資源簡介

培優課12 與球有關的切、接問題
培優點一　外接球(定義法)
【審題指導】
已知一個，且該，
，則這個球的體積為　　　　.
【通性通法】
　　在空間中，如果一個定點到一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體外接球的球心，則可以得到以下結論：
1.正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點；
2.正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點；
3.直三棱柱的外接球的球心是上、下底面外心連線的中點；
4.正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置由計算可得；
5.若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.
【培優訓練】
將柱體改為錐體
1.如圖，在三棱錐A-PBC中，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，平面PAC⊥平面PBC，三棱錐A-PBC的體積為，若點P，A，B，C都在球O的球面上，則球O的表面積為　　　　.
逆用定義法求棱錐的高
2.已知A，B，C是半徑為2的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC=BC=，則三棱錐O-ABC的體積為　　　　.
培優點二　外接球(截面法)
【審題指導】
已知正四棱錐S-ABCD的，，則該球的體積為　　　　.
【通性通法】
　　幾何體外接球問題的處理方法
解題關鍵是確定球心和半徑，其解題思維流程：
(R—球的半徑，r—截面圓的半徑，h—球心到截面圓的距離)
【注意】若截面為非特殊三角形，則可用正弦定理求其外接圓的半徑r.
【培優訓練】
將四棱錐改為三棱錐
1.已知A，B，C是半徑為的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC=，BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為(　　).
A. B. C. D.
逆用外接球的定義法求高
2.在球面幾何中，球面兩點之間最短的距離為經過這兩點的大圓的劣弧長，稱為測地線.已知A，B，C是球O球面上的三個點，AC⊥BC，AC=BC=1，三棱錐O-ABC的體積為，則A，B兩點測地線長為　　　　.
培優點三　外接球(補形法)
【審題指導】
在三棱錐P-ABC中，，且PA=1，PB=2，PC=3，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為　　　　.
【通性通法】
1.若幾何體中存在側棱與底面垂直或存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩條垂直，可構造墻角模型，幾何體體對角線的中點即球心.
2.若三棱錐的對棱相等，此時探尋球心無從著手.因為長方體的相對面的面對角線相等，所以可在長方體中構造三棱錐，從而巧妙探索外接球的球心與半徑.
3.補形后可參照培優點一的通性通法確定球心.
【培優訓練】
加入翻折元素
1.已知等邊三角形ABC的邊長為2，D為BC的中點，沿AD進行折疊，使折疊后的∠BDC=，則過A，B，C，D四點的球的表面積為(　　).
A.3π B.4π C.5π D.6π
側棱垂直于底面
2.在三棱錐A-BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD=BD=2，CD=4，點A，B，C，D在同一個球面上，則該球的表面積為　　　　.
補形法之對棱相等型
3.在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2，AC=BD=，AD=BC=，則該三棱錐的外接球的體積為　　　　.
培優點四　內切球
【審題指導】
已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該的體積為　　　　.
【通性通法】
　　幾何體內切球問題的處理策略
解題時常用以下結論確定球心和半徑：
1.球心在過切點且與切面垂直的直線上；
2.球心到各面的距離相等；
3.利用等體積法求多面體內切球的半徑r=(V為多面體的體積).
【培優訓練】
求球的截面的面積
1.如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球，則平面ACD1截球O的截面面積為(　　).
A.
B.
C.
D.
由圓錐變為正四面體
2.(2024·河南聯考)數學中有許多形狀優美、寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分.如圖，在勒洛四面體中，正四面體ABCD的棱長為4，則該勒洛四面體內切球的半徑是　　　　. 培優課12 與球有關的切、接問題
培優點一　外接球(定義法)
【審題指導】
已知一個，且該，
，則這個球的體積為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　 　　解析　設正六棱柱的底面邊長為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的半徑為r，球的半徑為R， 因為底面周長為3，所以r=a==， 審題③ 所以底面積S=6××2=， 則V柱=Sh=h=，即h=， 審題② 則R2=2+2=1，即R=1， 審題① 故球的體積V=.
【通性通法】
　　在空間中，如果一個定點到一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體外接球的球心，則可以得到以下結論：
1.正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點；
2.正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點；
3.直三棱柱的外接球的球心是上、下底面外心連線的中點；
4.正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置由計算可得；
5.若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.
【培優訓練】
將柱體改為錐體
1.如圖，在三棱錐A-PBC中，∠APC=，∠BPC=，PA⊥AC，PB⊥BC，平面PAC⊥平面PBC，三棱錐A-PBC的體積為，若點P，A，B，C都在球O的球面上，則球O的表面積為　　　　.
答案　4π
解析　如圖，取PC的中點O，連接AO，BO，
因為PA⊥AC，PB⊥BC，所以OA=PC，OB=PC，所以OA=OB=OC=OP，所以O為三棱錐A-PBC外接球的球心.
設OA=R，則OA=OB=OC=OP=R，PC=2R，因為∠APC=，PA⊥AC，所以△PAC為等腰直角三角形，且PA=AC，所以AO⊥PC，
又因為平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AO 平面PAC，所以AO⊥平面PBC，
因為∠BPC=，PB⊥BC，PC=2R，所以PB=R，BC=R，
所以V三棱錐A-PBC=S△PBC·AO=×·R·R·R=，解得R=1，所以球O的表面積為4πR2=4π.
逆用定義法求棱錐的高
2.已知A，B，C是半徑為2的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC=BC=，則三棱錐O-ABC的體積為　　　　.
答案　
解析　如圖，由AC⊥BC可知，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，
又AC=BC=，所以AB===2，
所以Rt△ABC的外接圓的圓心為AB的中點O1，半徑r==1，
連接OO1，因為O為球心，所以OO1⊥平面ABC，即OO1的長為點O到平面ABC的距離.
在Rt△OO1B中，OB=2，O1B=1，所以OO1===，
則V三棱錐O-ABC=S△ABC·OO1=××××=，所以三棱錐O-ABC的體積為.
培優點二　外接球(截面法)
【審題指導】
已知正四棱錐S-ABCD的，，則該球的體積為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　 　　解析　如圖，過S作SO1⊥平面ABCD，垂足為O1，由已知得O1C=AC=1. 在Rt△SO1C中， 因為SC=，所以SO1==1， 審題① 所以O1S=O1A=O1B=O1D=O1C，所以O1是過點S，A，B，C，D的球的球心， 審題② 所以球的半徑r=1，故球的體積為πr3=.
【通性通法】
　　幾何體外接球問題的處理方法
解題關鍵是確定球心和半徑，其解題思維流程：
(R—球的半徑，r—截面圓的半徑，h—球心到截面圓的距離)
【注意】若截面為非特殊三角形，則可用正弦定理求其外接圓的半徑r.
【培優訓練】
將四棱錐改為三棱錐
1.已知A，B，C是半徑為的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC=，BC=1，則三棱錐O-ABC的體積為(　　).
A. B. C. D.
答案　A
解析　由題意，BA=2，設AB的中點為D，由OA=OB得OD⊥AB(三線合一)，
根據勾股定理，得OD==1，如圖，連接CD，
由OC2=2=CD2+OD2，得OD⊥CD，又AB∩CD=D，AB 平面ABC，CD 平面ABC，所以OD⊥平面ABC，即OD為三棱錐O-ABC的高，故V三棱錐O-ABC=·OD·S△ABC=×1×=.故選A.
逆用外接球的定義法求高
2.在球面幾何中，球面兩點之間最短的距離為經過這兩點的大圓的劣弧長，稱為測地線.已知A，B，C是球O球面上的三個點，AC⊥BC，AC=BC=1，三棱錐O-ABC的體積為，則A，B兩點測地線長為　　　　.
答案　
解析　由題意知，△ABC截面圓的圓心在AB的中點O1處，
所以OO1⊥平面ABC，AB==，AO1=CO1=，
設球O的半徑為r，V三棱錐O-ABC=S△ABC·OO1=×·OO1=，解得OO1=，所以r=AO=1，易知∠AOB=，所以A，B兩點測地線長為×1=.
培優點三　外接球(補形法)
【審題指導】
在三棱錐P-ABC中，，且PA=1，PB=2，PC=3，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　14π 　　解析　設三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R，因為PA，PB，PC兩兩垂直，所以補形到長方體中，如圖， 審題① 三條側棱分別為長方體的長、寬、高， 所以該三棱錐的外接球就是由它補形成的長方體的外接球， 則球心O是體對角線的中點， 所以R===， 故外接球的表面積S=4πR2=4π×=14π.
【通性通法】
1.若幾何體中存在側棱與底面垂直或存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩條垂直，可構造墻角模型，幾何體體對角線的中點即球心.
2.若三棱錐的對棱相等，此時探尋球心無從著手.因為長方體的相對面的面對角線相等，所以可在長方體中構造三棱錐，從而巧妙探索外接球的球心與半徑.
3.補形后可參照培優點一的通性通法確定球心.
【培優訓練】
加入翻折元素
1.已知等邊三角形ABC的邊長為2，D為BC的中點，沿AD進行折疊，使折疊后的∠BDC=，則過A，B，C，D四點的球的表面積為(　　).
A.3π B.4π C.5π D.6π
答案　C
解析　連接BC(圖略)，由題知幾何體A-BCD為三棱錐，BD=CD=1，AD=，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，將折疊后的圖形補成一個長、寬、高分別是，1，1的長方體，其體對角線長為=，故該三棱錐外接球的半徑是，其表面積為5π.故選C.
側棱垂直于底面
2.在三棱錐A-BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD=BD=2，CD=4，點A，B，C，D在同一個球面上，則該球的表面積為　　　　.
答案　20π
解析　根據題意可知BC⊥平面ABD，則BC⊥BD，即AD，BC，BD三條線兩兩垂直，
所以可將三棱錐A BCD放置于長方體內，如圖所示.
該三棱錐的外接球即長方體的外接球，球心為長方體體對角線的中點，即外接球的半徑為長方體體對角線長的一半.此時AC為該球的直徑，所以該球的表面積S=4πR2=π·AC2=π×(22+42)=20π.
補形法之對棱相等型
3.在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2，AC=BD=，AD=BC=，則該三棱錐的外接球的體積為　　　　.
答案　π
解析　設外接球的半徑為R，考慮到三棱錐A-BCD的對棱相等，將其補形到長方體中，如圖，三組對棱即該長方體的三組相對面的對角線，
所以該三棱錐的外接球就是由它補形成的長方體的外接球，
則球心O位于體對角線的中點，設此長方體的長、寬、高分別為x，y，z，
　　則即x2+y2+z2=6，
所以R==，故外接球的體積V=πR3=π×3=π.
培優點四　內切球
【審題指導】
已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該的體積為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　 　　解析　易知圓錐內半徑最大的球為圓錐的內切球， 審題① 球與圓錐內切的軸截面如圖所示，其中BC=2，AB=AC=3， 設M為BC邊上的中點，內切圓的圓心為O， 由于AM==2，故S△ABC=×2×2=2， 設內切圓的半徑為r，則S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=·AB·r+ ·BC·r+·AC·r， 審題② 即S△ABC=×(3+3+2)·r=2，解得r=，所求體積V=πr3=.
【通性通法】
　　幾何體內切球問題的處理策略
解題時常用以下結論確定球心和半徑：
1.球心在過切點且與切面垂直的直線上；
2.球心到各面的距離相等；
3.利用等體積法求多面體內切球的半徑r=(V為多面體的體積).
【培優訓練】
求球的截面的面積
1.如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球，則平面ACD1截球O的截面面積為(　　).
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內切圓O'，
∵正方體的棱長為1，
∴AC=CD1=AD1=，
∴內切圓半徑r=tan 30°·AE=×=，
∴S=πr2=π×=.故選C.
由圓錐變為正四面體
2.(2024·河南聯考)數學中有許多形狀優美、寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分.如圖，在勒洛四面體中，正四面體ABCD的棱長為4，則該勒洛四面體內切球的半徑是　　　　.
答案　4-
解析　如圖，設O為正四面體底面的中心，O'為其外接球的球心，外接球的半徑為R，
由勒洛四面體和正四面體的對稱性知O'為勒洛四面體內切球的球心，由題意得，勒洛四面體內切球的半徑為正四面體的棱長減去R，
則BO=××4=，AO===，在Rt△OBO'中，R2=BO2+(AO-R)2，解得R=，所以該勒洛四面體內切球的半徑是4-.

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