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磨尖課06 利用圓的參數方程解決最值問題
1.圓的方程有標準方程、一般方程、參數方程，一般我們把方程(θ是參數)稱為圓(x-x0)2+(y-y0)2=r2的參數方程.
2.由圓的參數方程我們可以把圓心為(x0，y0)，半徑為r的圓上的點設為(x0+rcos θ，y0+rsin θ)(θ∈[0，2π))簡稱設“點參”，特別地，若原點為圓心，常用(rcos θ，rsin θ)來表示半徑為r的圓上的任一點.
3.利用圓的參數方程設點的參數，一方面可減少參數的個數，另一方面可以借助三角恒等變換來解決問題，從代數的觀點來看，這種做法的實質就是三角代換，同時圓的參數方程也是解決某些代數問題的一個重要工具.
磨尖點一　利用圓的參數方程求代數式的最值
(2024·青島模擬)已知點P(x，y)在圓C：x2+y2-6x-6y+14=0上，則x+y的最大值為(　　).
A.4 B.10
C.6-2 D.6+2
先把圓的一般方程化為標準方程，再轉化為參數方程，利用參數方程把待求式化為關于參數θ的函數，利用三角函數的有界性求得最值，求解十分方便，這正是參數方程的優勢.
1.若x，y是非負實數，且x2+y2=6，則2x+y的最大值為(　　).
A. B.2 C.3 D.
2.(2024·襄陽模擬)已知實數x，y滿足x2+y2=1，則的最小值為(　　).
A.-1- B.-1+
C.1+ D.1-
磨尖點二　利用圓的參數方程求范圍
已知拋物線y=x2+t與圓x2+y2=1有公共點，則實數t的取值范圍是　　　　.
利用圓的參數方程，采用代入法把求實數t的取值范圍問題轉化為求三角函數的值域問題，使問題迅速獲解，可謂轉化巧妙.
1.(2024·宜春模擬)已知曲線(α為參數)上任意一點P(x0，y0)，不等式m≥x0+y0恒成立，則實數m的取值范圍是　　　　.
2.已知P(x，y)是圓x2+y2=2y上的動點，若x+y+a≥0有解，則實數a的取值范圍是　　　　.
磨尖點三　利用圓的參數方程求距離等最值
(2024·上海模擬)已知動圓(x-a)2+(y-b)2=1經過原點，則動圓上的點到直線x-y+2=0距離的最大值是　　　　.
在求解多元坐標的幾何或代數的最值時，可對參數進行轉化，化為求三角函數的最值來處理.
1.在平面直角坐標系中，圓C1的方程為x2+(y+2)2=4，直線方程為x+y-2=0，若P為C1上任意一點，則點P到直線x+y-2=0的距離的取值范圍為　　　　.
2.已知直線l：x+y-1=0與圓x2+y2=1交于兩個不同的點A，B，點P在圓C上運動，則△PAB的面積的最大值為　　　　. 磨尖課06 利用圓的參數方程解決最值問題
1.圓的方程有標準方程、一般方程、參數方程，一般我們把方程(θ是參數)稱為圓(x-x0)2+(y-y0)2=r2的參數方程.
2.由圓的參數方程我們可以把圓心為(x0，y0)，半徑為r的圓上的點設為(x0+rcos θ，y0+rsin θ)(θ∈[0，2π))簡稱設“點參”，特別地，若原點為圓心，常用(rcos θ，rsin θ)來表示半徑為r的圓上的任一點.
3.利用圓的參數方程設點的參數，一方面可減少參數的個數，另一方面可以借助三角恒等變換來解決問題，從代數的觀點來看，這種做法的實質就是三角代換，同時圓的參數方程也是解決某些代數問題的一個重要工具.
磨尖點一　利用圓的參數方程求代數式的最值
(2024·青島模擬)已知點P(x，y)在圓C：x2+y2-6x-6y+14=0上，則x+y的最大值為(　　).
A.4 B.10
C.6-2 D.6+2
答案　D
解析　由圓C：x2+y2-6x-6y+14=0，得(x-3)2+(y-3)2=4，轉化為參數方程(θ為參數)，因為點P(x，y)在圓C上，所以x+y=6+2sinθ+，當θ=時，x+y的最大值為6+2.故選D.
先把圓的一般方程化為標準方程，再轉化為參數方程，利用參數方程把待求式化為關于參數θ的函數，利用三角函數的有界性求得最值，求解十分方便，這正是參數方程的優勢.
1.若x，y是非負實數，且x2+y2=6，則2x+y的最大值為(　　).
A. B.2 C.3 D.
答案　D
解析　∵x，y是非負實數，x2+y2=6，
∴可設x=cos θ，y=sin θθ∈0，，
則2x+y=2cos θ+sin θ=sin θ+cos θ=sin(θ+φ)≤，其中tan φ=2，∴2x+y的最大值為.故選D.
2.(2024·襄陽模擬)已知實數x，y滿足x2+y2=1，則的最小值為(　　).
A.-1- B.-1+
C.1+ D.1-
答案　A
解析　∵實數x，y滿足x2+y2=1，
設x=cos θ，y=sin θ，θ∈[0，2π)，
∴=，
令t=sin θ+cos θ=sinθ+∈[-，]，
則t2=1+2sin θcos θ，∴2sin θcos θ=t2-1，
∴==t-1∈[-1-，-1]，
∴的最小值為-1-.故選A.
磨尖點二　利用圓的參數方程求范圍
已知拋物線y=x2+t與圓x2+y2=1有公共點，則實數t的取值范圍是　　　　.
答案　-，1
解析　把圓的方程化為參數方程可得x=cos α，y=sin α，α∈[0，2π)，代入拋物線方程y=x2+t可得t=sin α-cos2α=sin2α+sin α-1=sin α+2-.
當sin α=-時，t取得最小值，最小值為-；
當sin α=1時，t取得最大值，最大值為1.
故實數t的取值范圍是-，1.
利用圓的參數方程，采用代入法把求實數t的取值范圍問題轉化為求三角函數的值域問題，使問題迅速獲解，可謂轉化巧妙.
1.(2024·宜春模擬)已知曲線(α為參數)上任意一點P(x0，y0)，不等式m≥x0+y0恒成立，則實數m的取值范圍是　　　　.
答案　[2，+∞)
解析　根據題意，曲線(α為參數)，
則x+y=(-1+2cos α)+(1+2sin α)=2sin α+2cos α=2sinα+，由sinα+≤1，得x+y≤2.
若P(x0，y0)是曲線上任意一點，則x0+y0≤2，
因為不等式m≥x0+y0恒成立，所以m≥2，即實數m的取值范圍是[2，+∞).
2.已知P(x，y)是圓x2+y2=2y上的動點，若x+y+a≥0有解，則實數a的取值范圍是　　　　.
答案　[--1，+∞)
解析　把圓的方程化為參數方程可得θ為參數且θ∈[0，2π)，
若x+y+a≥0有解，則x+y+a=cos θ+sin θ+1+a≥0，
即a≥-(cos θ+sin θ)-1=-sinθ+-1有解，
所以a≥--1，即實數a的取值范圍是[--1，+∞).
磨尖點三　利用圓的參數方程求距離等最值
(2024·上海模擬)已知動圓(x-a)2+(y-b)2=1經過原點，則動圓上的點到直線x-y+2=0距離的最大值是　　　　.
答案　+2
解析　由題可知原點在圓上，所以a2+b2=1，
圓心到直線的距離d==，
令a=cos θ，b=sin θ，
則d==，
當cosθ+=1時，dmax==+1，
所以動圓上的點到直線x-y+2=0的距離的最大值是+2.
在求解多元坐標的幾何或代數的最值時，可對參數進行轉化，化為求三角函數的最值來處理.
1.在平面直角坐標系中，圓C1的方程為x2+(y+2)2=4，直線方程為x+y-2=0，若P為C1上任意一點，則點P到直線x+y-2=0的距離的取值范圍為　　　　.
答案　[2-2，2+2]
解析　圓C1的參數方程為(α為參數)，
所以可設P(2cos α，2sin α-2).
所以點P到直線x+y-2=0的距離
d===2-2sinα+，所以點P到直線x+y-2=0的距離的取值范圍為[2-2，2+2].
2.已知直線l：x+y-1=0與圓x2+y2=1交于兩個不同的點A，B，點P在圓C上運動，則△PAB的面積的最大值為　　　　.
答案　
解析　聯立直線與圓的方程可得解得或不妨取A(1，0)，B(0，1).
設點P(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π，
則點P到直線l的距離d==，故當θ=時，d的最大值為1+，
故△PAB的面積的最大值為|AB|·d=××1+=.

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