資源簡介

三角形知識梳理+題型總結
知識點1：三角形和與它等底等高的平行四邊形面積的關系
用兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，三角形的面積是它所
拼成的平行四邊形面積的一半，所以每個三角形的面積=兩個完全一樣的三角
形所拼成的平行四邊形的面積÷2。
知識點2：三角形的面積公式
三角形的面積＝底×高÷2
如果用S表示三角形的面積，用a和h分別表示三角形的底和高，上面的公式可以寫成：
重難點一：等底(或等高)、等面積的三角形和平行四邊形的高(或底)之間的關系
【例題】兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，這個平行四邊形的底等于三角形的( )，平行四邊形的高等于三角形的（ ），每個三角形的面積等于平行四邊形面積的( )。因為平行四邊形的面積=底×高，所以三角形的面積=( )。
答案：底，高，一半，底×高÷2
【變式1】用兩個完全一樣的三角形能拼成一個底10厘米、高8厘米的平行四邊形，每個三角形的面積是多少平方厘米？
答案：10×8÷2=40平方厘米
【變式2】一個平行四邊形的底是6厘米，高是14厘米，它的面積是（ ）平方厘米，與它等底等高的三角形的面積是( ）平方厘米。
答案：84平方厘米，42平方厘米
【變式3】一個三角形的面積比與它等底等高的平行四邊形的面積少12平方分米，則平行四邊形的面積是（ ）平方分米，三角形的面積是( ）平方分米。
答案：24平方分米，12平方分米
重難點二：三角形面積公式的基礎應用
【例題】計算下面三角形的面積。
答案：應用三角形的面積公式可得：20平方厘米，6平方厘米，360平方厘米
【變式】一塊三角形木板，底是26分米，比高短14分米。這塊木板的面積是多少平方分米
答案:高是26+14=40分米，應用三角形的面積公式26×40÷2=520平方分米
重難點三：三角形公式逆應用
【例題】一個三角形的面積是200平方厘米，它的底是40厘米。你能求出這個三角形的高嗎
答案:三角形公式逆應用，，200×2÷40=10厘米。
【變式1】 一塊三角形交通標識（如圖)，面積是36dm ，底是9dm。這個底對應的高是多少分米
答案:三角形公式逆應用，，36×2÷9=8分米
【變式2】如圖，學校在圍墻的一角建了一個直角三角形的花壇，至少需要多長的籬笆
答案：15×20÷2=150平方米，150×2÷12=18米
易錯點：對拼成平行四邊形的兩個三角形認識不足
【例題】判斷：如果兩個三角形等底等高，那么它們一定能拼成一個平行四邊形。（ ）
答案：×
解析兩個三角形能拼成一個平行四邊形，一定要保證這兩個三角形完全相同，而等底等高只能說明面積相等，但形狀不一定相同。如下圖，這兩個三角形等底等高，但它們不能拼成一個平行四邊形。
【變式1】判斷：任意一個三角形的面積都等于平行四邊形面積的一半。（ ）
答案：×
【變式2】面積相等的兩個三角形，一定能拼成一個平行四邊形，。（ ）
答案：×
拓展點一：裁小旗問題
【例題】用一塊長為50厘米、寬為10厘米的長方形紅布做形狀為直角三角形的小旗，小旗的兩條直角邊分別是8厘米和5厘米，這塊布最多可以做多少面這樣的小旗？
答案：用一塊長為50厘米、寬為10厘米的長方形紅布做形狀為直角三角形的小旗，小旗的兩條直角邊分別是8厘米和5厘米，看看長方形的長有多少個8厘米，寬有多少個5厘米，兩個數相乘再乘上二就是需要的個數。
50÷8=6（個）......2(cm)，10÷5=2（個），6×2×2=24個
答這塊布最多可以做面這樣的24小旗。
【變式】一張長方形彩紙，長是16厘米，寬是8厘米，如果用它做成兩條直角邊分別是3cm，4cm的直角三角形小旗，最多可以做多少面這樣的小旗？
答案：用一塊長為16厘米、寬為8厘米的長方形紅布做形狀為直角三角形的小旗，小旗的兩條直角邊分別是3厘米和4厘米，看看長方形的長有多少個3厘米，寬有多少個4厘米，兩個數相乘再乘上二就是需要的個數。
16÷3=5（個）......1(cm)，8÷4=2（個），5×2×2=20個
拓展點二：求運用推理法陰影部分面積（三角形和長方形、平行四邊形綜合考察）
【例題】 下圖平行四邊形的面積是50dm 。陰影部分的面積是多少
答案：無論三角形處于平行四邊形中的什么位置，只要它與平行四邊形等底等高，三角形的面積總是平行四邊形面積的一半。50÷2=25dm
【變式1】如圖，陰影部分的面積是24平方厘米，那么平行四邊形的面積是多少平方厘米
答案：無論三角形處于平行四邊形中的什么位置，只要它與平行四邊形等
底等高，三角形的面積總是平行四邊形面積的一半。24÷2=12dm
【變式2】平行四邊形ABCD的面積是36平方米，E是CD邊的中點，求陰影部分的面積。
答案：36÷2÷2=9平方米
一、選擇題
1．一個三角形與一個平行四邊形的面積相等，底也相等。如果三角形的高是4分米，那么平行四邊形的高是（ ）分米。
A．2 B．1 C．8 D．4
2．一個直角三角形三條邊的長度分別是6厘米、8厘米和10厘米。這個直角三角形的面積是（ ）平方厘米。
A．24平方厘米 B．30平方厘米 C．40平方厘米
3．一個三角形的面積是15平方米，底是10米，高是（ ）米。
A．6 B．3 C．1.5
4．用一張長方形紙剪同樣的三角形（不允許拼接），最多能剪出（ ）個這樣的三角形。
A．10 B．20 C．21 D．42
5．如圖是由6個大小一樣的正方形拼成的圖形，陰影部分甲、乙、丙的面積關系為（ ）。
A．甲＞乙＞丙 B．甲＜乙＜丙 C．甲＝乙＝丙 D．無法比較
6．如圖，在一組平行線間有一個長方形和一個平行四邊形，它們當中的陰影部分面積相比，（ ）。
A．甲的面積大 B．一樣大 C．乙的面積大 D．無法比較
二、填空題
7．用一張邊長90厘米的正方形紅紙，做底和高都是5厘米的直角三角形小紅旗，最多可以做( )面。
8．如圖，正方形的周長是64cm，則涂色部分的面積是( )cm2。
9．一個三角形，底是8米，高是60分米，面積是( )平方米，與它等底等高的平行四邊形的面積是( )平方米。
10．一個三角形與一個平行四邊形的底相等，高也相等，如果平行四邊形的面積比三角形的面積大18平方厘米，這個三角形的面積是( )平方厘米，平行四邊形的面積是( )平方厘米。
11．一個等腰三角形的周長是36厘米，一條腰長13厘米，底邊上的高是12厘米，那么這個三角形的面積是( )平方厘米。
12．一個直角三角形（如圖）的三條邊分別是15厘米、20厘米和25厘米，這個直角三角形最長邊上的高是( )厘米。
13．一個平行四邊形的面積是24平方厘米，在這個平行四邊形中畫一個最大的三角形，這個三角形的面積是( )平方厘米。
14．一塊三角形菜地，底是60分米，高是25分米。如果在菜地里種番茄，平均每棵番茄占地15平方分米，這塊菜地一共可以種 棵番茄。
15．一張長150厘米、寬45厘米的長方形紙，把它剪成兩條直角邊分別是30厘米、15厘米的直角三角形，最多可以剪( )個。
16．如圖，平行四邊形的面積是84平方厘米，長方形的面積是 平方厘米，三角形的面積是 平方厘米。
三、判斷題
17．下圖中，兩條平行線之間的兩個圖形的面積相等。( )
四、計算題
18．計算下面三角形的面積。
19．計算下面圖形陰影部分的面積。（單位：厘米）
五、解答題
20．王伯伯有一塊地（如圖），他把這塊地分成一個平行四邊形和一個三角形。平行四邊形區域種西紅柿，三角形區域種韭菜，已知種韭菜的面積是4平方米，種西紅柿的面積是多少平方米？
21．下圖兩個平行四邊形的面積都是50平方厘米，兩個涂色三角形的面積相等嗎？為什么？
22．一面用紙做成的直角三角形小旗，兩條直角邊分別長為14厘米和30厘米。做20面這樣的小旗，至少需要用紙多少平方厘米？
23．一塊菜地的形狀是三角形，它的底是80米，高是30米，如果每平方米可種5棵大白菜，這塊菜地一共可以種多少棵大白菜？
24．魯山五里嶺酥梨種植基地有塊近似三角形的梨園，底45米，高30米。如果平均每棵梨樹占地9平方米，這個梨園一共有多少棵梨樹？
25．填一填，畫一畫，下圖中5個正方形的面積都相等。
（1）圖形（ ）和圖形（ ）的面積相等；三個圖形相比，面積最大的是（ ）。
（2）請你畫一個圖形D，使它的面積和圖形C相等。
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試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．A
【分析】等面積等底的平行四邊形和三角形，三角形的高是平行四邊形高的2倍，直接用三角形的高÷2＝平行四邊形的高，據此列式計算。
【詳解】4÷2＝2（分米）
平行四邊形的高是2分米。
故答案為：A
2．A
【分析】直角三角形的斜邊最長。10＞8＞6，則這個直角三角形的兩條直角邊是6厘米和8厘米，即是三角形的一組底和高。三角形的面積＝底×高÷2，據此代入數據計算即可。
【詳解】6×8÷2
＝48÷2
＝24（平方厘米）
這個直角三角形的面積是24平方厘米。
故答案為：A
3．B
【分析】三角形的面積＝底×高÷2，據此用三角形的面積乘2，再除以底即可求出高。
【詳解】15×2÷10
＝30÷10
＝3（米）
高是3米。
故答案為：B
4．B
【分析】剪的兩個同樣的三角形可組成一個長10厘米，寬5厘米的長方形。只要求出在長53厘米的邊上，能剪幾個5厘米寬的長方形，就能求出最多能剪幾個這樣的三角形，據此解答。
【詳解】53÷5＝10（個）……3（厘米）
10×2＝20（個）
最多能剪20個這樣的三角形。
故答案為：B
5．C
【分析】三角形面積＝底×高÷2。看圖，三個陰影部分均為三角形，并且底和高均為正方形的邊長。等底等高的三角形，面積相等。據此解題。
【詳解】陰影部分甲、乙、丙的面積關系：甲＝乙＝丙。
故答案為：C
6．B
【分析】根據題意，在一組平行線間有一個長方形和一個平行四邊形，則兩條平行線間的距離相等，長方形的寬、平行四邊形的高都等于兩條平行線間的距離，設兩條平行線間的距離是1cm。
長方形中的陰影部分是三角形甲，底等于長方形的寬，高等于長方形的長；平行四邊形中的陰影部分是三角形乙，底等于平行四邊形的底，高等于平行四邊形的高。
根據三角形的面積＝底×高÷2，分別求出甲、乙兩個三角形的面積，再比較，得出結論。
【詳解】設兩條平行線間的距離是1cm。
甲的面積：1×6÷2＝3（cm2）
乙的面積：6×1÷2＝3（cm2）
甲的面積＝乙的面積
所以，它們當中的陰影部分面積相比，一樣大。
故答案為：B
【點睛】本題考查三角形面積公式的運用，明白兩條平行線間的距離相等，以及從圖中找出三角形與長方形、平行四邊形的關系是解題的關鍵。
7．648
【分析】因為90厘米是5厘米的整數倍，可知正方形紅紙剛好可以全部剪成小紅旗，沒有剩余，所以三角形小旗的面數＝正方形的面積÷三角形面積。再根據正方形面積＝邊長×邊長，三角形面積＝底×高÷2。把數據代入解答即可。
【詳解】90×90÷（5×5÷2）
＝8100÷12.5
＝648（面）
所以，最多可以做648面。
8．128
【分析】
將正方形的周長除以4，求出正方形的邊長。看圖可知，正方形邊長和三角形的底、高相等。三角形面積＝底×高÷2，由此求出涂色部分的面積。
【詳解】64÷4＝16（cm）
16×16÷2＝128（cm2）
所以，涂色部分的面積是128cm2。
9． 24 48
【分析】三角形面積＝底×高÷2，據此求出三角形面積；等底等高的平行四邊形和三角形，平行四邊形面積是三角形面積的2倍，直接用三角形面積×2＝平行四邊形面積，注意統一單位。
【詳解】60分米＝6米
8×6÷2＝24（平方米）
24×2＝48（平方米）
一個三角形，底是8米，高是60分米，面積是24平方米，與它等底等高的平行四邊形的面積是48平方米。
10． 18 36
【分析】因為等底等高的平行四邊形的面積是三角形面積的2倍，所以等底等高的平行四邊形與三角形的面積差就是這個三角形的面積，如果平行四邊形的面積比三角形的面積大的18平方厘米就是三角形的面積。三角形面積×2＝平行四邊形的面積，據此解答即可。
【詳解】18×2＝36（平方厘米）
則這個三角形的面積是18平方厘米，平行四邊形的面積是36平方厘米。
11．60
【分析】等腰三角形兩條腰長度相等，則這個等腰三角形的底邊長是36－13－13＝10（厘米）。三角形的面積＝底×高÷2，據此代入數據計算即可。
【詳解】36－13－13＝10（厘米）
10×12÷2＝60（平方厘米）
那么這個三角形的面積是60平方厘米。
12．12
【分析】直角三角形兩直角邊可以看作底和高，較短的兩條邊是直角邊，根據三角形面積＝底×高÷2，據此求出三角形面積，再根據三角形的高＝面積×2÷底，求出最長邊上的高。
【詳解】15×20÷2＝150（平方厘米）
150×2÷25＝12（厘米）
這個直角三角形最長邊上的高是12厘米。
13．12
【分析】根據題意，在一個平行四邊形里畫一個最大的三角形，那么這個三角形與平行四邊形等底等高；根據三角形的面積＝底×高÷2，平行四邊形的面積＝底×高，可知等底等高的三角形的面積是平行四邊形面積的一半，據此解答。
【詳解】24÷2＝12（平方厘米）
則這個三角形的面積是12平方厘米。
14．50
【分析】根據三角形的面積公式計算出菜地的面積，這塊菜地可以種番茄的數量＝菜地面積÷每棵番茄占地面積，據此解答。
【詳解】
（棵）
即這塊菜地一共可以種50棵番茄。
15．30
【分析】因為150厘米是30厘米的5倍，45厘米是15厘米的3倍，所以把這張長方形紙剪成一些直角三角形不會浪費材料。即可用長方形紙的面積除以直角三角形的面積，求出最多可以剪的直角三角形的個數。先根據長方形的面積＝長×寬，用150×45求出長方形的面積是6750平方厘米；再根據三角形的面積＝底×高÷2，用30×15÷2求出直角三角形的面積是225平方厘米；最后用6750÷225求出最多可以剪的直角三角形的個數。
【詳解】150×45＝6750（平方厘米）
30×15÷2
＝450÷2
＝225（平方厘米）
6750÷225＝30（個）
所以，最多可以剪30個。
16． 84 84
【分析】由題意可知，長方形、三角形和平行四邊形的高相等，根據平行四邊形的面積＝底×高，那么高＝面積÷底，據此求出平行四邊形的高，再根據長方形的面積＝長×寬，三角形的面積＝底×高÷2，把數據代入公式解答。
【詳解】84÷7＝12（厘米）
7×12＝84（平方厘米）
14×12÷2
＝168÷2
＝84（平方厘米）
則長方形的面積是84平方厘米，三角形的面積是84平方厘米。
17．√
【分析】設平行四邊形、三角形的高均為2厘米，根據平行四邊形的面積＝底×高，三角形的面積＝底×高÷2，別表示出平行四邊形、三角形的面積，比較即可判斷。
【詳解】設平行四邊形、三角形的高均為2厘米，
平行四邊形的面積為2×2＝4（平方厘米）
三角形的面積為4×2÷2＝4（平方厘米）
4平方厘米＝4平方厘米，所以兩個圖形的面積相等。
故答案為：√
【點睛】本題主要考查平行四邊形、三角形的面積公式的靈活運用。
18．20cm2；6dm2；360m2
【分析】根據三角形的面積＝底×高÷2，代入數據計算即可求解。
【詳解】（1）8×5÷2
＝40÷2
＝20（cm2）
三角形的面積是20cm2。
（2）3×4÷2
＝12÷2
＝6（dm2）
三角形的面積是6dm2。
（3）45×16÷2
＝720÷2
＝360（m2）
三角形的面積是360m2。
19．24平方厘米
【分析】陰影部分是一個底為8厘米，高為6厘米的三角形，三角形面積＝底×高÷2，將數值代入計算即可。據此解答。
【詳解】8×6÷2
＝48÷2
＝24（平方厘米）
陰影部分的面積是24平方厘米。
【點睛】正確找出三角形的底和高，利用三角形面積公式計算是解答的關鍵。
20．12平方米
【分析】根據三角形的面積公式：底×高÷2，可知三角形的高＝面積×2÷底，又由圖可知，三角形和平行四邊形高相等，據此根據平行四邊形面積公式：底×高，代入數據計算即可。
【詳解】4×2÷4
＝8÷4
＝2（米）
6×2＝12（平方米）
答：種西紅柿的面積是12平方米。
21．相等；理由見詳解
【分析】已知兩個平行四邊形的面積都是50平方厘米，觀察圖形可知，兩個涂色三角形與平行四邊形等底等高，根據三角形的面積＝底×高÷2，平行四邊形的面積＝底×高，可知三角形的面積是與它等底等高平行四邊形面積的一半，據此解答。
【詳解】50÷2＝25（平方厘米）
答：兩個涂色三角形的面積相等，都是25平方厘米。因為兩個涂色三角形與平行四邊形等底等高，所以兩個涂色三角形的面積都等于平行四邊形面積的一半。
22．4200平方厘米
【分析】直角三角形兩直角邊可以看作底和高，根據三角形面積＝底×高÷2，先求出一面小旗的面積，一面小旗的面積×面數＝需要的紙的面積，據此列式解答。
【詳解】14×30÷2×20
＝210×20
＝4200（平方厘米）
答：至少需要用紙4200平方厘米。
23．6000棵
【分析】根據三角形面積＝底×高÷2，計算出菜地面積，再乘每平方米可種大白菜的棵數，據此可得出答案。
【詳解】可種大白菜棵數為：
80×30÷2×5
＝2400÷2×5
＝1200×5
＝6000（棵）
答：這塊菜地一共可以種6000棵大白菜。
24．75棵
【分析】根據三角形面積公式：面積＝底×高÷2，代入數據，求出梨園的面積，再除以9，即可解答。
【詳解】45×30÷2÷9
＝1350÷2÷9
＝675÷9
＝75（棵）
答：這個梨園一共有75棵梨樹。
25．（1）A；B；C
（2）圖見詳解
【分析】（1）觀察圖形，根據正方形的四條邊都相等，可知圖形A、B、C等底等高。根據三角形＝底×高÷2，平行四邊形的面積＝底×高，可以得出三個圖形的面積之間的大小關系。
（2）根據三角形、平行四邊形及梯形的面積之間的關系，可以畫出和圖形C面積相等的合適的圖形。
【詳解】（1）假設這個正方形的邊長為2；
三角形的面積：2×2÷2
＝4÷2
＝2
平行四邊形的面積＝2×2＝4
所以圖形A和圖形B的面積相等；三個圖形相比，面積最大的是C。
（2）如圖：
【點睛】本題通過觀察和分析圖形之間的關系，不僅考查學生對于三角形和平行四邊形面積公式的靈活運用能力，而且提升學生的作圖思維和綜合分析能力。

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