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解析幾何
第八章
第1課時(shí)
直線方程
復(fù)習(xí)要求
回歸教材
(x2－x1，y2－y1)
(1，k)
向上的方向
平行或重合
[0°，180°)
正切值
tan α
夯實(shí)雙基
160°
√
2
x＋13y＋5＝0
授 人 以 漁
題型一　直線的傾斜角與斜率
√
狀元筆記
√
√
題型二　直線的方程
3x＋4y＋15＝0
2x＋3y－5＝0
狀元筆記
√
5x－2y－5＝0
2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0
題型三　直線方程的應(yīng)用
狀元筆記
(1，－4)
[3，＋∞)
2
0
2
5
看
觀
謝
謝
制
◆直線方程
數(shù)學(xué)定義：
幾何學(xué)基本概念:從平面解析幾何的角度來看，平面上的直線就是由平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)二元一次方程所表示的圖形.求兩條直線的交點(diǎn)，只需把這兩個(gè)二元一次方程聯(lián)立求解，當(dāng)這個(gè)聯(lián)立方程組無解時(shí)，兩直線平行；有無窮多解時(shí)，兩直線重合；只有一解時(shí)，兩直線相交于一點(diǎn).常用x軸正向與直線l向上方向之間所成的夾角（叫直線的傾斜角）或該角（不等于90°）的正切（稱直線的斜率）來表示平面上直線(對于x軸)的傾斜程度.可以通過斜率來判斷兩條直線是否互相平行或互相垂直，也可計(jì)算它們的夾角.直線與某個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)在該坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，稱為直線在該坐標(biāo)軸上的截距.直線在平面上的位置，由它的傾斜角和一個(gè)截距完全確定.在空間，兩個(gè)平面相交時(shí)，交線為一條直線.因此，在空間直角坐標(biāo)系中，用兩個(gè)表示平面的三元一次方程聯(lián)立，作為它們相交所得直線的方程.
空間直線的方向：
空間直線的方向用一個(gè)與該直線平行的非零向量來表示，該向量稱為這條直線的一個(gè)方向向量.直線在空間中的位置， 由它經(jīng)過的空間一點(diǎn)及它的一個(gè)方向向量完全確定.在歐幾里得幾何學(xué)中，直線只是一個(gè)直觀的幾何對象.在建立歐幾里得幾何學(xué)的公理體系時(shí)，直線與點(diǎn)、平面等都是不加定義的，它們之間的關(guān)系則由所給公理刻畫.
關(guān)系式：
1.直線的斜率：k= (x1≠x2)
(1)一般式:適用于所有直線 Ax+By+C=0 (其中A、B不同時(shí)為0)
兩直線平行時(shí)：
① ；
②與直線Ax+By+C=0 平行的直線可設(shè)為 Ax+By+C1=0，
兩直線垂直時(shí)：A1A2+B1B2=0，
兩直線重合時(shí)：，（A2，B2，C2≠0）
兩直線相交時(shí)：.（A2，B2≠0）
(2)點(diǎn)斜式:知道直線上一點(diǎn)(x0,y0),并且直線的斜率k存在，則直線可表示為 y-y0=k(x-x0) ；
當(dāng)k不存在時(shí)，直線可表示為 x=x0.
(3)截距式:不適用范圍：任意與坐標(biāo)軸垂直的直線和過原點(diǎn)的直線，
知道直線與x軸交于(a,0),與y軸交于(0,b),則直線可表示為.(a≠0,b≠0)
(4)斜截式: y=kx+b (k≠0)　當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小.
對于兩直線：y=k1x+b1，y=k2x+b2
兩直線平行時(shí) k1= k2，b1≠b2
兩直線垂直時(shí) k1k2 = -1
(5)兩點(diǎn)式 ：x1≠x2，y1≠y2
　　
注意：各種形式的直線方程的局限性：
①點(diǎn)斜式和斜截式都不能表示斜率不存在的直線；
②兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線；
③截距式不能表示與坐標(biāo)軸平行或過原點(diǎn)的直線；
④直線方程的一般式中系數(shù)A、B不能同時(shí)為零．
（6）兩平行直線間的距離：.
2.與坐標(biāo)軸垂直的直線方程：
（1）若直線過點(diǎn)P（x0，y0）且垂直于x軸，則直線方程為x=x0，
（2）若直線過點(diǎn)P（x0，y0）且垂直于y軸，則直線方程為y=y0.
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