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復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法
汪 衛(wèi) 國
（孝昌二中，湖北 432900）
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最重要性質(zhì)之一，它有很廣泛的應(yīng)用，在整個高中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，每年全國各地的高考試題幾乎都會涉及到函數(shù)的單調(diào)性，而且多數(shù)情況下都是考察難易程度不同的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，因此，掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法就顯得尤為重要。本文先通過介紹求解復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟，再結(jié)合一些相應(yīng)的例題，以幫助同學(xué)們切實掌握復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法。
定義 由函數(shù)和所構(gòu)成的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)，其中通常稱為外層函數(shù)，稱為內(nèi)層函數(shù)。
求上述復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，我們一般可以按照下面這幾個步驟來進行：
寫出構(gòu)成原復(fù)合函數(shù)的外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)；
求外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（包括增區(qū)間和減區(qū)間）等；
令內(nèi)層函數(shù)，求出的取值范圍；
若集合是內(nèi)層函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，則便是原復(fù)合函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間；若不是內(nèi)層函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，則需把劃分成內(nèi)層函數(shù)的若干個單調(diào)子區(qū)間，這些單調(diào)子區(qū)間便分別是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的復(fù)合原則，分別指出原復(fù)合函數(shù)在集合或這些單調(diào)子區(qū)間的增減性；
令內(nèi)層函數(shù)，同理，重復(fù)上述（3）、（4）、（5）步驟。若外層函數(shù)還有更多的單調(diào)區(qū)間、，則同步驟（6）類似，不斷地重復(fù)上述步驟。
例1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
解 原函數(shù)是由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成的；
易知是外層函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
令，解得的取值范圍為；
由于是內(nèi)層函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間，于是便是原函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間；
根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的復(fù)合原則知，是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。
例2 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解 原函數(shù)是由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成的；
易知是外層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
令，解得的取值范圍為；
結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知不是內(nèi)層函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，但可以把區(qū)間劃分成內(nèi)層函數(shù)的兩個單調(diào)子區(qū)間和，其中是其單調(diào)增區(qū)間，是其單調(diào)減區(qū)間；
于是由復(fù)合函數(shù)“同增異減”的復(fù)合原則可知，是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，是原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。
例3 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解 原函數(shù)是由外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)復(fù)合而成的；
易知和都是外層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
令，解得的取值范圍為；
結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知不是內(nèi)層函數(shù)的一個單調(diào)區(qū)間，但可以把區(qū)間劃分成內(nèi)層函數(shù)的兩個單調(diào)子區(qū)間和，其中是其單調(diào)減區(qū)間，是其單調(diào)增區(qū)間；
于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的復(fù)合原則知，是原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。
同理，令，可求得是原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，是原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間。
綜上可知，原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是和.

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