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必修二 第八章 立體幾何初步
知識點清單
本章思維導圖
本章知識點歸納
8．1基本立體圖形
第一課時　棱柱、棱錐、棱臺
1．可以從以下幾個方面理解棱柱
(1)棱柱的兩個主要結(jié)構(gòu)特征：
①有兩個面互相平行；
②各側(cè)棱都互相平行，各側(cè)面都是平行四邊形．
通俗地講，棱柱“兩頭一樣平，上下一樣粗”．
(2)有兩個面互相平行，并不表明只有兩個面互相平行，如長方體，有三組對面互相平行，其中任意一組對面都可以作為底面．
(3)從運動的觀點來看，棱柱也可以看成是一個平面多邊形從一個位置沿一條不與其共面的直線運動到另一位置時，其運動軌跡所形成的幾何體．
(4)棱柱可按底面多邊形的邊數(shù)進行分類，如底面是三角形的棱柱叫做三棱柱．
注意：棱柱概念的推廣
①斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱．
②直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱．
③正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱．
④平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱，即平行六面體的六個面都是平行四邊形．
⑤長方體：底面是矩形的直棱柱．
⑥正方體：棱長都相等的長方體．
2．棱錐的兩個本質(zhì)特征
(1)有一個面是多邊形；
(2)其余各面都是有一個公共頂點的三角形．
注意：底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐，棱錐還可按底面多邊形邊數(shù)進行分類．
3．正確認識棱臺的結(jié)構(gòu)特征
(1)上底面與下底面是互相平行的相似多邊形；
(2)側(cè)面都是梯形；
(3)側(cè)棱延長線必交于一點．
注意：各側(cè)面是全等的等腰梯形的是棱臺稱為正棱臺．棱臺還可按底面多邊形的邊數(shù)進行分類．
棱柱結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略
(1)有關(guān)棱柱概念辨析問題應緊扣棱柱定義：
①兩個面互相平行；
②其余各面是平行四邊形；
③相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行．求解時，首先看是否有兩個面平行，再看是否滿足其他特征．
(2)多注意觀察一些實物模型和圖片便于反例排除．　　　　
判斷棱錐、棱臺形狀的兩個方法
(1)舉反例法：
結(jié)合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．
(2)直接法：
棱錐 棱臺
定底面 只有一個面是多邊形，此面即為底面 兩個互相平行的面，即為底面
看側(cè)棱 相交于一點 延長后相交于一點
多面體展開圖問題的解題策略
(1)繪制展開圖：繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖．
(2)由展開圖復原幾何體：若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推.同一個幾何體的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖．　　　　
第二課時　圓柱、圓錐、圓臺、球和簡單組合體
1．圓柱的結(jié)構(gòu)特征
(1)圓柱有無數(shù)條母線，它們平行且相等．
(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓．
(3)過軸的截面(軸截面)都是全等的矩形．
(4)過任意兩條母線的截面是矩形．
2．圓錐的結(jié)構(gòu)特征
(1)圓錐有無數(shù)條母線，它們有公共點即圓錐的頂點，且長度相等．
(2)平行于底面的截面都是圓．
(3)過軸的截面是全等的等腰三角形．
(4)過任意兩條母線的截面是等腰三角形．
3．圓臺的結(jié)構(gòu)特征
(1)圓臺有無數(shù)條母線，且它們相等，延長后相交于一點．
(2)平行于底面的截面是圓．
(3)過軸的截面是全等的等腰梯形．
(4)過任意兩條母線的截面是等腰梯形．
4．球的結(jié)構(gòu)特征
(1)球是旋轉(zhuǎn)體，球的表面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面，球是球面及其內(nèi)部空間組成的幾何體．
(2)根據(jù)球的定義，鉛球是一個球，而足球、乒乓球、籃球、排球等，雖然它們的名字中有“球”字，但它們都是空心的，不符合球的定義，因而都不是球.
5．簡單組合體
由簡單幾何體組合而成的幾何體稱為簡單組合體，構(gòu)成簡單組合體的兩種基本形式：
①由簡單幾何體拼接而成；
②由簡單幾何體裁去或挖去一部分組成．
簡單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征問題的解題策略
(1)準確掌握圓柱、圓錐、圓臺和球的生成過程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關(guān)鍵．
(2)解題時要注意明確兩點：
①明確由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；
②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線．　　　　
簡單組合體的識別
1．明確組合體的結(jié)構(gòu)特征，主要弄清它是由哪些簡單幾何體組成的，必要時也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點數(shù)．
2．會識別較復雜的圖形是學好立體幾何的第一步，因此我們應注意觀察周圍的物體，然后將它們“分拆”成幾個簡單的幾何體，進而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力．　　　　
求幾何體表面上兩點間的最小距離的步驟
(1)將幾何體沿著某棱(母線)剪開后展開，畫出其側(cè)面展開圖；
(2)將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題；
(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果．　　　　
8．2立體圖形的直觀圖
1．對斜二測畫法中“斜”“二測”的解讀
“斜”是指在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°；
“二測”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸或z′軸的線段長度不變；平行于y′軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br/>斜二測畫法畫圖的關(guān)鍵是在原圖中找到?jīng)Q定圖形位置與形狀的點，并在直觀圖中畫出．
2．在直觀圖中“變”的量與“不變”量
(1)平面圖形用其直觀圖表示時，一般說來，平行關(guān)系不變；
(2)點的共線性不變，線的共點性不變，但角的大小有變化(特別是垂直關(guān)系有變化)；
(3)有些線段的度量關(guān)系也發(fā)生變化.因此圖形的形狀發(fā)生變化．
斜二測畫法的位置特征與度量特征簡記為：橫不變、縱折半，平行位置不改變.
畫平面圖形的直觀圖的技巧
(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當?shù)淖鴺讼凳顷P(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點．
(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變)，與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段．　　　　
畫空間圖形的直觀圖的原則
(1)首先在原幾何體上建立空間直角坐標系Oxyz，并且把它們畫成對應的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面，再作z′軸與平面x′O′y′垂直．
(2)作空間圖形的直觀圖時平行于x軸的線段畫成平行于x′軸的線段并且長度不變．
(3)平行于y軸的線段畫成平行于y′軸的線段，且線段長度畫成原來的一半．
(4)平行于z軸的線段畫成平行于z′軸的線段并且長度不變．　　　　
1．直觀圖的還原技巧
由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸，y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．
2．直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系
若一個平面多邊形的面積為S，其直觀圖的面積為S′，則有S′＝S或S＝2S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積．　　
8．3簡單幾何體的表面積與體積
1．棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積與表面積
(1)將棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面展開分別是平行四邊形、若干個三角形、若干個梯形組成的平面圖形，側(cè)面展開圖的面積就是棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積．
(2)棱柱、棱錐、棱臺的表面積等于它們的側(cè)面積與各自的底面積的和．
2．對于棱柱、棱錐、棱臺的體積公式的幾點認識
(1)等底、等高的兩個棱柱的體積相同．
(2)等底、等高的棱錐和棱柱的體積之間的關(guān)系可以通過實驗得出，等底、等高的棱柱的體積是棱錐的體積的3倍．
(3)柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
(4)求棱臺的體積可轉(zhuǎn)化為求棱錐的體積.根據(jù)棱臺的定義進行“補形”，還原為棱錐，采用“大棱錐”減去“小棱錐”的方法求棱臺的體積．
求棱柱、棱錐、棱臺的表面積的基本步驟
(1)清楚各側(cè)面的形狀，求出每個側(cè)面的面積．
(2)求出其底面的面積．
(3)求和得到表面積．
注意：組合體的表面積應注意重合部分的處理．　　　　
求幾何體體積的常用方法
8．3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
1．對圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積與表面積的求解
(1)求圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積或表面積時，可直接使用公式.但圓臺的表面積公式比較復雜，不要求記憶，因此，表面積的求解方法是最重要的．
(2)在計算圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積時，應根據(jù)條件計算以上旋轉(zhuǎn)體的母線長和底面圓的半徑長．
(3)這些公式的推導方法向我們提示了立體幾何問題的解題思路，那就是主要通過空間觀念等有關(guān)知識，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題．
(4)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式間的關(guān)系
S圓柱側(cè)＝2πrlS圓臺側(cè)＝π(r＋r′)lS圓錐側(cè)＝πrl.
2．對于圓柱、圓錐、圓臺體積公式的幾點認識
(1)等底、等高的兩個圓柱的體積相同．
(2)等底、等高的圓錐和圓柱的體積之間的關(guān)系可以通過實驗得出，等底、等高的圓柱的體積是圓錐的體積的3倍．
(3)圓柱、圓錐、圓臺的體積公式之間的關(guān)系
V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
(4)求圓臺的體積轉(zhuǎn)化為求圓錐的體積.根據(jù)臺體的定義進行“補形”，還原為圓錐，采用“大圓錐”減去“小圓錐”的方法求圓臺的體積．
3．與球的體積、表面積有關(guān)的問題
(1)球的表面積(體積)與半徑之間的函數(shù)關(guān)系
S球＝4πR2　V球＝πR3
從公式看，球的表面積和體積的大小，只與球的半徑相關(guān)，給定R都有惟一確定的S和V與之對應，故表面積和體積是關(guān)于R的函數(shù)．
(2)球的表面積(體積)計算中蘊涵的數(shù)學思想
①函數(shù)方程思想：根據(jù)球的表面積與體積公式可知，球的半徑R，球的表面積S，球的體積V三個量“知一求二”．
②轉(zhuǎn)化思想：空間問題平面化．
(3)球體的截面的特點
①球既是中心對稱的幾何體，又是軸對稱的幾何體，它的任何截面均為圓，它的三視圖也都是圓．
②利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑．
求圓柱、圓錐、圓臺的表面積的基本步驟
(1)得到空間幾何體的平面展開圖．
(2)依次求出各個平面圖形的面積．
(3)將各平面圖形的面積相加．　　　
圓柱、圓錐、圓臺的體積求法
(1)直接法：根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定底面積和高，代入體積公式直接求出．
(2)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．
(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，先求再去．　　　　
1．求球的體積與表面積的方法
(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解．
(2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握這兩點，計算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了.
2．球的截面問題的解題技巧
(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題．
(2)解題時要注意借助球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
3．常見的幾何體與球的切、接問題的解決策略
(1)處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問題時，要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系，一般情況下，由于球的對稱性，球心總在幾何體的特殊位置，比如中心、對角線的中點等．
(2)解決此類問題的實質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑，關(guān)鍵是根據(jù)“切點”和“接點”，作出軸截面圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來計算．　　　
8．4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
8．4.1平面
1．平面的幾個特點
(1)平面是平的；
(2)平面是沒有厚度的；
(3)平面是無限延展而沒有邊界的．
2．從集合的角度理解點、直線、平面
(1)直線可以看成無數(shù)個點組成的集合，故點與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“ ”表示．
(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“ ”表示．
(3)直線和平面都是點集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“ ”或“ ”表示．
3．準確認識三個基本事實的意義和作用
(1)基本事實1
意義：是在空間確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法．
作用：①確定平面；②證明點、線共面．
(2)基本事實2
意義：說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展”．
作用：既是判斷直線是否在平面內(nèi)，又是檢驗平面的方法．
利用基本事實1和基本事實2，再結(jié)合“兩點確定一條直線”，可出推出不共線的三點，一條直線和這條直線外一點，兩條相交直線，兩條平行直線，都能唯一確定一個平面．
(3)基本事實3
意義：揭示了兩個平面相交的主要特征，提供了確定兩個平面交線的方法．
作用：①判斷兩個平面是否相交；
②確定兩個平面的交線；
③證明若干點共線問題．
三種語言的轉(zhuǎn)換方法
(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．
(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“ ”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“ ”或“ ”．
提醒：根據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．
證明點、線共面問題的常用方法
(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入法”；
(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；
(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，即用“反證法”．　　　　
1．證明三點共線的方法
(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．
(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．
2．證明三線共點的步驟
(1)首先說明兩條直線共面且交于一點；
(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交；
(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．　　　　
8．4.2空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
1．對異面直線的理解
(1)異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．
(2)注意異面直線定義中“任何”兩字，它指空間中的所有平面，因此異面直線也可以理解為：在空間中找不到一個平面，使其同時經(jīng)過a，b兩條直線．
2．直線與平面位置關(guān)系的畫法要求
(1)畫直線a在平面α內(nèi)：如圖a所示：
要求：表示直線a的線段只能在表示平面α的平行四邊形內(nèi)，而不能有部分在這個平行四邊形外．
(2)畫直線a與平面α相交：如圖b所示：
要求：表示直線a的線段必須有部分在表示平面α的平行四邊形之外，這樣既能與表示直線在平面內(nèi)區(qū)分開來，又具有較強的立體感．
(3)畫直線a與平面α平行：如圖c所示：
要求：最直觀的畫法是用來表示直線a的線段在表示平面α的平行四邊形之外，且與此平行四邊形的一邊平行．
3．兩個平面位置關(guān)系的畫法
(1)兩平行平面的畫法：畫兩平行的平面時要注意把表示平面的兩個平行四邊形畫成對應邊平行．
(2)兩相交平面的畫法：
①先畫表示兩個平面的平行四邊形的相交兩邊，如圖(1)．
②畫表示兩平面交線的線段，如圖(2)．
③過圖(1)中線段的端點分別畫線段使它平行且等于②表示交線的線段，如圖(3)．
④畫圖(3)表示平面的平行四邊形的邊，如圖(4)．
1．判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅
(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．
(2)重視正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．
2．判定兩條直線是異面直線的方法
(1)定義法：證明兩條直線既不平行又不相交．
(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為l α，A α，B∈α，B l AB與l是異面直線(如圖)．
　　　　
直線與平面位置關(guān)系的判斷
(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．
(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點.　　　　
1．平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法
(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點．
(2)平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點．
2．常見的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行；
(2)長方體的六個面中，三組相對面平行.　　　　
8．5空間直線、平面的平行
8．5.1直線與直線平行
1．對基本事實4的認識
(1)基本事實4，它表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性．
(2)基本事實4是論證平行問題的主要依據(jù).
2．對等角定理的兩點認識
(1)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是基本事實4的直接應用．
(2)當這兩個角的兩邊方向分別相同或相反時，它們相等，否則它們互補．因此等角定理用來證明兩個角相等或互補．
證明空間兩條直線平行的方法
(1)平面幾何法
三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等．
(2)定義法
用定義證明兩條直線平行，要證明兩個方面：一是兩條直線在同一平面內(nèi)；二是兩條直線沒有公共點．
(3)基本事實4
用基本事實4證明兩條直線平行，只需找到直線b，使得a∥b，同時b∥c，由基本事實4即可得到a∥c.　　　　
證明兩個角相等的方法
(1)利用等角定理．
(2)利用三角形全等或相似．　　　　
8．5.2直線與平面平行
第一課時　直線與平面平行的判定
直線與平面平行的判定(證明)
1．定義法：判定(證明)直線與平面無公共點．
2．判定定理：
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．
用符號表示：a α，b α且a∥b a∥α.
3．體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想
此定理將證明線面平行的問題轉(zhuǎn)化為證明線線平行．此定理可簡記為：線線平行 線面平行.
線面平行的判定定理必須具備三個條件
(1)直線a在平面α外，即a α；
(2)直線b在平面α內(nèi)，即b α；
(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個條件缺一不可．　　　　
應用判定定理證明線面平行的步驟
上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：
①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；
②三角形中位線法；
③平行四邊形法；
④線段成比例法．
提醒：線面平行判定定理應用的誤區(qū)
(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．
(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．　　　　
第二課時　直線與平面平行的性質(zhì)
1．對直線與平面平行的性質(zhì)定理的幾點認識
(1)線面平行的性質(zhì)定理的條件有三個：
①直線a與平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；
③直線a在平面β內(nèi)，即a β.三個條件缺一不可．
(2)定理的作用
①線面平行 線線平行；
②畫一條直線與已知直線平行．
(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．
(4)在應用這個定理時，要防止出現(xiàn)“一條直線平行于一個平面，就平行于這個平面內(nèi)的一切直線”的錯誤．
2．證明線線平行的方法
(1)定義法：在同一個平面內(nèi)沒有公共點的兩條直線平行．
(2)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．
(3)線面平行的性質(zhì)定理： a∥b，應用時題目條件中需有線面平行．
利用線面平行性質(zhì)定理解題的步驟
　　　　
線面平行判定與性質(zhì)的綜合應用的策略
判定定理與性質(zhì)定理常常交替使用，即先通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出線線平行，復雜的題目還可以繼續(xù)推下去，我們可稱它為平行鏈，如下：
線線平行線面平行線線平行．　　　　
8.5.3平面與平面平行
第一課時　平面與平面平行的判定
剖析平面與平面平行的判定定理
(1)具備兩個條件
判定平面α與平面β平行時，必須具備兩個條件．
①平面β內(nèi)兩條相交直線a，b，即a α，b α，a∩b＝P.
②兩條相交直線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想
此定理將證明面面平行的問題轉(zhuǎn)化為證明線面平行．
(3)此定理可簡記為：線面平行 面面平行.
平面與平面平行的判定方法
(1)定義法：兩個平面沒有公共點．
(2)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面．
(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.
(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.　　　　
解決線線平行與面面平行的綜合問題的策略
(1)立體幾何中常見的平行關(guān)系是線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的．
(2)
所以平行關(guān)系的綜合問題的解決必須靈活運用三種平行關(guān)系的判定定理．　　　　
8.5.3平面與平面平行
第二課時　平面與平面平行的性質(zhì)
1．解讀平面與平面平行的性質(zhì)定理
(1)兩個平面平行的性質(zhì)定理揭示了“兩個平面平行之后它們具有什么樣的性質(zhì)”．該性質(zhì)定理可以看作直線與直線平行的判定定理.可簡述為“若面面平行，則線線平行”．
(2)用該定理判斷直線a與b平行時，必須具備三個條件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三個條件缺一不可．
(3)在應用這個定理時，要防止出現(xiàn)“兩個平面平行，則一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面一切直線”的錯誤．
2．兩個平面平行的一些常見結(jié)論
(1)如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)的所有直線都與另一個平面平行．
(2)如果一條直線和兩個平行平面中的一個相交，那么它也和另一個平面相交．
(3)夾在兩個平行平面間的所有平行線段相等．
應用面面平行性質(zhì)定理的基本步驟
　　　　
1．證明直線與直線平行的方法
(1)平面幾何中證明直線平行的方法．如同位角相等，兩直線平行；三角形中位線的性質(zhì)；平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行等；
(2)基本事實4；
(3)線面平行的性質(zhì)定理；
(4)面面平行的性質(zhì)定理．
2．證明直線與平面平行的方法
(1)線面平行的判定定理；
(2)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面．　　　
空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖
8．6空間直線、平面的垂直
8．6.1直線與直線垂直
對異面直線所成的角的認識理解的注意點
(1)任意性與無關(guān)性：在定義中，空間一點O是任取的，根據(jù)等角定理，可以斷定異面直線所成的角與a′，b′所成的銳角(或直角)相等，而與點O的位置無關(guān)．
(2)轉(zhuǎn)化求角：異面直線所成的角是刻畫兩條異面直線相對位置的一個重要的量，通過轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角來計算．
(3)兩條直線垂直是指相交垂直或異面垂直.
求異面直線所成的角的一般步驟
(1)找出(或作出)適合題設(shè)的角——用平移法，遇題設(shè)中有中點，常考慮中位線；若異面直線依附于某幾何體，且直線對異面直線平移有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線．
(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角．
(3)結(jié)論——設(shè)由(2)所求得的角的大小為θ.若0°＜θ≤90°，則θ為所求；若90°＜θ＜180°，則180°－θ為所求.　　　　
證明兩條直線垂直的策略
(1)對于共面垂直的兩條直線的證明，可根據(jù)勾股定理證明．
(2)對于異面垂直的兩條直線的證明，可轉(zhuǎn)化為求兩條異面直線所成的角為90°來證明．　　　　
8．6.2直線與平面垂直
第一課時　直線與平面垂直的判定
1．對直線與平面垂直的幾點說明
(1)定義中的“任意一條直線”這一詞語與“所有直線”是同義語，與“無數(shù)條直線”不是同義語．
(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形．
(3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．這是判斷兩條直線垂直的一種重要方法．
2．理解直線與平面垂直的判定定理
不能用“一條直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直來判斷此直線與平面垂直”．實際上，由基本事實4可知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么它與這個平面內(nèi)平行于這條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線平行．
3．判定定理所體現(xiàn)的數(shù)學思想
直線與平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想，即將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直．
4．直線與平面所成的角的理解和判斷
(1)對斜線和平面所成的角的定義的理解
斜線和平面所成的角定義表明斜線和平面所成的角是通過斜線在平面內(nèi)的射影而轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．
(2)判斷方法
首先，判斷直線和平面的位置，若直線在平面內(nèi)或與平面平行，此時直線與平面所成的角為0°的角；若直線與平面垂直，此時直線與平面所成的角為90°.
其次，若直線與平面斜交，可在斜線上任取一點作平面的垂線(實際操作過程中，這一點的選取要有利于求角)，找出直線在平面內(nèi)的射影，從而確定出直線和平面所成的角，一般轉(zhuǎn)化到直角三角形、等邊三角形中求解．
直線與平面垂直定義的“雙向”作用
(1)證明線面垂直
若一條直線與一個平面內(nèi)任意一條直線都垂直，則該直線與已知平面垂直．即線線垂直 線面垂直．
(2)證明線線垂直
若一條直線與一個平面垂直，則該直線與平面內(nèi)任意一條直線垂直．即線面垂直 線線垂直．　　　　
線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化
求直線與平面所成角的一般步驟
(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線．
(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角．
(3)把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角．　　　
8．6.2直線與平面垂直
第二課時　直線與平面垂直的性質(zhì)
1．剖析直線與平面垂直的性質(zhì)定理
(1)該定理考查的是在直線與平面垂直的條件下，可得出什么結(jié)論．
(2)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法(只要判定這兩條直線都與同一個平面垂直)．
(3)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù)．
(4)定理的推證過程采用了反證法．
2．直線與平面垂直的性質(zhì)
(1) l⊥b；(2) a∥b；(3) b⊥α；(4) a⊥β；(5) α∥β.
證明線線平行常有如下方法
(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點；
(2)利用三線平行基本事實：證兩線同時平行于第三條直線；
(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行；
(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直；
(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．
線線、線面垂直問題的解題策略
(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面．
(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點在解題時一定要體現(xiàn)出來．　　　　
8.6.3平面與平面垂直
第一課時　平面與平面垂直的判定
1．二面角與平面幾何中的角的對比
平面幾何中的角 二面角
圖形
定義 從平面內(nèi)一點出發(fā)的兩條射線組成的圖形 從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的圖形
表示法 由射線—點(頂點)—射線構(gòu)成，即為∠AOB 由半平面—線(棱)—半平面構(gòu)成，記為二面角α l β
意義 定量的反映兩條直線的位置關(guān)系 定量的反映兩個平面的位置關(guān)系
2．剖析平面與平面垂直
(1)兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況．例如正方體中任意相鄰兩個面都是互相垂直的．
(2)兩個平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點：都是通過所成的角是直角定義的．
3．詳解平面與平面垂直的判定定理
(1)本質(zhì)：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直 面面垂直．
(2)證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決．
解決二面角問題的策略
(1)清楚二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關(guān)，通常可根據(jù)需要選擇特殊點作平面角的頂點．
(2)求二面角的大小的方法：
一作：即先作出二面角的平面角；
二證：即說明所作角是二面角的平面角；
三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函數(shù)值，其中關(guān)鍵是“作”．　　　　
　證明面面垂直常用的方法
(1)定義法：即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”；
(3)性質(zhì)法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．　
對面面垂直的性質(zhì)定理的理解
(1)定理成立的條件有三個：
①兩個平面互相垂直；
②直線在其中一個平面內(nèi)；
③直線與兩平面的交線垂直．
(2)定理的實質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．
(3)已知面面垂直時，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．
應用面面垂直性質(zhì)定理要注意的問題
應用面面垂直性質(zhì)定理證明相關(guān)問題時，一般需要作輔助線——過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后，進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．　　　　
垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：
本章定理定義梳理
一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
1．多面體及其結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱：①有兩個平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四邊形；③每相鄰兩個平行四邊形的公共邊互相平行．
(2)棱錐：①有一個面(底面)是多邊形；
②其余各面(側(cè)面)是有一個公共頂點的三角形．
(3)棱臺：①上、下底面互相平行，且是相似圖形；②各側(cè)棱延長線相交于一點．
2．旋轉(zhuǎn)體及其結(jié)構(gòu)特征
(1)圓柱：①圓柱的軸垂直于底面；②圓柱的軸截面是矩形；③圓柱的所有母線相互平行且相等，且都與圓柱的軸平行；④圓柱的母線垂直于底面．
(2)圓錐：①圓錐的軸垂直于底面；②圓錐的軸截面為等腰三角形；③圓錐的頂點與底面圓周上任一點的連線都是圓錐的母線，圓錐的母線有無數(shù)條；④圓錐的底面是一個圓面．
(3)圓臺：①圓臺的上、下底面是兩個半徑不等的圓面；②圓臺兩底面圓所在平面互相平行且和軸垂直；③圓臺有無數(shù)條母線；④圓臺的母線延長線交于一點．
二、空間幾何體的直觀圖
1．斜二測畫法中“斜”和“二測”
“斜”是指在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°；
“二測”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸或z′軸的線段長度不變；平行于y′軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br/>2．斜二測畫法中的建系原則
在已知圖中建立直角坐標系，理論上在任何位置建立坐標系都行，但實際作圖時，一般建立特殊的直角坐標系，盡量運用原有直線或圖形的對稱直線為坐標軸，圖形的對稱點為原點或利用原有互相垂直的直線為坐標軸等．
三、空間幾何體的表面積和體積
1．多面體的表面積
各個面的面積之和，也就是展開圖的面積．
2．旋轉(zhuǎn)體的表面積
圓柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．
圓錐：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
圓臺：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．
球：S＝4πR2.
3．柱體、錐體、臺體的體積公式
(1)柱體的體積公式：
V柱體＝Sh(S底面面積，h為高)．
(2)錐體的體積公式V錐體＝Sh(S底面面積，h為高)．
(3)臺體的體積公式
V臺體＝(S＋＋S′)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為高)．
(4)球的體積公式
V＝πR3.
四、空間點、線、面之間的位置關(guān)系
1．平面的基本性質(zhì)
四個基本事實及其作用
基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．
作用：①可用來確定一個平面；②證明點線共面．
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
作用：可用來證明點、直線在平面內(nèi)．
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
作用：①可用來確定兩個平面的交線；②判斷或證明多點共線；③判斷或證明多線共點．
基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．
作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)．
2．空間中兩直線的位置關(guān)系
空間中兩直線的位置關(guān)系
3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．
(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．
五、直線、平面平行的判定與性質(zhì)
1．直線與平面平行
(1)判定定理：平面外一條直線與這個平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行 線面平行)．
(2)性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行 線線平行”)．
2．平面與平面平行
(1)判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行 面面平行”)．
(2)性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．
六、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
1．直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義：
直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．
(2)異面直線所成的角：
定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(3)判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．
(4)性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行．
2．平面與平面垂直
(1)平面和平面垂直的定義：
兩個平面相交，若所成的二面角是直二面角，則這兩個平面垂直．
(2)判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面互相垂直．
(3)性質(zhì)定理：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面．
四、本章考點梳理
棱柱的結(jié)構(gòu)特征
例題1.下列關(guān)于棱柱的說法正確的是(　　)
A．所有的棱柱兩個底面都平行
B．所有的棱柱一定有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，每相鄰兩個四邊形的公共邊互相平行
C．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱
D．棱柱至少有五個面
【解析】選ABD　對于A、B、D，顯然是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤．故選A、B、D.
棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征
例題2.下列說法中，正確的是(　　)
①棱錐的各個側(cè)面都是三角形；
②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；
③四面體的任何一個面都可以作為三棱錐的底面；
④棱錐的各側(cè)棱長相等．
A．①②　　　　　　　　　 B．①③
C．②③ D．②④
【解析】選B　由棱錐的定義，知棱錐的各側(cè)面都是三角形，故①正確；有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，如果這些三角形沒有一個公共頂點，那么這個幾何體就不是棱錐，故②錯；四面體就是由四個三角形所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個面作底面的幾何體都是三棱錐，故③正確；棱錐的側(cè)棱長可以相等，也可以不相等，故④錯．故選B.
多面體的平面展開圖問題
例題3.　(1)某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面展開圖應該為(對面是相同的圖案)(　　)
(2)如圖是三個幾何體的平面展開圖，請問各是什么幾何體？
【解析】(1)由選項驗證可知選A.
(2)圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點；圖②中，有5個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相似的三角形，符合棱臺的特點．把平面展開圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺．
【答案】　(1)A　(2)①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺
旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
例題4.判斷下列各命題是否正確：
(1)圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；
(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；
(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；
(4)到定點的距離等于定長的點的集合是球．
【解析】(1)錯．由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應平行于軸．
(2)錯．直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示．
(3)正確．
(4)錯．應為球面．
簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征
　例題5.描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征．
【解析】圖(1)所示的幾何體是由兩個圓臺拼接而成的組合體；圖(2)所示的幾何體是由一個圓臺挖去一個圓錐得到的組合體；圖(3)所示的幾何體是在一個圓柱中間挖去一個三棱柱后得到的組合體.
圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面展開圖問題
例題6.如圖所示，已知圓柱的高為80cm，底面半徑為10cm，軸截面上有P，Q兩點，且PA＝40cm，B1Q＝30cm，若一只螞蟻沿著側(cè)面從P點爬到Q點，問：螞蟻爬過的最短路徑長是多少？
【解析】將圓柱側(cè)面沿母線AA1展開，得如圖所示矩形．
∴A1B1＝·2πr＝πr＝10π(cm)．
過點Q作QS⊥AA1于點S，
在Rt△PQS中，PS＝80－40－30＝10(cm)，
QS＝A1B1＝10π(cm)．
∴PQ＝＝10(cm)．
即螞蟻爬過的最短路徑長是10cm.
水平放置的平面圖形的直觀圖
例題7.用斜二測畫法畫如圖所示邊長為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖．
【解析】(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸．
(2)畫對應的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.
在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2cm，在y′軸上取O′A′＝OA，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示．
空間圖形直觀圖的畫法
例題8.用斜二測畫法畫出正五棱柱的直觀圖．
【解析】(1)畫軸．畫x′軸、y′軸和z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如圖①所示．
(2)畫底面．按x′軸、y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE.
(3)畫側(cè)棱．過點A，B，C，D，E分別作z′軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．
(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，E′，去掉輔助線，改被擋部分為虛線，如圖②所示．
直觀圖的還原與計算
例題9　(1)如圖①，Rt△O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，若O′B′＝，則這個平面圖形的面積是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B.
C．2 D．4
(2)如圖②所示，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積.
【答案】　C
【解析】(1)由題圖知，△OAB為直角三角形．∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2.
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.故選C.
(2)如圖，建立直角坐標系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在過點D與y軸平行的直線上截取DA＝2D1A1＝2.
在過點A與x軸平行的直線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，便得到了原圖形(如圖)．
由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰長度為AD＝2.
所以面積為S＝×2＝5.
棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積與表面積
例題10已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側(cè)面是腰長為8的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為________．
答案：80＋48
【解析】如圖，在四棱臺ABCD A1B1C1D1中，過B1作B1F⊥BC，垂足為F，
在Rt△B1FB中，BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，
故B1F＝＝2，
所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2＝12，
故四棱臺的側(cè)面積S側(cè)＝4×12＝48，
所以S表＝48＋4×4＋8×8＝80＋48.
棱柱、棱錐、棱臺的體積
例題11.學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD A1B1C1D1挖去四棱錐O EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.
【答案】　(1)　(2)12　(3)118.8
【解析】(1)VA DED1＝VE DD1A＝××1×1×1＝.
(2)V正方體＝23＝8，VS ABCD＝×22×(5－2)＝4.
V＝V正方體＋VS ABCD＝12.
(3)由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，
對角線長分別為6cm和4cm，
故V挖去的四棱錐＝××4×6×3＝12(cm3)．
又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的體積為V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12
＝132(cm3)，
所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．
圓柱、圓錐、圓臺的表面積
例題12.已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　)
A．12π　　　　 B．12π
C．8π D．10π
(2)已知一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的側(cè)面積為__________．
(3)圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為________．
【答案】　(1)B　(2)2π　(3)168π
【解析】(1)因為過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2，所以該圓柱的表面積為2×π×()2＋2π××2＝12π.
(2)由題意，母線長l＝2，底面半徑為1，所以側(cè)面積為π×1×2＝2π.
(3)先畫軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解．圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長為l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S側(cè)＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
圓柱、圓錐、圓臺的體積
例題13.如圖所示的幾何體是一棱長為4cm的正方體，若在其中一個面的中心位置上，挖一個直徑為2cm、深為1cm的圓柱形的洞，求挖洞后幾何體的表面積是多少？(π取3.14)
【解析】正方體的表面積為4×4×6＝96(cm2)，
圓柱的側(cè)面積為2π·1×1＝2π(cm2)，
圓柱的底面積為π·12＝π(cm2)，
則挖洞后幾何體的表面積為
96－π＋2π＋π＝96＋2π≈102.28(cm2).
球的體積與表面積
例題14.(1)球的體積是，則此球的表面積是(　　)
A．12π B．16π
C. D.
(2)一平面截一球得到直徑為2cm的圓面，球心到這個平面的距離是2cm，則該球的體積是(　　)
A．12πcm3 B．36πcm3
C．64πcm3　　 D．108πcm3
(3)一球與棱長為2的正方體的各個面相切，則該球的體積為________．
【答案】　(1)B　(2)B　(3)π
【解析】(1)設(shè)球的半徑為R，則由已知得πR3＝，解得R＝2.故球的表面積S表＝4πR2＝16π.
(2)設(shè)球心為O，截面圓心為O1，連接OO1，則OO1垂直于截面圓O1，如圖所示．
在Rt△OO1A中，O1A＝cm，OO1＝2cm，
∴球的半徑R＝OA＝＝3(cm)，
∴球的體積V＝×π×33＝36π(cm3)．
(3)由題意可知球是正方體的內(nèi)切球，因此球的半徑為1，其體積為π.
立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化
例題15.根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系．
(1)點P與直線AB；
(2)點C與直線AB；
(3)點M與平面AC；
(4)點A1與平面AC；
(5)直線AB與直線BC；
(6)直線AB與平面AC；
(7)平面A1B與平面AC.
【解析】(1)點P∈直線AB；(2)點C 直線AB；
(3)點M∈平面AC；(4)點A1 平面AC；
(5)直線AB∩直線BC＝點B；(6)直線AB 平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.
點、線共面問題
例題16.如圖，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ α.
證明：∵PQ∥a，∴PQ與a確定一個平面β.
∴直線a β，點P∈β.
∵P∈b，b α，∴P∈α.
又∵a α，∴α與β重合．∴PQ α.
點共線、線共點問題
例題17.如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求證：AB，CD，l共點(相交于一點).
證明：因為梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰.
因為AB，CD必定相交于一點.
設(shè)AB∩CD＝M.
又因為AB α，CD β，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因為α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD,l共點(相交于一點)．
直線與直線位置關(guān)系的判斷
例題18.在正方體ABCD A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為(　　)
A．4　　　　　　　 B．5
C．6 D．7
【解析】選C　如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，與直線BA1異面的直線有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6條，故選C.
空間直線與平面位置關(guān)系判斷
例題19.下列命題中，正確命題的個數(shù)是(　　)
①如果a，b是兩條平行直線，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；
②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；
③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，則a∥b；
④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；
⑤如果平面α的同側(cè)有兩點A，B到平面α的距離相等，則AB∥α.
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】　C
【解析】如圖，在正方體ABCD A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′與A′D′相交，所以③不正確；④中，假設(shè)b與α相交，因為a∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即④正確；⑤顯然正確，故選C.
平面與平面位置關(guān)系的判斷
例題20.如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能確定
【解析】如圖所示，a α，b β，a∥b.
由圖形可知，這兩個平面可能相交，也可能平行．
【答案】　C
利用基本事實4證明直線與直線平行
例題21.如圖所示，在正方體ABCD A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點．
求證：EE′∥FF′.
證明：因為E，E′分別是AB，A′B′的中點，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四邊形EBB′E′是平行四邊形．
所以EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
利用等角定理證明兩角相等
例題22.如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，BC的中點．求證：△EFG∽△C1DA1.
證明：如圖，連接B1C.
因為G，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點，
所以GF∥B1C且GF＝B1C.
又ABCD A1B1C1D1為正方體，
所以CD∥AB且CD＝AB，
A1B1∥AB且A1B1＝AB，
由基本事實4知CD∥A1B1且CD＝A1B1，
所以四邊形A1B1CD為平行四邊形，
所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，
由基本事實4知A1D∥FG.
同理可證：A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1與∠EGF，∠A1DC1與∠EFG的兩邊分別對應平行且均為銳角，
所以∠DA1C1＝∠EGF，
∠A1DC1＝∠EFG.
所以△EFG∽△C1DA1.
線面平行判定定理的理解
例題23.如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是(　　)
A．相交　　　　　　　　 B．b∥α
C．b α D．b∥α或b α
【解析】由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
【答案】　D
直線與平面平行的判定
例題24.如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點，求證：EF∥平面AD1G.
證明：連接BC1，
則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點，知EF∥BC1.
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
直線與平面平行性質(zhì)的應用
例題25.如圖，用平行于四面體ABCD的一組對棱AB，CD的平面截此四面體．
求證：截面MNPQ是平行四邊形．
證明：因為AB∥平面MNPQ，
平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由線面平行的性質(zhì)定理，知AB∥MN.
同理可得PQ∥AB.由基本事實4可得MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面四邊形MNPQ為平行四邊形．
線與面平行的判定與性質(zhì)的綜合
例題26.如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，P為平面ABC外一點，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點．記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明．
【解析】直線l∥平面PAC，證明如下：
因為E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點，
所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因為l 平面PAC，EF 平面PAC，
所以l∥平面PAC.
平面與平面平行的判定
例題27.如圖所示，正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，G為DD1上一點，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O.
求證：平面AGO∥平面D1EF.
證明：設(shè)EF∩BD＝H，連接D1H，在△DD1H中，
因為＝＝，
所以GO∥D1H，
又GO 平面D1EF，D1H 平面D1EF，
所以GO∥平面D1EF.
在△BAO中，因為BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO，
又AO 平面D1EF，EH 平面D1EF，
所以AO∥平面D1EF，
又GO∩AO＝O，AO 平面AGO，GO 平面AGO，所以平面AGO∥平面D1EF.
平面與平面平行的判定與性質(zhì)的綜合
例題28.如圖所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F(xiàn)，G分別為線段PC，PD，BC的中點，現(xiàn)將△PDC折起，使點P 平面ABCD.
求證：平面PAB∥平面EFG.
證明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB.
又EF 平面PAB，∴EF∥平面PAB.
同理可證EG∥平面PAB.
又∵EF∩EG＝E，
∴平面PAB∥平面EFG.
面面平行性質(zhì)的應用
例題29.如圖，已知平面α∥β，P α且P β，過點P的直線m與α，β分別交于A，C，過點P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的長．
【解析】因為AC∩BD＝P，
所以經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD，
因為α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.
所以＝，即＝.
所以BD＝.
利用面面平行的性質(zhì)判斷位置關(guān)系
例題30.如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B，B1的任一點，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.
求證：AC∥FG.
證明：連接A1C1，∵AC∥A1C1，A1C1 平面A1EC1，AC 平面A1EC1，
∴AC∥平面A1EC1.
又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，
∴AC∥FG.
線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)化
例題31.如圖，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，E，E1分別是棱AD，AA1上的點．設(shè)F是棱AB的中點．
求證：直線EE1∥平面FCC1.
證明：因為F為AB的中點，所以AB＝2AF
又因為AB＝2CD，所以CD＝AF，
因為AB∥CD所以CD∥AF，
所以AFCD為平行四邊形，
所以FC∥AD，又FC 平面ADD1A1，
AD 平面ADD1A1
所以FC∥平面ADD1A1
因為CC1∥DD1，CC1 平面ADD1A1，
DD1 平面ADD1A1
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1 平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.
求異面直線所成的角
例題32.如圖，三棱錐A BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，設(shè)α為異面直線EF和AC所成的角，β為異面直線EF和BD所成的角，試求α＋β的值．
【解析】過點F作MF∥BD，交BC于點M，連接ME，
則CM∶MB＝CF∶FD＝m，
又因為AE∶EB＝CF∶FD＝m，
所以CM∶MB＝AE∶EB，
所以EM∥AC，
所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，
AC與BD所成的角為∠EMF，
因為AC⊥BD，∴∠EMF＝90°，
所以α＋β＝90°.
　證明直線與直線垂直問題
例題33如圖，已知在長方體ABCD A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F(xiàn)分別是BD1和AD的中點．
求證：CD1⊥EF.
證明：取CD1的中點G，連接EG，DG.
因為E是BD1的中點，所以EG∥BC，EG＝BC.
因為F是AD的中點，且AD∥BC，AD＝BC，
所以DF∥BC，DF＝BC.
所以EG∥DF，EG＝DF.
所以四邊形EFDG是平行四邊形，所以EF∥DG，
又A1A＝AB，所以四邊形ABB1A1、四邊形CDD1C1都是正方形，且G為CD1的中點，
所以DG⊥CD1，所以CD1⊥EF.
　對線面垂直定義及判斷定理的理解
例題34.下列命題中，正確的序號是________．
①若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；
②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；
③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；
④若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；
⑤過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條．
【答案】　④⑤
【解析】當直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直時，l與α不一定垂直，所以①不正確；當l與α內(nèi)的一條直線垂直時，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當l與α不垂直時，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過一點有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確．
線面垂直判定定理的應用
例題35.如圖所示，直角△ABC所在的平面外一點S，SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點．求證：直線SD⊥平面ABC.
證明：∵SA＝SC，點D為斜邊AC的中點，
∴SD⊥AC.
如圖，連接BD，在Rt△ABC中，則AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，∴∠ADS＝∠BDS，
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥平面ABC.
求直線與平面所成的角
例題36.三棱錐S ABC的所有棱長都相等且為a，求SA與底面ABC所成角的余弦值．
【解析】如圖，過S作SO⊥平面ABC于點O，連接AO，BO，CO.則SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.
∵SA＝SB＝SC＝a，∴△SOA≌△SOB≌△SOC，
∴AO＝BO＝CO，∴O為△ABC的外心．
∵△ABC為正三角形，∴O為△ABC的中心．
∵SO⊥平面ABC，
∴∠SAO即為SA與平面ABC所成的角．
在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝×a＝a，
∴cos∠SAO＝＝，
∴SA與底面ABC所成角的余弦值為.
直線與平面垂直性質(zhì)的應用
例題37.如圖所示，在正方體ABCD A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC.
求證：MN∥AD1.
證明：因為四邊形ADD1A1為正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
線與面垂直的判定與性質(zhì)的綜合
例題38.如圖所示，ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點E，F(xiàn)，G.
求證：AE⊥SB.
證明：因為SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因為SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因為AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因為SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.
又因為BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
二面角大小的計算
例題39.如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A PD C平面角的度數(shù)；
(2)求二面角B PA C平面角的度數(shù)．
【解析】(1)∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD.又四邊形ABCD為正方形，
∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.又CD 平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
∴二面角A PD C平面角的度數(shù)為90°.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.
∴∠BAC為二面角B PA C的平面角．
又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°.
即二面角B PA C平面角的度數(shù)為45°.
面面垂直的判定
例題40.如圖所示，在四面體ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求證：平面ABC⊥平面SBC.
證明：法一：(利用定義證明)
因為∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等邊三角形，
則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，
則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．
取BC的中點D，如圖所示，
連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS為二面角A BC S的平面角．
在Rt△BSC中，因為SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因為SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A BC S為直二面角，
故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
因為SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．
因為△SBC為直角三角形，
所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點，
所以AD⊥平面SBC.
又因為AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
利用面面垂直的性質(zhì)定理證明垂直
例題41.如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．△PAD為正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G為AD邊的中點．
求證：平面PBG⊥平面PAD.
證明：∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
∵G為AD邊的中點，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，BG 平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
∵BG 平面PBG，
∴平面PBG⊥平面PAD.
線線、線面、面面垂直的綜合
例題42.如圖，在四棱錐P ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點，過A，D，N三點的平面交PC于M，E為AD的中點.
求證：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
證明：(1)∵AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，
∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中點，∴點M為PC的中點．
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E為AD的中點，∴MN∥DE且MN＝DE.
∴四邊形DENM為平行四邊形．
∴EN∥DM，且DM 平面PDC.
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，
且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵側(cè)面PAD是正三角形，且E為中點，
∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，
又PB 平面PBE，
∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N為PB的中點，∴AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB 平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.

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