資源簡介

培優課17 圓錐曲線中的最值、范圍問題
培優點一　最值問題
【審題指導】
(2023·全國甲卷)已知直線x-2y+1=0與拋物線C：y2=2px(p>0)交于A，B兩點，且.
(1)求p；
(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求.
【解題觀摩】
　　解析　(1)設A(xA，yA)，B(xB，yB)， 由可得，y2-4py+2p=0，所以yA+yB=4p，yAyB=2p， 所以|AB|=|yA-yB|=·=4， 審題① 即2p2-p-6=0，因為p>0，所以p=2. (2)因為F(1，0)，所以直線MN的斜率不可能為零， 設直線MN：x=my+n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由可得y2-4my-4n=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-4n， Δ=16m2+16n>0 m2+n>0， 因為·=0，所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0， 審題② 即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0， 得(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0， 將y1+y2=4m，y1y2=-4n代入， 得4m2=n2-6n+1，4(m2+n)=(n-1)2>0， 所以n≠1，且n2-6n+1≥0，解得n≥3+2或n≤3-2. 設點F到直線MN的距離為d，則d=， |MN|=|y1-y2|= ==2|n-1|， 所以△MFN的面積S=·|MN|·d=(n-1)2， 審題③ 而n≥3+2或n≤3-2，所以當n=3-2時， △MFN的面積的最小值Smin=(2-2)2=12-8. 審題③
【通性通法】
圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：
1.幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決.
2.代數法，若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立起目標函數，再求這個函數的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導數法求解.
【培優訓練】
從拋物線變到橢圓
(2024·山東模擬)已知橢圓C：+=1(a>b>0)的離心率為，且經過點P(1，).
(1)求橢圓C的方程；
(2)若A，B為橢圓C上兩點，直線PA與PB的傾斜角互補，求△PAB面積的最大值.
解析　(1)由題意得解得a=，b=，
∴橢圓方程為+=1.
(2)由題意可知直線AB的斜率一定存在，
設直線AB的方程為y=kx+t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將y=kx+t代入+=1，得(k2+3)x2+2ktx+t2-6=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
則y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=，
x1y2+x2y1=x1(kx2+t)+x2(kx1+t)=t(x1+x2)+2kx1x2=.
∵直線PA和直線PB的傾斜角互補，∴kPA=-kPB =-，化簡可得2+x1y2+x2y1=(y1+y2)+(x1+x2)，
即2+=+·，即(k-)(k+t-)=0，
∵直線AB不過點P，∴k=，∴x1+x2=，x1x2=，
則|AB|==，
∵Δ=12t2-24(t2-6)>0，∴-2又點P到直線AB的距離為，
∴S=··=≤，
當且僅當t=±時，等號成立，∴△PAB面積的最大值為.
培優點二　范圍問題
【審題指導】
(2023·新高考Ⅰ卷節選)在直角坐標系xOy中，已知矩形ABCD有三個頂點在曲線y=x2+上，證明：.
【解題觀摩】
　　解析　 如圖，設矩形的三個頂點Aa，a2+，Bb，b2+，Cc，c2+在曲線上，且a0，且mn=-1，則m=-， 審題② 設矩形ABCD的周長為L，由對稱性不妨設|m|≥|n|，則kBC-kAB=c-a=n-m=n+， 所以L=|AB|+|BC| 審題① =(b-a)+(c-b)≥(c-a)=n+.
　　由n>0，易知n+>0， 則令f(x)=x+2(1+x2)，x>0，則f'(x)=2x+22x-， 審題③ 令f'(x)=0，解得x=. 當x∈0，時，f'(x)<0，f(x)單調遞減； 當x∈，+∞時，f'(x)>0，f(x)單調遞增. 故f(x)min=f=，故L≥=，即L≥3. 當L=3時，n=，m=-，且(b-a)=(b-a)，即當|m|=|n|時等號成立，矛盾.故L>3.得證.
【通性通法】
　　圓錐曲線中范圍問題的四個解題策略
1.利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍.
2.利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系.
3.利用已知或隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍.
4.利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍.
【培優訓練】
從求三角形周長范圍變到求面積范圍
(2024·山東模擬)已知雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的實軸長為2，(，-1)是拋物線E：x2=2py的準線與C的一個交點.
(1)求雙曲線C和拋物線E的方程；
(2)若過雙曲線C上一點P作拋物線E的切線，切點分別為A，B，求△PAB面積的取值范圍.
解析　(1)由題意得，a=1，又點(，-1)在雙曲線上，所以7-=1，解得b2=，故雙曲線方程為x2-6y2=1.
又點(，-1)在拋物線E：x2=2py的準線上，所以=1，即p=2，故拋物線E的方程為x2=4y.
(2)顯然直線AB的斜率存在，故設直線AB的方程為y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
聯立得x2-4kx-4m=0，
所以x1+x2=4k，x1x2=-4m，又E：y=x2，y'=x，
故切線AP：y-y1=x1(x-x1)，結合y1=整理得y=x1x-，同理，切線BP：y=x2x-，
聯立
解得即
故P(2k，-m).
又S△PAB=|x1-x2|·=|k2+m|=4|k2+m，且(2k)2-6(-m)2=1，即k2=，所以S△PAB=4|k2+m=|6m2+4m+1=6m+2+，
又P(2k，-m)在雙曲線上，且m∈R，所以S△PAB=6m+2+≥=，故△PAB面積的取值范圍為，+∞.培優課17 圓錐曲線中的最值、范圍問題
培優點一　最值問題
【審題指導】
(2023·全國甲卷)已知直線x-2y+1=0與拋物線C：y2=2px(p>0)交于A，B兩點，且.
(1)求p；
(2)設F為C的焦點，M，N為C上兩點，，求.
【通性通法】
圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：
1.幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決.
2.代數法，若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可先建立起目標函數，再求這個函數的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導數法求解.
【培優訓練】
從拋物線變到橢圓
(2024·山東模擬)已知橢圓C：+=1(a>b>0)的離心率為，且經過點P(1，).
(1)求橢圓C的方程；
(2)若A，B為橢圓C上兩點，直線PA與PB的傾斜角互補，求△PAB面積的最大值.
培優點二　范圍問題
【審題指導】
(2023·新高考Ⅰ卷節選)在直角坐標系xOy中，已知矩形ABCD有三個頂點在曲線y=x2+上，證明：.
【通性通法】
　　圓錐曲線中范圍問題的四個解題策略
1.利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍.
2.利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系.
3.利用已知或隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍.
4.利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍.
【培優訓練】
從求三角形周長范圍變到求面積范圍
(2024·山東模擬)已知雙曲線C：-=1(a>0，b>0)的實軸長為2，(，-1)是拋物線E：x2=2py的準線與C的一個交點.
(1)求雙曲線C和拋物線E的方程；
(2)若過雙曲線C上一點P作拋物線E的切線，切點分別為A，B，求△PAB面積的取值范圍.

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