資源簡介

培優課11 數列的子數列問題
培優點一　分段數列
【審題指導】
已知數列{an}是公差不為0的等差數列，a1=，數列{bn}是等比數列，
且.
(1)求數列{bn}的通項公式；
(2)設，求數列{cn}的前n項和Tn.
【通性通法】
1.利用等差數列的通項公式與等比中項的性質列式可解得等差數列的公差和等比數列的公比，進而可得所求通項公式.
2.對n分類討論，結合等差數列與等比數列的求和公式求和.
【培優訓練】
在分段數列關系中引入參數
1.已知數列{an}滿足an=若數列{an}的前n項和為Sn，求當λ=1時，S2025的值.
將數列通項的分段問題改為數列遞推關系的分段問題
2.已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1=a(a∈R)，an+1=n∈N*.
(1)若0(2)若a=5，求S2025.
培優點二　數列中的奇偶項問題
【審題指導】
(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}為等差數列，記Sn，Tn分別為數列{an}，{bn}的前n項和，
(1)求{an}的通項公式.
(2)證明：當n>5時，Tn>Sn.
【通性通法】
　　解答與奇偶項有關的求和問題的關鍵
1.弄清當n為奇數或偶數時數列的通項公式.
2.弄清當n為奇數或偶數時數列前n項中奇數項與偶數項的個數.
3.對于通項公式分奇、偶不同的數列{an}求Sn時，可以分別求出奇數項的和與偶數項的和，也可以先求出S2k，再利用S2k-1=S2k-a2k求S2k-1(k∈N*).
【培優訓練】
將數列遞推關系的奇偶項問題改為數列通項的奇偶項問題
1.(2024·南通模擬)已知數列{an}滿足a1=1，a2=3，數列{bn}為等比數列，且滿足bn(an+1-an)=bn+1.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若b2，2a3，b4成等差數列，記數列{cn}滿足cn=求數列{cn}的前2n項和T2n.
將單數列的奇偶項遞推問題改為雙數列的奇偶項遞推問題
2.(2024·濰坊模擬)已知等比數列{an}的公比q>1，前n項和為Sn，滿足S3=13，=3a6.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn=求數列{bn}的前2n項和T2n.
將數列遞推關系的奇偶問題改為數列前n項和與通項交融的數列奇偶問題
3.(2024·南京模擬)已知等差數列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，數列{bn}是等比數列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.
(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；
(2)若cn=設數列{cn}的前n項和為Tn，求T2n.
培優點三　兩數列的公共項問題
【審題指導】
已知數列{an}與{bn}的通項公式分別為an=4n-1，bn=3n+2，
將它們的，求數列{cn}的通項公式.
【通性通法】
解決兩個等差數列的公共項問題的兩種方法
1.不定方程法：列出兩個項相等的不定方程，利用數論中的整除知識，求出符合條件的項，并解出相應的通項公式.
2.周期法(即尋找下一項)：通過觀察找到首項后，從首項開始向后，逐項判斷變化較大(如公差的絕對值大)的數列中的項是否為另一個數列中的項，并找到規律(如周期)，分析相鄰兩項之間的關系，從而得到通項公式.
【培優訓練】
給定數列中一個是等差數列，一個是等比數列
1.已知數列{an}，{bn}的通項公式分別為an=3n-2，bn=2n，將這兩個數列的公共項按從小到大的順序排列組成一個新的數列{cn}，則數列{cn}的前n項和為　　　　.
給定數列中一個是等差數列，一個是非等差非等比數列，求最小值
2.已知數列{an}，{bn}的通項公式分別為an=5n-4，bn=n2，將這兩個數列的公共項按從小到大的順序排列組成一個新的數列{cn}，則使得cn>2025成立的n的最小值為　　　　. 培優課11 數列的子數列問題
培優點一　分段數列
【審題指導】
已知數列{an}是公差不為0的等差數列，a1=，數列{bn}是等比數列，
且.
(1)求數列{bn}的通項公式；
(2)設，求數列{cn}的前n項和Tn.
【解題觀摩】
　　解析　(1)設等差數列{an}的公差為d，d≠0， 因為數列{bn}是等比數列，所以=b1b3，即=a1a4， 審題① 所以(a1+2d)2=a1(a1+3d)，即a1d+4d2=d(a1+4d)=0， 因為d≠0，所以a1+4d=0，又a1=，所以d=-，
　　因為b1=a1=，所以數列{bn}的公比q====-1-2×-=-， 所以bn=b1qn-1=×-n-1(n∈N*). (2)由(1)知bn=×-n-1，an=a1+(n-1)d=-n+， 所以cn=n∈N*， 審題② 當1≤n≤5時，Tn==1--n； 當n≥6時，Tn=1--5+=-n2+n-. 故Tn=n∈N*.
【通性通法】
1.利用等差數列的通項公式與等比中項的性質列式可解得等差數列的公差和等比數列的公比，進而可得所求通項公式.
2.對n分類討論，結合等差數列與等比數列的求和公式求和.
【培優訓練】
在分段數列關系中引入參數
1.已知數列{an}滿足an=若數列{an}的前n項和為Sn，求當λ=1時，S2025的值.
解析　當λ=1，n≥2時，an=-an-1+2，即an+an-1=2，
∴S2025=(a2025+a2024)+(a2023+a2022)+(a2021+a2020)+…+(a3+a2)+a1=2×1012+=.
將數列通項的分段問題改為數列遞推關系的分段問題
2.已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1=a(a∈R)，an+1=n∈N*.
(1)若0(2)若a=5，求S2025.
解析　(1)當an∈(0，3]時，an+1=2an∈(0，6]，
當an∈(3，6]時，an+1=an-3∈(0，3]，
故an+1∈(0，6]，所以當0(2)當a1=a=5時，a2=a1-3=2，a3=2a2=4，a4=a3-3=1，a5=2a4=2，a6=2a5=4，a7=a6-3=1，…，
所以數列{an}為5，2，4，1，2，4，1，2，4，1，…，即數列{an}是從第2項起，以3為周期的數列，又a2+a3+a4=7，所以S2025=5+7×674+2+4=4729.
培優點二　數列中的奇偶項問題
【審題指導】
(2023·新高考Ⅱ卷)已知{an}為等差數列，記Sn，Tn分別為數列{an}，{bn}的前n項和，
(1)求{an}的通項公式.
(2)證明：當n>5時，Tn>Sn.
【解題觀摩】
　　解析　(1)設等差數列{an}的公差為d，而bn= 則b1=a1-6，b2=2a2=2a1+2d，b3=a3-6=a1+2d-6， 于是 審題① 解得則an=a1+(n-1)d=2n+3，所以數列{an}的通項公式是an=2n+3(n∈N*). (2)由(1)知，Sn==n2+4n，bn= 當n為偶數時， 審題② Tn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=·+·=n2+n， 當n>5時，Tn-Sn=n2+n-(n2+4n)=n(n-1)>0，因此Tn>Sn； 當n為奇數時， 審題② 　　若n≥3，則Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn-1)=·+·=n2+n-5，顯然T1=b1=-1滿足上式，因此當n為奇數時，Tn=n2+n-5， 當n>5時，Tn-Sn=n2+n-5-(n2+4n)=(n+2)(n-5)>0，因此Tn>Sn. 綜上所述，當n>5時，Tn>Sn.
【通性通法】
　　解答與奇偶項有關的求和問題的關鍵
1.弄清當n為奇數或偶數時數列的通項公式.
2.弄清當n為奇數或偶數時數列前n項中奇數項與偶數項的個數.
3.對于通項公式分奇、偶不同的數列{an}求Sn時，可以分別求出奇數項的和與偶數項的和，也可以先求出S2k，再利用S2k-1=S2k-a2k求S2k-1(k∈N*).
【培優訓練】
將數列遞推關系的奇偶項問題改為數列通項的奇偶項問題
1.(2024·南通模擬)已知數列{an}滿足a1=1，a2=3，數列{bn}為等比數列，且滿足bn(an+1-an)=bn+1.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若b2，2a3，b4成等差數列，記數列{cn}滿足cn=求數列{cn}的前2n項和T2n.
解析　(1)因為bn(an+1-an)=bn+1，且a1=1，a2=3，所以令n=1得2b1=b2，
又數列{bn}為等比數列，所以公比為2，即bn+1=2bn，則an+1-an=2，
所以數列{an}是以1為首項，2為公差的等差數列，所以an=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)知數列{bn}是公比為2的等比數列，an=2n-1，
由b2，2a3，b4成等差數列得4a3=b2+b4，即2b1+8b1=20，
所以b1=2，則bn=2n，所以cn=
數列{cn}的奇數項是以1為首項，4為公差的等差數列，偶數項是以4為首項，4為公比的等比數列，所以T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=n+·4+=2n2-n+.
將單數列的奇偶項遞推問題改為雙數列的奇偶項遞推問題
2.(2024·濰坊模擬)已知等比數列{an}的公比q>1，前n項和為Sn，滿足S3=13，=3a6.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設bn=求數列{bn}的前2n項和T2n.
解析　(1)因為{an}是公比q>1的等比數列，
所以由得
即
兩式相除得=，整理得3q2-10q+3=0，即(3q-1)·(q-3)=0，解得q=3或q=，又q>1，所以q=3，則a1==1，所以an=a1qn-1=3n-1(n∈N*).
(2)當n為奇數時，bn=an=3n-1，當n為偶數時，bn=an-1+n=3n-2+n，
所以T2n=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n
=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)
=(30+32+…+32n-2)+(30+2+32+4+…+32n-2+2n)
=2(30+32+…+32n-2)+(2+4+…+2n)
=2×+
=+n2+n.
將數列遞推關系的奇偶問題改為數列前n項和與通項交融的數列奇偶問題
3.(2024·南京模擬)已知等差數列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，數列{bn}是等比數列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.
(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；
(2)若cn=設數列{cn}的前n項和為Tn，求T2n.
解析　(1)設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q(q≠0)，
因為a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3，所以解得
所以an=2n+1(n∈N*)，bn=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)知，Sn==n(n+2)，則cn=
所以T2n=1-+-+…+-+(21+23+25+…+22n-1)=1-+=-.
培優點三　兩數列的公共項問題
【審題指導】
已知數列{an}與{bn}的通項公式分別為an=4n-1，bn=3n+2，
將它們的，求數列{cn}的通項公式.
【解題觀摩】
　　解析　設ak=bm=cp，則4k-1=3m+2， 所以k=， 審題① 因為3，4互質，所以m+1必為4的倍數，即m=4p-1， cp=bm=3(4p-1)+2=12p-1，所以數列{cn}的通項公式為cn=12n-1(n∈N*).
【通性通法】
解決兩個等差數列的公共項問題的兩種方法
1.不定方程法：列出兩個項相等的不定方程，利用數論中的整除知識，求出符合條件的項，并解出相應的通項公式.
2.周期法(即尋找下一項)：通過觀察找到首項后，從首項開始向后，逐項判斷變化較大(如公差的絕對值大)的數列中的項是否為另一個數列中的項，并找到規律(如周期)，分析相鄰兩項之間的關系，從而得到通項公式.
【培優訓練】
給定數列中一個是等差數列，一個是等比數列
1.已知數列{an}，{bn}的通項公式分別為an=3n-2，bn=2n，將這兩個數列的公共項按從小到大的順序排列組成一個新的數列{cn}，則數列{cn}的前n項和為　　　　.
答案　
解析　由題意，令21=3n-2，得n=，即2不是數列{an}與{bn}的公共項；
令22=3n-2，得n=2，即4是數列{an}與{bn}的公共項；
令23=3n-2，得n=，即8不是數列{an}與{bn}的公共項；
令24=3n-2，得n=6，即16是數列{an}與{bn}的公共項.
依此類推，可得數列{cn}為4，42，43，44，…，即{cn}是首項為4，公比為4的等比數列，故{cn}的前n項和為=.
給定數列中一個是等差數列，一個是非等差非等比數列，求最小值
2.已知數列{an}，{bn}的通項公式分別為an=5n-4，bn=n2，將這兩個數列的公共項按從小到大的順序排列組成一個新的數列{cn}，則使得cn>2025成立的n的最小值為　　　　.
答案　19
解析　令ak=bm，即5k-4=m2，k，m∈N*，則k==+1，
所以m=1或m+1=5i或m-1=5i，i∈N*，則k=1或k=i(5i-2)+1或k=i(5i+2)+1，i∈N*，
所以5k-4=1或5k-4=(5i-1)2或5k-4=(5i+1)2，i∈N*，
故數列{cn}是首項為1，且從第二項起的每一項由數列{(5n+1)2}和{(5n-1)2}的項按從小到大的順序排列得到的數列，顯然數列{(5n+1)2}和{(5n-1)2}都是遞增的，
又當n=9時，(5n+1)2=462=2116>2025，(5n-1)2=442=1936<2025，
當n=8時，(5n-1)2=392=1521<2025，(5n+1)2=412=1681<2025，
即數列{cn}的前18項均小于2025，第19項大于2025，是第一個大于2025的項，所以使得cn>2025成立的n的最小值為19.

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