資源簡介

磨尖課04 極化恒等式
1.極化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
(1)公式推導：
a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
(2)幾何意義：如圖1，向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.
2.平行四邊形模式：如圖2，在平行四邊形ABCD中，O是對角線的交點，則·=(||2-||2).
3.三角形模式：如圖3，在△ABC中，設D為BC的中點，則·=||2-||2.
(1)推導過程：
·=(+)2-(-)2=-2=||2-||2.
(2)三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決.
(3)記憶規律：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊邊長的一半的平方差.
磨尖點一　求向量數量積的定值
(2023·全國乙卷)正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則·=(　　).
A. B.3 C.2 D.5
利用極化恒等式求平面向量數量積的步驟
1.取第三邊的中點，連接向量的起點與中點.
2.利用極化恒等式將數量積轉化為第三邊的中線長與第三邊邊長的一半的平方差.
3.求中線及第三邊的長度，從而求出數量積的值.
【注意】對于不共起點或不共終點的向量，需通過平移轉化為共起點(終點)的向量，再利用極化恒等式求解.
(2024·咸陽模擬)如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6，D為BC的中點，則·=　　　　.
　
磨尖點二　求向量數量積的最值(范圍)
(一題多解)(2022·北京卷)已知在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC所在平面內的動點，且PC=1，則·的取值范圍是(　　).
A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]
1.利用極化恒等式求數量積的最值(范圍)時，關鍵在于取第三邊的中點，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式.
2.難點在于求中線長的最值(范圍)，可通過觀察圖形或利用點到直線的距離等求解.
　
(2024·吉林月考)數學中處處存在著美，機械學家萊洛發現的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形是以正三角形ABC的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的.已知AB=2，P為上一點，則·(+)的最小值為　　　　.
磨尖點三　求參數及其他問題
在△ABC中，P0是邊AB上一點，滿足P0B=AB，且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·.則(　　).
A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°
C.AB=AC D.AC=BC
極化恒等式的適用條件
1.共起點或共終點的兩向量的數量積問題可直接進行轉化；
2.不共起點和不共終點的數量積問題可通過向量的平移，等價轉化為共起點或共終點的兩向量的數量積問題.
　
(2024·溫州統考)如圖，在△ABC中，AC=2，AB=6，∠BAC的平分線交BC于點D，過點C作CE⊥AD于點E，試求的值.磨尖課04 極化恒等式
1.極化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
(1)公式推導：
a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
(2)幾何意義：如圖1，向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的.
2.平行四邊形模式：如圖2，在平行四邊形ABCD中，O是對角線的交點，則·=(||2-||2).
3.三角形模式：如圖3，在△ABC中，設D為BC的中點，則·=||2-||2.
(1)推導過程：
·=(+)2-(-)2=-2=||2-||2.
(2)三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決.
(3)記憶規律：向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊邊長的一半的平方差.
磨尖點一　求向量數量積的定值
(2023·全國乙卷)正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則·=(　　).
A. B.3 C.2 D.5
答案　B
解析　設CD的中點為O，由極化恒等式可得·=||2-||2=3.故選B.
【注意】本題與“基礎課29　平面向量的數量積及其應用”考點一第1題同題，但此處探討利用“極化恒等式”的方法求解.
利用極化恒等式求平面向量數量積的步驟
1.取第三邊的中點，連接向量的起點與中點.
2.利用極化恒等式將數量積轉化為第三邊的中線長與第三邊邊長的一半的平方差.
3.求中線及第三邊的長度，從而求出數量積的值.
【注意】對于不共起點或不共終點的向量，需通過平移轉化為共起點(終點)的向量，再利用極化恒等式求解.
(2024·咸陽模擬)如圖，在△ABC中，AB=8，AC=6，D為BC的中點，則·=　　　　.
　　答案　-7
解析　=(+)，==(-)，
則·=(-)=(||2-||2)=×(36-64)=-7.
磨尖點二　求向量數量積的最值(范圍)
(一題多解)(2022·北京卷)已知在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P為△ABC所在平面內的動點，且PC=1，則·的取值范圍是(　　).
A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]
答案　D
解析　(法一)依題意建立如圖所示的平面直角坐標系，則C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，
因為PC=1，所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運動，設P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π]，
所以=(3-cos θ，-sin θ)，
=(-cos θ，4-sin θ)，
所以·=(-cos θ)×(3-cos θ)+(4-sin θ)×(-sin θ)=
cos2θ-3cos θ-4sin θ+sin2θ=1-3cos θ-4sin θ=1-5sin(θ+φ)，其中tan φ=，
因為-1≤sin(θ+φ)≤1，所以-4≤1-5sin(θ+φ)≤6，
即·∈[-4，6].故選D.
(法二：極化恒等式)取AB的中點為M，連接CM(圖略)，則CM=，
由極化恒等式可得·=||2-||2=||2-，
因為|PM|max=|CM|+1=，此時(·)max=6，
|PM|min=|CM|-1=，此時(·)min=-4，
所以·∈[-4，6].故選D.
1.利用極化恒等式求數量積的最值(范圍)時，關鍵在于取第三邊的中點，找到三角形的中線，再寫出極化恒等式.
2.難點在于求中線長的最值(范圍)，可通過觀察圖形或利用點到直線的距離等求解.
　
(2024·吉林月考)數學中處處存在著美，機械學家萊洛發現的萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形是以正三角形ABC的三個頂點為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的.已知AB=2，P為上一點，則·(+)的最小值為　　　　.
答案　10-4
解析　設D為BC的中點，E為AD的中點，如圖所示，由題意可知EA=，
所以·(+)=2·=2(+)·(+)=2(+)·(-)=2(-)=2-，
因為CE==，
所以||min=2-CE=2-，故·(+)的最小值為2×2-2-=10-4.
磨尖點三　求參數及其他問題
在△ABC中，P0是邊AB上一點，滿足P0B=AB，且對于邊AB上任一點P，恒有·≥·.則(　　).
A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°
C.AB=AC D.AC=BC
答案　D
解析　如圖，取BC的中點D，由極化恒等式可得·=-，
同理，·=-，
因為·≥·，即||≥||，所以P0D⊥AB，因為P0B=AB，D是BC的中點，所以AC=BC.故選D.
極化恒等式的適用條件
1.共起點或共終點的兩向量的數量積問題可直接進行轉化；
2.不共起點和不共終點的數量積問題可通過向量的平移，等價轉化為共起點或共終點的兩向量的數量積問題.
　
(2024·溫州統考)如圖，在△ABC中，AC=2，AB=6，∠BAC的平分線交BC于點D，過點C作CE⊥AD于點E，試求的值.
解析　如圖，
取BC的中點F，易得+=2，則·=[(+)2-(-)2]=||2-||2，
過點F作FG⊥AD交AD的延長線于點G，連接EF，
由角平分線定理可得，==3，則CD=CB=DF，
又∠CDE=∠FDG，∠CED=∠FGD，所以△CDE≌△FDG，則ED=DG，故EF2=EG2+GF2=4ED2+GF2，
即||=4||，||2=4||2+||2，
則·=||2-||2=4||2+||2-4||2=-3||2，所以=-3.

展開更多......

收起↑