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磨尖課02 嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是很多學(xué)生難以跨越的一道“鴻溝”.求解時(shí)通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，再借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解，下面我們一起探討如何跨越這道“鴻溝”.
磨尖點(diǎn)一　求嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
(1)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)=x1，則關(guān)于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)(2024·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f(f(x)+1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)令f(x)=t，則3t2+2at+b=0.又由題意知f'(x)=3x2+2ax+b=0，兩根分別為x1，x2，即方程3t2+2at+b=0的根分別為x1，x2，所以f(x)=x1或f(x)=x2.
如圖所示.
由圖象可知f(x)=x1有2個(gè)解，f(x)=x2有1個(gè)解，因此方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3，故選A.
(2)令t=f(x)+1=
①當(dāng)t>0時(shí)，f(t)=ln t-，則函數(shù)f(t)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，
因?yàn)閒(1)=-1<0，f(2)=ln 2->0，所以由零點(diǎn)存在定理可知，存在t1∈(1，2)，使得f(t1)=0.
②當(dāng)t≤0時(shí)，f(t)=t2+2t，令f(t)=t2+2t=0，解得t2=-2，t3=0，
作出函數(shù)t=f(x)+1的圖象，直線t=t1，t=-2，t=0，如圖所示，
由圖象可知，直線t=t1與函數(shù)t=f(x)+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
直線t=0與函數(shù)t=f(x)+1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，直線t=-2與函數(shù)t=f(x)+1的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述，函數(shù)y=f(f(x)+1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.故選D.
求嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)鍵是“換元解套”.其易錯(cuò)點(diǎn)如下：①不理解函數(shù)f(x)與f(t)是同一個(gè)函數(shù)；②畫(huà)錯(cuò)了f(x)的圖象；③誤將t的個(gè)數(shù)看作f(g(x))或a[f(x)]2+bf(x)+c的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
1.(多選題)(2024·保定模擬)已知函數(shù)f(x)=若g(x)=f(f(x))+1，則下列說(shuō)法正確的是(　　).
A.當(dāng)a>0時(shí)，g(x)有4個(gè)零點(diǎn)
B.當(dāng)a>0時(shí)，g(x)有5個(gè)零點(diǎn)
C.當(dāng)a<0時(shí)，g(x)有1個(gè)零點(diǎn)
D.當(dāng)a<0時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn)
答案　AC
解析　令f(x)=t，則f(t)+1=0.
當(dāng)a≠0時(shí)，由at+1+1=0得，t=-；由-|log3t|+1=0得，t=3或t=.
當(dāng)a>0時(shí)，t=-<0，符合題意.
g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于f(x)的圖象與曲線t=-、直線t=3和直線t=的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出f(x)的圖象，如圖1所示，
由圖象可知，f(x)的圖象與曲線t=-、直線t=3和直線t=共有4個(gè)交點(diǎn)，即g(x)有4個(gè)零點(diǎn)，A正確，B錯(cuò)誤.
當(dāng)a<0時(shí)，t=->0，不符合題意，舍去，則g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于f(x)的圖象與直線t=3和直線t=的
交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出f(x)的圖象，如圖2所示，
由圖象可知，f(x)圖象與直線t=3和直線t=有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，即g(x)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，C正確，D錯(cuò)誤.
故選AC.
2.(2024·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
答案　B
解析　令t=f(x)，由g(x)=0，則f(t)-2t+1=0，分別作出y=f(x)的圖象和直線y=2x-1，如圖所示，
由圖象可得y=f(x)的圖象與直線y=2x-1有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為t1，t2，則t1=0，1所以f(x)=0有2個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)1綜上，g(x)=0的實(shí)根個(gè)數(shù)為5，即函數(shù)g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.故選B.
磨尖點(diǎn)二　由嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況求參數(shù)范圍
(2024·云南模擬)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=[f(f(x))]2-(a+1)·f(f(x))+a(a∈R)恰有8個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
答案　(0，1)
解析　由
已知得[f(f(x))-1][f(f(x))-a]=0，
則f(f(x))=1或f(f(x))=a，作出f(x)的圖象，如圖，
則若f(x)=1，解得x=0或x=2.
設(shè)t=f(x)，由f(f(x))=1得f(t)=1，
此時(shí)t=0或t=2，
當(dāng)t=0時(shí)，f(x)=t=0，有2個(gè)根，當(dāng)t=2時(shí)，f(x)=t=2，有1個(gè)根，
則必須有f(f(x))=a(a≠1)有5個(gè)根.
設(shè)t=f(x)，由f(f(x))=a得f(t)=a，
若a=0，則由f(t)=a=0得t=-1或t=1，f(x)=-1有1個(gè)根，
f(x)=1有2個(gè)根，此時(shí)有3個(gè)根，不滿足條件.
若a>1，則由f(t)=a得t>2，f(x)=t有1個(gè)根，不滿足條件.
若a<0，則由f(t)=a得-2若0當(dāng)-1當(dāng)1故0解決形如f(g(x))或a[f(x)]2+bf(x)+c的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，其解題原理基本一致，都是通過(guò)換元思想和整體代換思想進(jìn)行求解，具體步驟：
1.換元，令t=g(x)(t=f(x))；
2.求解函數(shù)g(t)(f(t))的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
3.求解方程t=g(x)(t=f(x))的實(shí)根或?qū)嵏鶄€(gè)數(shù)或通過(guò)已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍.
這種方法的實(shí)質(zhì)是將f(g(x))或y=a[f(x)]2+bf(x)+c的零點(diǎn)分拆成上述步驟1，2進(jìn)行求解.
(2024·江蘇模擬)已知函數(shù)f(x)=(a+1)x2-bx+a，若函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，且與函數(shù)y=f(f(x))的零點(diǎn)完全相同，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　　　　.
答案　(-4，0]
解析　設(shè)x0為函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與y=f(f(x))有相同的零點(diǎn)，所以f(f(x0))=f(0)=0，即a=0，所以f(x)=x2-bx.
若b=0，則f(x)=x2與y=f(f(x))=f(x2)=x4有相同的零點(diǎn)0.滿足題意.
若b≠0，則f(x)=x2-bx=x(x-b)有2個(gè)零點(diǎn)，分別為0和b，所以y=f(f(x))也有2個(gè)零點(diǎn)0和b.
又因?yàn)閒(x)=0有2個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)=b無(wú)實(shí)數(shù)解，即x2-bx=b無(wú)實(shí)數(shù)解，所以Δ=b2+4b<0，解得-4綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍為(-4，0].磨尖課02 嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題
嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是很多學(xué)生難以跨越的一道“鴻溝”.求解時(shí)通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，再借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解，下面我們一起探討如何跨越這道“鴻溝”.
磨尖點(diǎn)一　求嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)
(1)若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，且f(x1)=x1，則關(guān)于x的方程3[f(x)]2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)(2024·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f(f(x)+1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　).
A.2 B.3 C.4 D.5
求嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)鍵是“換元解套”.其易錯(cuò)點(diǎn)如下：①不理解函數(shù)f(x)與f(t)是同一個(gè)函數(shù)；②畫(huà)錯(cuò)了f(x)的圖象；③誤將t的個(gè)數(shù)看作f(g(x))或a[f(x)]2+bf(x)+c的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
1.(多選題)(2024·保定模擬)已知函數(shù)f(x)=若g(x)=f(f(x))+1，則下列說(shuō)法正確的是(　　).
A.當(dāng)a>0時(shí)，g(x)有4個(gè)零點(diǎn)
B.當(dāng)a>0時(shí)，g(x)有5個(gè)零點(diǎn)
C.當(dāng)a<0時(shí)，g(x)有1個(gè)零點(diǎn)
D.當(dāng)a<0時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn)
2.(2024·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)=則函數(shù)g(x)=f(f(x))-2f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　).
A.4 B.5 C.6 D.7
磨尖點(diǎn)二　由嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況求參數(shù)范圍
(2024·云南模擬)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=[f(f(x))]2-(a+1)·f(f(x))+a(a∈R)恰有8個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
解決形如f(g(x))或a[f(x)]2+bf(x)+c的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，其解題原理基本一致，都是通過(guò)換元思想和整體代換思想進(jìn)行求解，具體步驟：
1.換元，令t=g(x)(t=f(x))；
2.求解函數(shù)g(t)(f(t))的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
3.求解方程t=g(x)(t=f(x))的實(shí)根或?qū)嵏鶄€(gè)數(shù)或通過(guò)已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍.
這種方法的實(shí)質(zhì)是將f(g(x))或y=a[f(x)]2+bf(x)+c的零點(diǎn)分拆成上述步驟1，2進(jìn)行求解.
(2024·江蘇模擬)已知函數(shù)f(x)=(a+1)x2-bx+a，若函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，且與函數(shù)y=f(f(x))的零點(diǎn)完全相同，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　　　　.

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