資源簡介

培優(yōu)課20 概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識的交匯問題
培優(yōu)點(diǎn)一　概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問題(馬爾科夫鏈問題)
【審題指導(dǎo)】
(2024·杭州模擬)馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個重要模型，其數(shù)學(xué)定義：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即.現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈.假如一名學(xué)生參與一個知識答題競賽，每一題答對的概率為50%，且每答對一題可以獲得1個積分，每一題答錯的概率為50%，且答錯一題就要扣掉1個積分.該學(xué)生只有遇到如下兩種情況才會結(jié)束答題：一種是累計(jì)積分為0；一種是達(dá)到預(yù)期的B個積分.記該學(xué)生的初始積分為A(A∈N*，A當(dāng)該學(xué)生的積分為n(0≤n≤B，n∈N)時(shí)，最終累計(jì)積分為0的概率為P(n)，請回答下列問題：
(1)請直接寫出的數(shù)值.
(2)證明，并寫出公差d.
(3)當(dāng)A=100時(shí)，分別計(jì)算當(dāng)B=200，B=1000時(shí)，.
【解題觀摩】
　　解析　(1)當(dāng)n=0時(shí)，該學(xué)生累計(jì)積分為0，因此P(0)=1； 審題③ 當(dāng)n=B時(shí)，該學(xué)生停止答題，因此累計(jì)積分為0的概率P(B)=0. 審題③ (2)記事件M：“該學(xué)生初始積分為n，且最后累計(jì)積分為0”，事件N：“該學(xué)生的初始積分為n，且上一題答對”， 則P(M)=P(N)P(M|N)+P()P(M|)， 審題①④ 即P(n)=P(n-1)+P(n+1)， 審題② 所以P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n)，所以{P(n)}是一個等差數(shù)列， 設(shè)P(n)-P(n-1)=d，則P(n-1)-P(n-2)=d，…，P(1)-P(0)=d， 累加得P(n)-P(0)=nd，故P(B)-P(0)=Bd，得d=-. (3)當(dāng)A=100時(shí)，由P(n)-P(0)=nd得P(A)-P(0)=Ad，即P(A)=1-， 審題⑤ 當(dāng)B=200時(shí)，P(A)=50%， 當(dāng)B=1000時(shí)，P(A)=90%.
【通性通法】
概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列交匯在一起進(jìn)行考查時(shí)，一般通過全概率公式以遞推數(shù)列的方式出現(xiàn).因此在解答此類題時(shí)，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所屬的事件類型，分析概率所滿足的數(shù)列模型是關(guān)鍵.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
從等差數(shù)列變到等比數(shù)列
(2023·新高考Ⅰ卷節(jié)選)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第i次投籃的人是甲的概率.
解析　(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，
所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)·P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6.
(2)設(shè)P(Ai)=pi，依題可知，P(Bi)=1-pi，則
P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi)，
即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2，
構(gòu)造等比數(shù)列{pi+λ}，
設(shè)pi+1+λ=(pi+λ)，
解得λ=-，
則pi+1-=pi-，
又p1=，p1-=，
所以pi-是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即pi-=×i-1，
所以pi=×i-1+.
培優(yōu)點(diǎn)二　概率、統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題
【審題指導(dǎo)】
某地區(qū)為居民集體篩查某傳染病毒，需要進(jìn)行樣本檢測，現(xiàn)有k(k∈N*，k≥2)份樣本，有兩種檢驗(yàn)方案.方案一：逐份檢驗(yàn)，則.方案二：混合檢驗(yàn)，將k份樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)一次，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則k份樣本均為陰性，若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了確定k份樣本的陽性樣本，則對k份樣本再逐一檢驗(yàn).逐份檢驗(yàn)和混合檢驗(yàn)中的每一次檢驗(yàn)的費(fèi)用都是16元，且k份樣本混合檢驗(yàn)一次需要額外收20元的材料費(fèi)和服務(wù)費(fèi).假設(shè)在接受檢驗(yàn)的樣本中，每份樣本是否為陽性是相互獨(dú)立的，且據(jù)統(tǒng)計(jì)每份樣本是陰性的概率為p(0(1)若k(k∈N*，k≥2)份樣本采用混合檢驗(yàn)方案，需要檢驗(yàn)的，求X分布列及數(shù)學(xué)期望.
(2)①若k=5，p>，，試說明該單位選擇方案二的合理性；
②若p=，采用，求k的最大值.
參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 7≈1.9，ln 10≈2.3，ln 11≈2.4.
【解題觀摩】
　　解析　(1)X的所有可能值為1和k+1， P(X=1)=pk，P(X=k+1)=1-pk， 審題①② 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X1k+1Ppk1-pk
　　所以E(X)=1×pk+(k+1)×(1-pk)=k+1-kpk. (2)①設(shè)方案二的總費(fèi)用為Y，方案一的總費(fèi)用為Z，則Y=16X+20， 所以方案二的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=16E(X)+20=16(k+1-kpk)+20， 又k=5，所以E(Y)=16(6-5p5)+20=-80p5+116， 又方案一的總費(fèi)用為Z=5×16=80， 所以Z-E(Y)=80-(-80p5+116)=80p5-36， 審題③ 當(dāng)p>時(shí)，0.450， 所以Z>E(Y)，所以該單位選擇方案二合理. ②由①知方案二的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望E(Y)=16E(X)+20=16(k+1-kpk)+20， 當(dāng)p=時(shí)，E(Y)=16k+1-kk+20=16k+-k， 又方案一的總費(fèi)用為Z=16k， 令E(Y)， 即lnk>ln ，所以ln k--ln >0， 設(shè)f(x)=ln x--ln ，x∈[2，+∞)， 審題④ 則f'(x)=-=，x∈[2，+∞)， 令f'(x)>0得2≤x<7，令f'(x)<0得x>7， 所以f(x)在區(qū)間[2，7)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(7，+∞)上單調(diào)遞減， 所以f(x)max=f(7)=ln 7-1-2(ln 3-ln 2)≈0.1>0， f(8)=3ln 2--2(ln 3-ln 2)=5ln 2-2ln 3-≈1.3->0， f(9)=2ln 3--2(ln 3-ln 2)=2ln 2-≈1.4->0， f(10)=ln 10--2(ln 3-ln 2)≈1.5->0， f(11)=ln 11--2(ln 3-ln 2)≈1.6->0， f(12)=ln 12--2(ln 3-ln 2)=4ln 2-ln 3-≈1.7-<0， 所以k的最大值為11.
【通性通法】
　　在概率與統(tǒng)計(jì)的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率.決策方案的最佳選擇是概率最大(小)值或均值最大(小)值.因此解決此類最值問題往往會將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求解.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
從數(shù)學(xué)期望的最值變到概率的最值
(2024·沈陽模擬)在春節(jié)期間，為了進(jìn)一步發(fā)揮電子商務(wù)在活躍消費(fèi)市場方面的積極作用，保障人民群眾度過一個平安健康快樂祥和的新春佳節(jié)，甲公司和乙公司在某購物平臺上同時(shí)開啟了打折促銷，直播帶年貨活動，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭關(guān)系.
(1)若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個公司的直播間進(jìn)行購物，第一天他等可能地從甲、乙兩家中選一家直播間購物.如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.7；如果第一天去乙直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.8.求小李第二天去乙直播間購物的概率.
(2)元旦期間，甲公司購物平臺直播間進(jìn)行“秒殺”活動，假設(shè)直播間每人下單成功的概率均為p(0解析　(1)由題設(shè)，小李第二天去乙直播間的基本事件有{第一天去甲直播間，第二天去乙直播間}，{第一天去乙直播間，第二天去乙直播間}，共兩種情況，
所以小李第二天去乙直播間購物的概率P=0.5×(1-0.7)+0.5×(1-0.8)=0.25.
(2)設(shè)五人中下單成功的人數(shù)為X，則X~B(5，p)，
所以f(p)=(1-p)3p2=10(1-p)3p2，
令g(p)=(1-p)3p2=p2-3p3+3p4-p5，0所以g'(p)=p(2-9p+12p2-5p3)，
令h(p)=2-9p+12p2-5p3，0所以h'(p)=-9+24p-15p2=-15p-2+，
h'(p)的圖象開口向下，且h'(p)在0，上單調(diào)遞增，在，1上單調(diào)遞減，
又h'=h'(1)=0，所以在0，上，h'(p)<0，h(p)單調(diào)遞減；
在，1上，h'(p)>0，h(p)單調(diào)遞增.
由h=0，h(1)=0可知，在0，上h(p)>0，
即g'(p)>0，
在，1上，h(p)<0，即g'(p)<0，
所以g(p)在0，上單調(diào)遞增，在，1上單調(diào)遞減，
即f(p)在0，上單調(diào)遞增，在，1上單調(diào)遞減，
所以f(p)max=f，即p0=.培優(yōu)課20 概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識的交匯問題
培優(yōu)點(diǎn)一　概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合問題(馬爾科夫鏈問題)
【審題指導(dǎo)】
(2024·杭州模擬)馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個重要模型，其數(shù)學(xué)定義：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即.現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈.假如一名學(xué)生參與一個知識答題競賽，每一題答對的概率為50%，且每答對一題可以獲得1個積分，每一題答錯的概率為50%，且答錯一題就要扣掉1個積分.該學(xué)生只有遇到如下兩種情況才會結(jié)束答題：一種是累計(jì)積分為0；一種是達(dá)到預(yù)期的B個積分.記該學(xué)生的初始積分為A(A∈N*，A當(dāng)該學(xué)生的積分為n(0≤n≤B，n∈N)時(shí)，最終累計(jì)積分為0的概率為P(n)，請回答下列問題：
(1)請直接寫出的數(shù)值.
(2)證明，并寫出公差d.
(3)當(dāng)A=100時(shí)，分別計(jì)算當(dāng)B=200，B=1000時(shí)，.
【解題觀摩】
　　解析　(1)當(dāng)n=0時(shí)，該學(xué)生累計(jì)積分為0，因此P(0)=1； 審題③ 當(dāng)n=B時(shí)，該學(xué)生停止答題，因此累計(jì)積分為0的概率P(B)=0. 審題③ (2)記事件M：“該學(xué)生初始積分為n，且最后累計(jì)積分為0”，事件N：“該學(xué)生的初始積分為n，且上一題答對”， 則P(M)=P(N)P(M|N)+P()P(M|)， 審題①④ 即P(n)=P(n-1)+P(n+1)， 審題② 所以P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n)，所以{P(n)}是一個等差數(shù)列， 設(shè)P(n)-P(n-1)=d，則P(n-1)-P(n-2)=d，…，P(1)-P(0)=d， 累加得P(n)-P(0)=nd，故P(B)-P(0)=Bd，得d=-. (3)當(dāng)A=100時(shí)，由P(n)-P(0)=nd得P(A)-P(0)=Ad，即P(A)=1-， 審題⑤ 當(dāng)B=200時(shí)，P(A)=50%， 當(dāng)B=1000時(shí)，P(A)=90%.
【通性通法】
概率、統(tǒng)計(jì)與數(shù)列交匯在一起進(jìn)行考查時(shí)，一般通過全概率公式以遞推數(shù)列的方式出現(xiàn).因此在解答此類題時(shí)，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所屬的事件類型，分析概率所滿足的數(shù)列模型是關(guān)鍵.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
從等差數(shù)列變到等比數(shù)列
(2023·新高考Ⅰ卷節(jié)選)甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率；
(2)求第i次投籃的人是甲的概率.
培優(yōu)點(diǎn)二　概率、統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題
【審題指導(dǎo)】
某地區(qū)為居民集體篩查某傳染病毒，需要進(jìn)行樣本檢測，現(xiàn)有k(k∈N*，k≥2)份樣本，有兩種檢驗(yàn)方案.方案一：逐份檢驗(yàn)，則.方案二：混合檢驗(yàn)，將k份樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)一次，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則k份樣本均為陰性，若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了確定k份樣本的陽性樣本，則對k份樣本再逐一檢驗(yàn).逐份檢驗(yàn)和混合檢驗(yàn)中的每一次檢驗(yàn)的費(fèi)用都是16元，且k份樣本混合檢驗(yàn)一次需要額外收20元的材料費(fèi)和服務(wù)費(fèi).假設(shè)在接受檢驗(yàn)的樣本中，每份樣本是否為陽性是相互獨(dú)立的，且據(jù)統(tǒng)計(jì)每份樣本是陰性的概率為p(0(1)若k(k∈N*，k≥2)份樣本采用混合檢驗(yàn)方案，需要檢驗(yàn)的，求X分布列及數(shù)學(xué)期望.
(2)①若k=5，p>，，試說明該單位選擇方案二的合理性；
②若p=，采用，求k的最大值.
參考數(shù)據(jù)：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 7≈1.9，ln 10≈2.3，ln 11≈2.4.
【解題觀摩】
　　解析　(1)X的所有可能值為1和k+1， P(X=1)=pk，P(X=k+1)=1-pk， 審題①② 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X1k+1Ppk1-pk
　　所以E(X)=1×pk+(k+1)×(1-pk)=k+1-kpk. (2)①設(shè)方案二的總費(fèi)用為Y，方案一的總費(fèi)用為Z，則Y=16X+20， 所以方案二的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=16E(X)+20=16(k+1-kpk)+20， 又k=5，所以E(Y)=16(6-5p5)+20=-80p5+116， 又方案一的總費(fèi)用為Z=5×16=80， 所以Z-E(Y)=80-(-80p5+116)=80p5-36， 審題③ 當(dāng)p>時(shí)，0.450， 所以Z>E(Y)，所以該單位選擇方案二合理. ②由①知方案二的總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望E(Y)=16E(X)+20=16(k+1-kpk)+20， 當(dāng)p=時(shí)，E(Y)=16k+1-kk+20=16k+-k， 又方案一的總費(fèi)用為Z=16k， 令E(Y)， 即lnk>ln ，所以ln k--ln >0， 設(shè)f(x)=ln x--ln ，x∈[2，+∞)， 審題④ 則f'(x)=-=，x∈[2，+∞)， 令f'(x)>0得2≤x<7，令f'(x)<0得x>7， 所以f(x)在區(qū)間[2，7)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(7，+∞)上單調(diào)遞減， 所以f(x)max=f(7)=ln 7-1-2(ln 3-ln 2)≈0.1>0， f(8)=3ln 2--2(ln 3-ln 2)=5ln 2-2ln 3-≈1.3->0， f(9)=2ln 3--2(ln 3-ln 2)=2ln 2-≈1.4->0， f(10)=ln 10--2(ln 3-ln 2)≈1.5->0， f(11)=ln 11--2(ln 3-ln 2)≈1.6->0， f(12)=ln 12--2(ln 3-ln 2)=4ln 2-ln 3-≈1.7-<0， 所以k的最大值為11.
【通性通法】
　　在概率與統(tǒng)計(jì)的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率.決策方案的最佳選擇是概率最大(小)值或均值最大(小)值.因此解決此類最值問題往往會將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后利用導(dǎo)數(shù)求解.
【培優(yōu)訓(xùn)練】
從數(shù)學(xué)期望的最值變到概率的最值
(2024·沈陽模擬)在春節(jié)期間，為了進(jìn)一步發(fā)揮電子商務(wù)在活躍消費(fèi)市場方面的積極作用，保障人民群眾度過一個平安健康快樂祥和的新春佳節(jié)，甲公司和乙公司在某購物平臺上同時(shí)開啟了打折促銷，直播帶年貨活動，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競爭關(guān)系.
(1)若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個公司的直播間進(jìn)行購物，第一天他等可能地從甲、乙兩家中選一家直播間購物.如果第一天去甲直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.7；如果第一天去乙直播間購物，那么第二天去甲直播間購物的概率為0.8.求小李第二天去乙直播間購物的概率.
(2)元旦期間，甲公司購物平臺直播間進(jìn)行“秒殺”活動，假設(shè)直播間每人下單成功的概率均為p(0

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