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磨尖課07 焦點三角形面積公式與內切圓性質
一、焦點三角形面積公式
【結論1】橢圓的焦點三角形面積公式：如圖1，橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上異于左、右頂點的任意一點，P(x0，y0)，若∠F1PF2=α，則橢圓的焦點三角形面積=||||sin α=c|y0|=b2tan .
特別地，當∠F1PF2=90°時，有=b2.
圖1
圖2
【結論2】雙曲線的焦點三角形面積公式：如圖2，雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線上異于左、右頂點的任意一點，P(x0，y0)，若∠F1PF2=α，則雙曲線的焦點三角形面積=||||sin α=c|y0|=.
特別地，當∠F1PF2=90°時，有=b2.
二、焦點三角形內切圓
1.橢圓焦點三角形內切圓的重要性質
如圖3，橢圓C的標準方程為+=1(a>b>0)，F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點，P為橢圓上不與左、右頂點重合的任意一點，△PF1F2的內切圓圓心為I，且圓I分別與△PF1F2的三邊相切于點D，E，H.設P(x0，y0)，I(xI，yI)，則有如下性質：
【性質1】|PD|=|PE|=a-c.
【性質2】xI=ex0，yI=，其中e=為橢圓的離心率.
圖3
圖4
2.雙曲線焦點三角形內切圓的重要性質
如圖4，雙曲線C的標準方程為-=1(a>0，b>0)，F1，F2分別為雙曲線C的左、右焦點，P為雙曲線上異于實軸端點的任意一點，△PF1F2的內切圓圓心為I，且圓I分別與△PF1F2的三邊相切于點A，B，C.設P(x0，y0)，I(xI，yI)，則有如下性質：
【性質1】△PF1F2的內切圓與x軸切于雙曲線的頂點，且當P點在雙曲線左支時，切點為左頂點；當點P在雙曲線右支時，切點為右頂點.
【性質2】|F1C|=|F1A|=a+c，xI=a.
磨尖點一　焦點三角形面積問題
(1)(2024·眉山開學考試)已知橢圓C：+=1的兩焦點分別為F1，F2，P為橢圓上一點，且∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為(　　).
A.6 B.2 C.4 D.6
(2)已知雙曲線-=1的左、右焦點分別為F1，F2，若雙曲線上存在一點P使得∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為(　　).
A. B. C.7 D.14
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)由橢圓焦點三角形面積公式，得=b2tan =6×=2.故選B.
(2)由雙曲線焦點三角形面積公式有===7.故選C.
在求圓錐曲線的焦點三角形面積時，根據題意選擇適合的公式，注意結合圓錐曲線的定義、余弦定理、基本不等式等知識解題.
1.(多選題)(2024·江蘇期中)已知F1，F2分別是橢圓C：+=1的兩個焦點，若橢圓上存在使△PF1F2的面積為的點P的個數為4，則實數m的值可以是(　　).
A.2 B.3 C. D.5
答案　AD
解析　①若F1，F2分別是橢圓C：+=1的上、下兩個焦點，由題意及橢圓焦點三角形面積公式得m·tanmax>，即m·>，所以m2-4m+3<0，解得1②若F1，F2分別是橢圓C：+=1的左、右兩個焦點，由題意及橢圓焦點三角形面積公式得4·tanmax>，即4·>，解得m>.
綜上，m的取值范圍為(1，3)∪，+∞，由選項可知，A，D符合題意.故選AD.
2.已知雙曲線C：-=1(k>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線C上，且∠F1PF2=，則△F1PF2的面積為　　　.
答案　5
解析　由-=1(k>0)，得b=，∠F1PF2=，由雙曲線焦點三角形的面積公式可知==5.
磨尖點二　焦點三角形內切圓問題
(1)如圖，已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上一點，△PF1F2的內心為I，若內切圓半徑為1，則|PI|=　　　　.
(2)已知P(2，)在雙曲線-=1上，其左、右焦點分別為F1，F2，若△PF1F2的內切圓切x軸于點M，則·的值為　　　　.
答案　(1)　(2)2-2
解析　(1)由橢圓的標準方程得a=5，b=4，c=3，離心率e=.不妨設P(x0，y0)在第一象限，點I的坐標為(xI，yI)，由橢圓焦點三角形內切圓性質得，xI=ex0，yI=，則y0===，所以x0=，故xI=ex0=×=，即P，，I(，1)，所以|PI|==.
(2)由P(2，)在雙曲線-=1上，可得b=，
所以F1(-3，0)，F2(3，0)，
由雙曲線的焦點三角形內切圓性質得xM=2，即M(2，0)，
所以·=(2-2，)·(3-2，0)=2-2.
在圓錐曲線中，焦點三角形是考查橢圓與雙曲線第一定義的良好載體.焦點三角形結合圓，這樣的試題難度一定不會小，而且常涉及中位線、角平分線、中垂線、相似等平面幾何的知識.
1.已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上不與左、右頂點重合的任意一點，I，G分別為△PF1F2的內心、重心.當IG恒與x軸垂直時，橢圓的離心率是　　　　.
答案　
解析　不妨設P(x0，y0)在第一象限，點I的坐標為(xI，yI)，點G的坐標為(xG，yG)，則由橢圓焦點三角形內切圓的性質得，xI=ex0，又由重心坐標公式得，xG=，當IG與x軸垂直時，xI=xG，即ex0=，故e=.
2.已知P是雙曲線-=1右支上一點，F1，F2分別為其左、右焦點，△PF1F2的內切圓與x軸相切于點N，若N為線段OF2(O為坐標原點)的中點，則雙曲線的離心率為　　　　.
答案　2
解析　設△PF1F2的內切圓圓心為I，記I的橫坐標為x0，則N(x0，0)，
由雙曲線焦點三角形內切圓的性質得，x0=a，由N為線段OF2的中點，得c=2a，故e=2.磨尖課07 焦點三角形面積公式與內切圓性質
一、焦點三角形面積公式
【結論1】橢圓的焦點三角形面積公式：如圖1，橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上異于左、右頂點的任意一點，P(x0，y0)，若∠F1PF2=α，則橢圓的焦點三角形面積=||||sin α=c|y0|=b2tan .
特別地，當∠F1PF2=90°時，有=b2.
圖1
圖2
【結論2】雙曲線的焦點三角形面積公式：如圖2，雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為雙曲線上異于左、右頂點的任意一點，P(x0，y0)，若∠F1PF2=α，則雙曲線的焦點三角形面積=||||sin α=c|y0|=.
特別地，當∠F1PF2=90°時，有=b2.
二、焦點三角形內切圓
1.橢圓焦點三角形內切圓的重要性質
如圖3，橢圓C的標準方程為+=1(a>b>0)，F1，F2分別為橢圓C的左、右焦點，P為橢圓上不與左、右頂點重合的任意一點，△PF1F2的內切圓圓心為I，且圓I分別與△PF1F2的三邊相切于點D，E，H.設P(x0，y0)，I(xI，yI)，則有如下性質：
【性質1】|PD|=|PE|=a-c.
【性質2】xI=ex0，yI=，其中e=為橢圓的離心率.
圖3
圖4
2.雙曲線焦點三角形內切圓的重要性質
如圖4，雙曲線C的標準方程為-=1(a>0，b>0)，F1，F2分別為雙曲線C的左、右焦點，P為雙曲線上異于實軸端點的任意一點，△PF1F2的內切圓圓心為I，且圓I分別與△PF1F2的三邊相切于點A，B，C.設P(x0，y0)，I(xI，yI)，則有如下性質：
【性質1】△PF1F2的內切圓與x軸切于雙曲線的頂點，且當P點在雙曲線左支時，切點為左頂點；當點P在雙曲線右支時，切點為右頂點.
【性質2】|F1C|=|F1A|=a+c，xI=a.
磨尖點一　焦點三角形面積問題
(1)(2024·眉山開學考試)已知橢圓C：+=1的兩焦點分別為F1，F2，P為橢圓上一點，且∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為(　　).
A.6 B.2 C.4 D.6
(2)已知雙曲線-=1的左、右焦點分別為F1，F2，若雙曲線上存在一點P使得∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積為(　　).
A. B. C.7 D.14
在求圓錐曲線的焦點三角形面積時，根據題意選擇適合的公式，注意結合圓錐曲線的定義、余弦定理、基本不等式等知識解題.
1.(多選題)(2024·江蘇期中)已知F1，F2分別是橢圓C：+=1的兩個焦點，若橢圓上存在使△PF1F2的面積為的點P的個數為4，則實數m的值可以是(　　).
A.2 B.3 C. D.5
2.已知雙曲線C：-=1(k>0)的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線C上，且∠F1PF2=，則△F1PF2的面積為　　　.
磨尖點二　焦點三角形內切圓問題
(1)如圖，已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上一點，△PF1F2的內心為I，若內切圓半徑為1，則|PI|=　　　　.
(2)已知P(2，)在雙曲線-=1上，其左、右焦點分別為F1，F2，若△PF1F2的內切圓切x軸于點M，則·的值為　　　　.
在圓錐曲線中，焦點三角形是考查橢圓與雙曲線第一定義的良好載體.焦點三角形結合圓，這樣的試題難度一定不會小，而且常涉及中位線、角平分線、中垂線、相似等平面幾何的知識.
1.已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓上不與左、右頂點重合的任意一點，I，G分別為△PF1F2的內心、重心.當IG恒與x軸垂直時，橢圓的離心率是　　　　.
2.已知P是雙曲線-=1右支上一點，F1，F2分別為其左、右焦點，△PF1F2的內切圓與x軸相切于點N，若N為線段OF2(O為坐標原點)的中點，則雙曲線的離心率為　　　　.

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