資源簡介

第一章《集合與常用邏輯用語》
1.1　集合的概念
【知識梳理】
知識點一　元素與集合的概念
1．元素：一般地，把研究對象統稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合，(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指構成兩個集合的元素是一樣的．
4．集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性．
知識點二　元素與集合的關系
1．屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.
2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a A.
知識點三　常見的數集及表示符號
數集 非負整數集(自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*或N＋ Z Q R
知識點四　列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
知識點五　描述法
一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，
這種表示集合的方法稱為描述法．
【基礎自測】
1．已知集合，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】對于A：由是集合，所以，∴選項A錯誤；
對于B：當時，，與集合中元素的互異性相矛盾，∴選項B錯誤；
對于C：當時，，，不合題意，∴選項C錯誤；
對于D：當，時，，符合題意，∴選項D正確.
故選：D.
2．已知集合，若，則實數的值為（ ）．
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【詳解】，且，或
⑴當即或，
①當時，，，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
②當時，，，此時，符合題意；
⑵當即時，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
綜上所述：實數的值為1.
故選：B
3．已知集合，則集合中元素的個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【詳解】當取相同數時，；當取不同數時，的取值可能為1或2,
故中共有3個元素.
故選:B .
4．下列說法中：①集合N與集合N*是同一個集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正確的有________．
【答案】②④
【詳解】因為集合N*表示正整數集，N表示自然數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集，所以①③中的說法不正確，②④中的說法正確．
5．用列舉法表示集合：為________．
【答案】
【詳解】由題知：=
故答案為：.
【例題詳解】
一、集合的概念
例1　(1)下面給出的四類對象中，構成集合的是（ ）
A．某班視力較好的同學 B．長壽的人
C．的近似值 D．倒數等于它本身的數
【答案】D
【分析】根據集合的定義分析判斷即可.
【詳解】對于A，視力較好不是一個明確的定義，故不能構成集合；
對于B，長壽也不是一個明確的定義，故不能構成集合；
對于C， 的近似值沒有明確近似到小數點后面幾位，
不是明確的定義，故不能構成集合；
對于D，倒數等于自身的數很明確，只有1和-1，故可以構成集合；
故選：D.
(2)（多選）下列各組中的M，P表示同一集合的是（ ）
A．M={3，-1}，P={(3，-1)}
B．M={(3，1)}，P={(1，3)}
C．M={y|y=-1}，P={t|t=-1}
D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R}
【答案】CD
【分析】利用集合相等的定義判斷.
【詳解】在A中，M={3，-1}是數集，P={(3，-1)}是點集，二者不是同一集合，故錯誤；
在B中，M={(3，1)}，P={(1，3)}表示的不是同一個點的集合，二者不是同一集合，故錯誤；在C中，M={y|y=-1}={y|y≥-1}，P={t|t=-1}={t|t≥-1}，二者表示同一集合，故正確；
在D中，M={m|m≥4，m∈R}，即M中元素為大于或等于4的所有實數，P={y|y=(x+1)2+4}，y=(x+1)2+4≥4，所以P中元素也為大于或等于4的所有實數，故M，P表示同一集合，故正確．
故選：CD
跟蹤訓練1　(1)以下元素的全體能構成集合的是（ ）
A．中國古代四大發明 B．接近于1的所有正整數
C．未來世界的高科技產品 D．地球上的小河流
【答案】A
【分析】根據集合的知識可選出答案.
【詳解】中國古代四大發明具有確定性，能構成集合，故A滿足；
接近于1的正整數不確定，不能構成集合，故B不滿足；
未來世界的高科技產品不確定，不能構成集合，故C不滿足；
地球上的小河流不確定，不能構成集合，故D不滿足；
故選：A
(2)已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，則p=_______，q=_______．
【答案】 -4 4
【分析】根據A={x|x2+px+q=0}={2}，由2是方程x2+px+q=0的等根求解.
【詳解】因為A={x|x2+px+q=0}={2}，
所以，解得，
故答案為：-4，4
二、元素與集合
例2　(1)下列元素與集合的關系中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分別表示的數集，對選項逐一判斷即可.
【詳解】不屬于自然數，故A錯誤；
不屬于正整數，故B正確；
是無理數，不屬于有理數集，故C錯誤；
屬于實數，故D錯誤.
故選:B.
(2)如果集合只有一個元素，則的值是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】由題意得知關于的方程只有一個實數解，分和兩種情況討論，可得出實數的值.
【詳解】由題意得知關于的方程只有一個實數解.
當，，合乎題意；
當時，則，解得.
綜上所述：或，故選D.
【點睛】本題考查集合的元素個數，本質上考查變系數的二次方程的根的個數，解題要注意對首項系數為零和非零兩種情況討論，考查分類討論思想，屬于中等題.
跟蹤訓練2　(1)已知集合,那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】確定結合的元素，根據元素和集合的關系判斷各選項，即得答案.
【詳解】由題意知集合，
故，故A正確，D錯誤，，故B錯誤，，故C錯誤，
故選：A
(2)已知集合至多有一個元素，則的取值范圍是__________．
【答案】或
【分析】把集合至多有一個元素，轉化為關于x的方程至多有一個根.對a進行分類討論，列不等式組，求出a的范圍.
【詳解】因為集合至多有一個元素，
所以關于x的方程至多有一個根.
方程無根，需滿足：，解得：.
方程有一個根，需滿足：a=0或，解得：a=0或.
綜上所述：的取值范圍是或.
三、集合中元素的特性
例3　(1)若，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】分別令和，根據集合中元素的互異性可確定結果.
【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性；
若，則或（舍），此時，符合題意；
綜上所述：.
故選：A.
(2)由實數所組成的集合，最多可含有（ ）個元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】把分別可化為，，，，，，根據集合中元素的互異性，即可得到答案．
【詳解】由題意，當時所含元素最多，
此時分別可化為，，，
所以由實數所組成的集合，最多可含有3個元素．
故選：B
跟蹤訓練3 (1)集合{3，x，x2–2x}中，x應滿足的條件是（ ）
A．x≠–1 B．x≠0
C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3
【答案】C
【分析】利用集合元素的互異性求解.
【詳解】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3，
解得x≠3且x≠–1且x≠0，
故選：C．
(2)若集合中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根據集合元素的互異性即可判斷.
【詳解】由題可知，集合中的元素是的三邊長，
則，所以一定不是等腰三角形．
故選：D．
四、集合的表示方法
例4 (1)用列舉法表示集合__________．
【答案】
【分析】對整數取值，并使為正整數，這樣即可找到所有滿足條件的值，從而用列舉法表示出集合．
【詳解】因為且
所以可以取，2，3，4.
所以
故答案為：
【點睛】考查描述法、列舉法表示集合的定義，清楚表示整數集，屬于基礎題.
(2)用適當的形式表示下列集合，并指明它是有限集還是無限集．
①方程的解集；
②不等式的解集；
③被5除余1的自然數的集合；
④二次函數的值組成的集合．
【答案】①，有限集；②，無限集；③，無限集；④，無限集.
【分析】①直接解出方程即可，用列舉法；② 解不等式，解集為無限，用描述法表示；(3) 元素有無限個，所以用描述法；④代表元素為y，解集為無限集用描述法表示.
【詳解】①解方程可得解集為 ，有限集；
②解不等式可得解集為，無限集；
③被5除余1的自然數的集合為，無限集；
④二次函數的值組成的集合為，無限集；
跟蹤訓練4 用列舉法表示下列集合：
（1）方程組的解集；
（2）不大于10的非負奇數集；
（3）．
【答案】（1）解集是；（2）不大于10的非負奇數集為；（3）.
【分析】根據列舉法的定義進行表示即可．
【詳解】解：（1）解方程組，得，
用列舉法表示方程組的解集是；
（2）不大于10即為小于或等于10，非負是大于或等于0，
故不大于10的非負奇數集為．
（3），，此時，即．
跟蹤訓練5 表示下列集合：
(1)請用列舉法表示方程的解集；
(2)請用描述法表示平面直角坐標系內所有第一、三象限內的點組成的集合；
(3)請用描述法表示被5除余3的正整數組成的集合；
(4)請用描述法表示二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
【分析】根據題意逐項代入分析即可求解.
【詳解】（1）方程的解集為.
（2）用描述法表示平面直角坐標系內所有第一、三象限內的點組成的集合為.
（3）用描述法表示被5除余3的正整數組成的集合為，.
（4）用描述法表示二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合為．
【課堂鞏固】
1．下列各組對象中不能形成集合的是（ ）
A．高一數學課本中較難的題 B．高二（2）班全體學生家長
C．高三年級開設的所有課程 D．高一（12）班個子高于1.7m的學生
【答案】A
【分析】根據集合的三要素確定性，互異性和無序性逐個判斷即可；
【詳解】對A，高一數學課本中較難的題不具有確定性，不能形成集合；
對BCD，各組對象均滿足確定性，互異性和無序性，能形成集合
故選：A
2．下列說法正確的是（ ）
A．由1，2，3組成的集合可表示為或
B．與是同一個集合
C．集合與集合是同一個集合
D．集合與集合是同一個集合
【答案】A
【分析】根據集合的定義和性質逐項判斷可得答案
【詳解】集合中的元素具有無序性，故A正確；
是不含任何元素的集合，是含有一個元素0的集合，故B錯誤；
集合，集合，故C錯誤；
集合中有兩個元素，集合中只有一個元素，為方程，故D錯誤.
故選：A.
3．設a,b∈R，集合，則=（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】C
【分析】利用集合中元素有意義，集合相等的意義列式計算作答.
【詳解】因，則，從而得，有，于是得，
所以.
故選：C
4．下列關系中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據元素與集合的關系求解.
【詳解】根據常見的數集，元素與集合的關系可知，，，不正確，
故選：C
5．若以集合的四個元素為邊長構成一個四邊形，則這個四邊形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．菱形
【答案】C
【分析】根據集合中元素的互異性，可得四個元素互不相等，結合選項，即可求解.
【詳解】由題意，集合的四個元素為邊長構成一個四邊形，
根據集合中元素的互異性，可得四個元素互不相等，
以四個元素為邊長構成一個四邊形，結合選項，只能為梯形.
故選：C.
6．（多選）下面說法中正確的是（ ）
A．集合中最小的數是1 B．若，則
C．若，則的最小值是2 D．的解組成的集合是
【答案】AC
【分析】根據正整數集的含義即可判斷A，B，C的正誤，根據集合中列舉法即可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A，因為是正整數集，而最小的正整數是1，故A正確；
對于B，當時，，且，故B錯誤；
對于C，若，則的最小值是1，若，則的最小值也是1，當和都取最小值時，取得最小值2，故C正確；
對于D，由得，解得，故其解集為，而不符合集合的表示方法，故D錯誤.
故選：AC．
7．用列舉法表示集合________________．
【答案】
【分析】根據題意可得，求出的值即可求解.
【詳解】由題意得，所以，所以.
故答案為: .
8．已知集合，，則集合B中的元素個數為______．
【答案】13
【分析】由題列舉出集合B，即得.
【詳解】將x，y及的值列表如下，去掉重復的值，可知集合中的元素個數為13．
1 2 3 4 6
1 1 2 3 4 6
2 1 2 3
3 1 2
4 1
6 1
故答案為：13
9．已知均為非零實數，則代數式的值所組成的集合的元素個數是______．
【答案】2
【分析】分析題意知代數式的值與的符號有關，按其符號的不同分3種情況討論，分別求出代數式的值，即可得解.
【詳解】根據題意分2種情況討論：
當全部為負數時，為正數，則；
當全部為正數時，為正數，則；
當一正一負時，為負數，則；
綜上可知，的值為或3，即代數式的值所組成的集合的元素個數是2
故答案為：2
10．給出下列說法：
①平面直角坐標系中，第一象限內的點組成的集合為；
②方程的解集為；
③集合與是不相等的．
其中正確的是______（填序號）．
【答案】①③
【分析】根據題意，結合集合的表示方法，逐項判定，即可求解，得到答案．
【詳解】對于①中，在平面直角坐標系中，第一象限內的點的橫、縱坐標均大于0，且集合中的代表元素為點，所以①正確；
對于②中，方程的解為，解集為或，所以②不正確；
對于③中，集合，集合，這兩個集合不相等，所以③正確．
【點睛】本題主要考查了集合的表示方法及其應用，其中解答中熟記集合的表示方法——列舉法、描述法，以及集合表示方法的改寫是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．
11．用列舉法表示下列集合：
(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解組成的集合M；
(3)方程組 的解組成的集合B；
(4)15的正約數組成的集合N.
【答案】(1) {－2，－1,0,1,2}(2) M＝{2,3}(3) B＝{(x，y)|(3,2)} (4) N＝{1,3,5,15}
【分析】（1）根據題意，得到，即可表示集合；
（2）求解出方程的根，即可表示集合；
（3）求解方程組的解，即可表示集合；
（4）找到的正約數，即可表示集合.
【詳解】(1)，
，
；
(2)解方程
和是方程的根，
；
(3)解方程組得
；
(4)的正約數有四個數字，
．
【點睛】本題考查集合的列舉法，區分點集和數集，屬于簡單題.
12．用描述法表示下列集合，并思考能否用列舉法表示該集合
（1）所有能被3整除的自然數
（2）不等式的解集
（3）的解集
【答案】答案見解析．
【分析】根據集合的表示法求解．
【詳解】（1），集合中元素個數無窮，不能用列舉法表示；
（2），即，，
集合為，集合中元素有無數個，不能用列舉法表示；
（3）集合可表示為，列舉法表示為．
【課時作業】
1．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當A＝{2}時，集合B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
【答案】D
【分析】根據集合的相等的意義得到x2＋px＋q＝x 即有且只有一個實數解,由此求得p,q的值，進而求得集合B.
【詳解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即有且只有一個實數解,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.
計算得出p＝－3，q＝4.
則(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化為(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
則x－1＝0或x－1＝4，
計算得出x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
故選：.
2．已知，，為非零實數，代數式的值所組成的集合是，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分別對，，的符號進行討論，計算出集合的所有元素，再進行判斷.
【詳解】根據題意，分4種情況討論；
①、全部為負數時，則也為負數，則；
②、中有一個為負數時，則為負數，則；
③、中有兩個為負數時，則為正數，則；
④、全部為正數時，則也正數，則；
則；分析選項可得符合．
故選：A.
3．以某些整數為元素的集合P具有以下性質：
（1）P中元素有正數，也有負數；（2）P中元素有奇數，也有偶數；
（3）；（4）若，則．
則下列選項哪個是正確的（ ）
A．集合P中一定有0但沒有2 B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既沒有0又沒有2
【答案】A
【分析】由（4）得，則（k是正整數），由（1）可設，且，，可得.利用反證法可得若，則P中沒有負奇數，若P中負數為偶數，得出矛盾即可求解.
【詳解】解：由（4）得，則（k是正整數）．
由（1）可設，且，，則、，而．
假設，則．由上面及（4）得0，2，4，6，8，…均在P中，
故（k是正整數），
不妨令P中負數為奇數（k為正整數），
由（4）得，矛盾．
故若，則P中沒有負奇數．
若P中負數為偶數，設為（k為正整數），則由（4）及，
得均在P中，即（m為非負整數），
則P中正奇數為，由（4）得，矛盾．
綜上，，.
故選:A．
4．已知集合，若，則中所有元素之和為（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】根據，依次令中的三個元素分別等于1，根據集合中元素的互異性作出取舍，求得結果.
【詳解】若，則，矛盾；
若，則，矛盾，故，
解得（舍）或，
故，元素之和為，
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：該題考查的是有關集合的問題，在解題的過程中，關鍵是用好集合中元素的互異性對參數的值進行取舍.
5．已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化簡集合A，根據集合B中元素的性質求出集合B.
【詳解】，，
,
故選：C
6．由大于﹣3且小于11的偶數所組成的集合是
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}
D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
【答案】D
【詳解】試題分析：先確定集合元素的范圍是﹣3＜x＜11，同時再確定偶數的形式，利用描述法表示集合．
解：因為所求的數為偶數，所以可設為x=2k，k∈z，又因為大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11．
即大于﹣3且小于11的偶數所組成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．
故選D．
點評：本題的考點是利用描述法表示集合．比較基礎．
7．方程組的解集不可表示為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先解方程組，然后再利用集合的表示方法判斷即可
【詳解】由，得，方程組只有一組解，
對于AB，是用描述法表示方程組的解集，所以AB正確，
對于C，表示兩個元素1，2，所以C錯誤，
對于D，是用列舉法表示方程組的解集，所以D正確，
故選：C
8．定義集合運算:.設,,則集合的所有元素之和為（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
【答案】D
【詳解】試題分析：根據題意，結合題目的新運算法則，可得集合A*B中的元素可能的情況；再由集合元素的互異性，可得集合A*B，進而可得答案解：根據題意，設A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B中的元素可能為：0、2、0、4，又由集合元素的互異性，則A*B={0，2，4}，其所有元素之和為6；故選D．
考點：元素的互異
點評：解題時，注意結合集合元素的互異性，對所得集合的元素的分析，對其進行取舍
9．（多選）下列說法中，正確的是（ ）
A．若，則
B．中最小的元素是0
C．的近似值的全體構成一個集合
D．一個集合中不可以有兩個相同的元素
【答案】AD
【分析】根據集合的概念及集合中元素的三個特性：確定性、無序性、互異性即可判斷四個選項的正誤.
【詳解】若，則－a也是整數，即，故A正確；
因為實數集中沒有最小的元素，所以B錯誤；
因為“的近似值”不具有確定性，所以不能構成集合，故C錯誤；
同一集合中的元素是互不相同的，故D正確.
故選：AD.
10．（多選）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】分別令等于，判斷是否為整數即可求解.
【詳解】對于選項A：，存在或使得其成立，故選項A正確；
對于選項B：，存在，使得其成立，故選項B正確；
對于選項C：由，可得，，
若則可得， ，不成立；
若則可得， ，不成立；
若，可得，此時， ，不成立；
同理交換與，也不成立，所以不存在為整數使得成立，故選項C不正確；
對于選項D：，此時存在或使得其成立，故選項D正確，
故選：ABD.
11．含有三個實數的集合可表示為，也可以示為，則的值為____.
【答案】
【分析】根據集合相等的定義及集合中元素的互異性即可求解.
【詳解】解：由題意，若，則或，檢驗可知不滿足集合中元素的互異性，
所以，則，
所以，則，
故.
故答案為：.
12．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素構成的集合，且2∈A，則實數m＝________．
【答案】3
【分析】根據集合與元素的關系，分類求得m的值，然后利用集合元素的互異性檢驗取舍.
【詳解】由題意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，經驗證，
當m＝0或m＝2時，
不滿足集合中元素的互異性，
當m＝3時，滿足題意，
故m＝3.
答案：3
13．用描述法表示圖中陰影部分的點構成的集合為________．
【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}
【詳解】由題意得，圖中的陰影部分構成的集合是點集，則且.
故答案為且.
點睛：本題考查集合的描述法的概念及其應用，解答本題的關鍵是圖中的陰影部分的點的坐標滿足的條件為集合的元素的公共屬性.
14．用列舉法表示集合__________
【答案】
【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.
【詳解】因為，
所以，
又，
所以
故答案為
【點睛】本題主要考查了集合的描述法，屬于中檔題.
15．設為非零實數,m=+++，則的所有值組成的集合為____
【答案】
【分析】分別根據的正負，分類討論，即可求解的值，得到答案.
【詳解】因為為非零實數，
所以時，+++；
當中有一個小于0時，不妨設，
此時+++；
當中有兩個小于0時，不妨設，
此時+++；
當中有三個小于0時，此時+++，
所以的所有值組成的集合為
【點睛】本題主要考查了集合的運算與集合的表示，其中解答中分別根據的正負，分類討論，求得的值是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
16．已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則B中所含元素的個數為____．
【答案】1
【分析】首先根據題中的條件，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，結合A＝{1，2}，寫出集合B，并且找到集合B的元素個數.
【詳解】因為A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，
所以，所以集合B中只有一個元素，
故答案是1.
【點睛】該題考查的是有關集合中元素的個數問題，解題的關鍵是根據題中所給的集合中元素的特征，將集合中的元素列出來，從而得到結果.
17．已知方程ax2－3x－4＝0的解組成的集合為A.
（1）若A中有兩個元素，求實數a的取值范圍；
（2）若A中至多有一個元素，求實數a的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用方程有兩個不等實根列不等式組，解出實數a的取值范圍；
（2）利用方程有0個或1個實根列不等式，解出實數a的取值范圍.
【詳解】解：(1)因為A中有兩個元素，所以方程ax2－3x－4＝0有兩個不等的實數根，所以
即a>－且a≠0.所以實數a的取值范圍為.
(2)當a＝0時，由－3x－4＝0得x＝－；
當a≠0時，若關于x的方程ax2－3x－4＝0有兩個相等的實數根，則Δ＝9＋16a＝0，即a＝－；
若關于x的方程無實數根，則Δ＝9＋16a<0，即a<－，
故所求的a的取值范圍是.
18．用適當的方法表示下列集合：
（1）由1，2，3三個數字中的兩個數字（沒有重復數字）所組成的自然數的集合；
（2）方程的解集.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)由列舉法對所求的集合一一列舉即可；
(2)由偶次方根和絕對值的非負性，且非負數的和為零，可得每個非負數均為零，則由即可解得方程的解集.
【詳解】解析（1）由1，2，3三個數字中的兩個數字（沒有重復數字）組成的自然數有12，21，13，31，23，32，用列舉法可表示為.
（2）由，得所以所以方程的所有解組成的集合用描述法可表示為.
【點睛】本題考查了集合列舉法的應用，考查了偶次方根和絕對值的非負性，屬于一般難度的題.第一章《集合與常用邏輯用語》
1.1　集合的概念
【知識梳理】
知識點一　元素與集合的概念
1．元素：一般地，把研究對象統稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素組成的總體叫做集合，(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指構成兩個集合的元素是一樣的．
4．集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性．
知識點二　元素與集合的關系
1．屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.
2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a A.
知識點三　常見的數集及表示符號
數集 非負整數集(自然數集) 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*或N＋ Z Q R
知識點四　列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
知識點五　描述法
一般地，設A是一個集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，
這種表示集合的方法稱為描述法．
【基礎自測】
1．已知集合，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，若，則實數的值為（ ）．
A．-5 B．1 C．5或-1 D．-5或1
3．已知集合，則集合中元素的個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列說法中：①集合N與集合N*是同一個集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正確的有________．
5．用列舉法表示集合：為________．
【例題詳解】
一、集合的概念
例1　(1)下面給出的四類對象中，構成集合的是（ ）
A．某班視力較好的同學 B．長壽的人
C．的近似值 D．倒數等于它本身的數
(2)（多選）下列各組中的M，P表示同一集合的是（ ）
A．M={3，-1}，P={(3，-1)}
B．M={(3，1)}，P={(1，3)}
C．M={y|y=-1}，P={t|t=-1}
D．集合M={m|m+1≥5}，P={y|y=x2+2x+5，x∈R}
跟蹤訓練1　(1)以下元素的全體能構成集合的是（ ）
A．中國古代四大發明 B．接近于1的所有正整數
C．未來世界的高科技產品 D．地球上的小河流
(2)已知集合A={x|x2+px+q=0}={2}，則p=_______，q=_______．
二、元素與集合
例2　(1)下列元素與集合的關系中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
(2)如果集合只有一個元素，則的值是（ ）
A． B．或 C． D．或
跟蹤訓練2　(1)已知集合,那么（ ）
A． B． C． D．
(2)已知集合至多有一個元素，則的取值范圍是__________．
三、集合中元素的特性
例3　(1)若，則的值為（ ）
A．0 B． C．0或 D．
(2)由實數所組成的集合，最多可含有（ ）個元素
A．2 B．3 C．4 D．5
跟蹤訓練3 (1)集合{3，x，x2–2x}中，x應滿足的條件是（ ）
A．x≠–1 B．x≠0
C．x≠–1且x≠0且x≠3 D．x≠–1或x≠0或x≠3
(2)若集合中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
四、集合的表示方法
例4 (1)用列舉法表示集合__________．
(2)用適當的形式表示下列集合，并指明它是有限集還是無限集．
①方程的解集；
②不等式的解集；
③被5除余1的自然數的集合；
④二次函數的值組成的集合．
跟蹤訓練4 用列舉法表示下列集合：
（1）方程組的解集；
（2）不大于10的非負奇數集；
（3）．
跟蹤訓練5 表示下列集合：
(1)請用列舉法表示方程的解集；
(2)請用描述法表示平面直角坐標系內所有第一、三象限內的點組成的集合；
(3)請用描述法表示被5除余3的正整數組成的集合；
(4)請用描述法表示二次函數的圖象上所有點的縱坐標組成的集合．
【課堂鞏固】
1．下列各組對象中不能形成集合的是（ ）
A．高一數學課本中較難的題 B．高二（2）班全體學生家長
C．高三年級開設的所有課程 D．高一（12）班個子高于1.7m的學生
2．下列說法正確的是（ ）
A．由1，2，3組成的集合可表示為或
B．與是同一個集合
C．集合與集合是同一個集合
D．集合與集合是同一個集合
3．設a,b∈R，集合，則=（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
4．下列關系中，正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．若以集合的四個元素為邊長構成一個四邊形，則這個四邊形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．菱形
6．（多選）下面說法中正確的是（ ）
A．集合中最小的數是1 B．若，則
C．若，則的最小值是2 D．的解組成的集合是
7．用列舉法表示集合________________．
8．已知集合，，則集合B中的元素個數為______．
9．已知均為非零實數，則代數式的值所組成的集合的元素個數是______．
10．給出下列說法：
①平面直角坐標系中，第一象限內的點組成的集合為；
②方程的解集為；
③集合與是不相等的．
其中正確的是______（填序號）．
11．用列舉法表示下列集合：
(1)滿足－2≤x≤2且x∈Z的元素組成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解組成的集合M；
(3)方程組 的解組成的集合B；
(4)15的正約數組成的集合N.
12．用描述法表示下列集合，并思考能否用列舉法表示該集合
（1）所有能被3整除的自然數
（2）不等式的解集
（3）的解集
【課時作業】
1．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當A＝{2}時，集合B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
2．已知，，為非零實數，代數式的值所組成的集合是，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．以某些整數為元素的集合P具有以下性質：
（1）P中元素有正數，也有負數；（2）P中元素有奇數，也有偶數；
（3）；（4）若，則．
則下列選項哪個是正確的（ ）
A．集合P中一定有0但沒有2 B．集合P中一定有0可能有2
C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既沒有0又沒有2
4．已知集合，若，則中所有元素之和為（ ）
A．3 B．1 C． D．
5．已知集合，集合，則（ ）
A． B． C． D．
6．由大于﹣3且小于11的偶數所組成的集合是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}
B．{x|﹣3＜x＜11}
C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}
D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}
7．方程組的解集不可表示為（ ）
A． B．
C． D．
8．定義集合運算:.設,,則集合的所有元素之和為（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
9．（多選）下列說法中，正確的是（ ）
A．若，則
B．中最小的元素是0
C．的近似值的全體構成一個集合
D．一個集合中不可以有兩個相同的元素
10．（多選）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
11．含有三個實數的集合可表示為，也可以示為，則a2023+b2024的值為____.
12．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素構成的集合，且2∈A，則實數m＝________．
13．用描述法表示圖中陰影部分的點構成的集合為________．
14．用列舉法表示集合__________
15．設為非零實數,m=+++，則的所有值組成的集合為____
16．已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則B中所含元素的個數為____．
17．已知方程ax2－3x－4＝0的解組成的集合為A.
（1）若A中有兩個元素，求實數a的取值范圍；
（2）若A中至多有一個元素，求實數a的取值范圍．
18．用適當的方法表示下列集合：
（1）由1，2，3三個數字中的兩個數字（沒有重復數字）所組成的自然數的集合；
（2）方程的解集.

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