資源簡介

培優課18 圓錐曲線中的定點、定值問題
培優點一　定點問題
【審題指導】
(2023·全國乙卷節選)已知橢圓C：+=1，點A(-2，0)在C上， 交C于P，Q兩點，，證明：.
【通性通法】
　　求解圓錐曲線中定點問題的兩種方法
1.特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點，再證明定點與變量無關.
2.直接推理法：(1)選擇一個參數建立方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常數k當成變量，將變量x，y當成常數，將原方程轉化為kf(x，y)+g(x，y)=0的形式；
(2)根據曲線(包含直線)過定點時與參數沒有關系(即方程對參數的任意值都成立)，得到方程組
(3)以(2)中方程組的解為坐標的點就是曲線所過的定點，若定點具備一定的限制條件，可以特殊解決.
【培優訓練】
從證明線段中點為定點變為證明直線過定點
(2022·全國乙卷)已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A(0，-2)，B，-1兩點.
(1)求E的方程.
(2)設過點P(1，-2)的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足=.求證：直線HN過定點.
培優點二　定值問題
【審題指導】
已知橢圓+y2=1，O為坐標原點，，，求證：.
【通性通法】
　　圓錐曲線中定值問題的特點及兩大解法
1.特點：待證幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值.
2.兩大解法
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
(2)引進變量法：其解題流程為
【培優訓練】
從證明直線的斜率之積為定值變為證明斜率之和為定值
(2024·江蘇模擬)在平面直角坐標系xOy中，設F為橢圓C：+=1(a>b>0)的左焦點，左準線與x軸交于點P，M為橢圓C的左頂點，已知橢圓長軸長為8，且=2.
(1)求橢圓C的標準方程.
(2)若過點P的直線與橢圓交于兩點A，B，設直線AF，BF的斜率分別為k1，k2.
①求證：k1+k2為定值.
②求△ABF面積的最大值.培優課18 圓錐曲線中的定點、定值問題
培優點一　定點問題
【審題指導】
(2023·全國乙卷節選)已知橢圓C：+=1，點A(-2，0)在C上， 交C于P，Q兩點，，證明：.
【解題觀摩】
　　解析　由題意可知直線PQ的斜率存在，如圖，設PQ：y=k(x+2)+3， 審題① P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 聯立消去y得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0， 則Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1728k>0，解得k<0， 可得x1+x2=-，x1x2=， 因為A(-2，0)，所以直線AP：y=(x+2)， 審題② 令x=0，解得y=，即M0，， 審題② 同理可得N0，， 則=+ 審題③ = = = ==3， 所以線段MN的中點是定點(0，3).
【通性通法】
　　求解圓錐曲線中定點問題的兩種方法
1.特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點，再證明定點與變量無關.
2.直接推理法：(1)選擇一個參數建立方程，一般將題目中給出的曲線方程(包含直線方程)中的常數k當成變量，將變量x，y當成常數，將原方程轉化為kf(x，y)+g(x，y)=0的形式；
(2)根據曲線(包含直線)過定點時與參數沒有關系(即方程對參數的任意值都成立)，得到方程組
(3)以(2)中方程組的解為坐標的點就是曲線所過的定點，若定點具備一定的限制條件，可以特殊解決.
【培優訓練】
從證明線段中點為定點變為證明直線過定點
(2022·全國乙卷)已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A(0，-2)，B，-1兩點.
(1)求E的方程.
(2)設過點P(1，-2)的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足=.求證：直線HN過定點.
解析　(1)設橢圓E的方程為mx2+ny2=1，過A(0，-2)，B，-1，則解得m=，n=，
所以橢圓E的方程為+=1.
(2)A(0，-2)，B，-1，所以直線AB的方程為y+2=x，
①若過點P(1，-2)的直線斜率不存在，則直線為x=1，代入+=1，
可得M1，，N1，-，把y=代入AB方程y=x-2，可得T+3，，由=得到H2+5，，求得HN的方程為y=2-x-2，過點(0，-2).
②若過點P(1，-2)的直線斜率存在，
設直線MN：kx-y-(k+2)=0，M(x1，y1)，N(x2，y2).
聯立得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0，
可得
且x1y2+x2y1=，　(*)
聯立可得T+3，y1，H(3y1+6-x1，y1).
可求得此時HN的方程為y-y2=·(x-x2)，
將(0，-2)代入整理得2(x1+x2)-6(y1+y2)+x1y2+x2y1-3y1y2-12=0，
將(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0，顯然成立.
綜上，直線HN過定點(0，-2).
培優點二　定值問題
【審題指導】
已知橢圓+y2=1，O為坐標原點，，，求證：.
【解題觀摩】
　　解析　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1≠x2且x1+x2≠0. 審題① 由+=，得D(x1+x2，y1+y2)， 審題② ∴直線AB的斜率kAB=，直線OD的斜率kOD=， 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0， 即·=-， 審題③ ∴kAB·kOD=-，∴直線AB的斜率與OD的斜率的乘積為定值.
【通性通法】
　　圓錐曲線中定值問題的特點及兩大解法
1.特點：待證幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值.
2.兩大解法
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
(2)引進變量法：其解題流程為
【培優訓練】
從證明直線的斜率之積為定值變為證明斜率之和為定值
(2024·江蘇模擬)在平面直角坐標系xOy中，設F為橢圓C：+=1(a>b>0)的左焦點，左準線與x軸交于點P，M為橢圓C的左頂點，已知橢圓長軸長為8，且=2.
(1)求橢圓C的標準方程.
(2)若過點P的直線與橢圓交于兩點A，B，設直線AF，BF的斜率分別為k1，k2.
①求證：k1+k2為定值.
②求△ABF面積的最大值.
解析　(1)因為2a=8，所以a=4，又=2，所以-a=2(a-c)，所以c=2，b2=12，所以橢圓C的標準方程為+=1.
(2)①當直線AB的斜率為0時，顯然k1=k2=0，k1+k2=0.
當直線AB的斜率不為0時，設AB：x=my-8，
由得(3m2+4)y2-48my+144=0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有y1+y2=，y1y2=，
所以k1+k2=+=+=.
因為y1(my2-6)+y2(my1-6)=2my1y2-6(y1+y2)=0，所以k1+k2=0.
綜上所述，k1+k2為定值.
②S△ABF=S△PBF-S△PAF=·|PF|·|y1-y2|=，即S△ABF===≤=3，當且僅當3=，即m=±時取等號(此時符合Δ>0)，
所以△ABF面積的最大值為3.

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