據回答下列問題.
（1）汽車從開始行駛到最后停止共行駛了多少分鐘？期間的最大速度是多少？汽車有幾個時間點的時速為20千米/小時？
（2）寫出汽車出發10分鐘到18分鐘之間速度(千米/小時)與時間(分鐘)的函數關系式，并算出這段時間中，在多少分鐘時的速度為20千米/小時.
對點特訓二：二次函數模型
例題1．（23-24高一下·湖北·開學考試）某甜品店今年年初花費21萬元購得一臺新設備，經估算該設備每年可為甜品店提供12萬元的總收入，已知使用年所需的總維護費用為萬元．
(1)該甜品店第幾年開始盈利？
(2)若干年后，該甜品店計劃以2萬的價格賣出設備，有以下兩種方案：
①當年平均盈利最大時賣出；
②當盈利總額達到最大時賣出；
試問哪一方案較為劃算？說明理由．
例題2．（23-24高一上·廣東佛山·期末）交通運輸部數據顯示，2023年中秋國慶假期（9月29日至10月6日）期間，營業性旅客運輸人數累計4.58億人次.游客旅游熱情高漲，全國各類景區景點非常火爆.據統計，某景區平時日均接納旅客1萬人次，門票是120元/人，中秋國慶期間日均接客量是平時的4倍.為進一步提升中秋國慶期間的旅游門票營業額，該景區作了深度的市場調查，發現當門票每便宜10元時，旅游日均人數可增加m萬人（便宜幅度是10元一檔，但優惠后的最終門票價格不低于80元）．
(1)當時，要使該景區降價后的門票日均營業額不低于495萬元，則該景區可以如何確定門票價格？
(2)當m在區間上變化時，總能使得門票日均營業額不低于520萬元，則該景區應如何確定門票價格？
精練
1．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）某商場銷售型商品，已知該商品的進價是每件3元，且銷售單價與日均銷售量的關系如表所示：
銷售單價（元） 4 5 6 7 8 9 10
日均銷售量（件） 400 360 320 280 240 200 160
請根據以上數據分析，此商品如何定價（單位：元/件），該商品的日均銷售利潤最大？并求日均銷售利潤的最大值.
2．（23-24高一上·河北石家莊·期末）據國家氣象局消息，今年各地均出現了極端高溫天氣．漫漫暑期，某制冷杯成了暢銷商品．某企業生產制冷杯每月的成本（單位：萬元）由兩部分構成：①固定成才（與生產產品的數量無關）：萬元；②生產所需材料成本：萬元，（單位：萬套）為每月生產產品的套數．
(1)該企業每月產量為何值時，平均每萬套的成本最低 一萬套的最低成本為多少
(2)若每月生產萬套產品，每萬套售價為：萬元，假設每套產品都能夠售出，則該企業應如何制定計劃，才能確保該制冷杯每月的利潤不低于萬元
對點特訓三：分式函數模型（基本不等式工具）
典型例題
例題1．（23-24高二下·北京房山·期中）某公園為了美化游園環境，計劃修建一個如圖所示的總面積為的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間，，三個矩形區域將種植牡丹、郁金香、月季（其中，區域的形狀、大小完全相同）.設矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為.
(1)用含有的代數式表示；
(2)當的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？
例題2．（23-24高二下·全國·期中）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用32年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位；）滿足關系：，設為隔熱層建造費用與32年的能源消耗費用之和．
(1)求的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用達到最小，并求最小值．
精練
1．（2024高一·全國·專題練習）通過技術創新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場. 2021年，該種玻璃售價為25歐元/平方米，銷售量為80萬平方米，銷售收入為2000萬歐元.
(1)據市場調查，若售價每提高1歐元/平方米，則銷售量將減少2萬平方米；要使銷售收入不低于2000萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米？
(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在2022年對該種玻璃實施二次技術創新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術創新費用，投入500萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位/萬平方米）至少達到多少時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和？并求出此時的售價.
2．（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習）某廠家擬在2023年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元滿足（其中為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2023年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
(1)求常數的值，并將2023年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；
(2)該廠家的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？最大利潤為多少萬元？
對點特訓四：分段函數模型
典型例題
例題1．（23-24高一下·四川瀘州·階段練習）麗水市某革命老區因地制宜發展生態農業，打造“生態特色水果示范區”.該地區某水果樹的單株年產量（單位：千克）與單株施肥量x（單位：千克）之間的關系為，且單株投入的年平均成本為元.若這種水果的市場售價為10元/千克，且水果銷路暢通.記該水果樹的單株年利潤為（單位：元）.
(1)求函數的解析式；
(2)求單株施肥量為多少千克時，該水果樹的單株年利潤最大？最大利潤是多少？
例題2．（23-24高一下·浙江·階段練習）空調是人們生活水平提高的一個標志，炎熱夏天，空調使溫度調節到適合人們工作、學習、生活的舒適環境內，心情好，休息好，工作效率也高，這是社會進步的一個里程碑．為適應市場需求，2024年某企業擴大了某型號的變頻空調的生產，全年需投入固定成本200萬元，每生產x千臺空調，需另投入成本萬元，當年產量不足30千臺時，，當年產量不小于30千臺時，．已知每臺空調售價3000元，且生產的空調能全部銷售完．
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量x（千臺）的函數解析式．
(2)年產量為多少千臺時，該廠該型號的變頻空調所獲利潤最大？并求出最大利潤．
精練
1．（23-24高一上·內蒙古呼和浩特·期中）某鄉鎮為了打造“網紅”城鎮發展經濟，因地制宜的將該鎮打造成“生態水果特色小鎮”.經調研發現：某珍惜水果樹的單株產量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為（單位：元）
(1)寫單株利潤（元）關于施用肥料x（千克）的關系式；
(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大 最大利潤是多少
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）第19屆亞運會2023年9月在杭州市舉辦，本屆亞運會以“綠色、智能、節儉、文明”為辦會理念，展示杭州生態之美、文化之韻，充分發揮國際重大賽事對城市發展的牽引作用，從而促進經濟快速發展.等備期間，計劃向某河道投放水質凈化劑，已知每投放a個單位（且）的試劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（天）變化的函數關系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的試劑濃度為每次投放的試劑在相應時刻所釋放的濃度之和，根據試驗，當水中凈化劑的濃度不低于4（克/升）時，它才能凈化有效.
(1)若只投放一次4個單位的凈化劑，則有效時間最多能持續幾天？
(2)若先投放2個單位的凈化劑，6天后再投放m個單位的凈化劑，要使接下來的5天中，凈化劑能夠持續有效，試求m的最小值.
對點特訓五：對鉤函數及其應用
典型例題
例題1．（23-24高一上·山東泰安·期中）2020年我國全面建成了小康社會，打贏了脫貧攻堅戰. 某村全面脫貧后，通過調整產業結構，以秀美鄉村建設為契機，大力發展鄉村旅游. 2021年上半年接待游客逾5萬人次，使該村成為當地旅游打卡網紅景點. 該村原有戶從事種植業，據了解，平均每戶的年收入為萬元. 調整產業結構后，動員部分農戶改行從事鄉村旅游業. 據統計，若動員戶從事鄉村旅游，則剩下的繼續從事種植業的平均每戶的年收入有望提高，而從事鄉村旅游的平均每戶的年收入為萬元. 在動員戶從事鄉村旅游后，還要確保剩下的戶從事種植業的所有農戶年總收入不低于原先戶從事種植的所有農戶年總收入.
(1)求的取值范圍；
(2)要使從事鄉村旅游的這戶的年總收入始終不高于戶從事種植業的所有農戶年總收入，求的最大值.
（參考數據：，，）
例題2．（23-24高二上·河南洛陽·期末）如圖，某工廠欲將一塊邊長為40m的等邊三角形ABC區域用一條公共通道DE分成面積相等的兩個辦公區域，點D，E分別在AB，AC上，設.（公共通道DE所占面積忽略不計）
（1）令，求y關于x的函數關系式并寫出定義域；
（2）若公共通道DE每米造價2000元，請你做一下預算，求出該通道造價最大值和最小值及對應的x值.
精練
1．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）為了加強“平安校園”建設，保障師生安全，某校決定在學校門口利用一側原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室.由于此警務室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元.設屋子的左右兩面墻的長度均為米.
(1)當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價；
(2)現有乙工程隊也要參與此警務室的建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求的取值范圍.
2．（23-24高一上·北京通州·期中）從2008年開始的十年間，中國高速鐵路迅猛發展，已經建成“四縱四橫”網絡，“八縱八橫”格局正在構建.到2018年，中國高速鐵路新里程已超過兩萬五千千米，鑄就了一張新的“國家名片”.京津城際高鐵叢北京南站到天津站全長約為120千米.假設高鐵每小時的運輸成本（單位：萬元）由可變部分和固定部分組成；可變部分與平均速度（千米/時）（）的平方成正比，比例系數為0.0005；固定部分為萬元（）.設高速列車在該線路上單程運行一次的總費用為.
(1)把高速列車在該線路上單程運行一次的總費用表示成速度（千米/時）的函數，并指出這個函數的定義域；
(2)當高速列車在該線路上運行的平均速度是多少時，單程運行一次總費用最小？
一、單選題
1．（23-24高一·全國·課后作業）某機器總成本y（萬元）與產量x（臺）之間的函數關系式是y＝x2－75x，若每臺機器售價為25萬元，則該廠獲利潤最大時應生產的機器臺數為（ ）
A．30 B．40
C．50 D．60
2．（23-24高一上·貴州遵義·階段練習）面積為的長方形的某邊長度為，則該長方形的周長與的函數關系為（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一·全國·課后作業）在自然界中，某種植物生長發育的數量y與時間x的關系如下表所示：
x 1 2 3 …
y 1 3 5 …
下面的函數關系式中，能表達這種關系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·寧夏銀川·期中）某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售輛該品牌車的利潤（單位：萬元）分別為和.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為（ ）
A．90萬元 B．60萬元 C．120萬元 D．120.25萬元
5．（23-24高一上·江西·階段練習）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的關系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
6．（23-24高一上·河南新鄉·期末）某燈具商店銷售一種節能燈，每件進價10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足如下關系式：（且）．則燈具商店每月的最大利潤為（ ）
A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元
7．（23-24高一上·浙江·階段練習）如圖，在中，于D，，矩形的頂點E與A點重合，，將矩形沿AB平移，當點E與點B重合時，停止平移，設點E平移的距離為x，矩形與重合部分的面積為y，則y關于x 的函數圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高一上·湖南邵陽·期末）如圖，點P在邊長為1的正方形邊上運動，M是CD的中點，當點P沿運動時，點P經過的路程x與的面積y的函數的圖象的形狀大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、多選題
9．（23-24高一上·山西·期末）幾名大學生創業時經過調研選擇了一種技術產品，生產此產品獲得的月利潤（單位：萬元）與每月投入的研發經費（單位：萬元）有關.已知每月投入的研發經費不高于16萬元，且，利潤率.現在已投入研發經費9萬元，則下列判斷正確的是（ ）
A．此時獲得最大利潤率 B．再投入6萬元研發經費才能獲得最大利潤
C．再投入1萬元研發經費可獲得最大利潤率 D．再投入1萬元研發經費才能獲得最大利潤
三、填空題
10．（2024·重慶·模擬預測）我國的酒駕標準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內每血液中的酒精含量（單位：）與時間（單位：）的關系是：當時，；當時，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經過 才可駕車.
四、解答題
11．（23-24高一上·上海閔行·期中）某園林建設公司計劃購買一批機器投入施工．據分析，這批機器可獲得的利潤（單位：萬元）與運轉時間（單位：年）的函數解析式為（，且）．
(1)當這批機器運轉第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤為多少？
(2)當運轉多少年時，這批機器的年平均利潤最大？
12．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）某公司生產一類電子芯片，且該芯片的年產量不超過35萬件，每萬件電子芯片的計劃售價為16萬元．已知生產此類電子芯片的成本分為固定成本與流動成本兩個部分，其中固定成本為30萬元/年，每生產萬件電子芯片需要投入的流動成本為（單位：萬元），當年產量不超過14萬件時，；當年產量超過14萬件時，．假設該公司每年生產的芯片都能夠被銷售完．
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數解析式；（注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本）
(2)如果你作為公司的決策人，為使公司獲得的年利潤最大，每年應生產多少萬件該芯片？專題14 預備知識十四：函數的應用（一）
1、會利用已知函數模型解決實際問題（一次函數、二次函數、分段函數模型）
2、能建立函數模型解決實際問題
3、運用函數思想理解和處理現實生活和社會中的簡單問題
知識點一：常見幾類函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 (，為常數，)
二次函數模型 (，，為常數，)
分段函數模型
冪函數模型 (，，為常數，)
知識點二：對鉤函數（耐克函數）
1、對鉤函數（一般模型）：對勾函數是一種類似于反比例函數的一般雙曲函數，又被稱為“雙勾函數”、“勾函數”、“對號函數”、“雙飛燕函數”；所謂的對勾函數，是形如：（，）的函數；
①定義域：；
②是奇函數，圖象關于原點對稱；
③在，上單調遞減；在，上單調遞增；
④當時，；當時，；
2、（高頻考試模型）特別的，對鉤函數的簡易形式：（）其圖象如圖：
①定義域：；
②（）是奇函數，圖象關于原點對稱；
③在，上單調遞減；在，上單調遞增；
④當時，；當時，；
對點特訓一：一次函數模型
典型例題
例題1．（23-24高一上·四川眉山·開學考試）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網店選中兩種玩偶，決定從該網店進貨并銷售，第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元．

(1)求兩種玩偶的進貨價分別是多少？
(2)第二次小雅進貨時，網店規定冰墩墩玩偶的進貨數量不得超過雪容融玩偶進貨數量的1.5倍．小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
【答案】(1)冰墩墩的進貨價為72元，雪容融的進貨價為64元
(2)冰墩墩進貨24個，雪容融進貨16個；最大利潤是992元
【分析】（1）先設冰墩墩的進貨價為x元，雪容融的進貨價為y元．再根據題意列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；
（2）先設冰墩墩進貨a個，則雪容融進貨個，利潤為w元，再根據題意可以寫出w和a的函數關系式，再根據題意求得a的取值范圍，再根據一次函數的性質，即可求得利潤的最大值．
【詳解】（1）設冰墩墩的進貨價為x元，雪容融的進貨價為y元．
得，解得，
所以冰墩墩的進貨價為72元，雪容融的進貨價為64元．
（2）設冰墩墩進貨a個，則雪容融進貨個，利潤為w元，
則，
因為，所以w隨a增大而增大，
又因為冰墩墩進貨量不能超過雪容融進貨量的1.5倍，
即，解得，
所有當時，w最大，此時，，
答：冰墩墩進貨24個，雪容融進貨16個時，獲得最大利潤，最大利潤為992元．
例題2．（23-24高一上·吉林長春·期中）某種商品在30天內每件的銷售價格P(元)與時間t(t∈N＋)(天)的函數關系用如圖的兩條線段表示，該商品在30天內日銷售量Q(件)與時間t(t∈N＋)(天)之間的關系如下表：
t/天 5 10 20 30
Q/件 35 30 20 10
(1)根據提供的圖象(如圖)，寫出該商品每件的銷售價格P與時間t的函數關系式；
(2)根據上表提供的數據，寫出日銷售量Q與時間t的一個函數關系式；
(3)求該商品日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的第幾天(日銷售金額＝每件的銷售價格×日銷售量).
【答案】(1)
(2)
(3)第25天時，該商品日銷售金額的最大值為1125元
【分析】（1）根據圖象為兩條線段，設出函數解析式，利用待定系數法求解即可；
（2）根據散點圖猜想銷售量Q為時間t的一次函數，設出函數解析式，利用待定系數法求解檢驗即可；
（3）先根據日銷售金額＝每件的銷售價格×日銷售量列出日銷售金額函數，再利用二次函數性質分別求各段最值，最后比較兩個最值取較大者即可.
【詳解】（1）根據圖象，設，
當時，代入點，求得；
當時，代入點，求得，
所以每件的銷售價格P與時間t的函數關系式為.
（2）描出實數對的對應點(如圖)，
.
從圖中可以發現，點(5,35)，(10,30)，(20,20)，(30,10)基本上分布在一條直線上，
設這條直線為l：，代入點(5,35)，(30,10)，求得，
所以直線l為，
通過檢驗可知：點(10,30)，(20,20)也在直線l上，
所以日銷售量Q與時間t的函數關系式為．
（3）設日銷售金額為(元)，則，
若當時，則當時，；
若時，則當時，；
由于，所以，
故這種商品日銷售金額的最大值為1125元，30天中的第25天的日銷售金額最大．
精練
1．（2024高一·全國·專題練習）商店出售茶壺和茶杯，茶壺每個定價為20元，茶杯每個定價為5元，該商店現推出兩種優惠辦法：
（1）買一個茶壺贈送一個茶杯．
（2）按購買總價的92%付款．
某顧客需購茶壺4個，茶杯若干個（不小于茶壺數），若購買茶杯數為x（個），付款數為y（元），試用兩種優惠辦法分別建立y與x之間的函數解析式，并指出如果顧客需買茶杯40個應選擇哪種優惠辦法．
【答案】優惠辦法（1）：，優惠辦法（2）：；選擇優惠辦法（2）.
【分析】根據已知條件寫出兩種優惠辦法對應解析式，再將代入解析式求，比較不同優惠下的大小，選擇優惠辦法．
【詳解】由優惠辦法（1）可得函數解析式為；
由優惠辦法（2）可得函數解析式為．
當該顧客買茶杯40個時，采用（1）應付款（元）；采用（2）應付款（元）．
由于，故選擇優惠辦法（2）．
2．（23-24高一·全國·課后作業）如圖所示，是某輛汽車的行駛情況記錄，根據圖中數據回答下列問題.
（1）汽車從開始行駛到最后停止共行駛了多少分鐘？期間的最大速度是多少？汽車有幾個時間點的時速為20千米/小時？
（2）寫出汽車出發10分鐘到18分鐘之間速度(千米/小時)與時間(分鐘)的函數關系式，并算出這段時間中，在多少分鐘時的速度為20千米/小時.
【答案】（1）共行駛了22分鐘，期間的最大速度為80千米/小時，有4個時間點車速為20千米/小時；（2）函數關系式，發12分鐘時車速為20千米/小時.
【分析】（1）根據某輛汽車的行駛情況記錄的函數圖象，可得該汽車共行駛時間，以及最大速度和車速為20千米/小時的時間點，得到答案；
（2）在出發10分鐘到18分鐘這段時間中，設為，根據表中的數據列出方程組，即可求得速度與時間的函數關系式，進而得到答案.
【詳解】（1）根據某輛汽車的行駛情況記錄的函數圖象，可得該汽車共行駛了分鐘，
期間的最大速度為80千米/小時，有4個時間點車速為20千米/小時；
（2）在出發10分鐘到18分鐘這段時間中，速度與時間是一次函數關系，
設為，
由圖表中的數據，可得當時，，當時，，
代入得，解得，
所以速度(千米/小時)與時間(分鐘)的函數關系式：，其中
當時，即，解得，即出發12分鐘時車速為20千米/小時.
【點睛】本題主要考查了一次函數的解析式的求解，以及函數的圖象的識別與應用，著重考查數形結合思想，以及運算與求解能力，屬于基礎題.
對點特訓二：二次函數模型
例題1．（23-24高一下·湖北·開學考試）某甜品店今年年初花費21萬元購得一臺新設備，經估算該設備每年可為甜品店提供12萬元的總收入，已知使用年所需的總維護費用為萬元．
(1)該甜品店第幾年開始盈利？
(2)若干年后，該甜品店計劃以2萬的價格賣出設備，有以下兩種方案：
①當年平均盈利最大時賣出；
②當盈利總額達到最大時賣出；
試問哪一方案較為劃算？說明理由．
【答案】(1)第四年，理由見解析
(2)兩個方案一樣，理由見解析
【分析】（1）表達出年后所得總利潤，解不等式，求出答案；
（2）設方案①的年平均利潤為，表達出，由對勾函數單調性求出最大值，再求出方案②的總利潤，比較后得到結論.
【詳解】（1）設該甜品店年后所得總利潤為萬元，
則，
若開始盈利即，
∴，解得，
∴第四年開始盈利．
（2）方案①：設年平均利潤為，
則，
由對勾函數性質可得在上單調遞增，上為單調遞減．
又，，
時，，4年總利潤為3萬元，
時，，5年總利潤為4萬元，故選擇第5年賣出，
方案②：，，
即時總利潤最大為4萬元，
故選擇方案一或方案二是一樣的，最終都是在即第5年總利潤達到最大值4萬元，
加上賣設備的2萬元，一共6萬元利潤．
例題2．（23-24高一上·廣東佛山·期末）交通運輸部數據顯示，2023年中秋國慶假期（9月29日至10月6日）期間，營業性旅客運輸人數累計4.58億人次.游客旅游熱情高漲，全國各類景區景點非常火爆.據統計，某景區平時日均接納旅客1萬人次，門票是120元/人，中秋國慶期間日均接客量是平時的4倍.為進一步提升中秋國慶期間的旅游門票營業額，該景區作了深度的市場調查，發現當門票每便宜10元時，旅游日均人數可增加m萬人（便宜幅度是10元一檔，但優惠后的最終門票價格不低于80元）．
(1)當時，要使該景區降價后的門票日均營業額不低于495萬元，則該景區可以如何確定門票價格？
(2)當m在區間上變化時，總能使得門票日均營業額不低于520萬元，則該景區應如何確定門票價格？
【答案】(1)元，元，元.
(2)元，元.
【分析】根據題意列出景區營業額和景區門票的關系，再通過解不等式得出答案.
【詳解】（1）設景區降價后的門票日均營業額為萬元，景區門票價格下降了元，
因為優惠后的最終門票價格不低于80元，所以，即，
由題意得，
當時，要使該景區降價后的門票日均營業額不低于495萬元，
則，即，
即，解得，
又因為，所以，，
所以景區門票價格可以為元，元，元.
（2）由（1）知，
，
因為，
所以當m在區間上變化時，總能使得門票日均營業額不低于520萬元，
只要時門票日均營業額不低于520萬元即可，
即，
即，
即，解得，
又因為，所以，，
所以景區門票價格可以為元，元.
精練
1．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）某商場銷售型商品，已知該商品的進價是每件3元，且銷售單價與日均銷售量的關系如表所示：
銷售單價（元） 4 5 6 7 8 9 10
日均銷售量（件） 400 360 320 280 240 200 160
請根據以上數據分析，此商品如何定價（單位：元/件），該商品的日均銷售利潤最大？并求日均銷售利潤的最大值.
【答案】當定價為8.5元時，該商品的日均銷售利潤最大，且最大值為1210元.
【分析】設定價為元，日均銷售利潤為元，則，結合二次函數的性質即可求解.
【詳解】由題意表格中的數據可知，當售價為4元時，日銷售量為400件，
售價每增加1元，日銷售量就減少40件.
設定價為元，日均銷售利潤為元，
則，
故當時，有最大值.
所以定價為8.5元時，日均銷售利潤最大，且最大值為1210元.
2．（23-24高一上·河北石家莊·期末）據國家氣象局消息，今年各地均出現了極端高溫天氣．漫漫暑期，某制冷杯成了暢銷商品．某企業生產制冷杯每月的成本（單位：萬元）由兩部分構成：①固定成才（與生產產品的數量無關）：萬元；②生產所需材料成本：萬元，（單位：萬套）為每月生產產品的套數．
(1)該企業每月產量為何值時，平均每萬套的成本最低 一萬套的最低成本為多少
(2)若每月生產萬套產品，每萬套售價為：萬元，假設每套產品都能夠售出，則該企業應如何制定計劃，才能確保該制冷杯每月的利潤不低于萬元
【答案】(1)每月產量萬套時，平均每萬套的成本最低，一萬套的最低成本為萬元
(2)該企業每月生產不小于萬套，才能確保該制冷杯每月的利潤不低于萬元
【分析】（1）根據題意，可知平均每套所需的成本費用為，再利用基本不等式即可求出結果；
（2）由題意可知月利潤，解一元二次不等式即可求出結果.
【詳解】（1）設平均每套的成本為元，
由題有，
當且僅當，即時，取等號，
所以企業每月產量萬套時，平均每萬套的成本最低，一萬套的最低成本為萬元.
（2）設月利潤為萬元，
則有，
由題知，整理得到，解得，
所以，該企業每月生產不小于萬套，才能確保該制冷杯每月的利潤不低于萬元.
對點特訓三：分式函數模型（基本不等式工具）
典型例題
例題1．（23-24高二下·北京房山·期中）某公園為了美化游園環境，計劃修建一個如圖所示的總面積為的矩形花園.圖中陰影部分是寬度為1m的小路，中間，，三個矩形區域將種植牡丹、郁金香、月季（其中，區域的形狀、大小完全相同）.設矩形花園的一條邊長為，鮮花種植的總面積為.
(1)用含有的代數式表示；
(2)當的值為多少時，才能使鮮花種植的總面積最大？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設矩形花園的長為，結合，進而求得關于的關系式；
（2）由（1）知，得到，結合基本不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：設矩形花園的長為，
因為矩形花園的總面積為，所以，可得，
又因為陰影部分是寬度為1m的小路，可得，可得，
即關于的關系式為.
（2）解：由（1）知，，
則
，當且僅當時，即時，等號成立，
所以當時，才能使鮮花種植的總面積最大，最大面積為.
例題2．（23-24高二下·全國·期中）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用32年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位；）滿足關系：，設為隔熱層建造費用與32年的能源消耗費用之和．
(1)求的表達式；
(2)隔熱層修建多厚時，總費用達到最小，并求最小值．
【答案】(1)
(2)當隔熱層修建厚時，總費用最小，最小值為萬元
【分析】（1）由建造費與能源消耗費求和可得；
（2）利用基本不等式求解即可.
【詳解】（1）每年能源消耗費用為，建造費用為，
∴.
（2）因為，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以當時，取得最小值，
∴當隔熱層修建6cm厚時，總費用最小，最小值為112萬元.
精練
1．（2024高一·全國·專題練習）通過技術創新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場. 2021年，該種玻璃售價為25歐元/平方米，銷售量為80萬平方米，銷售收入為2000萬歐元.
(1)據市場調查，若售價每提高1歐元/平方米，則銷售量將減少2萬平方米；要使銷售收入不低于2000萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米？
(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在2022年對該種玻璃實施二次技術創新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術創新費用，投入500萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位/萬平方米）至少達到多少時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和？并求出此時的售價.
【答案】(1)40
(2)102萬平方米，售價為30歐元.
分析】（1）設該種玻璃的售價提高到x歐元/平方米，列不等式計算即可得；
（2）結合題意，列出不等式，借助基本不等式計算即可得.
【詳解】（1）設該種玻璃的售價提高到歐元/平方米，
則有，
解得：，
所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米.
（2），
整理得：，
除以得：，
由基本不等式得：，
當且僅當，即時，等號成立，
所以該種玻璃的銷售量至少達到102萬平方米時，
才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，
此時的售價為30歐元/平方米.
2．（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習）某廠家擬在2023年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元滿足（其中為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件．已知2023年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
(1)求常數的值，并將2023年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數；
(2)該廠家的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？最大利潤為多少萬元？
【答案】(1)，；
(2)投入3萬元，最大利潤為21萬元.
【分析】（1）當時，求得，由題意中變量之間的關系列出函數即可.
（2）由（1）可得，結合基本不等式計算即可求解.
【詳解】（1）依題意，當時，，則，解得，即，
又每件產品的銷售價格為元，
因此，
所以，.
（2）由（1）知，，
由，得，當且僅當，即時取等號，
因此當時，，
所以該廠家2023年的促銷費用投入為3萬元時獲得利潤最大，且最大值為21萬元.
對點特訓四：分段函數模型
典型例題
例題1．（23-24高一下·四川瀘州·階段練習）麗水市某革命老區因地制宜發展生態農業，打造“生態特色水果示范區”.該地區某水果樹的單株年產量（單位：千克）與單株施肥量x（單位：千克）之間的關系為，且單株投入的年平均成本為元.若這種水果的市場售價為10元/千克，且水果銷路暢通.記該水果樹的單株年利潤為（單位：元）.
(1)求函數的解析式；
(2)求單株施肥量為多少千克時，該水果樹的單株年利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】(1)
(2)施肥量為時，單株年利潤最大為元
【分析】（1）利用利潤=單株產量售價成本，結合分段函數即可得解；
（2）結合二次函數和基本不等式性質分別求出和時對應的，從而得解.
【詳解】（1）當時，，
當時，，
故；
（2）當時，開口向上，其對稱軸為，
所以其最大值為，
當時，，
當且僅當，即時，等號成立，
綜上，施肥量為時，單株年利潤最大為元.
例題2．（23-24高一下·浙江·階段練習）空調是人們生活水平提高的一個標志，炎熱夏天，空調使溫度調節到適合人們工作、學習、生活的舒適環境內，心情好，休息好，工作效率也高，這是社會進步的一個里程碑．為適應市場需求，2024年某企業擴大了某型號的變頻空調的生產，全年需投入固定成本200萬元，每生產x千臺空調，需另投入成本萬元，當年產量不足30千臺時，，當年產量不小于30千臺時，．已知每臺空調售價3000元，且生產的空調能全部銷售完．
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量x（千臺）的函數解析式．
(2)年產量為多少千臺時，該廠該型號的變頻空調所獲利潤最大？并求出最大利潤．
【答案】(1)
(2)當該企業該型號的變頻空調總產量為25千臺時，獲利最大，最大利潤為2925萬元
【分析】（1）根據已知條件，結合利潤銷售額成本公式，分類討論即可求解；
（2）根據（1）的結論及分段函數分段處理，利用二次函數的性質及基本不等式即可求解．
【詳解】（1）當時，，
當時，，
所以
（2）當時，，當時，
取得最大值2925萬元；
當時，．
因為，當且僅當時，等號成立，
所以當時，取得最大值2830萬元．
因為，所以當該企業該型號的變頻空調總產量為25千臺時，獲利最大，最大利潤為2925萬元．
精練
1．（23-24高一上·內蒙古呼和浩特·期中）某鄉鎮為了打造“網紅”城鎮發展經濟，因地制宜的將該鎮打造成“生態水果特色小鎮”.經調研發現：某珍惜水果樹的單株產量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應求，記該水果單株利潤為（單位：元）
(1)寫單株利潤（元）關于施用肥料x（千克）的關系式；
(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大 最大利潤是多少
【答案】(1)；
(2)當施用肥料為4千克時，單株利潤最大，最大利潤是480元.
【分析】（1）根據給定的函數關系，直接求出的解析式.
（2）結合二次函數最值、基本不等式求最值，分段求出函數的最大值，再比較大小即可.
【詳解】（1）依題意，，又，
所以.
（2）當時，，其圖象開口向上，對稱軸為，
因此在上單調遞減，在上單調遞增，在上的最大值為；
當時，
，
當且僅當時，即時等號成立，
而，則當時，，
所以當施用肥料為4千克時，單株利潤最大，最大利潤是480元.
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）第19屆亞運會2023年9月在杭州市舉辦，本屆亞運會以“綠色、智能、節儉、文明”為辦會理念，展示杭州生態之美、文化之韻，充分發揮國際重大賽事對城市發展的牽引作用，從而促進經濟快速發展.等備期間，計劃向某河道投放水質凈化劑，已知每投放a個單位（且）的試劑，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時間x（天）變化的函數關系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的試劑濃度為每次投放的試劑在相應時刻所釋放的濃度之和，根據試驗，當水中凈化劑的濃度不低于4（克/升）時，它才能凈化有效.
(1)若只投放一次4個單位的凈化劑，則有效時間最多能持續幾天？
(2)若先投放2個單位的凈化劑，6天后再投放m個單位的凈化劑，要使接下來的5天中，凈化劑能夠持續有效，試求m的最小值.
【答案】(1)7天；
(2)2.
【分析】（1）根據給定的函數模型求投放一次4個單位的凈化劑的有效時間即可.
（2）由題設，將問題化為在上恒成立，利用基本不等式求右側最大值，即可得求參數最小值.
【詳解】（1）因為一次投放4個單位的凈化劑，
所以水中釋放的濃度為，
當時，，解得；
當時，，解得，
綜上，，所以一次投放4個單位的凈化劑，則有效時間可持續7天.
（2）設從第一次投放起，經過天后濃度為．
因為，則，，
所以，即，令，，
所以，
因為，所以，當且僅當，即時等號成立，
故為使接下來的5天中能夠持續有效m的最小值為2.
對點特訓五：對鉤函數及其應用
典型例題
例題1．（23-24高一上·山東泰安·期中）2020年我國全面建成了小康社會，打贏了脫貧攻堅戰. 某村全面脫貧后，通過調整產業結構，以秀美鄉村建設為契機，大力發展鄉村旅游. 2021年上半年接待游客逾5萬人次，使該村成為當地旅游打卡網紅景點. 該村原有戶從事種植業，據了解，平均每戶的年收入為萬元. 調整產業結構后，動員部分農戶改行從事鄉村旅游業. 據統計，若動員戶從事鄉村旅游，則剩下的繼續從事種植業的平均每戶的年收入有望提高，而從事鄉村旅游的平均每戶的年收入為萬元. 在動員戶從事鄉村旅游后，還要確保剩下的戶從事種植業的所有農戶年總收入不低于原先戶從事種植的所有農戶年總收入.
(1)求的取值范圍；
(2)要使從事鄉村旅游的這戶的年總收入始終不高于戶從事種植業的所有農戶年總收入，求的最大值.
（參考數據：，，）
【答案】(1)
(2)最大值為
【分析】（1）由題意可得，解出即可；
（2）分別表示出從事鄉村旅游的戶農民年總收入、戶從事種植業的農戶總年收入，然后建立不等式求解即可.
【詳解】（1）依題意得，
整理得，解得，
又，
所以的取值范圍為.
（2）從事鄉村旅游的戶農民年總收入為萬元， 戶從事種植業的農戶總年收入為
依題意得恒成立，
即恒成立，
所以恒成立.
因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以當時，最小，又，所以或者. …
當時，，
當時，，
所以，所以的最大值為
例題2．（23-24高二上·河南洛陽·期末）如圖，某工廠欲將一塊邊長為40m的等邊三角形ABC區域用一條公共通道DE分成面積相等的兩個辦公區域，點D，E分別在AB，AC上，設.（公共通道DE所占面積忽略不計）
（1）令，求y關于x的函數關系式并寫出定義域；
（2）若公共通道DE每米造價2000元，請你做一下預算，求出該通道造價最大值和最小值及對應的x值.
【答案】（1），；（2）當時，造價最小為元；當或時，造價最大為元.
【分析】（1）由已知條件得，再根據三角形的面積公式可求得答案；
（2）在中，利用余弦定理得.設函數，運用函數的單調性可求得造價的最小值和最大值，以及所對就的x的值.
【詳解】解：（1）∵，∴，
∴，即，其中.
（2）在中，由余弦定理得，整理得.
設函數，.
又函數在上單調遞減，在上單調遞增.
又，.
所以當時，通道長，造價最小為元；
當或時，通道長，造價最大為元.
精練
1．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）為了加強“平安校園”建設，保障師生安全，某校決定在學校門口利用一側原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室.由于此警務室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元.設屋子的左右兩面墻的長度均為米.
(1)當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價；
(2)現有乙工程隊也要參與此警務室的建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求的取值范圍.
【答案】(1)4米，28800元
(2)
【分析】(1)建立函數模型，利用基本不等式求最小值;(2)根據不等式的恒成立問題求參數的取值范圍.
【詳解】（1）設甲工程隊的總造價為元，
則
.
當且僅當，即時等號成立.
即當左右兩側墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為28800元.
（2）由題意可得，對任意的恒成立.
即，從而恒成立，
令，
又在為單調增函數，故.所以.
2．（23-24高一上·北京通州·期中）從2008年開始的十年間，中國高速鐵路迅猛發展，已經建成“四縱四橫”網絡，“八縱八橫”格局正在構建.到2018年，中國高速鐵路新里程已超過兩萬五千千米，鑄就了一張新的“國家名片”.京津城際高鐵叢北京南站到天津站全長約為120千米.假設高鐵每小時的運輸成本（單位：萬元）由可變部分和固定部分組成；可變部分與平均速度（千米/時）（）的平方成正比，比例系數為0.0005；固定部分為萬元（）.設高速列車在該線路上單程運行一次的總費用為.
(1)把高速列車在該線路上單程運行一次的總費用表示成速度（千米/時）的函數，并指出這個函數的定義域；
(2)當高速列車在該線路上運行的平均速度是多少時，單程運行一次總費用最小？
【答案】(1)，定義域為
(2)答案見解析
【分析】（1）根據題意表示出可變部分的成本與列車的運行時間，即可表示出總的費用f（x）；
（2）分三種情況，結合對勾函數求出取最小值時的的值即可.
【詳解】（1）解：由題意可知，定義域為；
（2）解：由（1）知，
令，（，），
由對勾函數的性質可知，該函數在上單調遞減，在上單調遞增，
①，即時，在上單調遞增，故時，單程運行一次總費用最小；
②，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，
故時單程運行一次總費用最小；
③，即時，在單調遞減，時單程運行一次總費用最小.
綜上可知，時，時，單程運行一次總費用最小；時，時單程運行一次總費用最小；時，時單程運行一次總費用最小.
一、單選題
1．（23-24高一·全國·課后作業）某機器總成本y（萬元）與產量x（臺）之間的函數關系式是y＝x2－75x，若每臺機器售價為25萬元，則該廠獲利潤最大時應生產的機器臺數為（ ）
A．30 B．40
C．50 D．60
【答案】C
【分析】根據題意，利潤為銷售額減去成本，所以設生產x臺，建立關系式f(x)＝25x－y，代入求最大值即可.
【詳解】設安排生產x臺，則獲得利潤f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500.
故當x＝50臺時，獲利潤最大.
故選：C
【點睛】本題考查二次函數的實際應用，考查二次函數去最值，屬于基礎題.
2．（23-24高一上·貴州遵義·階段練習）面積為的長方形的某邊長度為，則該長方形的周長與的函數關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據條件長方形的一邊長度為，則另一邊長為，且，從而得到周長與的函數關系.
【詳解】由條件長方形的一邊長度為，且面積為.
則另一邊長為，且.
所以該長方形的周長.
故選：C.
【點睛】本題考查長方形的面積公式和周長的計算方法，考查求函數解析式，屬于基礎題.
3．（23-24高一·全國·課后作業）在自然界中，某種植物生長發育的數量y與時間x的關系如下表所示：
x 1 2 3 …
y 1 3 5 …
下面的函數關系式中，能表達這種關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據表中數據可判斷函數為一次函數，將各數據代入，驗證可得結論．
【詳解】解：根據表中數據可判斷函數為一次函數，
將各數據代入中均成立，
故選：．
【點睛】本題考查函數模型的選擇，考查學生的計算能力，屬于基礎題．
4．（23-24高一上·寧夏銀川·期中）某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售輛該品牌車的利潤（單位：萬元）分別為和.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為（ ）
A．90萬元 B．60萬元 C．120萬元 D．120.25萬元
【答案】C
【分析】根據題意建立相應的函數模型，轉化為求函數的最大值問題求解即可.
【詳解】設公司在甲地銷售輛，則在乙地銷售輛，公司獲利為，∴當或10時，最大，為120萬元.故選C.
【點睛】本題主要考查函數模型的實際應用，利用數學知識建立相應的函數模型，將實際問題轉化為數學問題，注意實際問題背景下的自變量取值范圍，屬于基礎題.
5．（23-24高一上·江西·階段練習）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的關系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
【答案】A
【分析】利用配方法，求二次函數最大值及相應值即可.
【詳解】由題意，，
則當時，即煙花達到最高點，爆裂的時刻是第秒.
故選：A.
6．（23-24高一上·河南新鄉·期末）某燈具商店銷售一種節能燈，每件進價10元，每月銷售量y（單位：件）與銷售價格x（單位：元）之間滿足如下關系式：（且）．則燈具商店每月的最大利潤為（ ）
A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元
【答案】B
【分析】先建立二次函數模型，再由二次函數的性質求解
【詳解】設燈具商店每月的利潤為z元，
則，
，
故選：B
7．（23-24高一上·浙江·階段練習）如圖，在中，于D，，矩形的頂點E與A點重合，，將矩形沿AB平移，當點E與點B重合時，停止平移，設點E平移的距離為x，矩形與重合部分的面積為y，則y關于x 的函數圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分類討論重合部分的形狀，然后利用面積公式將y關于x 的函數表示出來即可.
【詳解】于D，，
,,
且
故當時，重合部分為三角形，
三角形的高，
面積，函數圖像為開口向上的二次函數，故排除A選項；
當時，重合部分為直角梯形，
上底長為，
下底長為，高為4，
故，
函數圖像為一條直線，故排除D選項；
當時，重合部分可以看作兩個直角梯形，
左邊直角梯形的上底長為，
高為
兩個梯形下底長均為，
右邊直角梯形上底長為，
高為，
故，
圖像為開口下的二次函數，且對稱軸為，故排除B選項；
故選：C
8．（23-24高一上·湖南邵陽·期末）如圖，點P在邊長為1的正方形邊上運動，M是CD的中點，當點P沿運動時，點P經過的路程x與的面積y的函數的圖象的形狀大致是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分點P在AB上時，點P在BC上時，點P在CD上時求得函數，再利用函數的性質來判斷．
【詳解】點P在AB上時,；
點P在BC上時，
；
點P在CD上時，；
所以
畫出分段函數的大致圖象，如圖所示．
故選：A．
二、多選題
9．（23-24高一上·山西·期末）幾名大學生創業時經過調研選擇了一種技術產品，生產此產品獲得的月利潤（單位：萬元）與每月投入的研發經費（單位：萬元）有關.已知每月投入的研發經費不高于16萬元，且，利潤率.現在已投入研發經費9萬元，則下列判斷正確的是（ ）
A．此時獲得最大利潤率 B．再投入6萬元研發經費才能獲得最大利潤
C．再投入1萬元研發經費可獲得最大利潤率 D．再投入1萬元研發經費才能獲得最大利潤
【答案】BC
【分析】結合題目中所給條件及自變量的實際意義，利用二次函數以及基本不等式進行求解.
【詳解】當時，，
故當時，獲得最大利潤，為，故B正確，D錯誤；
，
當且僅當，即時取等號，此時研發利潤率取得最大值2，故C正確，A錯誤.
故選：BC.
三、填空題
10．（2024·重慶·模擬預測）我國的酒駕標準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內每血液中的酒精含量（單位：）與時間（單位：）的關系是：當時，；當時，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經過 才可駕車.
【答案】
【分析】根據二次函數的單調性和反比例函數的單調性進行求解即可.
【詳解】當時，，
當時，函數有最大值，所以當時，飲酒后體內每血液中的酒精含量小于，
當當時，函數單調遞減，令，因此飲酒后小時體內每血液中的酒精含量等于，
故答案為：
四、解答題
11．（23-24高一上·上海閔行·期中）某園林建設公司計劃購買一批機器投入施工．據分析，這批機器可獲得的利潤（單位：萬元）與運轉時間（單位：年）的函數解析式為（，且）．
(1)當這批機器運轉第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤為多少？
(2)當運轉多少年時，這批機器的年平均利潤最大？
【答案】(1)這批機器運轉第6年時，可獲得最大利潤，最大利潤為27萬元；
(2)當運轉3年時，這批機器的年平均利潤最大
【分析】（1）配方得到最值，得到答案；
（2）設出年平均利潤為，表達出，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【詳解】（1），
因為，且，所以當時，取得最大值，
故這批機器運轉第6年時，可獲得最大利潤，最大利潤為27萬元；
（2）設年平均利潤為，
因為，且，則，
當且僅當，即時，等號成立，
故當運轉3年時，這批機器的年平均利潤最大.
12．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）某公司生產一類電子芯片，且該芯片的年產量不超過35萬件，每萬件電子芯片的計劃售價為16萬元．已知生產此類電子芯片的成本分為固定成本與流動成本兩個部分，其中固定成本為30萬元/年，每生產萬件電子芯片需要投入的流動成本為（單位：萬元），當年產量不超過14萬件時，；當年產量超過14萬件時，．假設該公司每年生產的芯片都能夠被銷售完．
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（萬件）的函數解析式；（注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本）
(2)如果你作為公司的決策人，為使公司獲得的年利潤最大，每年應生產多少萬件該芯片？
【答案】(1)
(2)公司獲得的年利潤最大，每年應生產9萬件該芯片
【分析】（1）分和兩種情況，分別求出函數解析式；
（2）結合二次函數及基本不等式求出函數的最大值，即可得解.
【詳解】（1）根據題意得，
當時，，
當時，，
故
（2）當時，，且當時，單調遞增，當時，單調遞減，
此時．
當時，，當且僅當時，等號成立．
因為，故當時，取得最大值24，
即為使公司獲得的年利潤最大，每年應生產萬件該芯片．

展開更多......

收起↑