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磨尖課05 數列中不等式放縮法的妙用
放縮法證明數列中不等式，其證明思路是：欲證明a≥b，可以將b適度壓縮，即b1≥b，只需證明a≥b1.同理，將a適度放大，即a≥a1，則只需證明a1≥b.這里的壓縮和放大，變化思路多且技巧性強，所以它能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，也可以很好地檢測學生的數學水平.
磨尖點一　先放縮成等差或等比通項，再求和放縮
已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.
(1)證明an+是等比數列，并求{an}的通項公式.
(2)求證：++…+<.
1.不等式證明中的數列求和不能直接求和的，就先放縮，再求和，再放縮證明不等式.這里的放縮技巧是把通項放縮成等差數列或等比數列通項.
2.常用的放縮技巧：≤n-1.
【注意】從首項開始放縮，若放大(或放小)后的結果與要求證明的結果不一致，則可以調整成前幾項不放縮，以此確保得到要求證明的結果.
已知數列{an}滿足a1=，an=(n≥2，n∈N*).
(1)試判斷數列+(-1)n是否為等比數列，并說明理由.
(2)設bn=ansin ，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：對任意的n∈N*，Tn<.
磨尖點二　先放縮成裂項法通項求和，再求和放縮
已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=，2Sn=(n+1)an+1(n≥2).
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn=(n∈N*)，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<(n∈N*).
常用的放縮技巧如下：
①-=<<=-(n≥2)；
②2(-)=<<=2(-)；
③<=<=-(n≥2)；
④<==-(n≥2)；
⑤=<=-(n≥2).
已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且an+=2Sn，n∈N*.
(1)求證：數列{}是等差數列.
(2)記數列{bn}滿足bn=2，Tn=++…+，求證：1-放縮法證明數列中不等式，其證明思路是：欲證明a≥b，可以將b適度壓縮，即b1≥b，只需證明a≥b1.同理，將a適度放大，即a≥a1，則只需證明a1≥b.這里的壓縮和放大，變化思路多且技巧性強，所以它能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，也可以很好地檢測學生的數學水平.
磨尖點一　先放縮成等差或等比通項，再求和放縮
已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.
(1)證明an+是等比數列，并求{an}的通項公式.
(2)求證：++…+<.
解析　(1)由an+1=3an+1得an+1+=3an+，
因為a1+=，所以數列an+是以為首項，3為公比的等比數列，即an+=×3n-1，所以an=(3n-1)(n∈N*).
(2)因為=，且當n≥1時，3n-1≥2×3n-1，所以=≤n-1，即++…+≤1++2+…+n-1=1-<，所以++…+<.
1.不等式證明中的數列求和不能直接求和的，就先放縮，再求和，再放縮證明不等式.這里的放縮技巧是把通項放縮成等差數列或等比數列通項.
2.常用的放縮技巧：≤n-1.
【注意】從首項開始放縮，若放大(或放小)后的結果與要求證明的結果不一致，則可以調整成前幾項不放縮，以此確保得到要求證明的結果.
已知數列{an}滿足a1=，an=(n≥2，n∈N*).
(1)試判斷數列+(-1)n是否為等比數列，并說明理由.
(2)設bn=ansin ，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：對任意的n∈N*，Tn<.
解析　(1)數列+(-1)n是等比數列，理由如下：
因為an=，所以==(-1)n-，即+(-1)n=2·(-1)n-=-2·(-1)n-1-=-2(-1)n-1+，
又+(-1)1=3，所以數列+(-1)n是首項為3，公比為-2的等比數列.
(2)由(1)得+(-1)n=3×(-2)n-1，即an=，
又sin =(-1)n-1，所以bn=ansin ==<，
則Tn=b1+b2+…+bn<++…+==1-<，發現-=，說明放縮略大了一點，此時調整成前二項不放縮再證明：
當n≥3時，Tn=b1+b2+b3+…+bn<+++…+=++=++1-<++=<，
又因為數列{bn}是正項數列，所以{Tn}是遞增數列，即T1磨尖點二　先放縮成裂項法通項求和，再求和放縮
已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=，2Sn=(n+1)an+1(n≥2).
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn=(n∈N*)，數列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<(n∈N*).
解析　(1)因為a1=，2Sn=(n+1)an+1(n≥2)，所以當n=2時，2S2=3a2+1，解得a2=2，
當n=3時，2S3=4a3+1，解得a3=3，
當n≥3時，2Sn=(n+1)an+1，　①
則2=n+1，　②
由①-②得2an=(n+1)an-n，則=(n≥3)，
所以==…==1，即an=(n∈N*).
(2)由(1)得bn==(n∈N*)，
所以當n=1時，T1=b1=<；
當n≥2時，bn=<=-，
所以Tn<+-+-+…+-=+-=-<<，
綜上可得，Tn<(n∈N*).
常用的放縮技巧如下：
①-=<<=-(n≥2)；
②2(-)=<<=2(-)；
③<=<=-(n≥2)；
④<==-(n≥2)；
⑤=<=-(n≥2).
已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且an+=2Sn，n∈N*.
(1)求證：數列{}是等差數列.
(2)記數列{bn}滿足bn=2，Tn=++…+，求證：1-解析　(1)因為an+=2Sn，所以當n≥2時，Sn-Sn-1+=2Sn，整理得-=1(n≥2)，即{}是等差數列.
(2)令n=1，代入an+=2Sn可得a1+=2S1=2a1，解得a1=1或a1=-1(舍去)，即=1，令n=2，代入-=1，得=2，再由{}是等差數列，可得=n，即Sn=，
所以bn=2=2n，即=<=<=-(n≥2)，
則Tn=++…+<+1-+-+…+-=+1-=-(n≥2)，當n=1時，T1==-1，所以Tn≤-，
由=>=>=-，得Tn=++…+>1-+-+…+-=1-.
綜上所述，1-

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