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磨尖課08 焦比體系
　　一、焦比體系之橢圓
【4a體周長】過橢圓+=1(a>b>0)的左焦點F1的弦AB與右焦點F2構成的△ABF2的周長是4a(如圖)；
【4a體面積】==··2csin α=，S△AOB==.(其中h為△ABF2的邊AB上的高，h2為△AOB的邊AB上的高，c為橢圓半焦距，α為直線AB的傾斜角)
【焦長公式】如圖，A是橢圓+=1(a>b>0)上一點，F1，F2分別是其左、右焦點，∠AF1F2為α，AB過左焦點F1，c是橢圓半焦距，則
(1)|AF1|=；
(2)|BF1|=；
(3)|AB|==.
【焦比定理】已知過橢圓+=1的左焦點F1的弦為AB，|AF1|=，|BF1|=，令|AF1|=λ|BF1|，即= ecos α=，代入焦長公式可得|AF1|=.
二、焦比體系之雙曲線
【周長問題】若雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，弦AB過左焦點F1(A，B都在左支上)，|AB|=l，則△ABF2的周長為4a+2l(如圖1).
【焦長公式】(1)當AB交雙曲線于一支時，|AB|=，a2-c2cos2α>0 1(2)當AB交雙曲線于兩支時，|AB|=，a2-c2cos2α<0 e>(如圖2).
【焦比定理】雙曲線焦比定理和橢圓的焦比定理一致：
當AB交雙曲線于一支時，令|AF1|=λ|F1B|，即= ecos α=(λ>1)，代入焦長公式可得|AF1|=.
當AB交雙曲線于兩支時，= ecos α=(λ>1)，代入焦長公式可得|AF1|=.
　　三、焦比體系之拋物線
已知拋物線y2=2px(p>0)，焦點為F，AB為過焦點的弦，∠AFx=α，則有以下結論：
【焦半徑傾斜角式】|AF|=，|BF|=(如圖3).
【焦點弦傾斜角式】|AB|=x1+x2+p=.
【焦點三角形面積】S△AOB=.
【焦比定理】設=λ，則cos α=，|AF|=p.
【幾何結論】設AB交準線于點P，則=cos α，=cos α(如圖4).
(1)已知橢圓C：+=1(a>b>0)，F1，F2分別是其左、右焦點，過右焦點F2，0的直線交橢圓C于A，B兩點，連接AF1并延長交橢圓C于點D，∠AF1F2=α，當弦AB最短時，|AF1|=3|F1D|，則橢圓C的方程為　　　　　　　　　.
(2)已知F1，F2分別為雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，斜率為的直線l過F1分別交雙曲線左、右支于A，B點，|F2A|=|F2B|，則雙曲線C的漸近線方程為　　　　　　　　　.
(3)(2024·河南模考)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，若|AF|，，|FB|成等比數列，則線段AB在y軸上的射影長為　　　　　　　　.
答案　(1)x2+=1　(2)y=±x　(3)4p
解析　(1)當AF2⊥x軸時，|AB|=，此時AB為橢圓的通徑.由于=3，故根據焦長公式得=，
整理得ccos α=，所以|AF1|==.
又|AF2|=，所以|AF1|+|AF2|=+=2a，又因為a2=b2+，解得a2=1或a2=(舍去)，b2=，所以橢圓C的方程為x2+=1.
(2)因為|F2A|=|F2B|，所以|BF1|-|AF1|=4a，設直線l的傾斜角為α，則tan α=，cos α=.
由雙曲線的焦比體系結論，得|BF1|=，|AF1|=，
由|BF1|-|AF1|=4a得-=4a，整理得18a2=7b2，即=±，所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x.
(3)設直線l的傾斜角為θ(θ≠0)，
過點A和B分別作準線的垂線，垂足分別為A'和B'，過F作FC⊥AA'于點C(圖略)，
由拋物線的定義可得|AF|=|AA'|=|A'C|+|CA|=p+|AF|cos θ，
即p+|AF|cos θ=|AF|，所以|AF|=，
同理，可得|BF|+|BF|cos θ=p，所以|BF|=，
所以|AF|·|BF|=·=，
又|AB|=|AF|+|BF|，所以|AB|=+=，
因為|AF|，，|BF|成等比數列，所以=|AF|·|BF|，
所以|AB|2=16|AF|·|BF|，所以=，即sin2θ=，
所以sin θ=或sin θ=-，
因為線段AB在y軸上的射影長為|AB||sin θ|，
所以|AB||sin θ|=·|sin θ|==4p.
1.利用焦長焦比體系要非常熟悉推導過程(定義+余弦定理)，在處理解答題的時候，若用本模塊公式則必須給出必要證明.
2.公式ecos α=屬于結論公式，用上就能很快解題，和角度相關的題，優先考慮應用此公式.
1.已知F1，F2分別為橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右焦點，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，若MF2⊥x軸，且=-4，則橢圓的離心率為(　　).
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由焦長公式||==·，||+||=·+=2a，整理得2a2=3b2，即e=.故選C.
2.(多選題)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F(1，0)，過點F的直線l與C交于M，N兩點，P為MN的中點，則下列說法正確的是(　　).
A.|MN|的最小值為4
B.|MF|·|NF|的最大值為4
C.當|PF|=|NF|時，|MN|=8
D.當|PF|=時，|MN|=
答案　AD
解析　設直線l的傾斜角為α，不妨設點M在第一象限.
對于A，|MN|==≥4，當α=時取得最小值，故A正確；
對于B，|MF|·|NF|=·==≥4，當α=時，|MF|·|NF|取得最小值，故B錯誤；
對于C，|PF|=-|NF|=-|NF|==|NF|，所以|MF|=3|NF|，
由焦比公式得，=，即cos α==，
所以|MN|==，故C錯誤；
對于D，|PF|=-|NF|=-|NF|==-===，解得cos α=，所以|MN|==，故D正確.故選AD.
3.(2024·黃岡模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于P，Q兩點，且+=8，則拋物線的準線方程為　　　　　　　　.
答案　x=-
解析　由拋物線焦比體系結論可知+==8，即p=，所以拋物線的準線方程為x=-.磨尖課08 焦比體系
　　一、焦比體系之橢圓
【4a體周長】過橢圓+=1(a>b>0)的左焦點F1的弦AB與右焦點F2構成的△ABF2的周長是4a(如圖)；
【4a體面積】==··2csin α=，S△AOB==.(其中h為△ABF2的邊AB上的高，h2為△AOB的邊AB上的高，c為橢圓半焦距，α為直線AB的傾斜角)
【焦長公式】如圖，A是橢圓+=1(a>b>0)上一點，F1，F2分別是其左、右焦點，∠AF1F2為α，AB過左焦點F1，c是橢圓半焦距，則
(1)|AF1|=；
(2)|BF1|=；
(3)|AB|==.
【焦比定理】已知過橢圓+=1的左焦點F1的弦為AB，|AF1|=，|BF1|=，令|AF1|=λ|BF1|，即= ecos α=，代入焦長公式可得|AF1|=.
二、焦比體系之雙曲線
【周長問題】若雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，弦AB過左焦點F1(A，B都在左支上)，|AB|=l，則△ABF2的周長為4a+2l(如圖1).
【焦長公式】(1)當AB交雙曲線于一支時，|AB|=，a2-c2cos2α>0 1(2)當AB交雙曲線于兩支時，|AB|=，a2-c2cos2α<0 e>(如圖2).
【焦比定理】雙曲線焦比定理和橢圓的焦比定理一致：
當AB交雙曲線于一支時，令|AF1|=λ|F1B|，即= ecos α=(λ>1)，代入焦長公式可得|AF1|=.
當AB交雙曲線于兩支時，= ecos α=(λ>1)，代入焦長公式可得|AF1|=.
　　三、焦比體系之拋物線
已知拋物線y2=2px(p>0)，焦點為F，AB為過焦點的弦，∠AFx=α，則有以下結論：
【焦半徑傾斜角式】|AF|=，|BF|=(如圖3).
【焦點弦傾斜角式】|AB|=x1+x2+p=.
【焦點三角形面積】S△AOB=.
【焦比定理】設=λ，則cos α=，|AF|=p.
【幾何結論】設AB交準線于點P，則=cos α，=cos α(如圖4).
(1)已知橢圓C：+=1(a>b>0)，F1，F2分別是其左、右焦點，過右焦點F2，0的直線交橢圓C于A，B兩點，連接AF1并延長交橢圓C于點D，∠AF1F2=α，當弦AB最短時，|AF1|=3|F1D|，則橢圓C的方程為　　　　　　　　　.
(2)已知F1，F2分別為雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，斜率為的直線l過F1分別交雙曲線左、右支于A，B點，|F2A|=|F2B|，則雙曲線C的漸近線方程為　　　　　　　　　.
(3)(2024·河南模考)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，過點F的直線l交拋物線于A，B兩點，若|AF|，，|FB|成等比數列，則線段AB在y軸上的射影長為　　　　　　　　.
1.利用焦長焦比體系要非常熟悉推導過程(定義+余弦定理)，在處理解答題的時候，若用本模塊公式則必須給出必要證明.
2.公式ecos α=屬于結論公式，用上就能很快解題，和角度相關的題，優先考慮應用此公式.
1.已知F1，F2分別為橢圓C：+=1(a>b>0)的左、右焦點，過F1的直線交橢圓于M，N兩點，若MF2⊥x軸，且=-4，則橢圓的離心率為(　　).
A. B.
C. D.
2.(多選題)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F(1，0)，過點F的直線l與C交于M，N兩點，P為MN的中點，則下列說法正確的是(　　).
A.|MN|的最小值為4
B.|MF|·|NF|的最大值為4
C.當|PF|=|NF|時，|MN|=8
D.當|PF|=時，|MN|=
3.(2024·黃岡模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，過焦點F的直線交拋物線于P，Q兩點，且+=8，則拋物線的準線方程為　　　　　　　　.

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