資源簡介

培優課10 構造法求數列通項
培優點一 an+1=Aan+f(n)型
【審題指導】
已知在數列{an}中，a1=1，，則數列{an}的通項公式為　　　　.
【通性通法】
形如an+1=Aan+f(n)(A≠0，f(n)≠0)的遞推式求通項公式的3種類型及解題策略
類型 解題策略
an+1=Aan+B(A≠0，B≠0)型 形如an+1=Aan+B或an+1=Aan+Bn+C的遞推關系式可以化為an+1+λ=A(an+λ)或an+1+λ(n+1)+μ=A(an+λn+μ)的形式，構造新的等比數列，求出通項公式，其中變量λ，μ是關鍵
an+1=Aan+Bn+C(A≠0，1，B≠0)型
an+1=Aan+tBn(A，t，B≠0，1)型 形如an+1=Aan+tBn的遞推關系式可以兩邊同時除以Bn+1后得到=·+，轉化為bn+1=kbn+，再參考第一種形式求解即可
【培優訓練】
an+1=Aan+Bn+C(A≠0，1，B≠0)型
1.已知在數列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n+3，求數列{an}的通項公式.
an+1=Aan+tBn(A，B，t≠0，1)型
2.已知在數列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n，求數列{an}的通項公式.
培優點二　取倒數型
【審題指導】
已知在{an}中，a1=1，　　　　　an+1=　　　　　　，則數列
審題②形如an+1=的遞
推式可考慮用取倒數法
{an}的通項公式為　　　　.
【通性通法】
1.形如an+1=(A，B，C≠0，an≠0)的遞推式求通項公式，兩邊同時取倒數轉化為=·+的形式，化歸為bn+1=tbn+f(n)型，求出數列的通項公式，從而可得{an}的通項公式.
2.形如an+1=(n≥2，an≠0)的遞推式求通項公式，兩邊同時取倒數轉化為-=-，證明數列為等差數列，轉化求解可得{an}的通項公式.
【培優訓練】
an+1=(A，B≠0，A≠C)型
1.已知在正數數列{an}中，a1=1，an+1=，則數列{an}的通項公式為　　　　.
an+1=型
2.已知在正數數列{an}中，a1=1，a2=，an+1=(n≥2)，則數列{an}的通項公式為　　　　.
培優點三　取對數型
【審題指導】
已知在數列{an}中，，n∈N*，則數列{an}的通項公式為　　　　.
【通性通法】
　　在數列的遞推關系中，遇上形如非線性關系的，如an+1=A(A>0，B≠1，a1>0)，可以兩邊取對數，把次數變成系數，轉化為線性關系式logaan+1=logaA+Blogaan(a>0，且a≠1)，這樣就變成了bn+1=m+Bbn(m，B為常數)的形式，從而轉化到熟悉的線性遞推關系來求解.
【培優訓練】
遞推關系中增加二次項的系數
1.若將典例3中的條件“an+1=”改為“an+1=2”，則數列{an}的通項公式為　　　　.
遞推關系中增加一次項和常數項
2.已知在數列{an}中，a1=1，an+1=+4an+2，則數列{an}的通項公式為　　　　.
*培優點四　特征根型
【審題指導】
已知在數列{an}中，a1=1，，則數列{an}的通項公式為　　　　.
【注意】本例與培優點一的典例1同題，但此處采取特征根法求解.
【通性通法】
1.an+1=Aan+B(A≠0，1，B≠0)型，其特征根方程為x=Ax+B，解為不動點x0，則an+1-x0=A(an-x0)，即數列{an-x0}(x0≠a1)是等比數列.特別地，當x0=a1時，數列{an}為常數列.
2.an+1=(C≠0，AD-BC≠0)型，其特征根方程為x=，解為x1，x2.
(1)當特征根方程有兩個相同的實數根，即x1=x2=x0時，數列是等差數列；
(2)當特征根方程有兩個相異的實數根，即x1≠x2時，數列是等比數列；
(3)當特征根方程無實數根時，數列{an}是周期數列.
3.an+2=Aan+1+Ban(A≠0，1，B≠0)型，其對應的特征根方程為x2-Ax-B=0，解為x1，x2.
(1)當x1≠x2時，數列{an}的通項公式為an=P+Q，其中P，Q由a1，a2，x1，x2和n=1，2確定(即把a1，a2，x1，x2和n=1，2代入an=P+Q，得到關于P，Q的方程組)；
(2)當x1=x2=x0時，數列{an}的通項公式為an=(P+Qn)，其中P，Q由a1，a2，x1，x2和n=1，2確定(即把a1，a2，x1，x2和n=1，2代入an=(P+Qn)，得到關于P，Q的方程組).
【培優訓練】
an+1=型，1個特征根
1.設數列{an}滿足a1=2，an+1=，則數列{an}的通項公式為　　　　.
an+1=型，2個特征根
2.設數列{an}滿足a1=3，an+1=，則數列{an}的通項公式為　　　　.
an+2=Aan+1+Ban型
3.設數列{an}滿足a1=1，a2=，an+2=an+1-an，求數列{an}的通項公式.培優課10 構造法求數列通項
培優點一 an+1=Aan+f(n)型
【審題指導】
已知在數列{an}中，a1=1，，則數列{an}的通項公式為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　an=2n+1-3 　　解析　因為an+1=2an+3，所以設an+1+λ=2(an+λ)，整理得an+1=2an+λ， 審題① 由對應系數相等可得λ=3，即an+1+3=2(an+3). 設bn=an+3，則b1=a1+3=4，且=2， 故數列{bn}是以4為首項，2為公比的等比數列，所以bn=4·2n-1=2n+1，即an=2n+1-3(n∈N*).
【通性通法】
形如an+1=Aan+f(n)(A≠0，f(n)≠0)的遞推式求通項公式的3種類型及解題策略
類型 解題策略
an+1=Aan+B(A≠0，B≠0)型 形如an+1=Aan+B或an+1=Aan+Bn+C的遞推關系式可以化為an+1+λ=A(an+λ)或an+1+λ(n+1)+μ=A(an+λn+μ)的形式，構造新的等比數列，求出通項公式，其中變量λ，μ是關鍵
an+1=Aan+Bn+C(A≠0，1，B≠0)型
an+1=Aan+tBn(A，t，B≠0，1)型 形如an+1=Aan+tBn的遞推關系式可以兩邊同時除以Bn+1后得到=·+，轉化為bn+1=kbn+，再參考第一種形式求解即可
【培優訓練】
an+1=Aan+Bn+C(A≠0，1，B≠0)型
1.已知在數列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n+3，求數列{an}的通項公式.
解析　因為an+1=2an+2n+3，設an+1+λ(n+1)+μ=2(an+λn+μ)，
整理得an+1=2an+λn+μ-λ，對應系數相等可得解得所以an+1+2(n+1)+5=2(an+2n+5).
設bn=an+2n+5，b1=a1+2+5=8，且=2，故數列{bn}是以8為首項，2為公比的等比數列，所以bn=8·2n-1=2n+2(n∈N*)，
即an=2n+2-2n-5(n∈N*).
an+1=Aan+tBn(A，B，t≠0，1)型
2.已知在數列{an}中，a1=1，an+1=2an+3n，求數列{an}的通項公式.
解析　因為an+1=2an+3n，所以=·+，令bn=，則b1==，所以bn+1=bn+.
設bn+1+λ=(bn+λ)，整理得bn+1=bn-，對應系數相等可得λ=-1，所以bn+1-1=(bn-1).設cn=bn-1，則c1=b1-1=-，且=，
故數列{cn}是以-為首項，為公比的等比數列，所以cn=-·n-1=-n(n∈N*)，
則bn=-n+1(n∈N*)，則an=3n-2n(n∈N*).
培優點二　取倒數型
【審題指導】
已知在{an}中，a1=1，　　　　　an+1=　　　　　　，則數列
審題②形如an+1=的遞
推式可考慮用取倒數法
{an}的通項公式為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　an= 　　解析　因為數列{an}為正數數列， 審題① an+1=，所以=+2， 審題② 所以數列是首項為1，公差為2的等差數列，故=1+(n-1)·2=2n-1， 即an=(n∈N*).
【通性通法】
1.形如an+1=(A，B，C≠0，an≠0)的遞推式求通項公式，兩邊同時取倒數轉化為=·+的形式，化歸為bn+1=tbn+f(n)型，求出數列的通項公式，從而可得{an}的通項公式.
2.形如an+1=(n≥2，an≠0)的遞推式求通項公式，兩邊同時取倒數轉化為-=-，證明數列為等差數列，轉化求解可得{an}的通項公式.
【培優訓練】
an+1=(A，B≠0，A≠C)型
1.已知在正數數列{an}中，a1=1，an+1=，則數列{an}的通項公式為　　　　.
答案　an=
解析　因為數列{an}為正數數列，an+1=，所以=+2，
令bn=，則b1==1，所以bn+1=3bn+2，設bn+1+λ=3(bn+λ)，整理得bn+1=3bn+2λ，對應系數相等可得λ=1，所以bn+1+1=3(bn+1)，
令cn=bn+1，則c1=b1+1=2，且=3，故數列{cn}是以2為首項，3為公比的等比數列，所以cn=2·3n-1(n∈N*)，則bn=2·3n-1-1(n∈N*)，即an=(n∈N*).
an+1=型
2.已知在正數數列{an}中，a1=1，a2=，an+1=(n≥2)，則數列{an}的通項公式為　　　　.
答案　an=
解析　因為數列{an}為正數數列，an+1=，所以=，所以=-，即-=-，又-=1，故數列是以1為首項，1為公差的等差數列，所以=n，即an=(n∈N*).
培優點三　取對數型
【審題指導】
已知在數列{an}中，，n∈N*，則數列{an}的通項公式為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　an= 　　解析　由an+1=， 審題① 兩邊取以2為底的對數，可得log2an+1=2log2an，設bn=log2an，則bn+1=2bn，且b1=1， 所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數列，即bn=2n-1(n∈N*)，所以log2an=2n-1，即an=(n∈N*).
【通性通法】
　　在數列的遞推關系中，遇上形如非線性關系的，如an+1=A(A>0，B≠1，a1>0)，可以兩邊取對數，把次數變成系數，轉化為線性關系式logaan+1=logaA+Blogaan(a>0，且a≠1)，這樣就變成了bn+1=m+Bbn(m，B為常數)的形式，從而轉化到熟悉的線性遞推關系來求解.
【培優訓練】
遞推關系中增加二次項的系數
1.若將典例3中的條件“an+1=”改為“an+1=2”，則數列{an}的通項公式為　　　　.
答案　an=
解析　由an+1=2，兩邊取以2為底的對數，可得log2an+1=2log2an+1.
設bn=log2an，b1=1，則bn+1=2bn+1，再設bn+1+λ=2(bn+λ)，整理得bn+1=2bn+λ，對應系數相等可得λ=1，所以bn+1+1=2(bn+1)，設cn=bn+1，c1=2，則cn+1=2cn，故數列{cn}是以2為首項，2為公比的等比數列，所以cn=2n，則bn=2n-1，即log2an=2n-1，所以an=(n∈N*).
遞推關系中增加一次項和常數項
2.已知在數列{an}中，a1=1，an+1=+4an+2，則數列{an}的通項公式為　　　　.
答案　an=-2
解析　由an+1=+4an+2，兩邊加上2，可得an+1+2=(an+2)2，兩邊取以3為底的對數得log3(an+1+2)=2log3(an+2)，可得數列{log3(an+2)}是首項為1，公比為2的等比數列，即log3(an+2)=2n-1，所以an=-2(n∈N*).
*培優點四　特征根型
【審題指導】
已知在數列{an}中，a1=1，，則數列{an}的通項公式為　　　　.
【注意】本例與培優點一的典例1同題，但此處采取特征根法求解.
【解題觀摩】
　　答案　an=2n+1-3 解析　因為an+1=2an+3，令x=2x+3， 審題① 解得特征根x=-3，所以變形得到an+1-(-3)=2an+3-(-3)=2(an+3)，又a1+3=4， 所以數列{an+3}是以4為首項，2為公比的等比數列，所以an+3=4·2n-1=2n+1， 即an=2n+1-3(n∈N*).
【通性通法】
1.an+1=Aan+B(A≠0，1，B≠0)型，其特征根方程為x=Ax+B，解為不動點x0，則an+1-x0=A(an-x0)，即數列{an-x0}(x0≠a1)是等比數列.特別地，當x0=a1時，數列{an}為常數列.
2.an+1=(C≠0，AD-BC≠0)型，其特征根方程為x=，解為x1，x2.
(1)當特征根方程有兩個相同的實數根，即x1=x2=x0時，數列是等差數列；
(2)當特征根方程有兩個相異的實數根，即x1≠x2時，數列是等比數列；
(3)當特征根方程無實數根時，數列{an}是周期數列.
3.an+2=Aan+1+Ban(A≠0，1，B≠0)型，其對應的特征根方程為x2-Ax-B=0，解為x1，x2.
(1)當x1≠x2時，數列{an}的通項公式為an=P+Q，其中P，Q由a1，a2，x1，x2和n=1，2確定(即把a1，a2，x1，x2和n=1，2代入an=P+Q，得到關于P，Q的方程組)；
(2)當x1=x2=x0時，數列{an}的通項公式為an=(P+Qn)，其中P，Q由a1，a2，x1，x2和n=1，2確定(即把a1，a2，x1，x2和n=1，2代入an=(P+Qn)，得到關于P，Q的方程組).
【培優訓練】
an+1=型，1個特征根
1.設數列{an}滿足a1=2，an+1=，則數列{an}的通項公式為　　　　.
答案　an=
解析　因為an+1=，所以設x=，即(x-1)2=0，解得特征根x=1，
因此變形為an+1-1=-1==，兩邊同時取倒數可得=+，又=1，所以數列是以1為首項，為公差的等差數列，
所以=1+(n-1)·=，即an=(n∈N*).
an+1=型，2個特征根
2.設數列{an}滿足a1=3，an+1=，則數列{an}的通項公式為　　　　.
答案　an=
解析　因為an+1=，所以設x=，即(x-1)(x-2)=0，解得特征根x1=1和x2=2，
因此變形為an+1-1=-1=，?、?br/>an+1-2=-2=，　②
兩式相除得=·，又=2，
所以數列是以2為首項，為公比的等比數列，所以=2·n-1，即an=(n∈N*).
an+2=Aan+1+Ban型
3.設數列{an}滿足a1=1，a2=，an+2=an+1-an，求數列{an}的通項公式.
解析　因為an+2=an+1-an，設其特征根方程為x2-x+=0，解得x1=，x2=1，所以設an=P·n-1+Q，將a1=1，a2=代入上式得解得故an=3-2·n-1(n∈N*).

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