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培優(yōu)課08 三角函數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題
培優(yōu)點(diǎn)一　結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
【審題指導(dǎo)】
(2024·安徽測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=sinωx+(ω>0)在，則ω的取值范圍為(　　).
【通性通法】
　　由單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的方法
子集法 求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
反子集法 由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
周期性法 由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱(chēng)中心的距離不超過(guò)個(gè)周期列不等式(組)求解
【培優(yōu)訓(xùn)練】
單調(diào)遞增改為不單調(diào)
1.若將典例1中的條件“在-，上單調(diào)遞增”改為“在，上不單調(diào)”，則ω的取值范圍為　　　　　　.(結(jié)果用含k的式子表示)
增加條件：已知對(duì)稱(chēng)軸
2.(2023·全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，直線x=和x=為函數(shù)y=f(x)的圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸，則f-=　　　　.
培優(yōu)點(diǎn)二　利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)的取值范圍
【審題指導(dǎo)】
(2024·廣州模擬)將函數(shù)f(x)=sin 2x的圖象，得到函數(shù)g(x)的圖象，，則ω的取值范圍為　　　　.
【通性通法】
　　三角函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心之間的“水平間隔”為，這就說(shuō)明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性來(lái)研究其周期性，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用整體代換的思想，建立關(guān)于ω的不等式(組)，進(jìn)而研究ω的取值范圍.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
有對(duì)稱(chēng)軸改為沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸
(原創(chuàng))若將典例2中的條件“若g(x)的圖象在[0，π)上恰有5條對(duì)稱(chēng)軸”改為“若g(x)的圖象在(0，π)上沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸”，則ω的取值范圍是　　　　.
培優(yōu)點(diǎn)三　利用三角函數(shù)的最值(極值)求參數(shù)的取值范圍
【審題指導(dǎo)】
已知函數(shù)在-，上單調(diào)遞增，且在，
審題②確定ωx-的范圍并利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得到關(guān)于ω的不等式
則ω的取值范圍是　　　　.
【通性通法】
若已知三角函數(shù)的最值，則可利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱(chēng)軸或周期的關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，進(jìn)而求解.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
改變最值的個(gè)數(shù)限制
若將函數(shù)f(x)=sinωx+(ω>0)的圖象向右平移個(gè)周期后所得的圖象在0，上有3個(gè)最高點(diǎn)和2個(gè)最低點(diǎn)，則ω的取值范圍是　　　　. 培優(yōu)課08 三角函數(shù)中的參數(shù)問(wèn)題
培優(yōu)點(diǎn)一　結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
【審題指導(dǎo)】
(2024·安徽測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=sinωx+(ω>0)在，則ω的取值范圍為(　　).
【解題觀摩】
　　答案　B 解析　(法一)由題意得 審題①② 則因?yàn)棣?0，所以所以k=0，則0<ω≤.故選B. (法二)取ω=1，則f(x)=sinx+， 審題③ 令+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)f(x)在，上單調(diào)遞減，與函數(shù)f(x)在-，上單調(diào)遞增矛盾，故ω≠1，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知選B.
【通性通法】
　　由單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的方法
子集法 求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
反子集法 由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解
周期性法 由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱(chēng)中心的距離不超過(guò)個(gè)周期列不等式(組)求解
【培優(yōu)訓(xùn)練】
單調(diào)遞增改為不單調(diào)
1.若將典例1中的條件“在-，上單調(diào)遞增”改為“在，上不單調(diào)”，則ω的取值范圍為　　　　　　.(結(jié)果用含k的式子表示)
答案　，，k∈N
解析　已知f(x)=sinωx+(ω>0)，
令ωx+=kπ+(k∈Z)，解得x=(k∈Z)，
則函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=(k∈Z)，
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在，上不單調(diào)，所以<<，k∈Z，
解得<ω<4k+，k∈N，則ω的取值范圍為，，k∈N.
增加條件：已知對(duì)稱(chēng)軸
2.(2023·全國(guó)乙卷)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，直線x=和x=為函數(shù)y=f(x)的圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸，則f-=　　　　.
答案　
解析　因?yàn)橹本€x=和直線x=為f(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸，所以=-=，且ω>0，則T=π，ω==2，
當(dāng)x=時(shí)，f(x)取得最小值，則2×+φ=2kπ-，k∈Z，
則φ=2kπ-，k∈Z，不妨取k=0，則f(x)=sin2x-，
則f-=sin-=.
培優(yōu)點(diǎn)二　利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求參數(shù)的取值范圍
【審題指導(dǎo)】
(2024·廣州模擬)將函數(shù)f(x)=sin 2x的圖象，得到函數(shù)g(x)的圖象，，則ω的取值范圍為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　， 解析　將f(x)=sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到y(tǒng)=sin2x-的圖象， 再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(ω>0)， 得到g(x)=sin2ωx-的圖象， 審題① 設(shè)θ=2ωx-， 由x∈[0，π)，得θ∈-，2πω-， 因?yàn)間(x)的圖象在[0，π)上恰有5條對(duì)稱(chēng)軸，所以<2πω-≤， 審題② 解得<ω≤.
【通性通法】
　　三角函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心之間的“水平間隔”為，這就說(shuō)明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性來(lái)研究其周期性，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用整體代換的思想，建立關(guān)于ω的不等式(組)，進(jìn)而研究ω的取值范圍.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
有對(duì)稱(chēng)軸改為沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸
(原創(chuàng))若將典例2中的條件“若g(x)的圖象在[0，π)上恰有5條對(duì)稱(chēng)軸”改為“若g(x)的圖象在(0，π)上沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸”，則ω的取值范圍是　　　　.
答案　0，
解析　由典例2可知g(x)=sin2ωx-，ω>0，
因?yàn)間(x)圖象在(0，π)上沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸，所以g(x)在(0，π)上為單調(diào)函數(shù)，
因?yàn)間'(x)=2ωcos2ωx-，
所以當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，2ωx-∈-，2ωπ-，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知2ωcos2ωx-≥0在(0，π)上恒成立，所以2ωπ-≤，解得ω≤，則ω的取值范圍是0，.
培優(yōu)點(diǎn)三　利用三角函數(shù)的最值(極值)求參數(shù)的取值范圍
【審題指導(dǎo)】
已知函數(shù)在-，上單調(diào)遞增，且在，
審題②確定ωx-的范圍并利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得到關(guān)于ω的不等式
則ω的取值范圍是　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　， 解析　依題意，函數(shù)f(x)=2sinωx-(ω>0)， 審題① 因?yàn)閒(x)在-，上單調(diào)遞增，由x∈-，， 得ωx-∈-ω-，ω-， 審題② 所以 審題② 解得因?yàn)棣?0，所以取k=0，即0<ω≤， 當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，ωx-∈-，ωπ-， 審題③ 因?yàn)閒(x)在[0，π]上只取得一次最大值， 所以≤ωπ-<， 審題③ 解得≤ω<，所以ω的取值范圍是，.
【通性通法】
若已知三角函數(shù)的最值，則可利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱(chēng)軸或周期的關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，進(jìn)而求解.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
改變最值的個(gè)數(shù)限制
若將函數(shù)f(x)=sinωx+(ω>0)的圖象向右平移個(gè)周期后所得的圖象在0，上有3個(gè)最高點(diǎn)和2個(gè)最低點(diǎn)，則ω的取值范圍是　　　　.
答案　，
解析　函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)=，
　　將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為fx-=sinωx-+=sinωx-，
由x∈0，，可得ωx-∈-，-，
要使得平移后的圖象有3個(gè)最高點(diǎn)和2個(gè)最低點(diǎn)，則<-≤，解得<ω≤.

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