資源簡介

培優課15 立體幾何中的動態問題
培優點一　動態中的位置關系判斷
【審題指導】
(多選題)(2024·海南模擬)如圖，在矩形ABCD中，BC=1，AB=x，BD和AC交于點O，將△BAD沿直線BD翻折，則下列說法正確的是(　　).
A.存在x，且
B.存在x，且
C.存在x，且
D.存在x，且
【解題觀摩】
　　答案　ABC 　　解析　對于A，當AB=x=1時，此時矩形ABCD為正方形，則AC⊥BD， 將△BAD沿直線BD翻折，若使得平面ABD⊥平面BCD時， 由OC⊥BD，OC 平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以OC⊥平面ABD， 審題① 又AB 平面ABD，所以AB⊥OC，故A正確. 對于B，當AB=x=1時，AC⊥BD，則OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC=O，OA 平面OAC，OC 平面OAC， 所以BD⊥平面OAC，又AC 平面OAC，所以AC⊥BD，故B正確. 審題② 對于C，在矩形ABCD中，AB⊥AD，AC=， 所以將△BAD沿直線BD翻折時，總有AB⊥AD，取x=，當將△BAD沿直線BD翻折到AC=時，AB2+AC2=BC2， 審題③ 即AB⊥AC，且AC∩AD=A，AC 平面ACD，AD 平面ACD，則此時滿足AB⊥平面ACD，故C正確. 對于D，假設在翻折過程中存在某個位置，使得AC⊥平面ABD，且AO 平面ABD，所以AC⊥AO，所以在Rt△AOC中，OC為斜邊，這與OC=OA相矛盾，故D不正確. 審題④ 故選ABC.
【通性通法】
　　解決空間位置關系的動點問題的方法
1.應用“位置關系定理”轉化.
2.建立“坐標系”計算.
【培優訓練】
由二面角確定位置關系
1.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E為DC邊的中點，沿AE將△ADE折起至△AD'E，設二面角D'-AE-B的大小為α，直線AD'與平面ABCE所成的角為β，若60°<α<90°，則在翻折過程中(　　).
A.存在某個位置，使得α<β
B.存在某個位置，使得α+β<90°
C.β>45°
D.30°<β<45°
答案　D
解析　如圖，作DF⊥AE于點O，連接EF，過點D'作D'H⊥OF，垂足為H，因為OE⊥OD'，OE⊥OF，OD'∩OF=O，OD'，OF 平面OD'H，所以OE⊥平面OD'H，
因為OE⊥D'H，D'H⊥OF，OE∩OF=O，OE，OF 平面ABCE，
所以D'H⊥平面ABCE，所以∠D'OH=α，∠D'AH=β，
sin α=>=sin β，所以β<α，
因為sin β====sin α，60°<α<90°，所以<由確定的位置關系求取值范圍
2.如圖，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x(x>0)，D是斜邊AB的中點，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是(　　).
A.(0，] B.，2
C.[，2] D.(2，4]
答案　A
解析　取BC的中點E，連接DE，翻折前如圖1，則DE=AC=，又BC=x，所以AD=CD=BD=.翻折后，在圖2中，當BC⊥AD時，連接AE，由題意可得BC⊥DE，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥AE，又E為BC的中點，所以AB=AC=1，所以AE=.在△ADE中，有AD+DE>AE，AE+DE>AD，
即+>，+>，其中x>0，解得0如圖3，當翻折到△B1CD與△ACD在一個平面內時，若AD⊥B1C，則AD與B1C相交，交點為M，即∠B1CD+∠CDA=90°.因為CD=BD=B1D，所以∠CBD=∠BCD=∠B1CD.
又∠CDA=∠CBD+∠BCD，即∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，所以∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，所以∠BAC=60°.
在Rt△ABC中，BC=AC·tan 60°=1×=，即x=.綜上可得x∈(0，].故選A.
培優點二　動態中的軌跡問題
【審題指導】
(2024·黑龍江校考)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，，M是正方形B1BCC1所在平面內一動點，，則為　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　 　　解析　如圖，取BB1的中點F，連接D1C，CF，D1F， 審題① 因為A1D1∥BC，A1D1=BC，所以四邊形D1A1BC為平行四邊形， 所以A1B∥D1C，又A1B 平面A1BE，D1C 平面A1BE， 所以D1C∥平面A1BE. 因為E是DD1的中點，F為BB1的中點， 所以D1E=D1D，BF=B1B，又D1D∥B1B，D1D=B1B， 所以D1E∥BF，D1E=BF，所以四邊形D1EBF為平行四邊形， 所以FD1∥BE，又BE 平面A1BE，FD1 平面A1BE， 所以FD1∥平面A1BE. 又D1C∩FD1=D1，D1C，FD1 平面FD1C， 所以平面A1BE∥平面FD1C. 審題② 當點M在平面FD1C上時，D1M 平面FD1C， 所以D1M∥平面A1BE， 又點M軌跡在正方形B1BCC1內，平面FD1C與正方形B1BCC1交于線段CF， 所以點M在線段CF上， 審題③ 所以CF===.
【通性通法】
　　解決與幾何體有關的動點軌跡問題的方法
1.幾何法：根據平面的性質進行判定.
2.定義法：轉化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進行計算.
3.特殊值法：根據空間圖形線段長度關系取特殊值或特殊位置進行排除.
【培優訓練】
動點軌跡形狀問題
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知P為正方形AA1D1D中的一個動點，且點P滿足直線PC1與平面AA1D1D所成的角的大小等于平面PBC與平面AA1D1D所成銳二面角的大小，則點P的軌跡為(　　).
A.直線 B.橢圓 C.圓 D.拋物線
答案　D
解析　如圖，以D為原點，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設B1(1，1，1)，其它各點相應坐標略，
設P(x，0，z)，x，z∈[0，1]，過點P作EF∥AD分別交AA1，DD1于點E，F，連接PC1，PD1，由EF在平面PBC內，可證∠D1PC是直線PC1與平面ADD1A1所成的角，∠AEB是平面PBC與平面AA1D1D所成銳二面角的平面角，
由題意∠D1PC=∠AEB，即tan∠D1PC=tan∠AEB，
得=，化簡得x2=2z-1，它的軌跡是拋物線.故選D.
翻轉過程中的空間動點軌跡問題
2.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E為AB的中點，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當θ在[0，π]上變化時，點A'的軌跡長度為　　　　.
答案　
解析　取DE的中點M，連接AM，A'M(圖略)，則AM=A'M，故點A'在以M為球心，AM為半徑的球面上.過點A'作A'G⊥DE，垂足為G，連接AG，則AG⊥DE.在矩形ABCD中，AE=1，AD=，故AG==，故AG=AG'=，而A'G∩AG=G，故DE⊥平面A'AG，故點A'在過點G且垂直于DE的平面上，所以點A'在以G為圓心，AG為半徑的圓上，而∠AGA'為二面角A'-DE-C的平面角或補角，故0≤∠AGA'≤π，故點A'的軌跡長度為.
培優點三　動態中的定值問題
【審題指導】
(多選題)(2024·安徽校考)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是線段AD1上的動點，則下列說法正確的是(　　).
A.異面
B.
C.直線
D.若點Q是線段BD上動點，則
【解題觀摩】
　　答案　AB 　　解析　如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接BC1，CB1，C1P，對角面ABC1D1是矩形， AB⊥平面BCC1B1，CB1 平面BCC1B1，則AB⊥CB1，而BC1⊥CB1，AB∩BC1=B，AB，BC1 平面ABC1D1，于是CB1⊥平面ABC1D1，又C1P 平面ABC1D1， 所以CB1⊥C1P， 審題① 即異面直線C1P與CB1所成角的大小為定值，A正確； 連接BD，DC1，PD，PB，由四邊形ABC1D1是矩形，得AD1∥BC1，而BC1 平面BDC1，AD1 平面BDC1，則AD1∥平面BDC1， 即點P到平面BDC1的距離為定值，而△BDC1的面積為定值， 審題② 因此=為定值，B正確； 連接AC，CD1，CP，在△ACD1中，AC=CD1=AD1=，則邊AD1上的高為，有≤CP≤，由CB1⊥平面ABC1D1，知點C到平面ABC1D1的距離為CB1=， 令直線CP和平面ABC1D1所成的角為θ，則sin θ==不是定值， 審題③ θ不是定值，C錯誤； 取AD的中點E，連接CE，交BD于點Q，連接A1E，交AD1于點P1，連接P1Q， 顯然====，于是P1Q∥A1C， 審題④ 則當P與P1重合時，有PQ∥A1C，D錯誤. 故選AB.
【通性通法】
動態立體幾何問題，在變化過程中總蘊含著某些不變的因素，因此要認真分析其變化特點，尋找不變的靜態因素，從靜態因素中，找到解決問題的突破口.
【培優訓練】
由定值推出定值
1.(多選題)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BE⊥AC，E為垂足，F為BD的中點，則下列結論正確的是(　　).
A.若AC的長為定值，則該三棱錐外接球的半徑也為定值
B.若AD的長為定值，則該三棱錐外接球的半徑也為定值
C.若BD的長為定值，則EF的長也為定值
D.若CD的長為定值，則·的值也為定值
答案　BCD
解析　如圖，取AD的中點O，連接OB，OC，
∵AB⊥平面BCD，DB 平面BCD，∴AB⊥BD，
∴OB=AD，∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，∴AB⊥CD，
∵BC⊥CD，BC∩AB=B，BC，AB 平面ABC，∴CD⊥平面ABC，
AC 平面ABC，∴CD⊥AC，∴OC=AD，則OC=OB=OA=OD，
∴O為外接球的球心，AD是外接球的直徑，
該三棱錐外接球的半徑為AD，故B正確；
由以上分析可知，AD=，當AC的長為定值時，CD的長是可變化的，不能推得AD為定值，
故當AC的長為定值時，該三棱錐外接球的半徑不一定為定值，
故A錯誤；
由B的分析可知CD⊥平面ABC，BE 平面ABC，故CD⊥BE，又BE⊥AC，AC∩CD=C，AC，CD 平面ACD，∴BE⊥平面ACD，DE 平面ACD，∴BE⊥ED，∴EF=BD，若BD的長為定值，則EF的長也為定值，故C正確；
由以上分析可知CD⊥BE，CD⊥EC，故·=0，·=0，
由于F為BD的中點，故·=(+)·=(++)·=·++·=，若CD的長為定值，則·的值也為定值，故D正確.故選BCD.
與翻折問題結合
2.(多選題)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E是CD的中點，將△ADE沿AE翻折到△APE的位置，F是線段PB的中點，在△ADE翻折到△APE的過程中，下列說法正確的是(　　).
A.存在某個位置，使得PA⊥BE
B.CF的長度為定值
C.四棱錐P-ABCE的體積的最大值為
D.直線PA與平面ABCE所成角的正切值的最大值為
答案　BCD
解析　因為PA⊥PE，假設PA⊥BE，又PE∩BE=E，PE，BE 平面PBE，
所以PA⊥平面PBE，又PB 平面PBE，所以PA⊥PB.
在△PAB中，PA=AB=2，所以PA與PB不可能垂直，故A錯誤；
取PA的中點G，連接EG，FG，如圖1所示，因為F是線段PB的中點，G是PA的中點，
所以GF∥AB，GF=AB，又EC∥AB，EC=AB，所以GF∥EC，GF=EC，
所以四邊形GFCE是平行四邊形，所以CF=GE=，故B正確；
當平面PAE⊥平面ABCE時，四棱錐P-ABCE的體積最大，
過P作AE的垂線，垂足為H，如圖2，所以PH·AE=PA·PE，PE=1，PA=AD=2，AE==，
所以PH==，
因為平面PAE⊥平面ABCE，平面PAE∩平面ABCE=AE，PH⊥AE，PH 平面PAE，
所以PH⊥平面ABCE，即PH是四棱錐P-ABCE的高，
所以V三棱錐P-ABCE=S梯形ABCE·PH=××2×=，故C正確；
當平面PAE⊥平面ABCE時，直線PA與平面ABCE所成角的正切值取得最大值，
此時AH==，所以tan∠PAH==，故D正確.
故選BCD.
培優點四　動態中的最值(范圍)問題
【審題指導】
(多選題)如圖，在圓錐PO中，已知圓O的直徑AB=6，C是底面圓O上異于A的動點，圓錐的側面展開圖是圓心角為π的扇形.若=λ≤λ≤，則(　　).
A.
B.
C.
D.若=2，
【解題觀摩】
　　答案　CD 　　解析　設圓錐的母線長為l，由2π×3=π×l，得l=2，而圓錐底面圓半徑r=3， 　　所以圓錐的高PO===，故∠APO=60°，∠APB=2∠APO=120°， 所以S△PAC=l2sin∠APC≤×(2)2sin 90°=6， 審題① 當且僅當AP⊥PC時取等號，A錯誤； 當AP⊥PC時，·=||||cos∠PAQ=||2=12， 審題② 所以·的值與λ的取值無關，B錯誤； 如圖，過點Q作QD∥PO交OC于點D，由PO⊥平面ABC，得QD⊥平面ABC， 由=λ，得QD=λPO=λ，于是V三棱錐A-BQC=V三棱錐Q-ABC=S△ABC·QD=S△ABC， 審題③ 所以當且僅當λ=，且C為的中點時，三棱錐A-BQC的體積取得最大值，最大值為××6×3×=，C正確； 若=2，則∠AOC=120°，∠BOC=60°，由C選項知， ∠QAD為AQ與圓錐底面所成的角，即∠QAD=θ，tan θ=， 審題④ 顯然OD=(1-λ)OC=3(1-λ)，在△AOD中，AD==3， tan θ====，而≤λ≤， 所以tan θ∈，，D正確.故選CD.
【通性通法】
　　空間幾何體中的某些對象，如點、線、面，在約束條件下運動，帶動相關的線段長度、幾何體體積等發生變化，進而就有了面積、體積及角度的最值問題.
定性 分析 在空間幾何體的變化過程中，通過觀察運動點的位置變化，確定其相關量的變化規律，進而發現相關面積或體積等的變化規律，求得其最大值或最小值
定量 分析 將所求問題轉化為某一個相關量的問題，即轉化為關于其中一個量的函數，求其最大值或最小值的問題.根據具體情況，有函數法、不等式法、三角函數法等多種方法可供選擇
【培優訓練】
球體上動點變為圓錐上的動點
1.(多選題)(2024·濟寧模擬)如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的動點，SO=OC=2，則下列結論正確的是(　　).
A.圓錐SO的側面積為8π
B.三棱錐S-ABC體積的最大值為
C.∠SAB的取值范圍是，
D.若AB=BC，E為線段AB上的動點，則SE+CE的最小值為2(+1)
答案　BD
解析　在Rt△SOC中，SC==2，
則圓錐的母線長l=2，半徑r=OC=2，
對于選項A，圓錐SO的側面積為πrl=4π，故選項A錯誤；
對于選項B，當OB⊥AC時，△ABC的面積最大，此時S△ABC=×4×2=4，則三棱錐S-ABC體積的最大值為·S△ABC·SO=×4×2=，故選項B正確；
對于選項C，當點B與點A重合時，∠ASB=0為最小角，當點B與點C重合時，∠ASB=，達到最大值，
又因為點B與點A，C不重合，則∠ASB∈0，，又2∠SAB+∠ASB=π，可得∠SAB∈，，故選項C錯誤；
對于選項D，由AB=BC，∠ABC=，AC=4，
得AB=BC=2，又SA=SB=2，則△SAB為等邊三角形，則∠SBA=，
將△SAB以AB為軸旋轉到與△ABC共面，得到△S1AB，
則△S1AB為等邊三角形，∠S1BA=，
如圖所示，則(SE+CE)min=S1C，
因為S1B=BC=2，
∠S1BC=∠S1BA+∠ABC=，
S1C2=S1B2+BC2-2×S1B×BC×cos =8+8+8=(2+2)2，則(SE+CE)min=S1C=2(+1)，故選項D正確.故選BD.
動點變為動幾何體
2.(2024·新疆模擬)若棱長為6的正方體內有一個棱長為m的正四面體，且該正四面體可以在正方體內任意轉動，則m的最大值為(　　).
A. B.3 C.2 D.3
答案　C
解析　由題意知，當正四面體在正方體的內切球內，正四面體可以在正方體內任意轉動，故該正四面體內接于球時，其棱長最長，
因為正方體的棱長為6，所以其內切球的半徑為3，
設正四面體為P-ABC，O1為底面ABC的中心，正四面體外接球的球心為O，連接PO1，O1C，OC，如圖所示，則PO1⊥平面ABC，則O1C=×=，O1P===，
又OP=OC=3，所以在Rt△OO1C中，-32+2=9，解得m=2.故選C.培優課15 立體幾何中的動態問題
培優點一　動態中的位置關系判斷
【審題指導】
(多選題)(2024·海南模擬)如圖，在矩形ABCD中，BC=1，AB=x，BD和AC交于點O，將△BAD沿直線BD翻折，則下列說法正確的是(　　).
A.存在x，且
B.存在x，且
C.存在x，且
D.存在x，且
【通性通法】
　　解決空間位置關系的動點問題的方法
1.應用“位置關系定理”轉化.
2.建立“坐標系”計算.
【培優訓練】
由二面角確定位置關系
1.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，E為DC邊的中點，沿AE將△ADE折起至△AD'E，設二面角D'-AE-B的大小為α，直線AD'與平面ABCE所成的角為β，若60°<α<90°，則在翻折過程中(　　).
A.存在某個位置，使得α<β
B.存在某個位置，使得α+β<90°
C.β>45°
D.30°<β<45°
由確定的位置關系求取值范圍
2.如圖，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x(x>0)，D是斜邊AB的中點，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是(　　).
A.(0，] B.，2
C.[，2] D.(2，4]
培優點二　動態中的軌跡問題
【審題指導】
(2024·黑龍江校考)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，，M是正方形B1BCC1所在平面內一動點，，則為　　　　.
【通性通法】
　　解決與幾何體有關的動點軌跡問題的方法
1.幾何法：根據平面的性質進行判定.
2.定義法：轉化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進行計算.
3.特殊值法：根據空間圖形線段長度關系取特殊值或特殊位置進行排除.
【培優訓練】
動點軌跡形狀問題
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知P為正方形AA1D1D中的一個動點，且點P滿足直線PC1與平面AA1D1D所成的角的大小等于平面PBC與平面AA1D1D所成銳二面角的大小，則點P的軌跡為(　　).
A.直線 B.橢圓 C.圓 D.拋物線
翻轉過程中的空間動點軌跡問題
2.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E為AB的中點，將△ADE沿DE折起至△A'DE，記二面角A'-DE-C=θ，當θ在[0，π]上變化時，點A'的軌跡長度為　　　　.
培優點三　動態中的定值問題
【審題指導】
(多選題)(2024·安徽校考)如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是線段AD1上的動點，則下列說法正確的是(　　).
A.異面
B.
C.直線
D.若點Q是線段BD上動點，則
【通性通法】
動態立體幾何問題，在變化過程中總蘊含著某些不變的因素，因此要認真分析其變化特點，尋找不變的靜態因素，從靜態因素中，找到解決問題的突破口.
【培優訓練】
由定值推出定值
1.(多選題)如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BE⊥AC，E為垂足，F為BD的中點，則下列結論正確的是(　　).
A.若AC的長為定值，則該三棱錐外接球的半徑也為定值
B.若AD的長為定值，則該三棱錐外接球的半徑也為定值
C.若BD的長為定值，則EF的長也為定值
D.若CD的長為定值，則·的值也為定值
與翻折問題結合
2.(多選題)如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E是CD的中點，將△ADE沿AE翻折到△APE的位置，F是線段PB的中點，在△ADE翻折到△APE的過程中，下列說法正確的是(　　).
A.存在某個位置，使得PA⊥BE
B.CF的長度為定值
C.四棱錐P-ABCE的體積的最大值為
D.直線PA與平面ABCE所成角的正切值的最大值為
培優點四　動態中的最值(范圍)問題
【審題指導】
(多選題)如圖，在圓錐PO中，已知圓O的直徑AB=6，C是底面圓O上異于A的動點，圓錐的側面展開圖是圓心角為π的扇形.若=λ≤λ≤，則(　　).
A.
B.
C.
D.若=2，
【通性通法】
　　空間幾何體中的某些對象，如點、線、面，在約束條件下運動，帶動相關的線段長度、幾何體體積等發生變化，進而就有了面積、體積及角度的最值問題.
定性 分析 在空間幾何體的變化過程中，通過觀察運動點的位置變化，確定其相關量的變化規律，進而發現相關面積或體積等的變化規律，求得其最大值或最小值
定量 分析 將所求問題轉化為某一個相關量的問題，即轉化為關于其中一個量的函數，求其最大值或最小值的問題.根據具體情況，有函數法、不等式法、三角函數法等多種方法可供選擇
【培優訓練】
球體上動點變為圓錐上的動點
1.(多選題)(2024·濟寧模擬)如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的動點，SO=OC=2，則下列結論正確的是(　　).
A.圓錐SO的側面積為8π
B.三棱錐S-ABC體積的最大值為
C.∠SAB的取值范圍是，
D.若AB=BC，E為線段AB上的動點，則SE+CE的最小值為2(+1)
動點變為動幾何體
2.(2024·新疆模擬)若棱長為6的正方體內有一個棱長為m的正四面體，且該正四面體可以在正方體內任意轉動，則m的最大值為(　　).
A. B.3 C.2 D.3

展開更多......

收起↑