資源簡介

全等三角形綜合
1．如圖，四邊形中，，平分，平分，若，，求的長．
2．如圖，在△ABC中，△ABC的周長為26 cm，∠BAC＝140°，AB＋AC＝12 cm，AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，與AB、AC分別交于點D、G求：
(1)∠EAF的度數；
(2)求△AEF的周長
3．如圖，中平分，垂直平分交于P，于E．
(1)當時，的度數是________；
(2)求證：．
4．如圖，在中，是斜邊上的高，．求證：．
5．如圖，已知是上一點，，，．
(1)求證：；
(2)若，求的大小．
6．已知一個三角形的三條邊的長分別為：n+6，3n，n+2．（n為正整數）
（1）若這個三角形是等腰三角形，求它的三邊長；
（2）若這個三角形的三條邊都不相等，直接寫出n的最大值為 　 　．
7．在中，，，求與的度數．
8．如圖，在中，是高，、是角平分線，它們相交于點，．
(1)的度數為______；
(2)若，求的度數．
9．如圖，在等腰中，，點，，在的邊上，滿足．
(1)求證：；
(2)當時，求的大小．
10．如圖，在中，AD是高，，是角平分線，它們相交于點O，，求和的度數．
11．在平面直角坐標系中，已知A（其中），B且．
(1)三角形的形狀是_________．
(2)如圖1．若A，C為中點，連接，過點A向右作，且，連CD．過點M作直線垂直于x軸，交于點N，求證：．
(3)如圖2，E在的延長線上，連接，以為斜邊向上構等腰直角三角形，連接，若，求的面積．
12．如圖①，在平面直角坐標系中，，，，其中m、n滿足．
(1)直接寫出的形狀；
(2)如圖②，設點D是線段OB上一點，過點O作于E，過點B作于F．
（?。┣笞C：；
（ⅱ）如圖③，延長BF交OA于點M，若BM平分，求的值．
13．已知，是一條角平分線．
【探究發現】如圖1，若是的角平分線．可得到結論：．
小紅的解法如下：
過點D作于點E，于點F，過點A作于點G，
∵是的角平分線，且，
∴______．
∴______，
又∵，
∴______．
【類比探究】如圖2，若是的外角平分線，與的延長線交于點D．
求證：
【拓展應用】如圖3，在中，，分別是的角平分線且相交于點D，，直接寫出的值是______．
14．如圖，四邊形的位置在平面直角坐標系中如圖所示，已知，，，a，b滿足．點D在y軸上運動，過點D作線段于點D，并使，連接．
(1)求A，B，C的坐標：A，______B，______，C______；
(2)如圖1，若點D在線段（不包含兩個端點）上運動，過點E作軸于F，求證：；
(3)如圖2，當點D運動到y軸的負半軸上，連接交y軸于點M，且，試求點M的坐標．
15．如圖1，等邊與等邊的頂點，，三點在一條直線上，連接交于點，連．
(1)求證：；
(2)求證：平分；
(3)設，若，直接寫出a，b，c之間滿足的數量關系．
16．如圖，點，且a，b滿足．若P為x軸上異于原點O和點A的一個動點，連接，以線段為邊構造等腰直角（P為頂點），連接．
(1)如圖1，直接寫出點A的坐標為___________，點B的坐標為___________；
(2)如圖2，當點P在點O，A之間時，連接，，證明；
(3)如圖3，點P在x軸上運動過程中，若所在直線與y軸交于點F，請直接寫出F點的坐標為___________，當的值最小時，請直接寫出此時與之間的數量關系___________．
17．（1）問題背景：如圖1，在和中，，，，連接、，直接寫出線段和線段的數量關系______；
（2）問題探究：如圖2，在和中，，，，點在內，延長交于點，當點是線段中點時，求證：；
（3）延伸拓展：如圖3，在和中，，，，連接、，過點A作于點，反向延長交于點，求證；．
18．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，點E在第三象限，點D在x軸上運動．
(1)如圖1所示，當點的坐標為時，求點的坐標；
(2)如圖2所示，點在線段上運動時，連接、，連接并延長與軸交于點，求點的坐標；
(3)如圖3，設的邊與軸交于點，與軸交于點，當點在線段上運動，且滿足時，在線段上取點，且，連接交軸于點．下列結論：①；②為等腰三角形，其中只有一個結論是正確，請判斷出正確的結論，并寫出證明過程．
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試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．5
【分析】根據四邊形內角和定理與三角形角平分線的定義推出，再根據含角的直角三角形的性質即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
直角三角形中，，，
∴．
故．
【點睛】此題主要考查了角平分線的定義，四邊形內角和定理，含角的直角三角形的性質等知識，解題關鍵是熟練掌握各性質與定理．
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據三角形內角和定理求出∠B＋∠C，根據線段垂直平分線的性質得到EA＝EB，FA＝FC，進而得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，然后計算即可；
（2）根據三角形的周長公式結合EA＝EB，FA＝FC計算即可．
【詳解】（1）解：∵∠BAC＝140°，
∴∠B＋∠C＝180° 140°＝40°，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，
∵FG是AC的垂直平分線，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠C，
∴∠EAF＝∠BAC （∠EAB＋∠FAC）＝∠BAC （∠B＋∠C）＝140° 40°＝100°；
（2）∵△ABC的周長為26cm，AB＋AC＝12cm，
∴BC＝26 12＝14cm，
∵EA＝EB，FA＝FC，
∴△AEF的周長＝EA＋EF＋FA＝EB＋EF＋FC＝BC＝14cm．
【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．
3．(1)124°
(2)證明見解析
【分析】（1）根據垂直平分線的性質推出，即可得出結果；
（2）過點作與點，利用證明得出，，再利用證明得出，即可推出結論．
【詳解】（1）解：垂直平分，
，
，
，
故答案為：；
（2）證明：如圖，過點作于點，
是的平分線，
，
，，
．
在和中，
，
，
，，
在與中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質．
4．證明見詳解．
【分析】根據角直角三角形性質可得 ，，的關系即可得到證明．
【詳解】證明∵是斜邊上的高，
∴ ，
∵，
∴ ，
在與中
，，
∴，
∴．
【點睛】本題考查角直角三角形性質： 直角三角形中角所對直角邊等于斜邊一半．
5．(1)見解析
(2)
【分析】（1）由，，得，證明，得；
（2）由，，得，即可根據三角形內角和定理即可求解．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理、全等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
6．（1）它的三邊長分別為；（2）7．
【分析】（1）分①和②兩種情況，分別解方程求出的值，再根據三角形的三邊關系定理即可得出答案；
（2）先根據和可得和，再分，和三種情況，分別根據三角形的三邊關系定理，結合為正整數即可得．
【詳解】解：（1）由題意，分以下兩種情況：
①當，即時，
這個三角形是等腰三角形，它的三邊長分別為，
，
滿足三角形的三邊關系定理，符合題意；
②當，即時，
這個三角形是等腰三角形，它的三邊長分別為，
，
不滿足三角形的三邊關系定理，舍去；
綜上，它的三邊長分別為；
（2）這個三角形的三條邊都不相等，
和，
解得和，
①當時，長為的邊是最長邊，
由三角形的三邊關系定理得：，
解得，不符題設，舍去；
②當時，長為的邊是最長邊，
由三角形的三邊關系定理得：，
解得，
則此時的取值范圍是，
為正整數，
此時；
③當時，長為的邊是最長邊，
由三角形的三邊關系定理得：，
解得，
則此時的取值范圍是，
為正整數，
此時的所有可能取值是；
綜上，符合條件的的所有可能取值是，
則所求的的最大值是7，
故答案為：7．
【點睛】本題考查了等腰三角形的定義、三角形的三邊關系定理、一元一次不等式的應用等知識點，較難的是題（2），正確分三種情況討論是解題關鍵．
7．，
【分析】根據三角形內角和定理，可得，結合，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，．
【點睛】本題主要考查三角形內角和定理，掌握三角形內角和等于是關鍵．
8．(1)
(2)
【分析】（1）根據角平分線的定義得出，根據三角形內角和定理得出，進而即可求解；
（2）根據三角形內角和定理求得，根據是的角平分線，得出，根據 ，即可求解．
【詳解】（1）解：∵、是、的角平分線，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）解：∵在中，是高，，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∴ ，
∴．
【點睛】本題考查了三角形中線，角平分線，三角形內角和定理，掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
9．(1)見解析
(2)
【分析】（1）由已知等腰中，，可得，再證明，即得；
（2）在中，由，，求得，再結合，可得，在中，有，再由，推導得到，最后由及三角形內角和定理，得到的大?。?br/>【詳解】（1）證明：∵等腰中，，
∴，
在與中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵等腰中，，
∴，
∵在中，，
又∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵在中，，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，，
∴．
【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定及性質，等腰三角形的性質，綜合運用以上知識是解題的關鍵．
10．，
【分析】利用角平分線的定義，可求出，的度數，由，可得出，利用三角形內角和定理，可求出的度數，將其代入中，可求出的度數，利用三角形的外角性質，可求出的度數，再結合鄰補角互補，即可求出的度數．
【詳解】解：平分，平分，
，．
，
．
在中，，，
，
．
，，
．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理、三角形的外角性質、角平分線的定義、垂線以及鄰補角，根據各角之間的關系，求出和的度數是解題的關鍵．
11．(1)等腰直角三角形
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）證明，可得結論；
（2）過點D作軸，垂足為H，交于點S．則．證明，推出，再證明，可得結論；
（3）如圖2中，過點O作交的延長線于點T，連接．證明，推出，可得結論．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形．
故答案為：等腰直角三角形；
（2）證明：過點D作軸，垂足為H，交于點S．則．
∵，
∴．
∵C為中點，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，垂直于x軸，軸，
∴，
∴，．
∴，
在和中，
∴，
∴；
（3）如圖2中，過點O作交的延長線于點T，連接．
∵為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，，
∴，
∴．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
12．(1)等腰直角三角形
(2)（?。┳C明解解析；（ⅱ）
【分析】（1）利用二次根式，被開方數大于等于0，得到：，從而求出，分別求出三邊長度，再進行判斷即可；
（2）（?。┳C明，即可得證；（ⅱ）如圖，取的中點，連接，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，得到：，利用角平分線和外角的性質，得到：為等腰直角三角形，進而得到：，即可得解．
【詳解】（1）解：，
∵
∴，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（2）（ⅰ）證明：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（ⅱ）解：如圖，取的中點，連接．
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查二次根式的性質，全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，以及直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握二次根式的被開方數大于等于零，以及全等三角形的判定方法，證明三角形全等，是解題的關鍵．
13．（1）；；；（2）見解析；（3）
【分析】探究發現：根據題干中的解題思路求解即可；
類比探究：過點D作于N，過點D作于M．過點A作于點P．利用角平分線的性質及等面積法證明即可；
拓展應用：在BC上取點G，使得，連接，先利用全等三角形的判定得出再由其性質及前面的結論求解即可．
【詳解】探究發現：解：過點D作于點E，于點F，過點A作于點G，
∵是的角平分線，且，
∴
∴，
又∵，
∴，
故答案為：，；；
類比探究：證明：過點D作于N，過點D作于．過點A作于點P．
∵平分，
∴．
∴，
∴
拓展應用：在BC上取點G，使得，連接，
∵分別是的角平分線且相交于點D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴是的角平分線
由（1）知，，
設，，則，
由（1）知，
．
【點睛】題目主要考查角平分線的性質及全等三角形的判定和性質，三角形等面積法等，理解題意，熟練掌握運算角平分線的性質是解題關鍵．
14．(1)，，
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據非負數的性質求出a和b，進而可求出A，B，C的坐標；
（2）證明即可求出結論成立；
（3）設，可得，延長，于點H，然后利用列方程可求出m的值，進而可求出點M的坐標．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，，
故答案為：，，；
（2）證明：由（1）知，，且．
∵軸，，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即證．
（3）解：設，
由（2）知，，
∴，
延長，于點H，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質，非負數的性質，全等三角形的判定與性質，以及三角形的面積公式，數形結合是解答本題的關鍵．
15．(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）由題意結合等邊三角形的性質，可得，，，即，再證，即可證得；
（2）過點作交于點，過點作交于點，由，根據全等三角形對應邊上的高相等，可得，，再由角平分線的判定可得，平分；
（3）過點作交于點，過點作交于點，在上截取一點，使得，在上截取一點，使得，連接，，先證，推導得，同法可證，，最后根據三角形面積關系，得出，則可得到答案．
【詳解】（1）證明：∵等邊與等邊的頂點，，三點在一條直線上，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，
∵等邊，等邊，
∴，，
在與中，
∵，
∴，
∴．
（2）證明：如圖1，過點作交于點，過點作交于點，
∵（1）中已證，
又∵，，
∴，
∵，，
∴平分．
（3），理由如下：
如圖2，過點作交于點，過點作交于點，在上截取一點，使得，在上截取一點，使得，連接，，
∵，
∴，
∵，
又∵等邊，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
即，
在與中，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
同法可證，，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∵（2）中已證，
∴，
∴，
即．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質及判定，三角形全等的判定及性質應用，三角形面積關系等，綜合性強，難度較大．
16．(1)，
(2)見解析
(3)，
【分析】（1）根據非負數的性質得到，，得到，，于是得到結果；
（2）過點作軸于，證明，由全等三角形的性質得出，，由等腰直角三角形的性質得出，證出，則可得出結論；
（3）由直角三角形的性質證出，則可得出；取點，連接，，與關于直線對稱，連接交于，連接，則，根據三角形的面積關系可得出．
【詳解】（1）解：，
，，
，，
、，
故答案為：，；
（2）證明：過點作軸于，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，
，
；
取點，連接，，
，，
與關于直線對稱，連接交于，連接，則，
此時最小，，
到，的距離相等，，，
，
，
．
故答案為：，．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，坐標與圖形的性質，，等腰直角三角形的判定與性質，三角形的面積等知識點，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
17．（1）；（2）見解析；（3）見解析
【分析】（1）根據證明，即可得出；
（2）延長至點M，使，連接，證明，得出，，，得出，證明，得出，，得出，證明，求出，即可得出答案；
（3）過點E作，延長交于點F，證明，得出，，證明，得出，證明，即可得出答案．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
即，
∵在和中，
∴，
．
故答案為：．
（2）延長至點M，使，連接，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∵點是線段中點，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）過點E作，延長交于點F，如圖所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，余角的性質，平行線的性質，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形，熟練掌握三角形全等的判定方法．
18．(1)
(2)
(3)結論②為等腰三角形是正確的；理由見解析
【分析】（1）過點E作軸于點F，證明，得出，，即可得出答案；
（2）過點E作軸于點F，根據解析（1）得出，得出，，證明，得出，證明
，得出，即可得出答案；
（3）在x軸上截取，連接，證明，，，再證明，從而證明，
得出，證明，得出，即可證明結論．
【詳解】（1）解：過點E作軸于點F，如圖所示：
∵點的坐標為，點的坐標為，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵點在第三象限，
∴點E的坐標為：．
（2）解：過點E作軸于點F，如圖所示：
根據解析（1）可知，，
∴，，
∵點A的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點P的坐標為：．
（3）解：結論②為等腰三角形是正確的；理由如下：
在x軸上截取，連接，如圖所示：
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即為等腰三角形．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，三角形全等的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，余角的性質，作出輔助線，構造全等三角形，熟記全等三角形的判定方法，是解題的關鍵．
答案第1頁，共2頁

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