資源簡介

培優(yōu)課05 利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題
培優(yōu)點一　利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題
【審題指導(dǎo)】
已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.，求實數(shù)a的取值范圍.
【解題觀摩】
解析　由f(x)≥x3+1得，ex+ax2-x≥x3+1，其中x≥0， 當(dāng)x=0時，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意. 當(dāng)x>0時，分離參數(shù)a得，a≥-， 審題① 記g(x)=-(x>0)，則g'(x)=-， 審題② 令h(x)=ex-x2-x-1(x>0)，則h'(x)=ex-x-1，再令φ(x)=h'(x)=ex-x-1(x>0)， 則φ'(x)=ex-1>0，故h'(x)單調(diào)遞增，h'(x)>h'(0)=0，故函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，h(x)>h(0)=0，由h(x)>0可得，ex-x2-x-1>0恒成立. 故當(dāng)x∈(0，2)時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，+∞)時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減. 故g(x)max=g(2)=.綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是，+∞.
【通性通法】
　　1.分離參數(shù)法解含參不等式恒成立的三個步驟
用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式.
一般步驟：
第一步：分離參數(shù)(注意分離參數(shù)時自變量x的取值范圍是否影響不等式的方向).
第二步：轉(zhuǎn)化，若a>f(x)對x∈D恒成立，則只需a>f(x)max；若a第三步：求最值.
　　2.分類討論法求含參不等式恒成立的思路
根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，要證明不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
引入三角函數(shù)
1.已知函數(shù)f(x)=sin x-2ax，a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≤cos x-1在區(qū)間，π上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
解析　不等式f(x)≤cos x-1在區(qū)間，π上恒成立，
即2a≥在區(qū)間，π上恒成立，
設(shè)g(x)=，
則g'(x)=.
設(shè)h(x)=xcos x+xsin x-sin x+cos x-1，
則h'(x)=-xsin x+xcos x=x(cos x-sin x).
因為當(dāng)x∈，π時，sin x>0，cos x<0，
所以當(dāng)x∈，π時，h'(x)<0，
所以函數(shù)h(x)在，π上單調(diào)遞減，且h=-2<0，
所以當(dāng)x∈，π時，h(x)<0，即g'(x)<0，
則函數(shù)g(x)在，π上單調(diào)遞減，且g=，
所以當(dāng)x∈，π時，g(x)<，所以a≥.
故實數(shù)a的取值范圍是，+∞.
分類討論法解決含參不等式恒成立問題
2.(2023·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=ax-，x∈0，.若f(x)　　解析　f'(x)=a-，令cos2x=t，則t∈(0，1)，
則f'(x)=g(t)=，令F(x)=f(x)-sin 2x，
則F'(x)=f'(x)-2cos 2x=g(t)-2(2cos2x-1)=-2(2t-1)=a+2-4t+-，
設(shè)φ(t)=a+2-4t+-，t∈(0，1)，
則φ'(t)=-4-+==->0，所以φ(t)在(0，1)上單調(diào)遞增，
所以φ(t)<φ(1)=a-3.
若a∈(-∞，3]，則F'(x)=φ(t)所以當(dāng)a∈(-∞，3]時，f(x)若a∈(3，+∞)，則當(dāng)t→0時，-=-3-2+→-∞，所以φ(t)→-∞，
又φ(1)=a-3>0，所以 t0∈(0，1)，使得φ(t0)=0，
即 x0∈0，，使得g'(x0)=0，
當(dāng)t∈(t0，1)時，φ(t)>0，即當(dāng)x∈(0，x0)時，F(xiàn)'(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈(0，x0)時，F(xiàn)(x)>F(0)=0，不合題意.
綜上，實數(shù)a的取值范圍為(-∞，3].
培優(yōu)點二　利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的能成立問題
【審題指導(dǎo)】
已知函數(shù)f(x)=2xln x+x2-ax+1.，求實數(shù)a的取值范圍.
【解題觀摩】
　　解析　若存在x0∈，e，使得不等式f(x0)≥-2成立， 即存在x0∈，e，使不等式2x0ln x0+-ax0+1≥-2成立， 所以只需a≤2ln x+x+max，x∈，e. 審題①③ 設(shè)h(x)=2ln x+x+，x∈，e， 審題② 則h'(x)=，x∈，e， 當(dāng)x∈，1時，h'(x)<0，h(x)單調(diào)遞減； 審題② 當(dāng)x∈(1，e]時，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增. 審題② 又h=-2++3e，h(e)=2+e+，h(e)-h=-2e++4<0， 所以h(x)max=h=-2++3e， 審題② 所以a≤h(x)max=-2++3e， 審題③ 所以實數(shù)a的取值范圍為-∞，-2++3e.
【通性通法】
　　1.含參數(shù)的能成立(存在性)問題的解題方法
(1)a≥f(x)在x∈D上能成立，則a≥f(x)min.
(2)a≤f(x)在x∈D上能成立，則a≤f(x)max.
2.含全稱量詞、存在量詞不等式能成立問題
(1)存在x1∈A，對任意x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)max≥g(x)max.
(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)min≥g(x)min.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
雙變量能成立問題
(2024·廣西模擬)已知函數(shù)f(x)=aln x+x+(a≠0).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)設(shè)g(x)=2x2-mex++(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))，當(dāng)a=-e時，對任意x1∈[1，4]，存在x2∈[1，e]，使g(x1)≤f(x2)，求實數(shù)m的取值范圍.
解析　(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，
f'(x)=+-==，
①當(dāng)a>0時，由f'(x)>0得x>2a，即f(x)在(2a，+∞)上單調(diào)遞增；
由f'(x)<0得0②當(dāng)a<0時，由f'(x)>0得x>-6a，即f(x)在(-6a，+∞)上單調(diào)遞增；由f'(x)<0得0(2)當(dāng)a=-e時，由(1)知，函數(shù)f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以f(e)≤f(x)≤f(1)，所以f(x)∈，+，
對任意x1∈[1，4]，存在x2∈[1，e]，使g(x1)≤f(x2)，
即等價為g(x1)≤+恒成立，即2-m≤0，所以m≥對任意x1∈[1，4]恒成立.
設(shè)h(x)=，其中x∈[1，4]，則h'(x)=，
所以h(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，在[2，4]上單調(diào)遞減，
所以h(x)max=h(2)=，故m≥.培優(yōu)課05 利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題
培優(yōu)點一　利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題
【審題指導(dǎo)】
已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-x.，求實數(shù)a的取值范圍.
【通性通法】
　　1.分離參數(shù)法解含參不等式恒成立的三個步驟
用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式.
一般步驟：
第一步：分離參數(shù)(注意分離參數(shù)時自變量x的取值范圍是否影響不等式的方向).
第二步：轉(zhuǎn)化，若a>f(x)對x∈D恒成立，則只需a>f(x)max；若a第三步：求最值.
　　2.分類討論法求含參不等式恒成立的思路
根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，要證明不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
引入三角函數(shù)
1.已知函數(shù)f(x)=sin x-2ax，a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≤cos x-1在區(qū)間，π上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
分類討論法解決含參不等式恒成立問題
2.(2023·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=ax-，x∈0，.若f(x)　
培優(yōu)點二　利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的能成立問題
【審題指導(dǎo)】
已知函數(shù)f(x)=2xln x+x2-ax+1.，求實數(shù)a的取值范圍.
【通性通法】
　　1.含參數(shù)的能成立(存在性)問題的解題方法
(1)a≥f(x)在x∈D上能成立，則a≥f(x)min.
(2)a≤f(x)在x∈D上能成立，則a≤f(x)max.
2.含全稱量詞、存在量詞不等式能成立問題
(1)存在x1∈A，對任意x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)max≥g(x)max.
(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，則f(x)min≥g(x)min.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
雙變量能成立問題
(2024·廣西模擬)已知函數(shù)f(x)=aln x+x+(a≠0).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)設(shè)g(x)=2x2-mex++(e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))，當(dāng)a=-e時，對任意x1∈[1，4]，存在x2∈[1，e]，使g(x1)≤f(x2)，求實數(shù)m的取值范圍.

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