資源簡介

培優課19 圓錐曲線中的求值、證明、探索性問題
培優點一　求值問題
【審題指導】
(2024·廣東模擬)設橢圓方程為+=1(a>b>0)，分別是橢圓的左、右頂點，直線l過點C(6，0)，當直線l經過點D(-2，)時，.
(1)求橢圓的方程.
(2)若直線l與橢圓交于P，Q()兩點.
①求直線；
②若直線，求直線l的方程.
【通性通法】
在解析幾何的學習中，離不開求“角度、距離、面積、比值”等量，最直接的辦法就是把這些量表示出來，這就常常需要將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，用韋達定理將所求問題或題中的關系轉化為x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的形式求解.
【培優訓練】
從求直線方程變到求角度
(2024·成都模擬)已知橢圓C：+=1(a>b>0)的右焦點為F(1，0)，M是橢圓C上異于左、右頂點A1，A2的任意一點，且直線MA1與直線MA2的斜率之積為-.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線A1M與直線x=a相交于點N，且E是線段A2N的中點，∠EFA2=，求∠EFM的大小.
+=1.
培優點二　證明問題
【審題指導】
(2024·邯鄲模擬)已知雙曲線C：-=1(a>0，b>0)過P1(2，0)，P2(0，4)，四個點中的三個點.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若，，求證：，并求出該定點的坐標.
【通性通法】
　　幾何證明問題的解題策略
1.圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如某點在某直線上、某直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數量關系(相等或不相等).
2.解決證明問題時，主要根據直線、圓錐曲線的性質，直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關的性質應用、代數式的恒等變形以及數值計算等進行證明.
【培優訓練】
從證明過定點變為證明三點共線
(2021·新高考Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為+=1(a>b>0)，右焦點為F(，0)，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程.
(2)設M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明：M，N，F三點共線的充要條件是|MN|=.
培優點三　探索性問題
【審題指導】
(2024·聊城模擬)已知M為雙曲線C：-=1(a>0)右支上除右頂點外的任意點，.
(1)求證：.
(2)已知C的左頂點A和右焦點F，.試問是否存在常數λ， 若存在，請求出λ的值；若不存在，請說明理由.
【通性通法】
　　圓錐曲線中的探索性問題
1.圓錐曲線中的探索性問題一般分為探索條件、探索結論兩種.若探索條件，則可先假設條件成立，再驗證結論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探索結論，則應先求出結論的表達式，再對其表達式解析討論，往往涉及對參數的討論.
2.圓錐曲線的探索性問題主要體現在以下幾個方面：①探索點是否存在；②探索曲線是否存在；③探索命題是否成立.解決此類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數)存在，用待定系數法設出，列出關于待定系數的方程組，若方程組有實數解，則元素(點、直線、曲線或參數)存在，否則元素(點、直線、曲線或參數)不存在.反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.
3.解決探索性問題的流程：
【培優訓練】
從角度探究變為定值探究
(2024·茂名模擬)已知F1，F2分別為雙曲線E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為漸近線上一點，且|PF1|=|PF2|，cos∠F1PF2=.
(1)求雙曲線E的離心率.
(2)若雙曲線E的實軸長為2，過點F2且斜率為k的直線l交雙曲線E的右支于不同的A，B兩點，Q為x軸上一點且滿足|QA|=|QB|，試探究是否為定值.若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.培優課19 圓錐曲線中的求值、證明、探索性問題
培優點一　求值問題
【審題指導】
(2024·廣東模擬)設橢圓方程為+=1(a>b>0)，分別是橢圓的左、右頂點，直線l過點C(6，0)，當直線l經過點D(-2，)時，.
(1)求橢圓的方程.
(2)若直線l與橢圓交于P，Q()兩點.
①求直線；
②若直線，求直線l的方程.
【解題觀摩】
　　解析　(1)依題意可得a=2， 審題① 當直線l經過點D(-2，)時，l的方程為x=-4y+6， 代入+=1，整理得(8b2+1)y2-12b2y+8b2=0， Δ=(-12b2)2-4(8b2+1)·8b2=32b2(b2-1)=0， 審題② 解得b2=1，所以橢圓的方程為+y2=1.
　　(2)①依題意可得直線l的斜率不為0， 審題③ 如圖，設l：x=my+6，P(x1，y1)，Q(x2，y2). 由得(m2+4)y2+12my+32=0，則 則kBPkBQ=== 審題④ ===. ②因為kAPkBP=·==-，所以kAP=-kBQ. 審題⑤ 又因為kAP+kBQ=-，所以kBQ=-1，則直線BQ的方程為y=-x+2， 與+y2=1聯立得Q，，所以l的方程為y=(x-6)，即y=-x+1.
【通性通法】
在解析幾何的學習中，離不開求“角度、距離、面積、比值”等量，最直接的辦法就是把這些量表示出來，這就常常需要將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，用韋達定理將所求問題或題中的關系轉化為x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的形式求解.
【培優訓練】
從求直線方程變到求角度
(2024·成都模擬)已知橢圓C：+=1(a>b>0)的右焦點為F(1，0)，M是橢圓C上異于左、右頂點A1，A2的任意一點，且直線MA1與直線MA2的斜率之積為-.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線A1M與直線x=a相交于點N，且E是線段A2N的中點，∠EFA2=，求∠EFM的大小.
解析　(1)設M(x0，y0)，x0≠±a，由已知得，A1(-a，0)，A2(a，0)，
因為直線MA1與直線MA2的斜率之積為-，所以·===-，所以-=-，又因為c=1，a2-b2=c2，所以a=2，b=，故橢圓C的標準方程為+=1.
(2)設直線A1M的方程為y=k(x+2)，k≠0.
由得N(2，4k).
因為E是線段A2N的中點，A2(2，0)，所以E(2，2k)，不妨設k>0.
又F(1，0)，∠EFA2=，
所以tan∠EFA2=tan =，解得k=.
由得x2+x-2=0，解得x=1或x=-2(舍去)，則M1，，所以MF⊥FA2，故∠EFM=∠MFA2-∠EFA2=-=.
由橢圓的對稱性可知，當k<0時，也有∠EFM=.
故∠EFM=.
培優點二　證明問題
【審題指導】
(2024·邯鄲模擬)已知雙曲線C：-=1(a>0，b>0)過P1(2，0)，P2(0，4)，四個點中的三個點.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若，，求證：，并求出該定點的坐標.
【解題觀摩】
　　解析　(1)根據雙曲線的對稱性可知， P3(-2，3)，P4(2，3)關于y軸對稱， 審題① 所以P3，P4同時在雙曲線C上，而P2(0，4)不可能在雙曲線-=1上， 則雙曲線還經過點P1(2，0)，則-=1，將點P3(-2，3)代入，可得b2=1， 所以雙曲線C的方程為-y2=1. (2)(ⅰ)當直線l的斜率存在時， 審題② 設直線l的方程為y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯立整理得(1-4k2)x2-8kmx-4m2-4=0. 由得　(*) 且x1+x2=，x1x2=. 因為P1(2，0)，所以=(x1-2，y1)，=(x2-2，y2). 因為P1A⊥P1B，所以·=0， 審題③ 即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0，所以x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0， 即(1+k2)x1x2+(km-2)(x1+x2)+4+m2=0， 所以(1+k2)+(km-2)+4+m2=0，
　　化簡得3m2+16km+20k2=0，即(3m+10k)(m+2k)=0， 審題④ 所以m=-k或m=-2k，且均滿足(*). 當m=-2k時，直線l的方程為y=k(x-2)， 直線l過定點(2，0)，即點P1，不符合題意，舍去； 當m=-k時，直線l的方程為y=kx-， 直線l過定點，0，符合題意. (ⅱ)當直線l的斜率不存在時，設l的方程為x=n(|n|>2)， 由解得 因為P1A⊥P1B，P1(2，0)，所以|yA|=|n-2|，即=(n-2)2， 所以-1=n2-4n+4，即3n2-16n+20=0， 解得n=2(舍去)或n=， 所以直線l的方程為x=，直線l過點，0. 綜上所述，直線l經過一個不在雙曲線C上的定點，定點的坐標為，0.
【通性通法】
　　幾何證明問題的解題策略
1.圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如某點在某直線上、某直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數量關系(相等或不相等).
2.解決證明問題時，主要根據直線、圓錐曲線的性質，直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關的性質應用、代數式的恒等變形以及數值計算等進行證明.
【培優訓練】
從證明過定點變為證明三點共線
(2021·新高考Ⅱ卷)已知橢圓C的方程為+=1(a>b>0)，右焦點為F(，0)，且離心率為.
(1)求橢圓C的方程.
(2)設M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明：M，N，F三點共線的充要條件是|MN|=.
解析　(1)由題意知，橢圓的半焦距c=，且e==，所以a=.又b2=a2-c2=1，所以橢圓方程為+y2=1.
(2)由(1)得，曲線方程為x2+y2=1(x>0)，
當直線MN的斜率不存在時，直線MN的方程為x=1，不合題意；
當直線MN的斜率存在時，設M(x1，y1)，N(x2，y2).
證必要性：若M，N，F三點共線，
則可設直線MN的方程為y=k(x-)，即kx-y-k=0.
由直線MN與曲線x2+y2=1(x>0)相切可得=1，解得k=±1.
聯立可得4x2-6x+3=0，
所以x1+x2=，x1·x2=，
所以|MN|=·=，故必要性成立.
證充分性：設直線MN的方程為y=kx+m(km<0)，即kx-y+m=0，
由直線MN與曲線x2+y2=1(x>0)相切，得=1，
所以m2=k2+1，
聯立可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0，
所以x1+x2=-，x1·x2=，
所以|MN|=·
=
=·=，
化簡得(k2-1)2=0，所以k=±1，所以或
所以直線MN的方程為y=x-或y=-x+，
所以直線MN過點F(，0)，即M，N，F三點共線，故充分性成立.
故M，N，F三點共線的充要條件是|MN|=.
培優點三　探索性問題
【審題指導】
(2024·聊城模擬)已知M為雙曲線C：-=1(a>0)右支上除右頂點外的任意點，.
(1)求證：.
(2)已知C的左頂點A和右焦點F，.試問是否存在常數λ， 若存在，請求出λ的值；若不存在，請說明理由.
【解題觀摩】
　　解析　(1)因為雙曲線C的一條漸近線與直線x+y-2=0互相垂直， 所以其中一條漸近線的斜率為， 審題① 則=，則a=1，所以雙曲線C的方程為x2-=1. 設點M的坐標為(x0，y0)，則-=1，即3-=3. 雙曲線的兩條漸近線l1，l2的方程分別為x-y=0，x+y=0， 則點M到兩條漸近線的距離分別為d1=，d2=， 審題② 則d1d2=·==，
　　所以點M到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為定值. (2)存在λ=2. ①當x0=2時，|MF|=|AF|=3，又N是AM的中點， 審題③ 所以∠AFN=∠MFN=45°，所以∠AFM=2∠AFN，此時λ=2. ②當x0≠2時， (ⅰ)當M在x軸上方時，由A(-1，0)，M(x0，y0)，可得kAM=， 所以直線AM的方程為y=(x+1)， 把x=代入得N，， 所以kNF==-，則tan∠AFN=. 審題④ 由二倍角公式，可得tan 2∠AFN===. 因為直線MF的斜率kMF=及tan∠AFM=-kMF， 所以tan∠AFM=，則tan∠AFM=tan 2∠AFN. 因為∠AFM∈(0，π)，∠AFN∈0，，所以∠AFM=2∠AFN. (ⅱ)當M在x軸下方時，同理可得∠AFM=2∠AFN. 故存在λ=2，使得∠AFM=2∠AFN.
【通性通法】
　　圓錐曲線中的探索性問題
1.圓錐曲線中的探索性問題一般分為探索條件、探索結論兩種.若探索條件，則可先假設條件成立，再驗證結論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探索結論，則應先求出結論的表達式，再對其表達式解析討論，往往涉及對參數的討論.
2.圓錐曲線的探索性問題主要體現在以下幾個方面：①探索點是否存在；②探索曲線是否存在；③探索命題是否成立.解決此類問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數)存在，用待定系數法設出，列出關于待定系數的方程組，若方程組有實數解，則元素(點、直線、曲線或參數)存在，否則元素(點、直線、曲線或參數)不存在.反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.
3.解決探索性問題的流程：
【培優訓練】
從角度探究變為定值探究
(2024·茂名模擬)已知F1，F2分別為雙曲線E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，P為漸近線上一點，且|PF1|=|PF2|，cos∠F1PF2=.
(1)求雙曲線E的離心率.
(2)若雙曲線E的實軸長為2，過點F2且斜率為k的直線l交雙曲線E的右支于不同的A，B兩點，Q為x軸上一點且滿足|QA|=|QB|，試探究是否為定值.若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.
解析　(1)由|PF1|=|PF2|，可設|PF1|=x，|PF2|=x，
在△PF1F2中，因為cos∠F1PF2=，
所以|F1F2|2=7x2+3x2-2x·x·=4x2，
即|F1F2|=2x，
所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即△PF2F1為直角三角形，
所以在△OF2P(O為坐標原點)中，PF2⊥OF2，|PF2|=x，|OF2|=x，所以==，則雙曲線的離心率e====2.
(2)由(1)可知在雙曲線E中有=且實軸長為2，
所以a=1，b=，所以雙曲線E的方程為x2-=1.
由于F2(2，0)，故設直線l的方程為y=k(x-2)，
聯立可得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0，
因為直線l與雙曲線右支交于不同的兩點，所以解得k2>3.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=，x1x2=，
則=，=k-2=，
即AB的中點坐標為，.
因為Q為x軸上一點，滿足|QA|=|QB|，所以Q為AB的垂直平分線與x軸的交點，
則AB的垂直平分線的方程為y-=-x-，
令y=0，則x=，即Q，0，
所以|QF2|=-2=，
又|AB|=·
=·=，
且A，B在雙曲線的右支上，所以|AF1|-|AF2|=2a=2，|BF1|-|BF2|=2，所以|AF1|+|BF1|-|AF2|-|BF2|=4，
即|AF1|+|BF1|-4=|AB|，
故===2，
即為定值，定值為2.

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