資源簡介

8.2 立體圖形的直觀圖
學習目標
1、了解斜二測畫法的概念并掌握用斜二測畫法畫直觀圖的步驟；
2、會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖；
3、會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖。
思維導圖
概念知識
一、空間幾何體的直觀圖的概念
直觀圖是觀察者在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形；直觀圖是把空間圖形畫在平面內，既富有立體感，又能表達出圖形各主要部分的位置關系和度量關系的圖形。
二、立體圖形的直觀圖的畫法
1、斜二測畫法：我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法．
（1）“斜”：在已知圖形的平面內與軸垂直的線段，在直觀圖中均與軸承或
（2）“二測”：兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于軸或軸的線段長度不變；
平行于軸的長度變成原來的一半，
2、平面圖形直觀圖的畫法及要求
第一步建系：在已知圖中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點，畫直觀圖時，把他們弧長對應的軸和軸，兩軸相交于，且使（或）它們確定的平面表示水平面；
第二步平行不變：已知圖形中平行與軸和軸的線段，在直觀圖中分別畫出平行與軸或軸的線段；
第三步長度規則：已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于軸的線段，長度變為原來的一半，
3、空間幾何體直觀圖的畫法
（1）與平面圖形的直觀圖相比，多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，直觀圖中與之對應的是z′軸；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面；
（3）已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．
（4）成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．
4、直觀圖與原圖之間的“變”與“不變”
“三變”:(1)坐標軸的夾角改變；(2)與軸平行的線段長度變為原來的一半；(3)圖形改變。
“三不變”:(1)平行性不改變；(2)與軸和軸平行的線段長度不改變；(3)相對位置不改變。
三、直觀圖與原圖多邊形面積之間的關系
若一個多邊形的面積為，它的直觀圖的面積為，則有，
舉個例子：以三角形為例，如圖，設元三角形的底為，高為，
則其面積為，
在直觀圖中，，，
在直觀圖中，
題型一 斜二測畫法的概念辨析
【例1】（23-24高一·全國·課時練習）用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊平行于x軸、y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中∠A′等于（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．90°
【答案】C
【解析】在畫直觀圖時，∠A′的兩邊依然分別平行于x′軸、y′軸，
所以在直觀圖中∠A′等于45°或135°.故選：C
【變式1-1】（23-24高一·全國·課時練習）關于斜二測畫法，下列說法錯誤的是（ ）
A．平行直線的直觀圖仍然是平行直線
B．垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線
C．直觀圖中分別與兩條坐標軸重合的直線，實際的位置是相互垂直的
D．線段的中點在直觀圖中仍然是中點
【答案】B
【解析】對于A，平行直線在直觀圖中長度可能會變化，但平行關系不變，A正確；
對于B，平行于軸和軸的兩條直線，在直觀圖中夾角為，B錯誤；
對于C，直觀圖中與兩條坐標軸重合的直線，
還原后與平面直角坐標系中的軸重合，實際位置互相垂直，C正確；
對于D，線段的中點在直觀圖中依然會是該線段直觀圖畫法中的中點，D正確.
故選：B.
【變式1-2】（22-23高一下·重慶·月考）對于用“斜二側畫法”畫平面圖形的直觀圖，下列說法正確的是（ ）
A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形
B．梯形的直觀圖可能不是梯形
C．正方形的直觀圖為平行四邊形
D．正三角形的直觀圖一定是等腰三角形
【答案】C
【解析】根據斜二側畫法畫水平放置的平面圖形時的畫法原則，可知：
選項A，如圖1，因為等腰三角形頂點在上，畫直觀圖時，頂點在軸上，
如圖2，故，所以選項A錯誤；
選項B，梯形的上下底平行，在直觀圖中仍然平行，兩腰不平行，
在直觀圖中仍然不平行，且長度不變，所以梯形的直觀圖仍是梯形，所以B錯誤；
選項C，因為正方形的對邊平行，所以在直觀圖中仍然平行，
故正方形的直觀圖為平行四邊形，所以選項C正確；
選項D，如下圖3，因為等邊三角形頂點在上，
畫直觀圖時，頂點在軸上，如圖4，故，所以選項D錯誤；
故選：C．
【變式1-3】（22-23高一下·湖北武漢·階段練習）（多選）用斜二測畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結論正確的是（ ）
A．平行線段在直觀圖仍是平行線段 B．相等的角在直觀圖仍是相等的角
C．菱形的直觀圖是菱形 D．梯形的直觀圖是梯形
【答案】AD
【解析】對于A，根據斜二測畫法知，直觀圖中平行關系不會改變，A正確；
對于B，對于平面多邊形，不妨以正方形為例，
其直觀圖直角變為或，B錯誤；
對于C，根據斜二測畫法知，平行于軸的線段長度不變，
平行于軸的線段長度變為原來的一半，故菱形的直觀圖不是菱形，C錯誤；
對于D，梯形的上、下底平行且長度不相等，在直觀圖中，兩底仍然平行，
且長度不相等，故一個梯形的直觀圖仍然是梯形，D正確；故選：AD
題型二 畫平面圖形的直觀圖
【例2】（23-24高一·全國·課后作業）圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據該平面圖形的直觀圖，該平面圖形為一個直角梯形，
且在直觀圖中平行于軸的邊與底邊垂直，
原圖形如圖所示：
此平面圖形可能是C.故選：C.
【變式2-1】（22-23高一下·福建三明·期中）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形是一個邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在直觀圖中，其一條對角線在y軸上且長度為，
所以在原圖形中其中一條對角線必在y軸上，且長度為，故選：A．
【變式2-2】（22-23高一下·四川成都·階段練習）如圖，是的直觀圖，則是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】因為線段與軸相交，設交點為，如圖（1）所示，
在直角坐標系中，點在軸上，
可得，點C在y軸上，可得，
如圖（2）所示，因此點必在線段的延長線上，所以，
所以是鈍角三角形．故選：C．
【變式2-3】（23-24高二上·上海·期中）如圖有一個直角梯形，則它的水平放置的直觀圖是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出直角梯形的直觀圖如下圖所示：
A選項滿足要求.故選：A.
【變式2-4】（23-24高一上·內蒙古呼和浩特·期末）如圖，用斜二測畫法作水平放置的正三角形的直觀圖，則正確的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先作出一個正三角形，然后以所在直線為軸，
以邊上的高所在的直線為軸建立平面直角坐標系，
畫對應的軸，使夾角為，
畫直觀圖時與軸平行的直線的線段長度保持不變，
與軸平行的線段長度變為原來的一半，得到的圖形如圖，
然后去掉輔助線即可得到正三角形的直觀圖如圖，
故選：A
題型三 由直觀圖還原幾何圖形
【例3】（23-24高一下·全國·練習）如圖所示，是的直觀圖，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形
【答案】B
【解析】根據題意，，所以是直角三角形.故選：B.
【變式3-1】（22-23高一下·湖北·期末）如圖是斜二測畫法下水平放置的平面圖形的直觀圖，則其表示的原平面圖形是（ ）
A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四邊形 D．平行四邊形
【答案】B
【解析】因為直觀圖中，，
所以原圖形中，
因為直觀圖中，
所以原圖形中，
綜上，原圖形是直角梯形，故選：B．
【變式3-2】（22-23高一下·安徽·階段練習）如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則是（ ）

A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上選項都不對
【答案】C
【解析】根據斜二測畫法可知，在原圖形中，O為CA的中點，.
因為，所以，
則是以AC為斜邊的等腰直角三角形，如圖所示：
故選：C.
【變式3-3】（22-23高一下·全國·課時練習）如圖是水平放置的三角形ABC的直觀圖，是中邊上的一點，且離比離近，軸，軸，那么線段AB，AD，AC中，最長、最短的線段分別是（ ）
A．AB，AC B．AC，AD C．AD，AC D．AB，AD
【答案】B
【解析】原的平面圖如圖所示．
由題意可知，，，所以，
所以在線段AB，AC，AD中，最長的是AC，最短的是AD．故選：B．
題型四 斜二測畫法中相關量計算
【例4】（22-23高一下·山東棗莊·階段練習）已知正方形的邊長為a，按照斜二測畫法作出它的直觀圖，直觀圖面積為，則a值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】利用斜二測畫法得到直觀圖，則，，，
過點作⊥軸于點，則，
所以平行四邊形的面積為，解得.故選：C
【變式4-1】（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，取的中點為坐標原點，以為建立坐標系如左圖，
因為斜二測直觀圖為矩形，，,
則，
可得原圖中（右圖），,,
四邊形的面積為.故選：D.
【變式4-2】（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點，且軸，軸，，，則的周長 .
【答案】
【解析】如圖，根據斜二測畫法，因為，，所以，，
且軸，軸，是的中點，所以，
在直角中，由勾股定理有：，所以，
則的周長.
【變式4-3】（22-23高一下·山東德州·期末）如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則平面圖形中對角線的長度為（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【解析】由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形，如圖，
由斜二測法則知，，，
所以.故選：C
題型五 畫立體圖形的直觀圖
【例5】（23-24高一·全國·課后作業）一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20 m、5 m、10 m，四棱錐的高為8 m，若按1∶1 000的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為（ ）
A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm
C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm
【答案】D
【解析】由比例可知，所畫長方體的長、寬、高和四棱錐的高
分別為2cm，0.5cm，1cm和0.8cm，
又因為斜二測畫直觀圖的畫法：
已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中平行于，保持長度不變；
已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中平行于軸，長度變為原來的一半；
已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中平行于軸，保持長度不變.
所以該建筑物按的比例畫出它的直觀圖，
直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為
2cm，0.25cm，1cm和0.8cm．故選：D.
【變式5-1】（23-24高一·全國·課后作業）畫長、寬、高分別為，，的長方體的直觀圖．
【答案】畫圖見解析
【解析】根據斜二測畫法的規則可知, 底面矩形的直觀 圖為平行四邊形,
其中 , ,
作 底面, 在 軸上截取 ,
過 作 , 使 , 過、
分別作 平行于 且等于 ,
連接 可得長、寬、高 分別為，，的長方體的直觀圖.
【變式5-2】（22-23高一·全國·隨堂練習）畫底面邊長為3cm、高為3cm的正四棱錐的直觀圖．
【答案】答案見解析
【解析】畫法：（1）畫軸，畫軸、軸、軸，它們交于點，使.
（2）畫底面，按軸、軸畫正方形的直觀圖，取邊長等于，
使正方形的中心對應于點，在軸上分別取點、、、，
且使，，
分別過、、、作平行于軸的直線，分別交于、、、四點.
（3）畫高（線），在軸上取
（4）成圖，連結,,,，并加以整理，就得到所要畫的正四棱雉的直觀圖.
【變式5-3】（2024高三·全國·專題練習）畫正六棱柱（底面是正六邊形，側棱垂直于底面）的直觀圖．（底面邊長尺寸不作要求，側棱長為1.5 cm）
【答案】答案見解析
【解析】（1）畫軸．畫軸、軸、軸，使，．
（2）畫底面．根據軸、軸，畫正六邊形的直觀圖ABCDEF．
（3）畫側棱．過A，B，C，D，E，F各點分別作軸的平行線，
在這些平行線上分別截取、、、、、都等于1.5 cm.
（4）成圖．順次連接，，，，，，去掉輔助線，
將被遮擋的部分改為虛線，就得到正六棱柱的直觀圖．8.2 立體圖形的直觀圖
學習目標
1、了解斜二測畫法的概念并掌握用斜二測畫法畫直觀圖的步驟；
2、會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖；
3、會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖。
思維導圖
概念知識
一、空間幾何體的直觀圖的概念
直觀圖是觀察者在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形；直觀圖是把空間圖形畫在平面內，既富有立體感，又能表達出圖形各主要部分的位置關系和度量關系的圖形。
二、立體圖形的直觀圖的畫法
1、斜二測畫法：我們常用斜二測畫法畫空間圖形及水平放置的平面圖形的直觀圖．斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法．
（1）“斜”：在已知圖形的平面內與軸垂直的線段，在直觀圖中均與軸承或
（2）“二測”：兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于軸或軸的線段長度不變；
平行于軸的長度變成原來的一半，
2、平面圖形直觀圖的畫法及要求
第一步建系：在已知圖中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點，畫直觀圖時，把他們弧長對應的軸和軸，兩軸相交于，且使（或）它們確定的平面表示水平面；
第二步平行不變：已知圖形中平行與軸和軸的線段，在直觀圖中分別畫出平行與軸或軸的線段；
第三步長度規則：已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于軸的線段，長度變為原來的一半，
3、空間幾何體直觀圖的畫法
（1）與平面圖形的直觀圖相比，多畫一個與x軸、y軸都垂直的z軸，直觀圖中與之對應的是z′軸；
（2）平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面；
（3）已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．
（4）成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．
4、直觀圖與原圖之間的“變”與“不變”
“三變”:(1)坐標軸的夾角改變；(2)與軸平行的線段長度變為原來的一半；(3)圖形改變。
“三不變”:(1)平行性不改變；(2)與軸和軸平行的線段長度不改變；(3)相對位置不改變。
三、直觀圖與原圖多邊形面積之間的關系
若一個多邊形的面積為，它的直觀圖的面積為，則有，
舉個例子：以三角形為例，如圖，設元三角形的底為，高為，
則其面積為，
在直觀圖中，，，
在直觀圖中，
題型一 斜二測畫法的概念辨析
【例1】（23-24高一·全國·課時練習）用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊平行于x軸、y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中∠A′等于（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．90°
【變式1-1】（23-24高一·全國·課時練習）關于斜二測畫法，下列說法錯誤的是（ ）
A．平行直線的直觀圖仍然是平行直線
B．垂直直線的直觀圖仍然是垂直直線
C．直觀圖中分別與兩條坐標軸重合的直線，實際的位置是相互垂直的
D．線段的中點在直觀圖中仍然是中點
【變式1-2】（22-23高一下·重慶·月考）對于用“斜二側畫法”畫平面圖形的直觀圖，下列說法正確的是（ ）
A．等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形
B．梯形的直觀圖可能不是梯形
C．正方形的直觀圖為平行四邊形
D．正三角形的直觀圖一定是等腰三角形
【變式1-3】（22-23高一下·湖北武漢·階段練習）（多選）用斜二測畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下列結論正確的是（ ）
A．平行線段在直觀圖仍是平行線段 B．相等的角在直觀圖仍是相等的角
C．菱形的直觀圖是菱形 D．梯形的直觀圖是梯形
題型二 畫平面圖形的直觀圖
【例2】（23-24高一·全國·課后作業）圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是（）
A． B． C． D．
【變式2-1】（22-23高一下·福建三明·期中）如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形是一個邊長為1的正方形，則原圖形的形狀是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（22-23高一下·四川成都·階段練習）如圖，是的直觀圖，則是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【變式2-3】（23-24高二上·上海·期中）如圖有一個直角梯形，則它的水平放置的直觀圖是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-4】（23-24高一上·內蒙古呼和浩特·期末）如圖，用斜二測畫法作水平放置的正三角形的直觀圖，則正確的圖形是（ ）
A． B．
C． D．
題型三 由直觀圖還原幾何圖形
【例3】（23-24高一下·全國·練習）如圖所示，是的直觀圖，其中，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形
【變式3-1】（22-23高一下·湖北·期末）如圖是斜二測畫法下水平放置的平面圖形的直觀圖，則其表示的原平面圖形是（ ）
A．任意梯形 B．直角梯形 C．任意四邊形 D．平行四邊形
【變式3-2】（22-23高一下·安徽·階段練習）如圖所示，是水平放置的的斜二測直觀圖，其中，則是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上選項都不對
【變式3-3】（22-23高一下·全國·課時練習）如圖是水平放置的三角形ABC的直觀圖，是中邊上的一點，且離比離近，軸，軸，那么線段AB，AD，AC中，最長、最短的線段分別是（ ）
A．AB，AC B．AC，AD C．AD，AC D．AB，AD
題型四 斜二測畫法中相關量計算
【例4】（22-23高一下·山東棗莊·階段練習）已知正方形的邊長為a，按照斜二測畫法作出它的直觀圖，直觀圖面積為，則a值為（ ）
A． B． C．2 D．
【變式4-1】（23-24高一上·浙江紹興·期末）已知水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點，且軸，軸，，，則的周長 .
【變式4-3】（22-23高一下·山東德州·期末）如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，則平面圖形中對角線的長度為（ ）
A． B． C． D．5
題型五 畫立體圖形的直觀圖
【例5】（23-24高一·全國·課后作業）一個建筑物上部為四棱錐，下部為長方體，且四棱錐的底面與長方體的上底面尺寸一樣，已知長方體的長、寬、高分別為20 m、5 m、10 m，四棱錐的高為8 m，若按1∶1 000的比例畫出它的直觀圖，那么直觀圖中，長方體的長、寬、高和棱錐的高應分別為（ ）
A．4 cm，1 cm，2 cm，1，6 cm B．4 cm，0，5 cm，2 cm，0，8 cm
C．4 cm，0，5 cm，2 cm，1，6 cm D．2 cm，0，25 cm，1 cm，0，8 cm
【變式5-1】（23-24高一·全國·課后作業）畫長、寬、高分別為，，的長方體的直觀圖．
【變式5-2】（22-23高一·全國·隨堂練習）畫底面邊長為3cm、高為3cm的正四棱錐的直觀圖．
【變式5-3】（2024高三·全國·專題練習）畫正六棱柱（底面是正六邊形，側棱垂直于底面）的直觀圖．（底面邊長尺寸不作要求，側棱長為1.5 cm）

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