資源簡介

培優課04 函數中的構造問題
培優點一　構造具體函數
【審題指導】
已知，則a，b，c的大小關系為　　　　.
【通性通法】
　　學習和積累“構造函數比大小”，要從“結構同構”處入手，通過函數的相同結構，學習觀察、歸納、總結“同構”規律，還要進一步總結“異構”規律，為后續更復雜的“構造函數”做訓練.通常結構復雜的“構造函數”往往需要多次構造，并常常需要利用泰勒展開、切線放縮、帕德逼近等(詳情見基礎課18“拓展教材”欄目)技巧作為輔助手段.
【培優訓練】
通過變形構造具體函數
1.若2x-2y<3-x-3-y，則(　　).
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln |x-y|>0 D.ln |x-y|<0
由整體構造變為部分構造
2.已知a=πe，b=3π，c=ππ，則a，b，c的大小關系為　　　　.
由構造一次變為構造兩次
3.已知a=2025，b=，c=，則a，b，c的大小關系為　　　　.
培優點二　構造抽象函數
【審題指導】
若定義在R上的函數f(x)滿足，且f(0)=1，則不等式f(x)>的解集為　　　　.
【通性通法】
　　基本規律1：對于x·f'(x)+k·f(x)>0(<0)，構造g(x)=xk·f(x).
基本規律2：對于x·f'(x)-k·f(x)>0(<0)，構造g(x)=.
基本規律3：對于f'(x)+k·f(x)>0(<0)，構造g(x)=ekx·f(x).
基本規律4：對于f'(x)-k·f(x)>0(<0)，構造g(x)=.
基本規律5：對于sin x·f'(x)+cos x·f(x)>0(<0)，構造g(x)=f(x)·sin x.
基本規律6：對于sin x·f'(x)-cos x·f(x)>0(<0)，構造g(x)=.
基本規律7：對于cos x·f'(x)-sin x·f(x)>0(<0)，構造g(x)=f(x)·cos x.
基本規律8：對于cos x·f'(x)+sin x·f(x)>0(<0)，構造g(x)=.
【培優訓練】
利用基本規律2進行構造
1.已知定義在R上的偶函數f(x)，其導函數為f'(x)，當x>0時，xf'(x)-2f(x)>0，f(-3)=1，則不等式利用基本規律6進行構造
2.已知奇函數f(x)的定義域為(-π，0)∪(0，π)，其導函數是f'(x).若當0*培優點三　指對同構
【審題指導】
已知對 x>0，恒成立，則正實數t的最小值為　　　　.
【通性通法】
【培優訓練】
朗博同構
(2022·全國甲卷節選)已知函數f(x)=-ln x+x-a.若f(x)≥0，則實數a的取值范圍為　　　　. 培優課04 函數中的構造問題
培優點一　構造具體函數
【審題指導】
已知，則a，b，c的大小關系為　　　　.
【解題觀摩】
答案　c0)， 審題① 得f'(x)=，設g(x)=-ln(x+1)(x>0)，則g'(x)=-<0， 所以g(x)在(0，+∞)上單調遞減，所以g(x)【通性通法】
　　學習和積累“構造函數比大小”，要從“結構同構”處入手，通過函數的相同結構，學習觀察、歸納、總結“同構”規律，還要進一步總結“異構”規律，為后續更復雜的“構造函數”做訓練.通常結構復雜的“構造函數”往往需要多次構造，并常常需要利用泰勒展開、切線放縮、帕德逼近等(詳情見基礎課18“拓展教材”欄目)技巧作為輔助手段.
【培優訓練】
通過變形構造具體函數
1.若2x-2y<3-x-3-y，則(　　).
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln |x-y|>0 D.ln |x-y|<0
答案　A
解析　由2x-2y<3-x-3-y，得2x-3-x<2y-3-y，即2x-x<2y-y.設f(x)=2x-x，則f(x)0，所以y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>0.故選A.
由整體構造變為部分構造
2.已知a=πe，b=3π，c=ππ，則a，b，c的大小關系為　　　　.
答案　a解析　由冪、指數函數性質知a=πe<ππ=c，b=3π<ππ=c，
對于a=πe，b=3π，等號兩邊取對數得ln a=eln π，ln b=πln 3，
所以=，=>，
令f(x)=且x∈[e，+∞)，則f'(x)=<0，即f(x)單調遞減，
所以f(π)，所以=>=，即b>a，所以a由構造一次變為構造兩次
3.已知a=2025，b=，c=，則a，b，c的大小關系為　　　　.
答案　c>b>a
解析　設f(x)=x-ln(1+x)，x∈(-1，+∞)，
則f'(x)=1-=，
當x∈(-1，0)時，f'(x)<0，則函數f(x)單調遞減，
當x∈(0，+∞)時，f'(x)>0，則函數f(x)單調遞增，
則當x=0時，函數f(x)取得極小值，也為最小值，且最小值為0，
所以當x∈(-1，+∞)時，f(x)>0，即x>ln(1+x).
ln a=ln 2025=2025ln =2025ln1-<2025×-=-1，則ln a<-1，而ln b=ln =-1，所以a又ln c=ln =ln，所以ln c-ln b=·ln +1，
令g(x)=1314xln(521x)+1，則g'(x)=1314·ln(521x)+1314=1314[ln(521x)+1]，
令g'(x)=0，則x=，當x∈0，時，g'(x)<0，則函數g(x)單調遞減，當x∈，+∞時，g'(x)>0，則函數g(x)單調遞增，所以當x=時，g(x)取得極小值，也為最小值，且最小值為g=1->0，所以g>0，即ln c-ln b=g>0，則c>b，所以c>b>a.
培優點二　構造抽象函數
【審題指導】
若定義在R上的函數f(x)滿足，且f(0)=1，則不等式f(x)>的解集為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　(0，+∞) 解析　設函數F(x)=e2xf(x)， 審題① 因為f'(x)+2f(x)>0，所以F'(x)=e2x[f'(x)+2f(x)]>0，且F(0)=e2×0f(0)=1， 所以F(x)在R上單調遞增. 審題② 由f(x)>得，e2xf(x)>1，則F(x)>F(0)，即x>0，故原不等式的解集為(0，+∞).
【通性通法】
　　基本規律1：對于x·f'(x)+k·f(x)>0(<0)，構造g(x)=xk·f(x).
基本規律2：對于x·f'(x)-k·f(x)>0(<0)，構造g(x)=.
基本規律3：對于f'(x)+k·f(x)>0(<0)，構造g(x)=ekx·f(x).
基本規律4：對于f'(x)-k·f(x)>0(<0)，構造g(x)=.
基本規律5：對于sin x·f'(x)+cos x·f(x)>0(<0)，構造g(x)=f(x)·sin x.
基本規律6：對于sin x·f'(x)-cos x·f(x)>0(<0)，構造g(x)=.
基本規律7：對于cos x·f'(x)-sin x·f(x)>0(<0)，構造g(x)=f(x)·cos x.
基本規律8：對于cos x·f'(x)+sin x·f(x)>0(<0)，構造g(x)=.
【培優訓練】
利用基本規律2進行構造
1.已知定義在R上的偶函數f(x)，其導函數為f'(x)，當x>0時，xf'(x)-2f(x)>0，f(-3)=1，則不等式答案　(-∞，-3)∪(0，3)
解析　構造函數g(x)=，則g'(x)=，
當x>0時，xf'(x)-2f(x)>0，故g'(x)>0，g(x)在(0，+∞)上單調遞增，
又f(x)為偶函數，y=為偶函數，所以g(x)=為偶函數，在(-∞，0)上單調遞減.
f(-3)=1，則f(3)=1，g(-3)=g(3)==.
因為0時，<，g(x)<=g(3)，所以x∈(0，3)；
當x<0時，>，g(x)>=g(-3)，所以x∈(-∞，-3).
綜上所述，x∈(-∞，-3)∪(0，3).
利用基本規律6進行構造
2.已知奇函數f(x)的定義域為(-π，0)∪(0，π)，其導函數是f'(x).若當0答案　-，0∪，π
解析　令F(x)=，x∈(-π，0)∪(0，π)，因為當0，即>，因為函數f(x)為奇函數，所以>，也即F(-x)>F，所以-x<，即x>-，所以-綜上，原不等式的解集為-，0∪，π.
*培優點三　指對同構
【審題指導】
已知對 x>0，恒成立，則正實數t的最小值為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　 解析　(法一：和差型)由t>0，etx≥，得tetx≥ln x，即etx+ln t≥ln x， 則etx+ln t+tx+ln t≥ln x+tx+ln t， 即etx+ln t+(tx+ln t)≥eln(tx)+ln(tx)，設f(x)=ex+x， 審題① 顯然f(x)為增函數.由f(tx+ln t)≥f(ln(tx))，得tx+ln t≥ln(tx)，即t≥，則t≥max，令g(x)=，則g'(x)=，則g(x)在(0，e)上單調遞增，在(e，+∞)上單調遞減， 故g(x)max=g(e)=，故實數t的最小值為. (法二：乘積型)由etx≥，得tetx≥ln x，即(tx)etx≥xln x， 當x∈(0，1]時，總有(tx)etx>0，xln x<0，顯然成立，故只需考慮x>1的情形， 即(tx)etx≥(ln x)eln x，設f(x)=xex(x>0)， 審題② 由f(tx)≥f(ln x)，得t≥，后同法一.
【通性通法】
【培優訓練】
朗博同構
(2022·全國甲卷節選)已知函數f(x)=-ln x+x-a.若f(x)≥0，則實數a的取值范圍為　　　　.
答案　(-∞，e+1]
解析　由f(x)≥0得，ex-ln x+x-ln x-a≥0，令t=x-ln x，t≥1，則et+t-a≥0，即a≤et+t，
令g(t)=et+t，t∈[1，+∞)，則g'(t)=et+1>0，故g(t)在區間[1，+∞)上是增函數，故g(t)min=g(1)=e+1，即a≤e+1，所以實數a的取值范圍為(-∞，e+1].

展開更多......

收起↑