資源簡介

培優(yōu)課06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)
培優(yōu)點(diǎn)一　利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)
【審題指導(dǎo)】
設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+，m∈R，.
【解題觀摩】
　　解析　由題意得f'(x)=-，則g(x)=f'(x)-=--(x>0)， 令g(x)=0，得m=-x3+x(x>0). 審題① 設(shè)h(x)=-x3+x(x>0)， 審題① 則h'(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)，
　　當(dāng)x∈(0，1)時，h'(x)>0，h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增； 審題② 當(dāng)x∈(1，+∞)時，h'(x)<0，h(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞減. 審題② 所以h(x)的最大值為h(1)=. 審題② 又h(0)=0，結(jié)合y=h(x)的圖象，如圖， 所以 ①當(dāng)m>時，函數(shù)g(x)無零點(diǎn)； 審題③ ②當(dāng)m=時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點(diǎn)； 審題③ ③當(dāng)0時，函數(shù)g(x)無零點(diǎn)；當(dāng)m=或m≤0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點(diǎn)；當(dāng)0【通性通法】
　　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的一般方法
1.通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，進(jìn)而研究函數(shù)零點(diǎn)的情況；
2.根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置；
3.數(shù)形結(jié)合去分析問題，可以使問題的求解過程有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).
【培優(yōu)訓(xùn)練】
由判斷零點(diǎn)個數(shù)變?yōu)樽C明零點(diǎn)個數(shù)
已知函數(shù)f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)設(shè)g(x)=[f(x)]2-f(x)-2ln f(x)，求證：當(dāng)a=2時，函數(shù)g(x)有三個零點(diǎn).
解析　(1)根據(jù)題意得，f'(x)=2x-=，x∈(0，+∞)，
當(dāng)a≤0時，f'(x)>0，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a>0時，令f'(x)<0，得0令f'(x)>0，得x>，
所以f(x)在0，上單調(diào)遞減，在，+∞上單調(diào)遞增.
故當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，f(x)在0，上單調(diào)遞減，在，+∞上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)a=2時，f(x)=x2-2ln x，x∈(0，+∞)，則f'(x)=，
所以當(dāng)x∈(0，1)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.故f(x)的最小值為f(1)=1.
又當(dāng)x→0時，f(x)→+∞，當(dāng)x→+∞時，f(x)→+∞，
所以f(x)∈[1，+∞).
g(x)=[f(x)]2-f(x)-2ln f(x)=(x2-2ln x)2-(x2-2ln x)-2ln(x2-2ln x)，設(shè)m=x2-2ln x，則m∈[1，+∞)，
令h(m)=m2-m-2ln m，m∈[1，+∞)，則h'(m)=2m-1-=，由2m2-m-2=0，得m=(負(fù)值已舍去)，
因此當(dāng)m∈1，時，h'(m)<0，h(m)單調(diào)遞減；
當(dāng)m∈，+∞時，h'(m)>0，h(m)單調(diào)遞增.
由于h(1)=0，故h0，
　　由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，得存在m0∈，2，使得h(m0)=0，
所以h(m)有兩個零點(diǎn)m0和m1=1，即方程f(x)=m有兩個根m0∈，2和m1=1.
作出f(x)的圖象，如圖所示，
當(dāng)f(x)=1時，因?yàn)閒(x)min=1，
所以方程f(x)=1有一個根x2=1；
當(dāng)f(x)=m0時，其中m0∈，2，
因?yàn)?1，
所以由f(x)圖象可知，f(x)=m0有兩個不同的根x1，x3，且0綜上，當(dāng)a=2時，函數(shù)g(x)有三個零點(diǎn).
培優(yōu)點(diǎn)二　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍
【審題指導(dǎo)】
已知函數(shù)f(x)=ax--(a+1)ln x.若
，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【解題觀摩】
　　解析　由題意得，f'(x)==(x>0). 審題① ①當(dāng)a≤0時，ax-1≤0恒成立，令f'(x)=0，可得x=1， 當(dāng)00，當(dāng)x>1時，f'(x)<0， 所以f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減， 故f(x)的最大值為f(1)=a-1<0，此時函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)，舍去. 審題①② ②當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，可得x1=1，x2=. 當(dāng)01，可得f(x)在(0，1)，，+∞上單調(diào)遞增， 在1，上單調(diào)遞減， 故f(x)的極大值為f(1)=a-1<0， 極小值為f　　當(dāng)a>1時，0<<1，可得f(x)在0，，(1，+∞)上單調(diào)遞增， 在，1上單調(diào)遞減， 故f(x)的極小值為f(1)=a-1>0， 極大值為f>f(1)>0，如圖2，此時f(x)只有一個零點(diǎn)，滿足題意； 審題①② 當(dāng)a=1時，f'(x)=≥0， 所以f(x)單調(diào)遞增， 審題① 且f(1)=0，故f(x)只有一個零點(diǎn)，滿足題意. 審題② 綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，+∞).
【通性通法】
　　利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的方法
1.分離參數(shù)(a=g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問題或直線y=a與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解.
2.利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解.
3.轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
求參數(shù)范圍變?yōu)榍髤?shù)的值
已知函數(shù)f(x)=(x+2)ex+x2+ax，其中常數(shù)a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若a=-3，求f(x)的最小值；
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2cos x恰有一個零點(diǎn)，求a的值.
解析　(1)當(dāng)a=-3時，f(x)=(x+2)ex+x2-3x，則f'(x)=(x+3)ex+2x-3，f'(0)=0，記h(x)=f'(x)，則h'(x)=(x+4)·ex+2，定義域?yàn)镽，
當(dāng)x≤-3時，(x+3)ex≤0，2x-3≤-9，可得f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x>-3時，(x+4)ex>0，h'(x)>0，h(x)單調(diào)遞增.又h(0)=0，所以當(dāng)-30時，h(x)>0，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.
綜上，f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，故f(x)的最小值為f(0)=2.
(2)已知g(x)=f(x)-2cos x=(x+2)ex+x2+ax-2cos x，定義域?yàn)镽，
當(dāng)x→-∞時，g(x)→+∞；當(dāng)x→+∞時，g(x)→+∞.
因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=f(x)-2cos x恰有一個零點(diǎn)，且g(0)=0，所以0是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)，可得g'(x)=(x+3)ex+2x+a+2sin x，不妨設(shè)k(x)=g'(x)，函數(shù)定義域?yàn)镽，則k'(x)=(x+4)ex+2+2cos x，當(dāng)x>-4時，x+4>0，又ex>0，2+2cos x≥0，
所以(x+4)ex+2+2cos x>0在(-4，+∞)恒成立，則函數(shù)k(x)在(-4，+∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)g'(x)在(-4，+∞)上單調(diào)遞增，又g'(0)=3+a，當(dāng)3+a<0時，可得g'(0)<0，且x→+∞時，g'(x)>0，所以存在α∈(0，+∞)，使得g'(α)=0，此時在(0，α)上，g'(α)<0，在(α，+∞)上，g'(α)>0，故g(x)在(0，α)上為減函數(shù)，在(α，+∞)上為增函數(shù)，
故當(dāng)x∈(0，α)時，g(x)故g(x)在(0，+∞)上存在一個零點(diǎn)，則此時函數(shù)g(x)至少存在兩個零點(diǎn)，又因?yàn)?是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)，所以不符合題意.
當(dāng)3+a>0時，可得g'(0)>0，又g'(-4)=-e-4-8+a-2sin 4<0，
所以在區(qū)間(-4，0)上存在一點(diǎn)β，使得g'(β)=0，
故在(β，0)上，g'(x)>0，在(-4，β)上，g'(x)<0，
故g(x)在(β，0)上為增函數(shù)，在(-4，β)上為減函數(shù)，
故當(dāng)x∈(β，0)時，g(x)<0，而當(dāng)x→-∞時，g(x)→+∞，
故此時函數(shù)g(x)在(-∞，0)上至少存在一個零點(diǎn)，
又因?yàn)?是函數(shù)g(x)的唯一零點(diǎn)，所以不符合題意.
當(dāng)3+a=0時，即a=-3時，由(1)知，當(dāng)x=0時，函數(shù)g(x)取得最小值，最小值g(0)=f(0)-2cos 0=0，
當(dāng)x≠0時，因?yàn)間(x)>2-2cos x≥0，所以符合題意.
綜上，滿足條件的a值為-3.培優(yōu)課06 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)
培優(yōu)點(diǎn)一　利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)
【審題指導(dǎo)】
設(shè)函數(shù)f(x)=ln x+，m∈R，.
【通性通法】
　　利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的一般方法
1.通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，進(jìn)而研究函數(shù)零點(diǎn)的情況；
2.根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置；
3.數(shù)形結(jié)合去分析問題，可以使問題的求解過程有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).
【培優(yōu)訓(xùn)練】
由判斷零點(diǎn)個數(shù)變?yōu)樽C明零點(diǎn)個數(shù)
已知函數(shù)f(x)=x2-aln x(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)設(shè)g(x)=[f(x)]2-f(x)-2ln f(x)，求證：當(dāng)a=2時，函數(shù)g(x)有三個零點(diǎn).
培優(yōu)點(diǎn)二　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍
【審題指導(dǎo)】
已知函數(shù)f(x)=ax--(a+1)ln x.若
，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【通性通法】
　　利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍的方法
1.分離參數(shù)(a=g(x))后，將原問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)的值域(最值)問題或直線y=a與y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解.
2.利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解.
3.轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
求參數(shù)范圍變?yōu)榍髤?shù)的值
已知函數(shù)f(x)=(x+2)ex+x2+ax，其中常數(shù)a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若a=-3，求f(x)的最小值；
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-2cos x恰有一個零點(diǎn)，求a的值.

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