資源簡(jiǎn)介

培優(yōu)課16 立體幾何中的綜合應(yīng)用
培優(yōu)點(diǎn)一　翻折問(wèn)題
【審題指導(dǎo)】
如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'的位置，且，，設(shè)AK=t，則t的取值范圍是　　　　.
【通性通法】
解決與翻折相關(guān)問(wèn)題的三點(diǎn)關(guān)鍵
1.盯住量，即看翻折前后線面位置關(guān)系的變化情況，根據(jù)翻折過(guò)程，把翻折前后沒(méi)有變化和發(fā)生變化的量準(zhǔn)確找出來(lái)，因?yàn)樗鼈兎从沉朔酆罂臻g圖形的特征；
2.會(huì)轉(zhuǎn)化，根據(jù)需要解決立體幾何問(wèn)題，確定轉(zhuǎn)化的目標(biāo)；
3.得結(jié)論，對(duì)轉(zhuǎn)化后的問(wèn)題，用定義、判定定理、性質(zhì)定理、基本事實(shí)、公式等解決.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
由求線段到求余弦值
1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BD=DA=2，BC=CD=.現(xiàn)將△ABD沿BD折起，當(dāng)平面ABD與平面BDC垂直時(shí)，直線AB與CD所成角的余弦值是(　　).
A.- B.-
C. D.
由求線段到求線面角最值
2.如圖，在矩形ABCD中，BC=1，AB=2a，現(xiàn)將△ABD沿著對(duì)角線BD翻折成△A'BD，并且滿足A'B⊥AC，則直線A'C與平面BCD所成最大角的余弦值為(　　).
A. B. C. D.
培優(yōu)點(diǎn)二　探索性問(wèn)題
【審題指導(dǎo)】
如圖，在四面體ABCD中，AD⊥CD，，.設(shè)AB=BD=2，∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.
【通性通法】
1.解決線面關(guān)系中存在性問(wèn)題的策略
對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件.若滿足，則肯定假設(shè)；若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè).
2.空間角存在性問(wèn)題的解題策略
借助空間直角坐標(biāo)系，把幾何對(duì)象上動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)(變量)表示，將幾何對(duì)象坐標(biāo)化，這樣根據(jù)題設(shè)要求得到相應(yīng)的方程或方程組.若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)有解，則通過(guò)參數(shù)(變量)的值反過(guò)來(lái)確定幾何對(duì)象的位置；若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)無(wú)解，則表示滿足題設(shè)要求的幾何對(duì)象不存在.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
探索面積最小變?yōu)樘剿鼽c(diǎn)的位置
如
圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1D1的中點(diǎn)，B1C1與平面CDE交于點(diǎn)F.
(1)求證：F為B1C1的中點(diǎn).
(2)在棱A1B1上是否存在點(diǎn)M，使得二面角M-FC-E的余弦值為 若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.培優(yōu)課16 立體幾何中的綜合應(yīng)用
培優(yōu)點(diǎn)一　翻折問(wèn)題
【審題指導(dǎo)】
如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使點(diǎn)D落在點(diǎn)D'的位置，且，，設(shè)AK=t，則t的取值范圍是　　　　.
【解題觀摩】
　　答案　，1 　　解析　如圖，過(guò)D'作D'M⊥AF，垂足為M，連接MK. 由平面ABD'⊥平面ABC，平面ABD'∩平面ABC=AB，D'K⊥AB， 得D'K⊥平面ABC， 因?yàn)锳F 平面ABC，所以D'K⊥AF， 審題① 又D'M⊥AF，D'M∩D'K=D'，D'M 平面D'MK，D'K 平面D'MK， 所以AF⊥平面D'MK， 所以MK⊥AF， 即DK⊥AF. 審題② (注意：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是推出DK⊥AF，達(dá)到“降維”目的，將空間問(wèn)題平面化) 由翻折的性質(zhì)得=tan∠DKA=tan∠DAF=， 所以DF·AK=1. 由DF∈(1，2)，得AK∈，1. *另解(三余弦定理法)：由三余弦定理得cos∠D'AF=cos∠D'AK·cos∠KAF， 所以cos∠D'AK====，且cos∠D'AK=AK， 所以AK==∈，1.
【通性通法】
解決與翻折相關(guān)問(wèn)題的三點(diǎn)關(guān)鍵
1.盯住量，即看翻折前后線面位置關(guān)系的變化情況，根據(jù)翻折過(guò)程，把翻折前后沒(méi)有變化和發(fā)生變化的量準(zhǔn)確找出來(lái)，因?yàn)樗鼈兎从沉朔酆罂臻g圖形的特征；
2.會(huì)轉(zhuǎn)化，根據(jù)需要解決立體幾何問(wèn)題，確定轉(zhuǎn)化的目標(biāo)；
3.得結(jié)論，對(duì)轉(zhuǎn)化后的問(wèn)題，用定義、判定定理、性質(zhì)定理、基本事實(shí)、公式等解決.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
由求線段到求余弦值
1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BD=DA=2，BC=CD=.現(xiàn)將△ABD沿BD折起，當(dāng)平面ABD與平面BDC垂直時(shí)，直線AB與CD所成角的余弦值是(　　).
A.- B.-
C. D.
答案　D
解析　在
四邊形ABCD中，連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖1所示，
AB=BD=DA=2，BC=CD=，
又因?yàn)锳C=AC，所以△ABC≌△ADC，
所以∠BAC=∠DAC，故AC⊥BD，即AO⊥BD，CO⊥BD，BO=BD=1，
且AO==，CO==1，
翻折后，對(duì)應(yīng)地BD⊥AO，BD⊥CO，
因?yàn)锳O∩CO=O，所以BD⊥平面ACO，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，OA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)A(0，0，)，B(0，-1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，
所以=(0，-1，-)，=(-1，1，0)，
cos<，>===-，
因此直線AB與CD所成角的余弦值是.故選D.
由求線段到求線面角最值
2.如圖，在矩形ABCD中，BC=1，AB=2a，現(xiàn)將△ABD沿著對(duì)角線BD翻折成△A'BD，并且滿足A'B⊥AC，則直線A'C與平面BCD所成最大角的余弦值為(　　).
A. B. C. D.
答案　B
解析　如圖1，設(shè)點(diǎn)A'在底面BCD中的射影為H，則∠A'CH是A'C與平面BCD所成的角，cos∠A'CH=.
在翻折過(guò)程中，AH⊥BD，
∵點(diǎn)A'在底面BCD的射影為H，A'H⊥平面BCD，又AC 平面BCD，∴A'H⊥AC，
又A'B⊥AC，則BH⊥AC，即H在AB的中垂線MN上(如圖2).
取A'B的中點(diǎn)E，連接OE，
∵OA'=OB，∴A'B⊥OE，又A'B⊥AC，
∴A'B⊥平面EOC，∴A'B⊥EC，又E是A'B的中點(diǎn)，∴A'C=BC，則cos∠A'CH==.
又BC=1，AB=2a，由△ABC∽△HMB得MH=2a2，
在直角梯形BCHM中，CH===≥，
從而cos∠A'CH=≥，其最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí)取等號(hào).故選B.
培優(yōu)點(diǎn)二　探索性問(wèn)題
【審題指導(dǎo)】
如圖，在四面體ABCD中，AD⊥CD，，.設(shè)AB=BD=2，∠ACB=60°，點(diǎn)F在BD上，，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.
【解題觀摩】
　　解析　如圖，連接EF，因?yàn)锳D=CD，E為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DE. 審題② 在△ABD和△CBD中，因?yàn)锳D=CD，∠ADB=∠CDB，DB=DB， 所以△ABD≌△CBD， 審題① 所以AB=CB，又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥BE， 審題② 又因?yàn)镈E∩BE=E，DE 平面BED，BE 平面BED，所以AC⊥平面BED，因?yàn)镋F 平面BED，所以AC⊥EF，所以S△AFC=AC·EF， 當(dāng)EF⊥BD時(shí)，EF最小，即△AFC的面積最小. 審題③ 因?yàn)椤鰽BD≌△CBD，所以CB=AB=2，又因?yàn)椤螦CB=60°，所以△ABC是等邊三角形， 因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1，BE=，因?yàn)锳D⊥CD，所以DE=AC=1， 在△DEB中，DE2+BE2=BD2，所以BE⊥DE，DF=DB， 故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz，如圖所示， 則A(1，0，0)，B(0，，0)，D(0，0，1)，所以=(-1，0，1)，=(-1，，0)， 設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=(x，y，z)，則取y=，則n=(3，，3)，又因?yàn)镃(-1，0，0)，F(xiàn)0，，，所以=1，，，所以cos===， 設(shè)CF與平面ABD所成的角為θ0≤θ≤，則sin θ=|cos|=， 所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為.
【通性通法】
1.解決線面關(guān)系中存在性問(wèn)題的策略
對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件.若滿足，則肯定假設(shè)；若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè).
2.空間角存在性問(wèn)題的解題策略
借助空間直角坐標(biāo)系，把幾何對(duì)象上動(dòng)態(tài)點(diǎn)的坐標(biāo)用參數(shù)(變量)表示，將幾何對(duì)象坐標(biāo)化，這樣根據(jù)題設(shè)要求得到相應(yīng)的方程或方程組.若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)有解，則通過(guò)參數(shù)(變量)的值反過(guò)來(lái)確定幾何對(duì)象的位置；若方程或方程組在題設(shè)范圍內(nèi)無(wú)解，則表示滿足題設(shè)要求的幾何對(duì)象不存在.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
探索面積最小變?yōu)樘剿鼽c(diǎn)的位置
如
圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1D1的中點(diǎn)，B1C1與平面CDE交于點(diǎn)F.
(1)求證：F為B1C1的中點(diǎn).
(2)在棱A1B1上是否存在點(diǎn)M，使得二面角M-FC-E的余弦值為 若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解析　(1)如圖，取B1C1的中點(diǎn)F'，連接EF'，F(xiàn)'C，
由于ABCD-A1B1C1D1為正方體，E，F(xiàn)'分別為A1D1，B1C1的中點(diǎn)，故EF'∥CD，
從而E，F(xiàn)'，C，D四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面CDEF'，
據(jù)此可得，直線B1C1交平面CDE于點(diǎn)F'，
直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)F與點(diǎn)F'重合，即F為B1C1的中點(diǎn).
(2)存在.理由如下：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，且=λ(0≤λ≤1)，則M(2，2λ，2)，C(0，2，0)，F(xiàn)(1，2，2)，E(1，0，2)，
所以=(-2，2-2λ，-2)，=(1，0，2)，=(0，-2，0)，
設(shè)平面MCF的一個(gè)法向量為m=(x1，y1，z1)，則
令z1=-1，可得m=2，，-1，
設(shè)平面CFE的一個(gè)法向量為n=(x2，y2，z2)，則
令z2=-1，則x2=2，y2=0，可得n=(2，0，-1)，
從而m·n=5，|m|=，|n|=，
則cos===，
整理可得(λ-1)2=，故λ=或λ=(舍去).
故存在點(diǎn)M，使得二面角M-FC-E的余弦值為，此時(shí)=.

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