資源簡介

培優課07 利用導數證明不等式
培優點一　單變量的不等式證明
【審題指導】
(2023·新高考Ⅱ卷節選)證明：.
【通性通法】
　　利用導數證明不等式f(x)>g(x)的基本方法
1.若f(x)與g(x)的最值易求出，則可以直接轉化為證明f(x)min>g(x)max，但有的時候為了證明F(x)=f(x)-g(x)>0在x∈D上恒成立，我們可以將其轉化為證明f(x)>g(x)在x∈D上恒成立，通過分別求出兩個函數的最值證得，有以下三種情況：
(1)隔水相望型：f(x)min>g(x)max.
(2)一線之隔型：f(x)min=f(x1)=g(x)max=g(x2)，x1≠x2.
(3)親密無間型：f(x)min=f(x0)=g(x)max=g(x0).
2.若在(a，b)上，f(x)與g(x)的最值不易求出，則可構造函數h(x)=f(x)-g(x).若h'(x)>0，則h(x)在(a，b)上單調遞增，同時h(a)>0，即f(x)>g(x)；若h'(x)<0，則h(x)在(a，b)上單調遞減，同時h(b)>0，即f(x)>g(x).
【培優訓練】
構造雙函數證明不等式(凹凸反轉)
1.已知函數f(x)=ex-x-1，求證：f(x)>e2ln x+x2-3x.
放縮后構建函數證明不等式
2.已知函數f(x)=，求證：當x>0時，3f(x)+1培優點二　雙變量的不等式證明
【審題指導】
已知函數..
【通性通法】
　　雙變量不等式證明的五種思路
1.減元法：當x1，x2是函數f(x)的兩個不等的極值點時，x1，x2是方程f'(x)=0的兩個不等實根，由根與系數的關系可得x1，x2之間的關系，由此可利用替換法將雙變量化為單變量.
2.構造法：先利用條件消去參數，把所證明的不等式化為僅含x1，x2的式子，通過運算，構造t=，t=x1x2，t=x1-x2等為變量的函數，利用這個新函數的性質解決問題.
3.對稱化構造法：對結論x1+x2>(<)2x0型，構造函數F(x)=f(x)-f(2x0-x)；對結論x1x2>(<)型，構造函數F(x)=f(x)-f或兩邊同時取對數構造函數F(x)=f(x)-f(2x0-x)，再通過研究F(x)的單調性證明不等式.
4.比值代換法：通過代數變形將所證雙變量不等式通過代換t=化為單變量的函數不等式，利用函數的單調性證明.
5.對數與指數均值不等式法(需證明)：對任意的a，b>0(a≠b)，有<<，令a=em，b=en(m，n∈R，m≠n)，則可得到指數均值不等式：<<.
【注意】其中3，4，5通常被稱為極值點偏移問題.
【培優訓練】
減元法證明不等式
1.已知f(x)=x2-2x+2aln x有兩個極值點x1，x2，求證：f(x1)+f(x2)>-3.
構造法證明不等式(證明對數均值不等式)
2.對任意的x1，x2>0(x1≠x2)，求證：<<.
對數均值不等式法證明不等式
3.(2022·新高考Ⅱ卷節選)設n∈N*，求證：++…+>ln(n+1).培優課07 利用導數證明不等式
培優點一　單變量的不等式證明
【審題指導】
(2023·新高考Ⅱ卷節選)證明：.
【解題觀摩】
　　解析　構造F(x)=x-sin x，x∈(0，1)， 審題① 則F'(x)=1-cos x>0對 x∈(0，1)恒成立， 則F(x)在(0，1)上單調遞增，可得F(x)>F(0)=0， 審題② 所以x>sin x，x∈(0，1). 構造G(x)=sin x-(x-x2)=x2-x+sin x，x∈(0，1)， 審題① 則G'(x)=2x-1+cos x，x∈(0，1)， 令g(x)=G'(x)，x∈(0，1)，則g'(x)=2-sin x>0對 x∈(0，1)恒成立， 則g(x)在(0，1)上單調遞增，可得g(x)>g(0)=0， 即G'(x)>0對 x∈(0，1)恒成立， 則G(x)在(0，1)上單調遞增，可得G(x)>G(0)=0， 審題② 所以sin x>x-x2，x∈(0，1). 綜上所述，x-x2【通性通法】
　　利用導數證明不等式f(x)>g(x)的基本方法
1.若f(x)與g(x)的最值易求出，則可以直接轉化為證明f(x)min>g(x)max，但有的時候為了證明F(x)=f(x)-g(x)>0在x∈D上恒成立，我們可以將其轉化為證明f(x)>g(x)在x∈D上恒成立，通過分別求出兩個函數的最值證得，有以下三種情況：
(1)隔水相望型：f(x)min>g(x)max.
(2)一線之隔型：f(x)min=f(x1)=g(x)max=g(x2)，x1≠x2.
(3)親密無間型：f(x)min=f(x0)=g(x)max=g(x0).
2.若在(a，b)上，f(x)與g(x)的最值不易求出，則可構造函數h(x)=f(x)-g(x).若h'(x)>0，則h(x)在(a，b)上單調遞增，同時h(a)>0，即f(x)>g(x)；若h'(x)<0，則h(x)在(a，b)上單調遞減，同時h(b)>0，即f(x)>g(x).
【培優訓練】
構造雙函數證明不等式(凹凸反轉)
1.已知函數f(x)=ex-x-1，求證：f(x)>e2ln x+x2-3x.
解析　要證f(x)>e2ln x+x2-3x，即證ex-x-1>e2ln x+x2-3x，即證>-2.
設g(x)=-2(x>0)，則g'(x)=，
由g'(x)>0，得0e，
則g(x)≤g(e)=e-2，當且僅當x=e時，等號成立.
設h(x)=(x>0)，則h'(x)=.
由題意可得f'(x)=ex-1.
由f'(x)>0，得x>0，由f'(x)<0，得x<0，
故f(x)min=f(0)=0，所以當x>0時，ex-x-1>0.
由h'(x)>0，得x>1，由h'(x)<0，得0則h(x)≥h(1)=e-2，當且僅當x=1時，等號成立.
因為-2≤e-2與≥e-2等號成立的條件不同，
所以>-2，即f(x)>e2ln x+x2-3x.
放縮后構建函數證明不等式
2.已知函數f(x)=，求證：當x>0時，3f(x)+1解析　當x>0時，要證明3f(x)+1而ex-1>x，故只需要證明f(x)<<.
先證<(x>0)，記F(x)=ex-x-1，
∵F'(x)=ex-1，
當x∈(0，+∞)時，F'(x)>0，∴F(x)在(0，+∞)上單調遞增，
∴F(x)=ex-x-1>F(0)=0，故ex-1>x，即<.
再證f(x)<(x>0)，令G(x)=f(x)-x，
則G(x)=-x，則G'(x)=-=，
故對于 x>0，都有G'(x)<0，因而G(x)在(0，+∞)上單調遞減，
對于 x>0，都有G(x)0，都有f(x)<，∴f(x)<<成立，即f(x)<成立，故原不等式成立.
培優點二　雙變量的不等式證明
【審題指導】
已知函數..
【解題觀摩】
　　解析　由題意知x∈(0，+∞)，f'(x)=1-ln x-1=-ln x， 所以當x∈(0，1)時，f'(x)>0，f(x)單調遞增； 審題① 當x∈(1，+∞)時，f'(x)<0，f(x)單調遞減. 審題① 因為x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，當x→0時，f(x)→0，當x=1時，f(1)=1，當x=e時，f(e)=0， 所以不妨令x1∈(0，1)，x2∈(1，e)，則2-x1>1. 審題② 先證x1+x2>2，即證x2>2-x1，即證f(x2)=f(x1)0恒成立，所以h(x)單調遞增， 所以h(x)2，得證. 再證x1+x21. 審題③ 由x1(1-ln x1)=x2(1-ln x2)可得，x1(1-ln x1)=tx1[1-ln(tx1)]， 化簡可得ln x1=1-. 審題③ 而x1+x2　　令φ(t)=(t>1)，則φ'(t)=， 審題④ 再令p(t)=1--ln t(t>1)，則p'(t)=<0，則p(t)在(1，+∞)上單調遞減， 故p(t)【通性通法】
　　雙變量不等式證明的五種思路
1.減元法：當x1，x2是函數f(x)的兩個不等的極值點時，x1，x2是方程f'(x)=0的兩個不等實根，由根與系數的關系可得x1，x2之間的關系，由此可利用替換法將雙變量化為單變量.
2.構造法：先利用條件消去參數，把所證明的不等式化為僅含x1，x2的式子，通過運算，構造t=，t=x1x2，t=x1-x2等為變量的函數，利用這個新函數的性質解決問題.
3.對稱化構造法：對結論x1+x2>(<)2x0型，構造函數F(x)=f(x)-f(2x0-x)；對結論x1x2>(<)型，構造函數F(x)=f(x)-f或兩邊同時取對數構造函數F(x)=f(x)-f(2x0-x)，再通過研究F(x)的單調性證明不等式.
4.比值代換法：通過代數變形將所證雙變量不等式通過代換t=化為單變量的函數不等式，利用函數的單調性證明.
5.對數與指數均值不等式法(需證明)：對任意的a，b>0(a≠b)，有<<，令a=em，b=en(m，n∈R，m≠n)，則可得到指數均值不等式：<<.
【注意】其中3，4，5通常被稱為極值點偏移問題.
【培優訓練】
減元法證明不等式
1.已知f(x)=x2-2x+2aln x有兩個極值點x1，x2，求證：f(x1)+f(x2)>-3.
解析　由題意，得f'(x)=x-2+=(x>0).
因為函數f(x)有兩個極值點x1，x2，所以方程x2-2x+2a=0有兩個不同的正實數根x1，x2，
所以且Δ=4-8a>0，解得0由題意得f(x1)+f(x2)=-2x1+2aln x1+-2x2+2aln x2=(+)-2(x1+x2)+2aln(x1x2)=(x1+x2)2-x1x2-2(x1+x2)+2aln(x1x2)=2aln(2a)-2a-2，
令h(a)=2aln(2a)-2a-20所以h(a)在0，上單調遞減，所以h(a)>h=-3，
故f(x1)+f(x2)>-3.
構造法證明不等式(證明對數均值不等式)
2.對任意的x1，x2>0(x1≠x2)，求證：<<.
解析　不妨設x1>x2>0，先證<，即證ln x1-ln x2<，即證ln <，
令t=>1，只要證ln t2<，即證2tln t-t2+1<0，
令f(t)=2tln t-t2+1(t>1)，則f'(t)=2ln t+2-2t，
令g(t)=f'(t)=2ln t+2-2t(t>1)，則g'(t)=-2<0，
所以g(t)在(1，+∞)上單調遞減，即f'(t)在(1，+∞)上單調遞減，
所以f'(t)則f(t)再證<，即證ln x1-ln x2>，即證ln >，
令u=>1，只要證ln u>，即證(u+1)ln u-2u+2>0，
令h(u)=(u+1)ln u-2u+2(u>1)，同理可證h(u)在(1，+∞)上單調遞增，有h(u)>h(1)=0，
所以(u+1)ln u-2u+2>0，即<.
綜上，<<，證畢.
對數均值不等式法證明不等式
3.(2022·新高考Ⅱ卷節選)設n∈N*，求證：++…+>ln(n+1).
解析　不等式左側可看作數列{an}的前n項和Sn，其通項公式為an=，右側可看作數列{bn}的前n項和Tn=ln(n+1)，故bn=Tn-Tn-1=ln(n+1)-ln n=ln (n≥2)，當n=1時，T1=b1，所以bn=ln(n∈N*).
故只需證an>bn，即證>ln (n∈N*).由對數均值不等式可得，<(a，b>0，a≠b)，令a=n+1，b=n，則有<，即>ln .故++…+>ln(n+1).

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