資源簡介

(共71張PPT)
第4課時
直線與圓、圓與圓的位置
關(guān)系
復習要求
回歸教材
>
＝
<
相交
相切
相離
>
＝
<
＝
<
x0x＋y0y＝r2
夯實雙基
√
√
√
x＝－1(或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0)
授 人 以 漁
題型一　直線與圓的位置關(guān)系
√
√
√
√
狀元筆記
√
√
題型二　圓的切線
狀元筆記
√
題型三　圓的弦長
2
狀元筆記
x＝0或3x＋4y－4＝0
√
題型四　圓與圓的位置關(guān)系
狀元筆記
√
√
√
x－2y＋4＝0
課 外 閱 讀
√
√
√
√
√
√
√
√
√
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
5
2
0
2
5
看
觀
謝
謝
制
◆第4課時-直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
【課標解讀】
【課程標準】
1.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.
2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考的熱點內(nèi)容之一,其中直線與圓相切及直線與圓相交是重點考查的內(nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).
預測 預計2025年高考直線與圓、圓的位置關(guān)系仍會出題,一般在選擇題或填空題中出現(xiàn).
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r)
位置關(guān)系 相離 相切 相交
圖形
量化 方程觀點 Δ<0 Δ=0 Δ>0
幾何觀點 d>r d=r d微點撥 判斷直線與圓的位置關(guān)系,常用幾何法而不用代數(shù)法.
微思考 當某直線所過定點A在圓上時,該直線與圓有何位置關(guān)系
提示:直線與圓相交或相切.
2.圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),
圓O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).
位置關(guān)系 方法 公切線條數(shù)
幾何法:圓心距d與r1,r2的關(guān)系 代數(shù)法:聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況
外離 d>r1+r2 無解 4
外切 d=r1+r2 一組實數(shù)解 3
相交 |r1-r2|內(nèi)切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一組實數(shù)解 1
內(nèi)含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 無解 0
3.直線被圓截得的弦長
(1)幾何法:弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形,弦長|AB|=2.
(2)代數(shù)法:設(shè)直線y=kx+m與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于點M,N,代入,消去y,得關(guān)于x的一元二次方程,則|MN|=·.
常用結(jié)論
1.圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過圓x2+y2=r2(r>0)上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.
(2)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.
2.當兩圓外切時,兩圓有一條內(nèi)公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線;當兩圓內(nèi)切時,兩圓有一條外公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線.
3.兩圓相交時公共弦的性質(zhì)
圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(+-4F2>0)相交時:
(1)將兩圓方程直接作差,消去x2,y2得到兩圓公共弦所在直線方程;
(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2).
基礎(chǔ)診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2,3 5 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若直線與圓有公共點,則直線與圓相交或相切.(　 √　)
提示:(1)直線與圓有一個公共點,則直線與圓相切,有兩個公共點,則直線與圓相交,故(1)正確;
(2)若兩圓沒有公共點,則兩圓一定外離.(　 ×　)
提示:(2)兩圓沒有公共點,則兩圓外離或內(nèi)含,故(2)錯誤;
(3)若兩圓外切,則兩圓有且只有一個公共點,反之也成立.(　 ×　)
提示:(3)若兩圓外切,則兩圓有且只有一個公共點;若兩圓有且只有一個公共點,則兩圓外切或內(nèi)切,故(3)錯誤;
(4)若兩圓有公共點,則|r1-r2|≤d≤r1+r2.(　 √　)
提示:(4)若兩圓有公共點,則兩圓外切或相交或內(nèi)切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正確.
2.(選擇性必修第一冊人AP96例5變條件)圓O1:x2+y2-4y+3=0和圓O2:x2+y2-16y=0的位置關(guān)系是(　　)
A.外離　 B.相交　 C.相切　 D.內(nèi)含
【解析】選D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O(shè)1(0,2),r1=1,
O2(0,8),r2=8,==6,則=63.(選擇性必修第一冊人AP93練習T3變條件)直線x-y+3=0被圓(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦長等于(　　)
A.　 B.　 C.2　 D.
【解析】選D.圓心(-2,2)到直線x-y+3=0的距離d=,圓的半徑r=,解直角三角形得,半弦長為,所以弦長等于.
4.(2022·天津高考)若直線x-y+m=0(m>0)與圓(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦長為m,則m=__________.
【解析】因為圓心C(1,1)到直線x-y+m=0(m>0)的距離d=,
又直線與圓相交所得的弦長為m,所以m=2,所以m2=4(3-),解得m=2.
答案:2
5.(忽視直線斜率不存在的情形致誤)過點P(,2)的圓C:x2+(y-1)2=2的切線方程為______________________.
【解析】由圓C方程知:圓心C(0,1),半徑r=;
當過P的直線斜率不存在,即直線方程為
x=時,直線與圓C相切;
設(shè)過P點且斜率存在的圓C的切線方程為y-2=k(x-),即kx-y-k+2=0,
則圓心C到直線的距離d==,即k=-,所以該切線方程為-x-y+=0,
即x+2y-5=0;
綜上所述:所求切線方程為x=或x+2y-5=0.
答案:x=或x+2y-5=0
【核心考點·分類突破】
考點一 直線與圓的位置關(guān)系
考情提示
直線與圓相切求切線方程以及直線與圓相交求弦長是高考的重點,正確利用圓心到直線的距離與半徑之間的關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵.
角度1 直線與圓的位置關(guān)系的判斷
[例1](1)(一題多法)已知圓C:x2+y2-6x-8y+21=0和直線l:kx-y+3-4k=0的位置關(guān)系是(　　)
A.相交、相切或相離　 B.相交或相切
C.相交　 D.相切
【解析】選C.圓C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圓心為C(3,4),半徑為r=2.
方法一　直線l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直線l過定點B(4,3).
(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以點B(4,3)在圓C內(nèi),所以直線l與圓C相交.
方法二　圓心C(3,4)到直線l:kx-y+3-4k=0的距離為
===≤<4,所以直線與圓相交.
(2)(多選題)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2,點A(a,b),則下列說法正確的是(　　)
A.若點A在圓C上,則直線l與圓C相切
B.若點A在圓C內(nèi),則直線l與圓C相離
C.若點A在圓C外,則直線l與圓C相離
D.若點A在直線l上,則直線l與圓C相切
【解析】選ABD.圓心C(0,0)到直線l的距離d=,若點A(a,b)在圓C上,
則a2+b2=r2,所以d==r,則直線l與圓C相切,故A正確;
若點A(a,b)在圓C內(nèi),則a2+b2r,
則直線l與圓C相離,故B正確;
若點A(a,b)在圓C外,則a2+b2>r2,所以d=則直線l與圓C相交,故C錯誤;
若點A(a,b)在直線l上,則a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以d==r,
則直線l與圓C相切,故D正確.
解題技法
判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法
(1)幾何法:圓心到直線的距離與圓半徑比較大小,特點是計算量較小;
(2)代數(shù)法:將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組,通過解的情況判斷,適合于判斷直線與圓的位置關(guān)系.
角度2 弦長問題
[例2](2024·昆明模擬)已知直線y=2x與圓(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B兩點,則=(　　)
A.　 B.　 C.　 D.
【解析】選B.因為圓的方程為(x-2)2+(y-2)2=1,
所以圓心坐標為(2,2),半徑r=1,
則圓心(2,2)到直線y=2x的距離d==,
所以弦長=2=2=.
解題技法
直線和圓相交弦長的兩種求法
(1)代數(shù)法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,根據(jù)弦長公式求弦長.
(2)幾何法:若弦心距為d,圓的半徑長為r,則弦長l=2.
根據(jù)弦長求直線方程時要注意驗證斜率不存在的情況.
角度3 切線問題
[例3]已知點P(+1,2-),點M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求過點P的圓C的切線方程;
【解析】由題意得圓心C(1,2),半徑r=2.
(1)因為(+1-1)2+(2--2)2=4,
所以點P在圓C上.
又kPC==-1,
所以切線的斜率k=-=1.
所以過點P的圓C的切線方程是y-(2-)=x-(+1),即x-y+1-2=0.
(2)求過點M的圓C的切線方程,并求出切線長.
【解析】(2)因為(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以點M在圓C外部.
當過點M的直線斜率不存在時,直線方程為x=3,即x-3=0.
又點C(1,2)到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r,
即此時滿足題意,所以直線x=3是圓的切線.
當切線的斜率存在時,設(shè)切線方程為y-1=k(x-3),
即kx-y+1-3k=0,
則圓心C到切線的距離d==r=2,解得k=.
所以切線方程為y-1=(x-3),即3x-4y-5=0.
綜上可得,過點M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0.
因為|MC|==,
所以過點M的圓C的切線長為==1.
解題技法
1.過一點求圓的切線方程的兩種求法
(1)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組,消元后得到一個一元二次方程,然后令判別式Δ=0進而求得k.注意斜率不存在的情況.
(2)幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進而求出k.注意斜率不存在的情況.
特別地,當點在圓上時,可直接利用圓心與切點的連線的斜率及切線的性質(zhì)求切線方程.
2.過圓外一點P引圓的切線,求切線長時,常利用點P、圓心、切點構(gòu)成的直角三角形求解.
對點訓練
1.(2024·南京模擬)直線3x+4y+12=0與圓(x-1)2+(y+1)2=9的位置關(guān)系是(　　)
A.過圓心　 B.相切
C.相離　 D.相交但不過圓心
【解析】選D.由題意知,圓(x-1)2+(y+1)2=9的圓心為(1,-1),半徑r=3,
則圓心到直線3x+4y+12=0的距離d==,
因為02.過點(-,0)且傾斜角為的直線l交圓x2+y2-6y=0于A,B兩點,則弦AB的長
為(　　)
A.4　 B.2　 C.2　 D.
【解析】選A.過點(-,0)且傾斜角為的直線l的方程為y=(x+),即x-y+1=0,
又圓x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,所以圓心(0,3),半徑r=3,
則圓心(0,3)到直線l的距離d==1,
所以直線被圓截得的弦AB=2=4.
3.(2024·東城模擬)已知點M(1,)在圓C:x2+y2=m上,過M作圓C的切線l,則l的傾斜角為(　　)
A.30°　 B.60°　 C.120°　 D.150°
【解析】選D.由題意得m=1+3=4,
當l的斜率不存在時,此時直線方程為x=1,與圓C:x2+y2=4相交,不符合題意;
當l的斜率存在時,設(shè)切線l的方程為y-=k(x-1),
則=2,解得k=-,因為l的傾斜角為0°≤θ<180°,故l的傾斜角為150°.
【加練備選】
　　(2024·宜春模擬)已知圓C經(jīng)過三點O(0,0),A(1,1),B(4,2).
(1)求圓C的方程;
【解析】(1)設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
由圓C經(jīng)過三點O(0,0),A(1,1),B(4,2),
得,解得,
所以圓C的方程為x2+y2-8x+6y=0.
(2)經(jīng)過點M(1,-4)的直線l被圓C所截得的弦長為4,求直線l的方程.
【解析】(2)由(1)知圓C:(x-4)2+(y+3)2=25,即圓心C(4,-3),半徑為5,
由直線l被圓C所截得的弦長為4,得圓心C到直線l的距離d==,
而直線l經(jīng)過點M(1,-4),顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y+4=k(x-1),
即kx-y-4-k=0,于是d==,得k=2或k=-,
所以直線l的方程為2x-y-6=0或x+2y+7=0.
考點二 圓與圓的位置關(guān)系
[例4](1)已知圓E的圓心在y軸上,且與圓x2+y2-2x=0的公共弦所在直線的方程為x-y=0,則圓E的方程為(　　)
A.x2+(y-)2=2 B.x2+(y+)2=2
C.x2+(y-)2=3 D.x2+(y+)2=3
【解析】選C.兩圓圓心連線與公共弦垂直,不妨設(shè)所求圓心的坐標為(0,a),
半徑為r.
又圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1,故×=-1,解得a=.
故所求圓心為(0,).點(1,0)到直線x-y=0的距離為=,
所以x2+y2-2x=0截直線x-y=0所得弦長為2=,圓心(0,)到直線x-y=0的距離為,
所以圓截直線x-y=0所得弦長為2=,解得r=.
故圓心坐標為(0,),半徑為.
得圓E的方程為x2+(y-)2=3.
(2)已知兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.
①判斷兩圓公切線的條數(shù);
【解析】①兩圓的標準方程分別為C1:(x-1)2+(y+5)2=50,
C2:(x+1)2+(y+1)2=10,
則圓C1的圓心為(1,-5),半徑r1=5;
圓C2的圓心為(-1,-1),半徑r2=.
又|C1C2|=2,r1+r2=5+,r1-r2=5-,
所以r1-r2<|C1C2|所以兩圓有兩條公切線.
②求公共弦所在的直線方程以及公共弦的長度.
【解析】②將兩圓方程相減,得公共弦所在直線方程為x-2y+4=0.圓心C1到直線x-2y+4=0的距離d==3,
設(shè)公共弦長為2l,由勾股定理得r2=d2+l2,
得50=45+l2,解得l=,所以公共弦長2l=2.
一題多變
[變式1]本例(2)中,若兩圓相交于A,B兩點,不求交點,則線段C1C2(C1,C2分別為兩個圓的圓心)的垂直平分線所在的直線方程為______________.
【解析】由圓C1的圓心坐標為(1,-5),圓C2的圓心坐標為(-1,-1),可知==-2,則kAB=,C1C2的中點坐標為(0,-3),
因此線段C1C2的垂直平分線所在的直線方程為y+3=x,即x-2y-6=0.
答案:x-2y-6=0
[變式2]本例(2)中的兩圓若相交于兩點A,B,則經(jīng)過兩點A,B且圓心在直線x+y=0上的圓的方程為______________.
【解析】設(shè)所求的圓的方程為x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),
整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,
因此圓的圓心坐標為(,-),由于圓心在x+y=0上,則+(-)=0,
解得λ=-2,
因此所求的圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0.
答案:x2+y2+6x-6y+8=0
解題技法
圓與圓的位置關(guān)系問題的解題策略
(1)判斷兩圓位置關(guān)系常用幾何法,即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對值的大小關(guān)系判斷.
(2)兩圓相交時,兩圓的公共弦所在直線的方程,可由兩圓的方程作差消去x2,y2項得到.
(3)求兩圓公共弦長,常選其中一圓,由弦心距d、半弦長、半徑r構(gòu)成直角三角形,利用勾股定理求解.
考點三 與圓有關(guān)的最值、范圍問題
[例5](2024·沈陽模擬)已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:
(1)的取值范圍;
【解析】(1)由圓的一般方程可得:圓心為(2,0),半徑r=;
因為02+02-4×0+1=1>0,
所以原點在圓x2+y2-4x+1=0的外部,
設(shè)=k,則kx-y=0(x≠0)與圓x2+y2-4x+1=0有公共點,
所以圓心(2,0)到kx-y=0(x≠0)的距離d=≤,
解得-≤k≤,
即的取值范圍為.
(2)y-x的取值范圍;
【解析】(2)設(shè)y-x=m,則直線x-y+m=0與圓x2+y2-4x+1=0有公共點,所以圓心(2,0)到x-y+m=0的距離d=≤,
解得--2≤m≤-2,
即y-x的取值范圍為.
(3)x2+y2的取值范圍.
【解析】(3)由(1)知:原點在圓x2+y2-4x+1=0的外部,
則可設(shè)x2+y2=r2(r>0),則圓x2+y2=r2(r>0)與圓x2+y2-4x+1=0有公共點,
因為兩圓圓心距d==2,
所以r-≤2≤r+,
解得2-≤r≤2+,
所以7-4≤r2≤7+4,
即x2+y2的取值范圍為.
解題技法
關(guān)于圓上點(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值問題的解法
代數(shù)式特征 求解方法
u= 轉(zhuǎn)化為過點(a,b)和點(x,y)的直線的斜率的最值
t=ax+by 轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值
(x-a)2+(y-b)2 轉(zhuǎn)化為動點(x,y)到定點(a,b)的距離平方的最值
對點訓練
(多選題)(2024·鹽城模擬)已知實數(shù)x,y滿足曲線C的方程x2+y2-2x-2=0,則下列選項正確的是(　　)
A.x2+y2的最大值是+1
B.的最大值是2+
C.|x-y+3|的最小值是2-
D.過點(0,)作曲線C的切線,則切線方程為x-y+2=0
【解析】選BD.由圓C:x2+y2-2x-2=0可化為(x-1)2+y2=3,可得圓心(1,0),半徑r=,
對于A,由x2+y2表示圓C上的點到定點(0,0)的距離的平方,所以它的最大值為=4+2,所以A錯誤;
對于B,表示圓上的點與點(-1,-1)的斜率,設(shè)=k,即y+1=k(x+1),
由圓心(1,0)到直線y+1=k(x+1)的距離d=≤,
解得2-≤k≤2+,
所以的最大值為2+,所以B正確;
對于C,由表示圓上任意一點到直線x-y+3=0的距離的倍,圓心到直線的距離d==2,所以其最小值為(2-)=4-,所以C錯誤;
對于D,因為點(0,)滿足圓C的方程,
即點(0,)在圓C上,
則該點與圓心連線的斜率為k1=-,
根據(jù)圓的性質(zhì),可得過點(0,)作圓C的切線的斜率為k=-=,
所以切線方程為y-=(x-0),
即x-y+2=0,所以D正確.
【加練備選】
　　已知點P(x,y)在圓:x2+(y-1)2=1上運動.試求:
(1)(x+)2+y2的最值;
【解析】(1)設(shè)圓x2+(y-1)2=1的圓心為A(0,1),半徑r=1,點P(x,y)在圓上,
所以(x+)2+y2表示P(x,y)到定點E(-,0)的距離的平方,
因為|AE|==2,
所以|AE|-r≤|PE|≤|AE|+r,
即1≤|PE|≤3,所以1≤(x+)2+y2≤9,
即(x+)2+y2的最大值為9,最小值為1;
(2)的最值.
【解析】(2)點P(x,y)在圓上,則表示圓上的點P與點B(2,1)連線的斜率,
根據(jù)題意畫出圖形,當P與C(或D)重合時,直線BC(BD)與圓A相切,
設(shè)直線BC的解析式為y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,
所以圓心(0,1)到直線BC的距離d=r,即=1,解得k=±,
所以-≤≤,所以的最大值為,最小值為-.

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