資源簡介

磨尖課09 蒙日圓的應(yīng)用
　　蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，所以這個(gè)圓又被叫作“蒙日圓”.本課主要介紹蒙日圓的定義、證明及其幾何性質(zhì).
一、蒙日圓的定義
在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長平方和的幾何平方根，這個(gè)圓叫蒙日圓.如圖，設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0)，則橢圓兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日圓：x2+y2=a2+b2.
二、蒙日圓的常用結(jié)論
【結(jié)論1】過圓x2+y2=2a2上任意一點(diǎn)P作圓x2+y2=a2的兩條切線，則這兩條切線垂直.
【結(jié)論2】過圓x2+y2=a2+b2上任意一點(diǎn)P作橢圓+=1(a>b>0)的兩條切線，則這兩條切線垂直.
【結(jié)論3】過圓x2+y2=a2-b2(a>b>0)上任意一點(diǎn)P作雙曲線-=1的兩條切線，則這兩條切線垂直.
【結(jié)論4】過圓x2+y2=a2上任意不同兩點(diǎn)A，B作圓的切線，若切線垂直且相交于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓x2+y2=2a2.
【結(jié)論5】過橢圓+=1(a>b>0)上任意不同兩點(diǎn)A，B作橢圓的切線，若切線垂直且相交于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓x2+y2=a2+b2.
【結(jié)論6】過雙曲線-=1(a>b>0)上任意不同兩點(diǎn)A，B作雙曲線的切線，若切線垂直且相交于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓x2+y2=a2-b2.
其中，結(jié)論1，2，3為蒙日圓的必要性命題，即蒙日圓 切線垂直；結(jié)論4，5，6為蒙日圓的充分性命題，即蒙日圓 切線垂直.
磨尖點(diǎn)一　求軌跡方程
(2024·咸陽模擬)已知橢圓M的方程為+y2=1，過平面內(nèi)的點(diǎn)P作橢圓M的兩條互相垂直的切線，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　).
A.x2+y2=5 B.x2+y2=4
C.x2+y2=3 D.x2+y2=
答案　A
解析　設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，當(dāng)切線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0)，
聯(lián)立消去y得(4k2+1)x2+8(y0-kx0)kx+4(y0-kx0)2-4=0，則Δ=64k2(y0-kx0)2-4×(4k2+1)[4(y0-kx0)2-4]=0，即(4-)k2+2x0y0k+1-=0，
兩切線垂直，故其斜率之積為-1，則由根與系數(shù)的關(guān)系知=-1，即+=5.
當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)?時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)或(-2，1)或(-2，-1)或(2，-1)，滿足方程+=5，故所求軌跡方程為x2+y2=5.故選A.
1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)及切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，將判別式為零轉(zhuǎn)化為切線斜率的同解方程，化簡即可，再驗(yàn)證切線斜率不存在或?yàn)?的情況是否符合即可.
2.橢圓+=1的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓x2+y2=a2+b2.雙曲線-=1(a>b>0)的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓x2+y2=a2-b2.
已知雙曲線C：-=1(a>b>0)的離心率為，若過點(diǎn)E(-1，0)的雙曲線C的兩條切線互相垂直，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　.
答案　-y2=1
解析　由蒙日圓[結(jié)論3]得點(diǎn)E的軌跡方程為x2+y2=a2-b2，即點(diǎn)E在圓x2+y2=a2-b2上，則a2-b2=1，因?yàn)閑==，所以a2=2，b2=1.故其標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1.
磨尖點(diǎn)二　面積的最值
(2024·恩施模擬)法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：+=1(a>b>0)的蒙日圓方程為x2+y2=a2+b2，現(xiàn)有橢圓C：+=1的蒙日圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，與該蒙日圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，若△MPQ面積的最大值為28，則橢圓C的長軸長為(　　).
A.5 B.8 C.4 D.10
答案　B
解析　由題意可知，橢圓C的蒙日圓的半徑為=，因?yàn)镸P⊥MQ，所以PQ為蒙日圓的直徑，所以|PQ|=2，
因?yàn)閨MP|·|MQ|≤=2(a2+12)，當(dāng)且僅當(dāng)|MP|=|MQ|=時(shí)，等號(hào)成立，所以△MPQ面積的最大值為|MP|·|MQ|=a2+12，因?yàn)椤鱉PQ面積的最大值為28，所以a2=16，a=4，故橢圓的長軸長為8.
故選B.
根據(jù)蒙日圓的特征可知，PQ是蒙日圓的直徑，所以|MP|2+|MQ|2是定值；利用基本不等式性質(zhì)可知|MP|·|MQ|存在最大值，就可以求得△MPQ面積的最大值.
畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：+=1(a>b>0)的蒙日圓方程為x2+y2=a2+b2，橢圓C的離心率為，M為蒙日圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，則△MPQ面積的最大值為　　　　.(用含b的代數(shù)式表示)
答案　3b2
解析　因?yàn)閑=====，所以a=b，所以蒙日圓的方程為x2+y2=3b2，
由已知條件可得MP⊥MQ，則PQ為圓x2+y2=3b2的一條直徑，
由勾股定理可得|MP|2+|MQ|2=|PQ|2=12b2，
所以S△MPQ=|MP|·|MQ|≤=3b2，
當(dāng)且僅當(dāng)|MP|=|MQ|=b時(shí)，等號(hào)成立，
因此△MPQ面積的最大值為3b2.
磨尖點(diǎn)三　參數(shù)的范圍
已知橢圓+=1(a>0，b>0，a≠b)任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓x2+y2=a2+b2，這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)上總存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P能作橢圓x2+=1的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是(　　).
A.(1，9) B.[1，9) C.(3，7) D.[3，7]
答案　D
解析　由題意可知，與橢圓x2+=1相切的兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)P的軌跡為圓P：x2+y2=4，圓心為點(diǎn)(0，0)，半徑為2，在圓C：(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)上，圓心C(4，3)，圓的半徑為r，又P在圓C上，所以兩圓有公共點(diǎn)，又兩圓的圓心距為|PC|==5，所以|2-r|≤5≤2+r，所以3≤r≤7.
故選D.
以圓錐曲線和蒙日圓為背景，轉(zhuǎn)化為圓和圓的位置關(guān)系，即轉(zhuǎn)化為圓心距和半徑的和差的不等式，從而求得范圍.對于圓x2+y2=r2(r>0)，可變形為+=1，參照橢圓的結(jié)論，可得其對應(yīng)的蒙日圓方程為x2+y2=2r2.
已知☉O：x2+y2=1，若在直線y=x+2上總存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的☉O的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　).
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.[2，+∞) D.(2，+∞)
答案　A
解析　由題分析可知圓O的蒙日圓方程為x2+y2=2，即點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2，又點(diǎn)P在直線y=x+2上，所以直線y=x+2與圓x2+y2=2必有交點(diǎn)，即≤，解得k≥1.
故選A.磨尖課09 蒙日圓的應(yīng)用
　　蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，所以這個(gè)圓又被叫作“蒙日圓”.本課主要介紹蒙日圓的定義、證明及其幾何性質(zhì).
一、蒙日圓的定義
在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長平方和的幾何平方根，這個(gè)圓叫蒙日圓.如圖，設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0)，則橢圓兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日圓：x2+y2=a2+b2.
二、蒙日圓的常用結(jié)論
【結(jié)論1】過圓x2+y2=2a2上任意一點(diǎn)P作圓x2+y2=a2的兩條切線，則這兩條切線垂直.
【結(jié)論2】過圓x2+y2=a2+b2上任意一點(diǎn)P作橢圓+=1(a>b>0)的兩條切線，則這兩條切線垂直.
【結(jié)論3】過圓x2+y2=a2-b2(a>b>0)上任意一點(diǎn)P作雙曲線-=1的兩條切線，則這兩條切線垂直.
【結(jié)論4】過圓x2+y2=a2上任意不同兩點(diǎn)A，B作圓的切線，若切線垂直且相交于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓x2+y2=2a2.
【結(jié)論5】過橢圓+=1(a>b>0)上任意不同兩點(diǎn)A，B作橢圓的切線，若切線垂直且相交于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓x2+y2=a2+b2.
【結(jié)論6】過雙曲線-=1(a>b>0)上任意不同兩點(diǎn)A，B作雙曲線的切線，若切線垂直且相交于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓x2+y2=a2-b2.
其中，結(jié)論1，2，3為蒙日圓的必要性命題，即蒙日圓 切線垂直；結(jié)論4，5，6為蒙日圓的充分性命題，即蒙日圓 切線垂直.
磨尖點(diǎn)一　求軌跡方程
(2024·咸陽模擬)已知橢圓M的方程為+y2=1，過平面內(nèi)的點(diǎn)P作橢圓M的兩條互相垂直的切線，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　).
A.x2+y2=5 B.x2+y2=4
C.x2+y2=3 D.x2+y2=
1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)及切線方程，與橢圓方程聯(lián)立，將判別式為零轉(zhuǎn)化為切線斜率的同解方程，化簡即可，再驗(yàn)證切線斜率不存在或?yàn)?的情況是否符合即可.
2.橢圓+=1的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓x2+y2=a2+b2.雙曲線-=1(a>b>0)的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓x2+y2=a2-b2.
已知雙曲線C：-=1(a>b>0)的離心率為，若過點(diǎn)E(-1，0)的雙曲線C的兩條切線互相垂直，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　.
磨尖點(diǎn)二　面積的最值
(2024·恩施模擬)法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：+=1(a>b>0)的蒙日圓方程為x2+y2=a2+b2，現(xiàn)有橢圓C：+=1的蒙日圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，與該蒙日圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，若△MPQ面積的最大值為28，則橢圓C的長軸長為(　　).
A.5 B.8 C.4 D.10
根據(jù)蒙日圓的特征可知，PQ是蒙日圓的直徑，所以|MP|2+|MQ|2是定值；利用基本不等式性質(zhì)可知|MP|·|MQ|存在最大值，就可以求得△MPQ面積的最大值.
畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：+=1(a>b>0)的蒙日圓方程為x2+y2=a2+b2，橢圓C的離心率為，M為蒙日圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，則△MPQ面積的最大值為　　　　.(用含b的代數(shù)式表示)
磨尖點(diǎn)三　參數(shù)的范圍
已知橢圓+=1(a>0，b>0，a≠b)任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓x2+y2=a2+b2，這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓(x-4)2+(y-3)2=r2(r>0)上總存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P能作橢圓x2+=1的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是(　　).
A.(1，9) B.[1，9) C.(3，7) D.[3，7]
以圓錐曲線和蒙日圓為背景，轉(zhuǎn)化為圓和圓的位置關(guān)系，即轉(zhuǎn)化為圓心距和半徑的和差的不等式，從而求得范圍.對于圓x2+y2=r2(r>0)，可變形為+=1，參照橢圓的結(jié)論，可得其對應(yīng)的蒙日圓方程為x2+y2=2r2.
已知☉O：x2+y2=1，若在直線y=x+2上總存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的☉O的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　).
A.[1，+∞) B.(1，+∞)
C.[2，+∞) D.(2，+∞)

展開更多......

收起↑