資源簡介

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第三節(jié)　圓的方程
1. 回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)
準(zhǔn)方程與一般方程.
2. 能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.
目 錄
CONTENTS
1
2
3
知識 體系構(gòu)建
課時 跟蹤檢測
考點 分類突破
PART
1
知識 體系構(gòu)建
必備知識 系統(tǒng)梳理 基礎(chǔ)重落實
課前自修
1. 方程 x 2＋ y 2＋ ax ＋2 ay ＋2 a 2＋ a －1＝0表示圓，則 a 的取值范圍是
（　　）
A. （－∞，－2） B. （－ ，0）
C. （－2，0） D. （－2， ）
解析：　由方程表示圓的條件得 a 2＋（2 a ）2－4（2 a 2＋ a －1）
＞0，即3 a 2＋4 a －4＜0，∴－2＜ a ＜ .
2. 圓 C ： x 2＋ y 2－2 x ＋6 y ＝0的圓心坐標(biāo)為 ；半徑 r
＝ .
解析：圓 C ： x 2＋ y 2－2 x ＋6 y ＝0，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（ x －1）2
＋（ y ＋3）2＝10，所以圓心坐標(biāo)為（1，－3），半徑為 .
3. 若坐標(biāo)原點在圓（ x － m ）2＋（ y ＋ m ）2＝4的內(nèi)部，則實數(shù) m 的
取值范圍為 .
解析：∵原點（0，0）在圓（ x － m ）2＋（ y ＋ m ）2＝4的內(nèi)部，
∴（0－ m ）2＋（0＋ m ）2＜4，解得－ ＜ m ＜ .
（1，－3）

（－ ）
4. 若圓的方程為 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0，則當(dāng)圓的面積最大時，圓
心坐標(biāo)為 .
解析：圓的方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（ x ＋
）2＋（ y ＋1）2＝1－ ，∵ r 2＝1－ ≤1，∴ k ＝0時 r 最大.此
時圓心為（0，－1）.
（0，－1）
5. （2024·徐州模擬）已知圓經(jīng)過點（3，0）和（1，－2），圓心在
直線 x ＋2 y －1＝0上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
解析：點（3，0）和（1，－2）的中點坐標(biāo)為（ ）＝
（2，－1），過點（3，0）和（1，－2）的直線的斜率為
＝1，故該兩點連接的線段的垂直平分線方程為 y ＋1＝－（ x －
2），即 x ＋ y －1＝0.聯(lián)立解得即圓心坐
標(biāo)為（1，0）.故半徑為3－1＝2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ x －1）
2＋ y 2＝4.
（ x －1）2＋ y 2＝4
1. 以 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）為直徑端點的圓的方程為（ x － x1）（ x － x 2）＋（ y － y 1）（ y － y 2）＝0.
2. 圓心在任一弦的垂直平分線上.
1. 以 A （3，－1）， B （－2，2）為直徑的圓的方程是（　　）
A. x 2＋ y 2－ x － y －8＝0
B. x 2＋ y 2－ x － y －9＝0
C. x 2＋ y 2＋ x ＋ y －8＝0
D. x 2＋ y 2＋ x ＋ y －9＝0
解析：　由結(jié)論1得，圓的方程為（ x －3）（ x ＋2）＋（ y ＋1）
（ y －2）＝0，整理得 x 2＋ y 2－ x － y －8＝0，故選A.
2. 點 M ， N 是圓 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y －4＝0上的不同兩點，且點 M ， N
關(guān)于直線 x － y ＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（　　）
A. 2 B.
C. 3 D. 9
解析：　由結(jié)論2可知直線 l ： x － y ＋1＝0經(jīng)過圓心，所以－ ＋1
＋1＝0， k ＝4.所以圓的方程為 x 2＋ y 2＋4 x ＋2 y －4＝0，圓的半徑
r ＝ ＝3，故選C.
PART
2
考點 分類突破
精選考點 典例研析 技法重悟通
課堂演練
求圓的方程
1. 圓心在 y 軸上，半徑長為1，且過點 A （1，2）的圓的方程是（　　）
A. x 2＋（ y －2）2＝1 B. x 2＋（ y ＋2）2＝1
C. （ x －1）2＋（ y －3）2＝1 D. x 2＋（ y －3）2＝4
解析：　根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為 x 2＋（ y － b ）2＝1，因為圓過
點 A （1，2），所以12＋（2－ b ）2＝1，解得 b ＝2，所以所求圓的
方程為 x 2＋（ y －2）2＝1.
2. 已知圓 C 的圓心坐標(biāo)是（0， m ），若直線2 x － y ＋3＝0與圓 C 相切
于點 A （2，7），則圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
解析：如圖所示，由圓心 C （0， m ）與切點 A 的
連線與切線垂直，得 ＝－ ，解得 m ＝8.所以
圓心坐標(biāo)為（0，8），半徑為 r ＝
.所以圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方
程為 x 2＋（ y －8）2＝5.
x 2＋（ y －8）2＝5
3. （2024·全國甲卷14題）設(shè)點 M 在直線2 x ＋ y －1＝0上，點（3，
0）和（0，1）均在☉ M 上，則☉ M 的方程為
.
解析：法一　設(shè)☉ M 的方程為（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r 2，則
解得∴☉ M 的方程為（ x －1）2
＋（ y ＋1）2＝5.
（ x －1）2＋（ y ＋
1）2＝5　
法二　設(shè)☉ M 的方程為 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D 2＋ E 2－4 F ＞
0），則 M ，
∴解得
∴☉ M 的方程為 x 2＋ y 2－2 x ＋2 y －3＝0，即（ x －1）2＋（ y ＋1）2
＝5.
法三　設(shè) A （3，0）， B （0，1），☉ M 的半徑為 r ，則 kAB ＝ ＝
－ ， AB 的中點坐標(biāo)為 ，∴ AB 的垂直平分線方程為 y － ＝3
，即3 x － y －4＝0.聯(lián)立得解得 M （1，－
1），∴ r 2＝｜ MA ｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉ M 的方
程為（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝5.
練后悟通
求圓的方程的兩種方法
與圓有關(guān)的軌跡問題
【例1】　（1）點 M 與兩個定點 O （0，0）， P （2，0）的距離的比
為3∶1，則點 M 的軌跡方程為 ；
解析：設(shè)點 M （ x ， y ），由題知 ＝3，兩邊平方化簡得2 x 2＋2 y 2－9 x ＋9＝0，即（ x － ）2＋ y 2＝ ，所以點 M 的軌跡方程為（ x － ）2＋ y 2＝ .
（ x － ）2＋ y 2＝
（2）已知Rt△ ABC 的斜邊為 AB ，且 A （－1，0）， B （3，0），則
直角頂點 C 的軌跡方程為 .
解析：法一　設(shè) C （ x ， y ），因為 A ， B ， C 三點不共線，所
以 y ≠0.因為 AC ⊥ BC ，且 BC ， AC 斜率均存在，所以 kAC · kBC
＝－1，又 kAC ＝ ， kBC ＝ ，所以 · ＝－1，化簡得 x
2＋ y 2－2 x －3＝0.因此，直角頂點 C 的軌跡方程為（ x －1）2＋
y 2＝4（ y ≠0）.
（ x －1）2＋ y 2＝4（ y ≠0）
法二　設(shè) AB 的中點為 D ，由中點坐標(biāo)公式得 D （1，0），由直角三
角形的性質(zhì)知｜ CD ｜＝ ｜ AB ｜＝2.由圓的定義知，動點 C 的軌跡
是以 D （1，0）為圓心，2為半徑的圓（由于 A ， B ， C 三點不共線，
所以應(yīng)除去與 x 軸的交點）.所以直角頂點 C 的軌跡方程為（ x －1）2
＋ y 2＝4（ y ≠0）.
解題技法
求解與圓有關(guān)的軌跡（方程）的方法
（1）直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程；
（2）定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程；
（3）幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程；
（4）代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系
式求解.
提醒　要注意題目設(shè)問是求動點的軌跡還是動點的軌跡方程.
1. 過圓 C ：（ x －3）2＋（ y ＋4）2＝4外一點 P （ x ， y ）引該圓的一
條切線，切點為 Q ， PQ 的長度等于點 P 到原點 O 的距離，則點 P 的
軌跡方程為（　　）
A. 8 x －6 y －21＝0 B. 8 x ＋6 y －21＝0
C. 6 x ＋8 y －21＝0 D. 6 x －8 y －21＝0
解析：　由題意得，圓心 C 的坐標(biāo)為（3，－4），
半徑 r ＝2，如圖.因為｜ PQ ｜＝｜ PO ｜，且 PQ ⊥
CQ ，所以｜ PO ｜2＋ r 2＝｜ PC ｜2，所以 x 2＋ y 2＋4
＝（ x －3）2＋（ y ＋4）2，即6 x －8 y －21＝0，所
以點 P 的軌跡方程為6 x －8 y －21＝0.
2. （2024·煙臺一模）若長為10的線段的兩個端點 A ， B 分別在 x 軸和
y 軸上滑動，則線段 AB 的中點 M 的軌跡為
.
解析：設(shè) M （ x ， y ）， A （ a ，0）， B （0， b ），則 ＝
10， a 2＋ b 2＝100，且∴代入 a 2＋ b 2＝100，得4
x 2＋4 y 2＝100，即 x 2＋ y 2＝25，即點 M 的軌跡為以原點（0，0）為圓
心，5為半徑的圓.
以（0，0）為圓心，5為
半徑的圓
與圓有關(guān)的最值問題
技法1　利用幾何性質(zhì)求最值
【例2】　（2024·紹興一模）已知點（ x ， y ）在圓（ x －2）2＋（ y
＋3）2＝1上.
（1）求 的最大值和最小值；
解： 可視為點（ x ， y ）與原點連線的斜率， 的最大值
和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和
最小值，即直線與圓相切時的斜率.
設(shè)過原點的直線的方程為 y ＝ kx ，由直線與圓相切得圓心到直
線的距離等于半徑，即 ＝1，解得 k ＝－2＋ 或 k ＝
－2－ ，∴ 的最大值為－2＋ ，最小值為－2－ .
（2）求 x ＋ y 的最大值和最小值；
解：設(shè) t ＝ x ＋ y ，則 y ＝－ x ＋ t ， t 可視為直線 y ＝－ x ＋ t 在 y
軸上的截距，
∴ x ＋ y 的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最
大值和最小值，即直線與圓相切時在 y 軸上的截距.
由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，
即 ＝1，解得 t ＝ －1或 t ＝－ －1.
∴ x ＋ y 的最大值為 －1，最小值為－ －1.
（3）求 的最大值和最小值.
解： ，求它
的最值可視為求點（ x ， y ）到定點（－1，2）的距離的最值，
可轉(zhuǎn)化為求圓心（2，－3）到定點（－1，2）的距離與半徑的
和或差.
又圓心到定點（－1，2）的距離為 ，
∴ 的最大值為 ＋1，最小值為 －1.
解題技法
與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法
技法2　利用對稱性求最值
【例3】　 （2024·衡水聯(lián)考）已知 A （0，2），點 P 在直線 x ＋ y ＋2
＝0上，點 Q 在圓 C ： x 2＋ y 2－4 x －2 y ＝0上，則｜ PA ｜＋｜ PQ ｜的
最小值是 .
2
解析：因為圓 C ： x 2＋ y 2－4 x －2 y ＝0，所以圓 C 是以 C （2，1）為
圓心，半徑 r ＝ 的圓.設(shè)點 A （0，2）關(guān)于直線 x ＋ y ＋2＝0的對稱
點為A'（ m ， n ），所以解得故A'
（－4，－2）.連接A'C交圓 C 于 Q （圖略），交直線 x ＋ y ＋2＝0于
P ，此時，｜ PA ｜＋｜ PQ ｜取得最小值，由對稱性可知｜ PA ｜＋｜
PQ ｜＝｜A'P｜＋｜ PQ ｜＝｜A'Q｜＝｜A'C｜－ r ＝2 .
解題技法
　　求解形如｜ PM ｜＋｜ PN ｜（其中 M ， N 均為動點）且與圓 C 上
動點有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：
（1）“動化定”，把與圓上動點的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；
（2）“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之
和，一般要通過對稱性解決.
技法3　建立函數(shù)關(guān)系求最值
【例4】　（2024·重慶模擬）設(shè)點 P （ x ， y ）是圓： x 2＋（ y －3）2
＝1上的動點，定點 A （2，0）， B （－2，0），則 · 的最大值
為 .
12
解析：由題意，知 ＝（2－ x ，－ y ）， ＝（－2－ x ，－ y ），
所以 · ＝ x 2＋ y 2－4，由于點 P （ x ， y ）是圓上的點，故其坐標(biāo)
滿足方程 x 2＋（ y －3）2＝1，故 x 2＝－（ y －3）2＋1，所以 ·
＝－（ y －3）2＋1＋ y 2－4＝6 y －12.由圓的方程 x 2＋（ y －3）2＝1，
易知2≤ y ≤4，所以當(dāng) y ＝4時， · 的值最大，最大值為6×4－12
＝12.
解題技法
　　根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)或基本不等式
的性質(zhì)求最值.
1. （2024·全國乙卷11題）已知實數(shù) x ， y 滿足 x 2＋ y 2－4 x －2 y －4＝
0，則 x － y 的最大值是（　　）
A. 1＋ B. 4
C. 1＋3 D. 7
解析：　法一　由題意，得實數(shù) x ， y 滿足（ x －2）2＋（ y －1）2
＝9，表示圓心為點（2，1），半徑為3的圓.設(shè) x － y ＝ t ，則直線 x
－ y － t ＝0與圓（ x －2）2＋（ y －1）2＝9有公共點，所以圓心到直
線 x － y － t ＝0的距離 d ＝ ≤3，解得1－3 ≤ t ≤1＋3
.故選C.
法二　由題意，得實數(shù) x ， y 滿足（ x －2）2＋（ y －1）2＝9.設(shè) x ＝2
＋3 cos θ， y ＝1＋3 sin θ，θ∈[0，2π]，則 x － y ＝1＋3 cos θ－3 sin θ
＝1＋3 · cos （θ＋ ）≤1＋3 ，當(dāng)θ＝ ＋2 k π（ k ∈Z）時取等
號.故選C.
2. 已知動點 P （ x ， y ）滿足 x 2＋ y 2－｜ x ｜－｜ y ｜＝0， O 為坐標(biāo)原
點，則｜ PO ｜的最大值是 .

解析：方程 x 2＋ y 2－｜ x ｜－｜ y ｜＝0可以轉(zhuǎn)
化為（｜ x ｜－ ）2＋（｜ y ｜－ ）2＝ ，圖
象如圖所示，所以動點 P （ x ， y ）的軌跡為原
點和四段圓弧.由于對稱性，僅考慮圓弧（ x －
）2＋（ y － ）2＝ （ x ≥0， y ≥0），顯
然，當(dāng)點 P 為（1，1）時，｜ PO ｜max＝ .
PART
3
課時 跟蹤檢測
關(guān)鍵能力 分層施練 素養(yǎng)重提升
課后練習(xí)
1. 設(shè) a ∈R，則“ a ＞2”是“方程 x 2＋ y 2＋ ax －2 y ＋2＝0表示圓”的
（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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28
解析：　方程 x 2＋ y 2＋ ax －2 y ＋2＝0表示圓，則有 D 2＋ E 2－4 F
＝ a 2＋4－8＞0，解得 a ＞2或 a ＜－2，則“ a ＞2”是“ a ＞2或 a
＜－2”的充分不必要條件，所以“ a ＞2”是“方程 x 2＋ y 2＋ ax －
2 y ＋2＝0表示圓”的充分不必要條件.故選A.
2. （2024·宿遷模擬）圓 x 2＋ y 2＋4 x －1＝0關(guān)于點（0，0）對稱的圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）
A. x 2＋ y 2－4 x －1＝0
B. x 2＋（ y －2）2＝5
C. x 2＋ y 2＋8 x ＋15＝0
D. （ x －2）2＋ y 2＝5
解析：　由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ x ＋2）2＋ y 2＝5，所以圓
心為（－2，0），半徑為 ，因為點（－2，0）關(guān)于點（0，0）
的對稱點為（2，0），所以關(guān)于點（0，0）對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（ x －2）2＋ y 2＝5，故選D.
3. 點 A 為圓（ x －1）2＋ y 2＝1上的動點， PA 是圓的切線，｜ PA ｜＝
1，則點 P 的軌跡方程是（　　）
A. （ x －1）2＋ y 2＝4 B. （ x －1）2＋ y 2＝2
C. y 2＝2 x D. y 2＝－2 x
解析：　∵｜ PA ｜＝1，∴點 P 和圓心的距離恒為 ，又圓心坐
標(biāo)為（1，0），設(shè) P （ x ， y ），∴由兩點間的距離公式，得（ x －
1）2＋ y 2＝2.
4. （2024·蘭州模擬）若點（ a ＋1， a －1）在圓 x 2＋ y 2－2 ay －4＝0
的內(nèi)部，則 a 的取值范圍是（　　）
A. a ＞1 B. 0＜ a ＜1
C. －1＜ a ＜ D. a ＜1
解析：　由題可知，半徑 r ＝ ，所以 a ∈R，把點（ a ＋
1， a －1）代入方程，則（ a ＋1）2＋（ a －1）2－2 a （ a －1）－4
＜0，解得 a ＜1，所以 a 的取值范圍是 a ＜1，故選D.
5. （多選）已知△ ABC 的三個頂點為 A （－1，2）， B （2，1）， C
（3，4），則下列關(guān)于△ ABC 的外接圓圓 M 的說法正確的是（　　）
A. 圓 M 的圓心坐標(biāo)為（1，3）
B. 圓 M 的半徑為
C. 圓 M 關(guān)于直線 x ＋ y ＝0對稱
D. 點（2，3）在圓 M 內(nèi)
解析：　設(shè)△ ABC 的外接圓圓 M 的方程為 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋
F ＝0（ D 2＋ E 2－4 F ＞0），則解得
所以△ ABC 的外接圓圓 M 的方程為 x 2＋ y 2－2 x －6 y ＋5
＝0，即（ x －1）2＋（ y －3）2＝5.故圓 M 的圓心坐標(biāo)為（1，
3），圓 M 的半徑為 ，因為直線 x ＋ y ＝0不經(jīng)過圓 M 的圓心
（1，3），所以圓 M 不關(guān)于直線 x ＋ y ＝0對稱.因為（2－1）2＋（3
－3）2＝1＜5，故點（2，3）在圓 M 內(nèi).
6. （多選）已知圓 M ： x 2＋ y 2－4 x －1＝0，點 P （ x ， y ）是圓 M 上
的動點，則下列說法正確的有（　　）
A. 圓 M 關(guān)于直線 x ＋3 y －2＝0對稱
B. 直線 x ＋ y ＝0與 M 相交，弦長為
C. t ＝ 的最大值為
D. x 2＋ y 2的最小值為9－4
解析：　圓 M 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ x －2）2＋ y
2＝5，圓心為 M （2，0），半徑 r ＝ ，圓心
M （2，0）在直線 x ＋3 y －2＝0上，所以圓 M
關(guān)于直線 x ＋3 y －2＝0對稱，A選項正確； M
（2，0）到直線 x ＋ y ＝0的距離為 d ＝ ，所以直線 x ＋ y ＝0與圓 M 相交，弦長為2 ＝2 ＝2 ，B選項錯誤； t ＝ ，表示圓上的點（ x ， y ）與點（－3，0）連
線的斜率，如圖，其最大值為 ，C選項正確；
x 2＋ y 2表示圓上的點（ x ， y ）到原點的距離的平方，其最小值為（ －2）2＝9－4 ，D選項正確.故選A、C、D.
7. （2024·石室中學(xué)模擬）已知點 P 在圓 x 2＋ y 2＝1上，點 A 的坐標(biāo)為
（6，0）， O 為原點，則 · 的取值范圍為 .
解析：依題意得－1≤ x ≤1，設(shè) P （ x ， y ），所以 ＝（－6，
0）， ＝（ x －6， y ），所以 · ＝（－6，0）·（ x －6，
y ）＝－6 x ＋36，所以當(dāng) x ＝－1時， · 有最大值42，當(dāng) x ＝1
時， · 有最小值30，所以取值范圍為[30，42].
[30，42]
8. 已知圓心為 C 的圓經(jīng)過點 A 和 B ，且圓心在直線
l ： x ＋ y －1＝0上.
（1）求圓心為 C 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r 2（ r＞0），
∵圓經(jīng)過點 A 和 B ，
且圓心在直線 l ： x ＋ y －1＝0上，
∴解得
∴圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ x －3）2＋（ y ＋2）2＝25.
（2）設(shè)點 P 在圓 C 上，點 Q 在直線 x － y ＋5＝0上，求｜ PQ ｜的最
小值.
解：∵圓心 C 到直線 x － y ＋5＝0的距離為 d ＝ ＝5
＞5，∴直線與圓 C 相離，
∴｜ PQ ｜的最小值為 d － r ＝5 －5.
9. 已知圓 C ：（ x － ）2＋（ y －1）2＝1和兩點 A （－ t ，0）， B
（ t ，0）（ t ＞0），若圓 C 上存在點 P ，使得∠ APB ＝90°，則 t 的
取值范圍是（　　）
A. （0，2] B. [1，2]
C. [2，3] D. [1，3]
解析：　圓 C ：（ x － ）2＋（ y －1）2＝1的圓心為 C （ ，
1），半徑為1，因為圓心 C 到 O （0，0）距離為2，所以圓 C 上的點
到 O （0，0）的距離最大值為3，最小值為1，又因為∠ APB ＝
90°，則以 AB 為直徑的圓和圓 C 有交點，可得｜ PO ｜＝ ｜ AB ｜
＝ t ，所以有1≤ t ≤3，故選D.
10. （2024·紹興質(zhì)檢）等邊△ ABC 的面積為9 ，且△ ABC 的內(nèi)心為
M ，若平面內(nèi)的點 N 滿足｜ MN ｜＝1，則 · 的最小值為
（　　）
A. －5－2 B. －5－4
C. －6－2 D. －6－4
解析：　設(shè)等邊△ ABC 的邊長為 a ，則面積
S ＝ a 2＝9 ，解得 a ＝6.以 AB 所在直線為
x 軸， AB 的垂直平分線為 y 軸建立如圖所示的
平面直角坐標(biāo)系.由 M 為△ ABC 的內(nèi)心，則 M 在 OC 上，且 OM ＝ OC ，則 A （－3，0）， B （3，0）， C （0，3 ）， M （0，
），由｜ MN ｜＝1，則點 N 在以 M 為圓心，1為半徑的圓上.
設(shè) N （ x ， y ），則 x 2＋（ y － ）2＝1，即 x 2＋ y 2－2 y ＋2＝0，且 －1≤ y ≤1＋ ，又 ＝（－3－ x ，－ y ）， ＝（3－ x ，－ y ），所以 · ＝（ x ＋3）（ x －3）＋ y 2＝ x 2＋ y 2－9＝2 y －11≥2 ×（ －1）－11＝－5－2 .
11. （多選）設(shè)有一組圓 Ck ：（ x － k ）2＋（ y － k ）2＝4（ k ∈R），
下列命題正確的是（　　）
A. 不論 k 如何變化，圓心 C 始終在一條直線上
B. 所有圓 Ck 均不經(jīng)過點（3，0）
C. 經(jīng)過點（2，2）的圓 Ck 有且只有一個
D. 所有圓的面積均為4π
解析：　圓心坐標(biāo)為（ k ， k ），在直線 y ＝ x 上，A正確；令
（3－ k ）2＋（0－ k ）2＝4，化簡得2 k 2－6 k ＋5＝0，∵Δ＝36－
40＝－4＜0，∴2 k 2－6 k ＋5＝0無實數(shù)根，B正確；由（2－ k ）2
＋（2－ k ）2＝4，化簡得 k 2－4 k ＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有
兩個不相等實根，∴經(jīng)過點（2，2）的圓 Ck 有兩個，C錯誤；由
圓的半徑為2，得圓的面積為4π，D正確.
12. （多選）在平面直角坐標(biāo)系中，點 A （－1，0）， B （1，0）， C
（0，7），動點 P 滿足｜ PA ｜＝ ｜ PB ｜，則（　　）
A. 點 P 的軌跡方程為（ x －3）2＋ y 2＝8
B. △ PAB 面積最大時，｜ PA ｜＝2
C. ∠ PAB 最大時，｜ PA ｜＝2
D. 點 P 到直線 AC 的距離的最小值為
解析：　設(shè) P （ x ， y ），由｜ PA ｜＝ ｜ PB ｜得，｜
PA ｜2＝2｜ PB ｜2，所以[ x －（－1）]2＋（ y －0）2＝2[（ x －
1）2＋（ y －0）2]，化簡得（ x －3）2＋ y 2＝8，A項正確；由對A
的分析知 y ∈[－2 ，2 ]，所以△ PAB 的面積 S ＝ ｜ AB ｜·｜
y ｜∈（0，2 ]，當(dāng)△ ABP 面積最大時， P 點坐標(biāo)為（3，2 ）
或（3，－2 ），此時｜ PA ｜＝
＝2 ，B項正確；
記圓（ x －3）2＋ y 2＝8的圓心為 D ，則 D （3，0），當(dāng)∠ PAB 最大時，
PA 為圓 D 的切線，連接 PD （圖略），則｜ PA ｜2＝｜ AD ｜2－｜
PD ｜2＝42－（2 ）2＝8，｜ PA ｜＝2 ，C項錯誤；直線 AC 的方
程為7 x － y ＋7＝0，所以圓心 D （3，0）到直線 AC 的距離為
，所以點 P 到直線 AC 的距離的最小值為 －2
，D項正確.故選A、B、D.
13. 已知點 A 為曲線 y ＝ x ＋ （ x ＞0）上的動點， B 為圓（ x －2）2＋
y 2＝1上的動點，則｜ AB ｜的最小值為 .
解析：由對勾函數(shù)的性質(zhì)，可知 y ＝ x ＋ ≥4，當(dāng)且僅當(dāng) x ＝2時取等號，結(jié)合圖象可知當(dāng) A 點運動到（2，4）時能使點 A 到圓心的距離最小，最小為4，從而｜ AB ｜的最小值為4－1＝3.
3　
14. 已知點 P （2，2），圓 C ： x 2＋ y 2－8 y ＝0，過點 P 的動直線 l 與
圓 C 交于 A ， B 兩點，線段 AB 的中點為 M ， O 為坐標(biāo)原點.
（1）求點 M 的軌跡方程；
當(dāng) C ， M ， P 三點均不重合時，∠ CMP ＝90°，所以點 M 的軌跡是以線段 PC 為直徑的圓（除去點 P ， C ），線段 PC 中點為（1，3）， ｜ PC ｜＝ ，故點 M 的軌跡方程為（ x －1）2＋（ y －3）2＝2（ x ≠2， y ≠2且 x ≠0， y ≠4）.當(dāng) C ， M ， P 三點中有重合的情形時，易求得點 M 的坐標(biāo)為（2，2）或（0，4）.綜上可知，點 M 的軌跡是一個圓，軌跡方程為（ x －1）2＋（ y －
3）2＝2.
解：圓 C ： x 2＋（ y －4）2＝42，故圓心為 C （0，4），半徑為4.
（2）當(dāng)｜ OP ｜＝｜ OM ｜時，求 l 的方程及△ POM 的面積.
解：由（1）可知點 M 的軌跡是以點 N （1，3）為圓心， 為半
徑的圓.
由于｜ OP ｜＝｜ OM ｜，故 O 在線段 PM 的垂直平分線上.又 P 在
圓 N 上，從而 ON ⊥ PM . 因為 ON 的斜率為3，所以 l 的斜率
為－ ，故 l 的方程為 y ＝－ x ＋ ，即 x ＋3 y －8＝0.
又易得｜ OM ｜＝｜ OP ｜＝2 ，點 O 到 l 的距離為 ，｜ PM ｜＝2 ，
所以△ POM 的面積為 .
15. 太極圖被稱為“中華第一圖”.從孔廟大成殿梁柱，到樓觀臺、三
茅宮標(biāo)記物；從道袍、卦攤、中醫(yī)、氣功到武術(shù)……，太極圖無
不躍然其上.這種廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽兩魚互抱在一
起，因而被稱為“陰陽魚太極圖”.在如圖所示的陰陽魚圖案中，
陰影部分可表示為 A ＝{（ x ， y ）}，設(shè)點（ x ， y ）∈ A ，則 z ＝2 x ＋ y 的最
大值與最小值之和是 .
1－
解析：如圖，作直線2 x ＋ y ＝0，當(dāng)直線上移
與圓 x 2＋（ y －1）2＝1相切時， z ＝2 x ＋ y 取
最大值，此時，圓心（0，1）到直線2 x ＋ y －
z ＝0的距離等于1，即 ＝1，解得 z 的
最大值為 ＋1，當(dāng)直線下移與圓 x 2＋ y 2＝4相切時，2 x ＋ y 取最小值，同理 ＝2，解得 z 的最小值為－2 ，所以 z ＝2 x ＋ y 的最大值與最小值之和是1－ .
16. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線Γ： y ＝ x 2－ mx ＋2 m （ m ∈R）與
x 軸交于不同的兩點 A ， B ，曲線Γ與 y 軸交于點 C .
（1）是否存在以 AB 為直徑的圓過點 C ？若存在，求出該圓的方
程；若不存在，請說明理由；
解：由曲線Γ： y ＝ x 2－ mx ＋2 m （ m ∈R），令 y ＝0，得 x 2
－ mx ＋2 m ＝0.設(shè) A （ x 1，0）， B （ x 2，0），可得Δ＝ m 2
－8 m ＞0，則 m ＜0或 m ＞8. x 1＋ x 2＝ m ， x 1 x 2＝2 m .令 x ＝
0，得 y ＝2 m ，即 C （0，2 m ）.
若存在以 AB 為直徑的圓過點 C ，則 · ＝0，得 x 1 x 2＋4
m 2＝0，即2 m ＋4 m 2＝0，所以 m ＝0（舍去）或 m ＝－ .
此時 C （0，－1）， AB 的中點 M 即圓心，
半徑 r ＝｜ CM ｜＝ ，
故所求圓的方程為 ＋ y 2＝ .
（2）求證：過 A ， B ， C 三點的圓過定點.
解：證明：設(shè)過 A ， B 兩點的圓的方程為 x 2＋ y 2－ mx ＋ Ey ＋2 m
＝0，將點 C （0，2 m ）代入可得 E ＝－1－2 m ，
所以過 A ， B ， C 三點的圓的方程為 x 2＋ y 2－ mx －（1＋2 m ） y ＋
2 m ＝0.整理得 x 2＋ y 2－ y － m （ x ＋2 y －2）＝0.
令可得
故過 A ， B ， C 三點的圓過定點（0，1）和 .
感 謝 觀 看!2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三節(jié) 圓的方程
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
2.掌握圓的一般方程,能對圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程進行互化,了解二元二次方程表示圓的條件.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)運算、邏輯推理.
【命題說明】
考向 考法 圓的方程高考一般不單獨考查,它常與直線、平面向量及圓錐曲線相結(jié)合出現(xiàn)在選擇題或填空題中.
預(yù)測 預(yù)計2025年高考圓的方程與平面向量、圓錐曲線交匯考查,三種題型都有可能出現(xiàn).
【必備知識·逐點夯實】
知識梳理·歸納
1.圓的定義與方程
定義 平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓
標(biāo)準(zhǔn) 方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圓心為(a,b)
半徑為r
一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要條件:D2+E2-4F>0
圓心坐標(biāo): (-,-)
半徑:r=
微點撥 圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F為常數(shù))具有以下特點:(1)x2,y2項的系數(shù)均為1;
(2)沒有xy項;(3)D2+E2-4F>0.
2.點與圓的位置關(guān)系
點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:
(1)若M(x0,y0)在圓外,則(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2)若M(x0,y0)在圓上,則(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則(x0-a)2+(y0-b)2常用結(jié)論
1.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
2.同心圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是參數(shù).
基礎(chǔ)診斷·自測
類型 辨析 改編 易錯 高考
題號 1 2 3 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)圓心位置和圓的半徑確定,圓就唯一確定.(　 √　)
提示:(1)確定圓的幾何要素就是圓心和半徑,故(1)正確;
(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圓.(　 ×　)
提示:(2)當(dāng)m=0時,不表示圓,故(2)錯誤;
(3)圓(x+1)2+(y-1)2=2的圓心坐標(biāo)是(1,-1),半徑長是2.(　 ×　)
提示:(3)圓(x+1)2+(y-1)2=2的圓心坐標(biāo)是(-1,1),半徑長是, 故(3)錯誤;
(4)點(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外.(　 √　)
提示:(4)因為(0-1)2+(0-2)2>1,所以點(0,0)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外,故(4)正確.
2.(選擇性必修第一冊人AP88練習(xí)T1變形式)圓x2+y2-4x-1=0的圓心坐標(biāo)及半徑分別為(　　)
A.(2,0),5　 B.(2,0),
C.(0,2),　 D.(2,2),5
【解析】選B.依題意,圓x2+y2-4x-1=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-2)2+y2=5,
所以圓心為(2,0),半徑為.
3.(忽略D2+E2-4F>0)若點P(1,1)在圓C:x2+y2+x-y+k=0外,則實數(shù)k的取值范圍是(　　)
A.(-2,+∞) B.[-2,-)
C. (-2,) D.(-2,2)
【解析】選C.由題意得解得-24.(2022·全國甲卷)設(shè)點M在直線2x+y-1=0上,點(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為____________.
【命題意圖】本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,關(guān)鍵是確定圓心和半徑.
【解析】因為點M在直線2x+y-1=0上,
所以設(shè)點M為(a,1-2a),又因為點(3,0)和(0,1)均在☉M上,
所以點M到兩點的距離相等且為半徑R,
所以==R,
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,解得a=1,
所以M(1,-1),R=,
☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.
答案:(x-1)2+(y+1)2=5
【核心考點·分類突破】
考點一求圓的方程
[例1](1)(一題多法)過點A(1,-1)與B(-1,1),且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程為(　　)
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
【解析】選C.方法一(待定系數(shù)法):設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
則解得故所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.
方法二(幾何法):圓心一定在AB的中垂線上,AB的中垂線方程為y=x.
由得,圓心為(1,1),所以r==2,
所以圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)(2022·全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為__________.
【命題意圖】考查圓的一般方程,待定系數(shù)法.
【解析】依題意設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,若過(0,0),(-1,1),(4,0),
則,解得,所以圓的方程為x2+y2-4x-6y=0,
即(x-2)2+(y-3)2=13;
若過(0,0),(4,0),(4,2),則,解得,
所以圓的方程為x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5;
若過(0,0),(-1,1),(4,2),則,解得,
所以圓的方程為x2+y2-x-y=0,即+=;
若過(-1,1),(4,0),(4,2),則,解得,
所以圓的方程為x2+y2-x-2y-=0,
即+(y-1)2=.
答案:(x-2)2+(y-3)2=13(或(x-2)2+(y-1)2=5或+=或+(y-1)2=)
【誤區(qū)警示】選取不共線的三點求解即可.若考慮三點共線,既耽誤時間又無解.
解題技法
求圓的方程的兩種方法
幾何法 根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,進而寫出方程
待定 系數(shù)法 ①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出a,b,r的值. ②若已知條件中涉及圓上的點的坐標(biāo),常選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進而求出D,E,F的值
提醒:解答圓的有關(guān)問題時,應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合,充分運用圓的幾何性質(zhì).
對點訓(xùn)練
1.(2024·許昌模擬)以點A(3,4)為圓心,且與y軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.(x+3)2+(y-4)2=16
B.(x-3)2+(y+4)2=16
C.(x-3)2+(y-4)2=9
D.(x-3)2+(y+4)2=9
【解析】選C.以點A(3,4)為圓心,且與y軸相切的圓的半徑為3,
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-3)2+(y-4)2=9.
2.(2024·茂名模擬)過四點(-1,1),(1,-1),(2,2),(3,1)中的三點的一個圓的方程為__________(寫出一個即可).
【解析】過(-1,1),(1,-1),(3,1)時,設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則,解得,
圓的方程是x2+y2-2x-2y-2=0,即(x-1)2+(y-1)2=4;
同理可得:過(1,-1),(2,2),(3,1)時,圓的方程是(x-)2+(y-)2=;
過(-1,1),(1,-1),(2,2)時,圓的方程是(x-)2+(y-)2=;
過(-1,1),(2,2),(3,1)時,圓的方程是(x-1)2+y2=5.
答案:(x-1)2+(y-1)2=4((x-1)2+(y-1)2=4, (x-)2+(y-)2=, (x-)2+(y-)2=,(x-1)2+y2=5寫其中一個即可)
【加練備選】
　　若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點,且圓心在直線y=-2x+3上運動,當(dāng)半徑最小時,圓的方程為__________.
【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-2a+3),
則圓的半徑r===.
當(dāng)a=時,rmin=.
故所求圓的方程為+=.
答案:+=
考點二 與圓有關(guān)的軌跡問題
教考銜接 類題串串聯(lián)
題號 類題說明
(1) 源自第89頁綜合運用·T8.此題為定義圓
(2) 源自第87頁例5.此題為圓的伴生圓
(3) 源自第89頁拓廣探索·T9.此題為比例圓(阿氏圓)
(4) 源自第89頁拓廣探索·T10.此題為圓的參數(shù)方程
[例2](1)長為2a的線段的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動,則線段AB的中點的軌跡方程為__________.
【解析】(1)如圖,設(shè)線段AB的中點為M(x,y),點M運動時,它到原點O的距離為定長,即Rt△AOB的斜邊上的中線長為定長.
因為AB=2a,即點M∈,點M的軌跡方程為x2+y2=a2.
答案:x2+y2=a2
(2)已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,則線段AB的中點M的軌跡方程為__________________.
【解析】(2)如圖,設(shè)點M的坐標(biāo)是(x,y),點A的坐標(biāo)是,
由于點B的坐標(biāo)是(4,3),且M是線段AB的中點,所以x=,y=.
于是有x0=2x-4,y0=2y-3,①
因為點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,所以點A的坐標(biāo)滿足方程,
即+=4,②
把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得+=1.
答案:+=1
(3)已知動點M到兩定點O(0,0),A(3,0)的距離比為,則動點M的軌跡方程為__________.
【解析】(3)如圖,設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),
根據(jù)題設(shè)有M∈,根據(jù)已知條件得=2.
化簡,得點M的軌跡方程為x2+y2+2x-3=0.
軌跡是圓心為,半徑為2的圓.
答案:x2+y2+2x-3=0
(4)在平面直角坐標(biāo)系中,如果點P的坐標(biāo)(x,y)滿足其中θ為參數(shù),則點P的軌跡方程為__________________.
【解析】(4)由于點P的坐標(biāo)(x,y) 滿足其中θ為參數(shù),所以可得(x-a)2+(y-b)2=(rcos θ)2+(rsin θ)2=r2,所以點P的軌跡方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.
答案:(x-a)2+(y-b)2=r2
解題技法
求與圓有關(guān)軌跡問題的兩種方法
(1)直接法:當(dāng)題目條件中含有與該點有關(guān)的等式時,可設(shè)出該點的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示等式,直接求解軌跡方程.
(2)代入法:當(dāng)題目條件中已知某動點的軌跡方程,而要求的點與該動點有關(guān)時,常找出要求的點與已知點的關(guān)系,代入已知點滿足的關(guān)系式求軌跡方程.
對點訓(xùn)練
(2024·宜昌模擬)已知定點M(1,0),N(2,0),動點P滿足|PN|=|PM|.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
【解析】(1)設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y),因為M(1,0),N(2,0),且|PN|=|PM|,
所以=·,整理得x2+y2=2,
所以動點P的軌跡C的方程為x2+y2=2.
(2)已知點B(6,0),點A在軌跡C上運動,求線段AB上靠近點B的三等分點Q的軌跡方程.
【解析】(2)設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m,n),點A的坐標(biāo)為(xA,yA),
因為Q是線段AB上靠近點B的三等分點,所以=2,即(m-xA,n-yA)=2(6-m,-n),
解得,又點A在軌跡C上運動,
由(1)有(3m-12)2+(3n)2=2,化簡得(m-4)2+n2=,
即點Q的軌跡方程為(x-4)2+y2=.
【加練備選】
　　1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A,若動點M滿足=,則點M的軌跡方程是(　　)
A.x2+(y+2)2=2　 B.x2+(y-2)2=2
C.x2+(y+2)2=8 D.x2+(y-2)2=8
【解析】選D.設(shè)M(x,y),因為=,A(0,-2),所以=,
所以x2+(y+2)2=2(x2+y2),
所以x2+(y-2)2=8為點M的軌跡方程.
2.已知等腰三角形ABC的底邊BC對應(yīng)的頂點是A(4,2),底邊的一個端點是B(3,5),則底邊另一個端點C的軌跡方程是__________________________________.
【解析】設(shè)C(x,y).由題意知,|AB|==.
因為△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,
所以|CA|=|AB|=,即點C的軌跡是以點A為圓心,為半徑的圓.
又點A,B,C構(gòu)成三角形,所以三點不可共線,
所以軌跡中需去掉點B(3,5)及點B關(guān)于點A對稱的點(5,-1),
所以點C的軌跡方程為(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)兩點).
答案:(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)兩點)
考點三圓的對稱性問題
[例3](1)(2022·北京高考)若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2=1的一條對稱軸,則a=(　　)
A. B.- C.1 D.-1
【命題意圖】考查直線與圓的位置關(guān)系,基礎(chǔ)題.
【解析】選A.因為直線是圓的對稱軸,所以直線過圓心.又因為圓心坐標(biāo)為(a,0),所以由2a+0-1=0,解得a=.
(2)(多選題)圓上的點(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點仍在圓上,且圓的半徑為,則圓的方程可能是(　　)
A.x2+y2=5　　　　 B.(x-1)2+y2=5
C.x2+(y+1)2=5 D.(x-1)2+(y+1)2=5
【解析】選AD.因為圓上的點(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對稱點仍在這個圓上,所以圓心在直線x+y=0上,因此設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a),則由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1.所以所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5.
解題技法
圓的對稱性的兩點推廣
由于圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,因此過圓心的直線必定平分圓的周長,且圓上的點關(guān)于過圓心直線的對稱點也在圓上.
對點訓(xùn)練
(多選題)關(guān)于圓(x-2)2+y2=5,下列說法正確的是(　　)
A.關(guān)于點(2,0)對稱
B.關(guān)于直線y=0對稱
C.關(guān)于直線x-y+2=0對稱
D.關(guān)于直線x+3y-2=0對稱
【解析】選ABD.由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0).
圓是關(guān)于圓心對稱的中心對稱圖形,所以A正確;
圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形,直線y=0過圓心,所以B正確;
直線x-y+2=0不過圓心,所以C不正確;
直線x+3y-2=0過圓心,所以D正確.
【加練備選】
　　(2024·沈陽模擬)已知直線l:mx+y-1=0(m∈R)是圓C:x2+y2-4x+2y+1=0的對稱軸,則m的值為(　　)
A.1　 B.-1　 C.2　 D.3
【解析】選A.由圓C方程得:圓心C(2,-1),
因為直線l是圓C的對稱軸,所以圓心C在直線l上,即2m-1-1=0,解得m=1.

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