資源簡介

2024年人教版數學五升六暑假銜接培優精講練過關講義
（知識梳理+易錯精講+真題拔高卷）
第3講 長方體和正方體的表面積和體積
知識點01：長方體表面積的計算方法
方法一：長方體表面積 = 長×寬×2 + 長×高×2 + 寬×高×2
方法二：長方體表面積 = (長×寬 + 長×高 + 寬×高)×2
如果以S表示長方體的表面積，a、b、h分別表示長方體的長、寬和高，則表面積公式可以表示為：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。
知識點02：正方體表面積的計算方法
正方體的表面積 = 棱長×棱長×6
如果以S表示正方體的表面積，a表示正方體的棱長，則表面積公式為：S = 6a 。
知識點03：表面積公式的實際應用題型
基礎計算題：
給出長方體的長、寬、高，要求計算其表面積。
給出正方體的棱長，要求計算其表面積。
生活應用題：
例如，計算一個長方體包裝盒需要多少包裝紙，或者一個正方體水箱需要涂多少防銹漆等。
拼組題型：
將幾個長方體或正方體拼組成一個新的長方體，要求計算新長方體的表面積。
這類題目常涉及到表面積的變化，需要理解拼組后哪些面被隱藏，哪些面成為新長方體的外表面。
切割題型：
將一個長方體或正方體切割成幾個部分，要求計算切割后各部分的表面積之和。
這類題目需要注意切割后新增的表面積部分。
優化問題：
例如，給定一定數量的長方體或正方體，如何拼組或擺放才能使得整體表面積最小或最大。
錯誤識別與改正：
題目中可能會給出錯誤的表面積計算過程或結果，要求學生識別錯誤并改正。
知識點04：長方體體積的計算方法
長方體體積的計算公式為：體積 = 長 × 寬 × 高。
如果以V表示長方體的體積，a、b、h分別表示長方體的長、寬和高，
則體積公式可以表示為：V = a × b × h。
知識點05：正方體體積的計算方法
正方體是長方體的特殊情況，其六個面都是正方形，邊長相等。
正方體體積的計算公式為：體積 = 邊長 × 邊長 × 邊長，或簡寫為體積 = 邊長 。
如果以V表示正方體的體積，a表示正方體的邊長，則體積公式為：V = a 。
知識點06：體積公式的實際應用題型
基礎計算題：
給出長方體的長、寬、高，要求計算其體積。
給出正方體的邊長，要求計算其體積。
生活應用題：
例如，計算一個長方體水箱能裝多少水，或者一個正方體容器能容納多少物體等。
比較和判斷題：
比較不同長方體或正方體體積的大小。
判斷給定的長、寬、高或邊長是否能構成特定體積的長方體或正方體。
優化問題：
例如，在給定材料的情況下，如何設計長方體或正方體的尺寸以使其體積最大或達到特定要求。
綜合應用題：
結合表面積和體積的計算，解決實際生活中的復雜問題，如設計包裝箱以最小化材料使用同時保證足夠的容量。
錯誤識別與改正：
題目中可能會給出錯誤的體積計算過程或結果，要求學生識別錯誤并改正。
單位換算問題：
在計算體積時，可能會涉及到不同單位之間的換算，如立方厘米與立方米之間的轉換。
易錯點知識點01：單位換算
易錯描述：在計算長方體和正方體的表面積或體積時，學生容易忽略單位換算，導致計算錯誤。
易錯題目：
一個長方體魚缸的長是5dm，寬是3dm，高是40cm。求這個魚缸的表面積。
錯誤答案：
直接代入公式計算，未進行單位換算，導致結果錯誤。
正確答案：
首先進行單位換算，高=40cm=4dm，然后代入公式計算表面積：
表面積 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm
易錯點知識點02：表面積與體積的混淆
易錯描述：學生容易將表面積和體積的概念混淆，導致在求解問題時使用了錯誤的公式。
易錯題目：
一個正方體木塊的棱長是6cm，求這個木塊的表面積和體積。
錯誤答案：
將表面積和體積的計算公式混淆，導致兩個結果都錯誤。
正確答案：
表面積 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm
體積 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm
易錯點知識點03：公式應用錯誤
易錯描述：學生在應用表面積或體積公式時，容易忽略公式中的某個部分或錯誤地使用了公式。
易錯題目：
一個長方體紙盒的長是10cm，寬是8cm，高是5cm。求這個紙盒的表面積。
錯誤答案：
只計算了紙盒的四個側面的面積，忽略了上下兩個面的面積。
正確答案：
表面積 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm
易錯點知識點04：忽略實際情況
易錯描述：在計算長方體和正方體的表面積時，學生容易忽略實際情況，如長方體或正方體是否有蓋子、是否為空心等。
易錯題目：
一個無蓋的長方體魚缸，長是80cm，寬是40cm，高是50cm。求制作這個魚缸需要多少玻璃。
錯誤答案：
直接計算了長方體的表面積，未考慮魚缸無蓋的情況。
正確答案：
由于魚缸無蓋，只需計算五個面的面積：
表面積= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm
檢測時間：90分鐘 試題滿分：100分 難度系數：47（較難）
一、慎重選擇(共5題；每題2分，共10分)
1．（2分）（2024五下·陸川期中）將兩個完全一樣的長方體拼成一個大長方體，下列說法正確的（　　）。
A．表面積增加，體積不變
B．表面積減少，體積不變
C．表面積和體積都增加
答案：B
詳細規范解答：解：將兩個完全一樣的長方體拼成一個大長方體，表面積減少，體積不變。
故答案為：B。
試題思路分析：將兩個完全一樣的長方體拼成一個大長方體，因為小長方體的大小沒有改變，所以大長方體的體積等于原兩個小長方體的體積之和，即體積不變；但是因為拼成一個長方體后，原小長方體有兩個面粘合到一起了，即少了兩個面的面積，所以表面積減少了。據此可以判斷。
2．（2分）（2024五下·龍崗期中）用一根長48cm的鐵絲制作棱長都是整厘米數的長方體框架，這個長方體框架的長、寬、高可能是（　　）。
A．7cm 2cm 1cm B．20cm 18cm 10cm
C．5cm 5cm 6cm D．5cm 4cm 3cm
答案：D
詳細規范解答：48÷4=12（cm）
選項A，7+2+1=10（cm），與題意不符；
選項B，20+18+10=48（cm），與題意不符；
選項C，5+5+6=16（cm），與題意不符；
選項D，5+4+3=12（cm），與題意相符。
故答案為：D。
試題思路分析：根據題意可知，這根鐵絲的長度是長方體的棱長總和，已知長方體的棱長總和，可以求出長方體的長、寬、高的和，長方體的棱長總和÷4=長+寬+高，分別求出各選項的數據之和，然后對比即可。
3．（2分）（2024五下·騰沖期中）下列不是正方體表面展開圖的是（　　）。
A． B． C． D．
答案：D
詳細規范解答：解：圖四不是正方體的展開圖。
故答案為：D。
試題思路分析：A、B是正方體“1＋4＋1”式的展開圖，C是正方體“2＋3＋1”式的展開圖，D不是正方體的展開圖。
4．（2分）（2024五下·龍崗期中）將一個長方體的高截去5 cm就變成了正方體(如圖)，正方體的表面積比原長方體的表面積減少了60cm2，原長方體的體積是(　　) 立方厘米。
A．27 B．36 C．64 D．72
答案：D
詳細規范解答：解：60÷4÷5
=15÷5
=3（厘米）
3×3×（3＋5）
=9×8
=72（立方厘米）。
故答案為：D。
試題思路分析：原長方體的體積=長×寬×高；其中，長=寬=減少的表面積÷減少面的個數÷減少的高，原長方體的高=減少的高＋長。
5．（2分）（2024五下·北侖期中）李阿姨在雕刻時先對材料進行了處理。她把一塊長7dm、寬6dm、高5dm的長方體木塊削成一個最大的正方體，在剩下部分中再削一個正方體，則這個正方體的的體積是（　　）dm3。
A．1 B．2 C．4 D．8
答案：D
詳細規范解答：解：7-5=2（分米）
2×2×2=8（立方分米）。
故答案為：D。
試題思路分析：第一次削去正方體的棱長是5分米，第二次削去正方體的棱長是2分米，這個正方體的體積=棱長×棱長×棱長。
二、判斷正誤(共5題；每題2分，共10分)
6．（2分）（2024五下·漢川期中）表面積相等的兩個長方體，它們的體積也一定相等。（　　）
答案：錯誤
詳細規范解答： 表面積相等的兩個長方體，它們的體積不一定相等，原題說法錯誤。
故答案為：錯誤。
試題思路分析：長方體的表面積=（長×寬+長×高＋寬×高）×2，長方體的體積 =長×寬×高，表面積相等的兩個長方體，長、寬、高無法確定是否相等，則體積也無法確定是否相等，據此判斷。
7．（2分）（2024五下·陸豐期中）當正方體的棱長是6cm時，它的表面積和體積相等。（　　）
答案：錯誤
詳細規范解答：解：當正方體的棱長是6cm時，它的表面積和體積不相等。
故答案為：錯誤。
試題思路分析：表面積的單位是面積單位，體積的單位是體積單位，所以它們不相等。
8．（2分）（2024五下·駐馬店月考）一個正方體的棱長擴大到原來的 4 倍，表面積和體積都擴大到原來的 16 倍。（　　）
答案：錯誤
詳細規范解答：一個正方體的棱長擴大到原來的 4 倍，表面積擴大到原來的 16 倍，體積擴大到原來的64倍。原題說法錯誤。
故答案為：錯誤。
試題思路分析：正方體表面積=棱長×棱長×6，正方體體積=棱長×棱長×棱長，正方體表面積擴大的倍數是棱長擴大倍數的平方倍，體積擴大的倍數是棱長擴大倍數的立方倍。
9．（2分）（2024五下·辰溪期中）2個棱長1cm的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積是12cm2（　　）
答案：錯誤
詳細規范解答：長方體的長為2cm，寬為1cm，高為1cm，
長方體的表面積=（2×1+2×1+1×1）×2
=5×2
=10（cm2）。
所以原題說法錯誤。
故答案為：錯誤。
試題思路分析：長方體的表面積=（長×寬+寬×高+長×高）×2，代入數值計算即可；也可根據2個正方體拼成1個長方體，則減少了正方體的2個面的面積。
10．（2分）（2024五下·邯鄲期中）把28L水倒入一個從里面量長40cm、寬25cm、高40cm的長方體玻璃水槽中，這時水面距水槽口28cm。（　　）
答案：錯誤
詳細規范解答：解：28升=28000立方厘米
40-28000÷（40×25）
=40-28000÷1000
=40-28
=12（厘米）。
故答案為：錯誤。
試題思路分析：先單位換算28升=28000立方厘米，這時水面距水槽口的高度=長方體玻璃水槽的高-倒入水的體積÷（長方體玻璃水槽的長×寬） 。
三、仔細想，認真填(共8題；共18分)
11．（2分）（2024五下·陸川期中）把一塊棱長是0.5米的正方體鋼坯，鍛成橫截面面積是0.05 平方米的長方體鋼材，鍛成的鋼材有　 　米長。
答案：2.5
詳細規范解答：解：0.5×0.5×0.5=0.125（立方米）
0.125÷0.05=2.5（米）
故答案為：2.5。
試題思路分析：把正方體鍛成長方體鋼材說明體積不變，即長方體的體積等于正方體的體積。正方體的體積=棱長×棱長×棱長，長方體的體積÷橫截面面積=長。據此可以解答。
12．（2分）（2024五下·龍崗期中）李華有兩根一樣長的鐵絲，將一根鐵絲剛好折成一個長7dm、寬2dm、高6dm的長方體框架。若將另一根折成一個最大的正方體框架，這個正方體框架的棱長是　 　dm。(接口處忽略不計)
答案：5
詳細規范解答：解：（7＋2＋6）×4÷12
=60÷12
=5（分米）。
故答案為：5。
試題思路分析：這個正方體框架的棱長=這個正方體框架的棱長和÷4；其中，這個正方體框架的棱長和=長方體框架的棱長和=（長＋寬＋高） ×4。
13．（2分）（2024五下·蘭溪期中）一個長方體的長是10分米，8分米，高6分米，它的棱長總和是　 　分米，表面積是　 　平方分米。
答案：96；376
詳細規范解答：解：（10＋8＋6）×4
=24×4
=96（分米）
（10×8＋10×6＋8×6）×2
=（80＋60＋48）×2
=188×2
=376（平方分米）。
故答案為：96；376。
試題思路分析：長方體的棱長和=（長＋寬＋高）×4；長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2。
14．（2分）（2024五下·漢川期中）下圖是一個正方體表面的展開圖，每面都標有數字。在正方體中，數字“3”對面的數字是　 　，相交于同一個頂點的三個面上的數字之和最小是　 　。
答案：2；7
詳細規范解答：解：數字“3”對面的數字是2，數字1對面的數字是5，數字4對面的數字是6。
相交于同一個頂點的三個面上的數字之和最小是： 1、2、4相交于一個頂點，和是1+2+4=7。
故答案為：2；7。
試題思路分析：正方體展開圖的規律：中間四個成一行，兩邊各一無規矩；二三緊連錯一個，三一相連一隨意；兩兩相連各錯一，三個兩排一對齊；一條線上不過四，田七和凹要放棄；相間之端是對面，間二拐角面相鄰。
相交于同一個頂點的三個面上的數字之和最小，即是找出兩兩相鄰的三個面上的數字最小的面，即1、2、4，計算即可。
15．（2分）（2024五下·蒼南期中）如圖，把一段長20dm且橫截面是正方形的長方體木料截成3段，表面積增加了64dm2。原來這段木料的體積是 　 　dm3。
答案：320
詳細規范解答：解：64÷4=16（平方分米）
16×20=320（立方分米）。
故答案為：320。
試題思路分析：原來這段木料的體積=增加的表面積÷增加面的個數×原來這段木料的高。
16．（4分）（2024五下·萬載期中）一個長方體的長6dm、寬5dm、高3dm，它的棱長之和是 　 　dm，它的表面積是 　 　，體積是 　 　。用兩個這樣的長方體拼成一個大長方體，拼成的大長方體的表面積最小是 　 　dm2。
答案：56；126平方分米；90立方分米；192
詳細規范解答：解：（6＋5＋3）×4
=14×4
=56（分米）；
（6×5＋6×3＋5×3）×2
=（30＋18＋15）×2
=63×2
=126（平方分米）；
6×5×3
=30×3
=90（立方分米）；
3×2=6（分米）
（6×5＋6×6＋5×6）×2
=（30＋36＋30）×2
=192（平方分米）。
故答案為：56；126平方分米；90立方分米；192。
試題思路分析：長方體的棱長和=（長＋寬＋高）×2；長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2；長方體的體積=長×寬×高；用兩個這樣的長方體拼成一個大長方體，拼成的大長方體的表面積最小時，把最大的面疊在一起，此時的長6分米，寬5分米，高=原來的高×2。
17．（2分）（2024·禮嘉）一節長2米的通風管，它的橫截面是邊長4分米的正方形．做10節這樣的通風管至少需要鐵皮　 　平方米。
答案：32
詳細規范解答：4分米=0.4米；0.4×2×4×10=32（平方米）。
故答案為：32
試題思路分析：先算一節通風管的表面積，通風管由4個相等的長方形組成，一節通風管的面積=寬0.4×長2×4個面，十節通風管的面積=一節通風管的面積×10。
18．（2分）（2024五下·黃岡月考）一根長方體的木料，正好可以鋸成兩個同樣的正方體，這時表面積增加了50平方厘米，這根長方體木料原來的表面積是　 　平方厘米，體積是　 　立方厘米。
答案：250；250
詳細規范解答：解：一個正方形面的面積：50÷2=25（平方厘米），
長方體表面積：25×10=250（平方厘米）。
5×5=25，所以正方體棱長是5厘米，
長方體體積=5×5×5×2=250（立方厘米）。
故答案為：250；250。
試題思路分析：因為正好可以鋸成兩個同樣的正方體，說明切面是正方形，表面積增加了兩個正方形面的面積。長方體有兩個正方形面，另外四個面的面積都相當于2個正方形面的面積，所以長方體的表面積相當于10個正方形面的面積。因此用表面積增加的部分除以2求出一個正方形面的面積，用一個正方形面的面積乘10即可求出長方體的表面積。根據正方形面積公式判斷出正方形面的邊長，也就是一個正方體的棱長，計算出一個正方體的體積，再乘2即可求出長方體的體積。
四、看圖列式計算(共2題；共8分)
19．（4分）（2024五下·萬載期中）計算如圖表面積和體積（單位：cm）
（1）（2分）
（2）（2分）
答案：（1）解：（5×3+5×2.5+2.5×3）×2
＝35×2
＝70（平方厘米）
5×3×2.5
=15×2.5
＝37.5（立方厘米）
答：圖形的表面積是70平方厘米，體積是37.5立方厘米。
（2）解：5×5×6+2×6×5+2×6×2
＝150+60+24
＝234（平方厘米）
5×5×5+6×5×2
＝125+60
＝185（立方厘米）
答：圖形的表面積是234平方厘米，體積是185立方厘米。
試題思路分析：（1）長方體的體積=長×寬×高；長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2；
（2）圖形的表面積=正方體的棱長×棱長×6＋長方體的長×高×2＋寬×長×2；
圖形的體積=正方體的棱長×棱長×棱長＋長方體的長×寬×高。
20．（4分）（2024五下·汝城期中）計算下圖的表面積和體積。（單位：cm）
答案：解：（5×4+5×2+4×2）×2+3×3×4
=38×2+9×4
=76+36
=112（平方厘米）
3×3×3+5×4×2
=27+40
=67（立方厘米）
答：表面積是112平方厘米，體積是67立方厘米。
試題思路分析：長方體的表面積+正方體4個面的面積=圖形的表面積；正方體的體積+長方體的體積=圖形的體積。
五、解決問題(共10題；共54分)
21．（5分）（2023五下·播州期末）樂樂、麗麗和琪琪3人學習了用排水法求不規則物體體積的方法后，他們嘗試測量一個不規則物體的體積，進行了如下實驗：
①樂樂準備了一個長和寬都是12cm，高是16cm的長方體玻璃缸，并裝滿水。
②麗麗把紅薯用細線系好后，完全浸沒在水中，有部分水溢出。
③琪琪把紅薯取出，這時水面高是14cm。
根據以上信息，請你計算這個紅薯的體積。
答案：解：12×12×（16﹣14）
＝144×2
＝288（立方厘米）
答：這個紅薯的體積是288立方厘米。
試題思路分析：因為長方體玻璃缸裝滿水，紅薯完全放入水中，溢出的水的體積就是紅薯的體積，用長×寬×水面下降的高度=紅薯體積，據此列式解答。
22．（5分）（2023五下·播州期末）如下圖是一個長方體盒子的展開圖，請根據圖中信息求出長方體盒子的體積和表面積。

答案：解：（40﹣15×2）÷2
＝（40﹣30）÷2
＝10÷2
＝5（cm）
15×10×5
＝150×5
＝750（cm3）
（15×10+15×5+10×5）×2
＝（150+75+50）×2
＝275×2
＝550（cm2）
答：長方體盒子的體積是750cm3，表面積是550cm2。
試題思路分析：根據長方體的展開圖的信息先求出長方體的高，即（40﹣15×2）÷2；知道長方體的長、寬、高，再根據長方體的體積公式：體積=長×寬×高，表面積公式：表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2，代入數值計算即可。
23．（5分）（2024五下·陸川期中）一個長方體包裝盒， 從里面量長25cm， 寬 12cm， 里面的體積為 用它裝一件長20cm、寬10cm、高8cm的玻璃器皿， 能否裝得進去 寫出你的理由。
答案：解：1800÷25÷12
=72÷12
=6（cm）
8>6，20>6，10>6
答：不能裝進去。
試題思路分析：長方體的體積÷長÷寬=高。因為玻璃器皿的長和寬都小于包裝盒的長和寬，但是高比包裝盒的高要高，所以不能裝進去；通過嘗試，不管怎么放包裝盒的高都較矮，所以不能裝進去。
24．（5分）（2024五下·龍崗期中）一間教室長8米、寬5米、高4米，現在要粉刷教室的四周墻壁和天花板，門窗和黑板的面積共16平方米。如果每平方米需要涂料0.2千克，粉刷這間教室一共需要多少千克涂料？
答案：解：8×5＋（8×4＋5×4）×2-16
=8×5＋104-16
=144-16
=128（平方米）
128×0.2=25.6（千克）
答：粉刷這間教室一共需要25.6千克涂料。
試題思路分析：粉刷這間教室一共需要涂料的質量=粉刷的面積×平均每平方米需要涂料的質量；其中，粉刷的面積=長×寬＋（長×高＋寬×高）×2-門窗的面積。
25．（5分）（2024五下·游仙期中）如下圖，一塊長35厘米、寬25厘米的鐵皮，從四個角各切掉一個邊長為5厘米的正方形，然后做成盒子。這個盒子的容積是多少升
答案：解：（35-5×2）×（25-5×2）×5
=25×15×5
=1875（立方厘米）
=1.875（升）
答：這個盒子的容積是1.875升。
試題思路分析：鐵皮的長-2個5厘米=盒子的長，鐵皮的寬-2個5厘米=盒子的寬，盒子的長×盒子的寬×盒子的高=這個盒子的容積。
26．（5分）（2024五下·游仙期中）有一個長5分米、寬4分米、深2分米的長方體玻璃缸，向缸中放入一個正方體鐵塊，然后注滿水（此時水已淹沒正方體鐵塊），當取出這個鐵塊后，水面下降了0.2分米，這個鐵塊的體積是多少
答案：解：5×4×0.2=4（立方分米）
答：這個鐵塊的體積是4立方分米。
試題思路分析：長方體的長×寬×水面下降的高度=這個鐵塊的體積。
27．（6分）（2024五下·安陽期中）王叔叔用一根鋼材正好可以焊成棱長為6dm的正方體框架。（鋼材的寬度和厚度忽略不計）
（1）（2分）如果要給這個正方體框架安裝上玻璃隔板，已知每平方米玻璃隔板35元，制作這個正方體玻璃箱（無蓋）需要多少錢？
（2）（2分）這個正方體玻璃箱的容積是多少升？（玻璃隔板的厚度忽略不計）
（3）（2分）王叔叔準備用同樣長的鋼材再焊一個長8dm，寬3dm的長方體框架，這個長方體框架的高是多少分米？
答案：（1）解：6×6×5
＝36×5
＝180（平方分米）
180平方分米＝1.8平方米
1.8×35＝63（元）
答：制作這個正方體玻璃箱（無蓋）需要63元。
（2）解：6×6×6
＝36×6
＝216（立方分米）
216立方分米＝216升
答：這個正方體玻璃箱的容積是216升。
（3）解：（6×12﹣8×4﹣3×4）÷4
＝（72﹣32﹣12）÷4
＝28÷4
＝7（分米）
答：這個長方體框架的高是7分米。
試題思路分析：（1）正方體的棱長×棱長=正方體一個面的面積，正方體一個面的面積×5=需要玻璃的面積，玻璃的面積×每平方米玻璃的錢數=一共需要的錢數；
（2）正方體的容積=正方體的棱長×棱長×棱長；
（3）正方體的棱長×12=鋼材的長度，鋼材的長度-4個長-4個寬=4個高，4個高÷4=長方體的高。
28．（6分）（2024五下·萬載期中）有一個長方體水缸，從里面量長50cm，寬40cm，水缸中完全浸沒一塊石頭后，水缸中的水深30cm，把石頭拿出來后水面下降了20cm。
（1）（3分）這塊石頭的體積是多少立方分米？
（2）（3分）水缸里的水有多少升？
答案：（1）解：50cm＝5dm，40cm＝4dm，30cm＝3dm，20cm＝2dm。
5×4×2
＝20×2
＝40（立方分米）
答：這塊石頭的體積是40立方分米。
（2）解：5×4×（3-2）
＝20×1
＝20（立方分米）
20立方分米＝20升
答：水缸里的水有20升。
試題思路分析：（1）這塊石頭的體積=水缸的長×寬×把石頭拿出來后水面下降的高度；
（2）水缸里水的體積=水缸的長×寬×（放入石頭后水面的高度-把石頭拿出來后水面下降的高度）。
29．（6分）（2024五下·錢塘期末）如圖，有一個長方體物體，底面是正方形，中間是空心的正方形。如果把這個物體浸沒在水中，它與水接觸的面積是多少平方厘米
答案：解：10×4×22=880(cm2)
5×4×22=440(cm2)
10×10-5×5=75(cm2)
75×2=150(cm2)
880+440+150=1320(cm2)
1320+150=1470(cm2)
答：它與水接觸的面積是1470平方厘米。
試題思路分析：底面邊長×4=底面周長，底面周長×高=長方體側面的面積，據此再求出長方體里面側面的面積，長方體的底面積-中間空心正方形的面積=長方體上面的面積，長方體上面的面積×2=上下兩個面的面積，長方體側面的面積+長方體里面側面的面積+長方體里面上下兩個面的面積=它與水接觸的面積。
30．（6分）（2024五下·錢塘）甲、乙兩個容器，甲容器長64分米，寬3米，高3米，里面的水達到了2.9米高，乙容器長3.6米，寬和甲容器一樣，高6米，里面的水達到了2.4米，要從甲容器中取出多少米深度的水放到乙容器中，才能使兩個容器的水一樣高？
答案：解：設兩個容器的水一樣高時的水面高度為x米。
6.4×3×（2.9-x）=3.6×3×（x-2.4）
6.4×3×（2.9-x）÷3=3.6×3×（x-2.4）÷3
6.4×（2.9-x）=3.6×（x-2.4）
18.56-6.4x=3.6x-8.64
18.56-6.4x+6.4x=3.6x-8.64+6.4x
10x-8.64=18.56
10x-8.64+8.64=18.56+8.64
10x=27.2
10x÷10=27.2÷10
x=2.72
2.9-2.72=0.18（米）
答：要從甲容器中取出0.18米深的水放到乙容器中，才能使兩個容器的水一樣高。
試題思路分析：設兩個容器的水一樣高時的水面高度為x米，則甲容器里的水減少了6.4×3×（2.9-x）立方米，乙容器的水增加了3.6×3×（x-2.4）立方米，根據甲容器取出的水的體積與乙容器增加的體積相等列方程解答。2024年人教版數學五升六暑假銜接培優精講練過關講義
（知識梳理+易錯精講+真題拔高卷）
第3講 長方體和正方體的表面積和體積
知識點01：長方體表面積的計算方法
方法一：長方體表面積 = 長×寬×2 + 長×高×2 + 寬×高×2
方法二：長方體表面積 = (長×寬 + 長×高 + 寬×高)×2
如果以S表示長方體的表面積，a、b、h分別表示長方體的長、寬和高，則表面積公式可以表示為：S = 2ab + 2ah + 2bh 或 S = 2(ab + ah + bh)。
知識點02：正方體表面積的計算方法
正方體的表面積 = 棱長×棱長×6
如果以S表示正方體的表面積，a表示正方體的棱長，則表面積公式為：S = 6a 。
知識點03：表面積公式的實際應用題型
基礎計算題：
給出長方體的長、寬、高，要求計算其表面積。
給出正方體的棱長，要求計算其表面積。
生活應用題：
例如，計算一個長方體包裝盒需要多少包裝紙，或者一個正方體水箱需要涂多少防銹漆等。
拼組題型：
將幾個長方體或正方體拼組成一個新的長方體，要求計算新長方體的表面積。
這類題目常涉及到表面積的變化，需要理解拼組后哪些面被隱藏，哪些面成為新長方體的外表面。
切割題型：
將一個長方體或正方體切割成幾個部分，要求計算切割后各部分的表面積之和。
這類題目需要注意切割后新增的表面積部分。
優化問題：
例如，給定一定數量的長方體或正方體，如何拼組或擺放才能使得整體表面積最小或最大。
錯誤識別與改正：
題目中可能會給出錯誤的表面積計算過程或結果，要求學生識別錯誤并改正。
知識點04：長方體體積的計算方法
長方體體積的計算公式為：體積 = 長 × 寬 × 高。
如果以V表示長方體的體積，a、b、h分別表示長方體的長、寬和高，
則體積公式可以表示為：V = a × b × h。
知識點05：正方體體積的計算方法
正方體是長方體的特殊情況，其六個面都是正方形，邊長相等。
正方體體積的計算公式為：體積 = 邊長 × 邊長 × 邊長，或簡寫為體積 = 邊長 。
如果以V表示正方體的體積，a表示正方體的邊長，則體積公式為：V = a 。
知識點06：體積公式的實際應用題型
基礎計算題：
給出長方體的長、寬、高，要求計算其體積。
給出正方體的邊長，要求計算其體積。
生活應用題：
例如，計算一個長方體水箱能裝多少水，或者一個正方體容器能容納多少物體等。
比較和判斷題：
比較不同長方體或正方體體積的大小。
判斷給定的長、寬、高或邊長是否能構成特定體積的長方體或正方體。
優化問題：
例如，在給定材料的情況下，如何設計長方體或正方體的尺寸以使其體積最大或達到特定要求。
綜合應用題：
結合表面積和體積的計算，解決實際生活中的復雜問題，如設計包裝箱以最小化材料使用同時保證足夠的容量。
錯誤識別與改正：
題目中可能會給出錯誤的體積計算過程或結果，要求學生識別錯誤并改正。
單位換算問題：
在計算體積時，可能會涉及到不同單位之間的換算，如立方厘米與立方米之間的轉換。
易錯點知識點01：單位換算
易錯描述：在計算長方體和正方體的表面積或體積時，學生容易忽略單位換算，導致計算錯誤。
易錯題目：
一個長方體魚缸的長是5dm，寬是3dm，高是40cm。求這個魚缸的表面積。
錯誤答案：
直接代入公式計算，未進行單位換算，導致結果錯誤。
正確答案：
首先進行單位換算，高=40cm=4dm，然后代入公式計算表面積：
表面積 = 2 × (5dm × 3dm + 5dm × 4dm + 3dm × 4dm) = 94dm
易錯點知識點02：表面積與體積的混淆
易錯描述：學生容易將表面積和體積的概念混淆，導致在求解問題時使用了錯誤的公式。
易錯題目：
一個正方體木塊的棱長是6cm，求這個木塊的表面積和體積。
錯誤答案：
將表面積和體積的計算公式混淆，導致兩個結果都錯誤。
正確答案：
表面積 = 6 × 6cm × 6cm = 216cm
體積 = 6cm × 6cm × 6cm = 216cm
易錯點知識點03：公式應用錯誤
易錯描述：學生在應用表面積或體積公式時，容易忽略公式中的某個部分或錯誤地使用了公式。
易錯題目：
一個長方體紙盒的長是10cm，寬是8cm，高是5cm。求這個紙盒的表面積。
錯誤答案：
只計算了紙盒的四個側面的面積，忽略了上下兩個面的面積。
正確答案：
表面積 = 2 × (10cm × 8cm + 10cm × 5cm + 8cm × 5cm) = 460cm
易錯點知識點04：忽略實際情況
易錯描述：在計算長方體和正方體的表面積時，學生容易忽略實際情況，如長方體或正方體是否有蓋子、是否為空心等。
易錯題目：
一個無蓋的長方體魚缸，長是80cm，寬是40cm，高是50cm。求制作這個魚缸需要多少玻璃。
錯誤答案：
直接計算了長方體的表面積，未考慮魚缸無蓋的情況。
正確答案：
由于魚缸無蓋，只需計算五個面的面積：
表面積= 80cm × 40cm + 2 × (80cm × 50cm + 40cm × 50cm) = 13600cm
檢測時間：90分鐘 試題滿分：100分 難度系數：47（較難）
一、慎重選擇(共5題；每題2分，共10分)
1．（2分）（2024五下·陸川期中）將兩個完全一樣的長方體拼成一個大長方體，下列說法正確的（　　）。
A．表面積增加，體積不變
B．表面積減少，體積不變
C．表面積和體積都增加
2．（2分）（2024五下·龍崗期中）用一根長48cm的鐵絲制作棱長都是整厘米數的長方體框架，這個長方體框架的長、寬、高可能是（　　）。
A．7cm 2cm 1cm B．20cm 18cm 10cm
C．5cm 5cm 6cm D．5cm 4cm 3cm
3．（2分）（2024五下·騰沖期中）下列不是正方體表面展開圖的是（　　）。
A． B． C． D．
4．（2分）（2024五下·龍崗期中）將一個長方體的高截去5 cm就變成了正方體(如圖)，正方體的表面積比原長方體的表面積減少了60cm2，原長方體的體積是(　　) 立方厘米。
A．27 B．36 C．64 D．72
5．（2分）（2024五下·北侖期中）李阿姨在雕刻時先對材料進行了處理。她把一塊長7dm、寬6dm、高5dm的長方體木塊削成一個最大的正方體，在剩下部分中再削一個正方體，則這個正方體的的體積是（　　）dm3。
A．1 B．2 C．4 D．8
二、判斷正誤(共5題；每題2分，共10分)
6．（2分）（2024五下·漢川期中）表面積相等的兩個長方體，它們的體積也一定相等。（　　）
7．（2分）（2024五下·陸豐期中）當正方體的棱長是6cm時，它的表面積和體積相等。（　　）
8．（2分）（2024五下·駐馬店月考）一個正方體的棱長擴大到原來的 4 倍，表面積和體積都擴大到原來的 16 倍。（　　）
9．（2分）（2024五下·辰溪期中）2個棱長1cm的正方體拼成一個長方體，長方體的表面積是12cm2（　　）
10．（2分）（2024五下·邯鄲期中）把28L水倒入一個從里面量長40cm、寬25cm、高40cm的長方體玻璃水槽中，這時水面距水槽口28cm。（　　）
三、仔細想，認真填(共8題；共18分)
11．（2分）（2024五下·陸川期中）把一塊棱長是0.5米的正方體鋼坯，鍛成橫截面面積是0.05 平方米的長方體鋼材，鍛成的鋼材有　 　米長。
12．（2分）（2024五下·龍崗期中）李華有兩根一樣長的鐵絲，將一根鐵絲剛好折成一個長7dm、寬2dm、高6dm的長方體框架。若將另一根折成一個最大的正方體框架，這個正方體框架的棱長是　 　dm。(接口處忽略不計)
13．（2分）（2024五下·蘭溪期中）一個長方體的長是10分米，8分米，高6分米，它的棱長總和是　 　分米，表面積是　 　平方分米。
14．（2分）（2024五下·漢川期中）下圖是一個正方體表面的展開圖，每面都標有數字。在正方體中，數字“3”對面的數字是　 　，相交于同一個頂點的三個面上的數字之和最小是　 　。
15．（2分）（2024五下·蒼南期中）如圖，把一段長20dm且橫截面是正方形的長方體木料截成3段，表面積增加了64dm2。原來這段木料的體積是 　 　dm3。
16．（4分）（2024五下·萬載期中）一個長方體的長6dm、寬5dm、高3dm，它的棱長之和是 　 　dm，它的表面積是 　 　，體積是 　 　。用兩個這樣的長方體拼成一個大長方體，拼成的大長方體的表面積最小是 　 　dm2。
17．（2分）（2024·禮嘉）一節長2米的通風管，它的橫截面是邊長4分米的正方形．做10節這樣的通風管至少需要鐵皮　 　平方米。
18．（2分）（2024五下·黃岡月考）一根長方體的木料，正好可以鋸成兩個同樣的正方體，這時表面積增加了50平方厘米，這根長方體木料原來的表面積是　 　平方厘米，體積是　 　立方厘米。
四、看圖列式計算(共2題；共8分)
19．（4分）（2024五下·萬載期中）計算如圖表面積和體積（單位：cm）
（1）（2分）
（2分）
20．（4分）（2024五下·汝城期中）計算下圖的表面積和體積。（單位：cm）
五、解決問題(共10題；共54分)
21．（5分）（2023五下·播州期末）樂樂、麗麗和琪琪3人學習了用排水法求不規則物體體積的方法后，他們嘗試測量一個不規則物體的體積，進行了如下實驗：
①樂樂準備了一個長和寬都是12cm，高是16cm的長方體玻璃缸，并裝滿水。
②麗麗把紅薯用細線系好后，完全浸沒在水中，有部分水溢出。
③琪琪把紅薯取出，這時水面高是14cm。
根據以上信息，請你計算這個紅薯的體積。
22．（5分）（2023五下·播州期末）如下圖是一個長方體盒子的展開圖，請根據圖中信息求出長方體盒子的體積和表面積。

23．（5分）（2024五下·陸川期中）一個長方體包裝盒， 從里面量長25cm， 寬 12cm， 里面的體積為 用它裝一件長20cm、寬10cm、高8cm的玻璃器皿， 能否裝得進去 寫出你的理由。
（5分）（2024五下·龍崗期中）一間教室長8米、寬5米、高4米，現在要粉刷教室的四周墻壁和天花板，門窗和黑板的面積共16平方米。如果每平方米需要涂料0.2千克，粉刷這間教室一共需要多少千克涂料？
25．（5分）（2024五下·游仙期中）如下圖，一塊長35厘米、寬25厘米的鐵皮，從四個角各切掉一個邊長為5厘米的正方形，然后做成盒子。這個盒子的容積是多少升
（5分）（2024五下·游仙期中）有一個長5分米、寬4分米、深2分米的長方體玻璃缸，向缸中放入一個正方體鐵塊，然后注滿水（此時水已淹沒正方體鐵塊），當取出這個鐵塊后，水面下降了0.2分米，這個鐵塊的體積是多少
27．（6分）（2024五下·安陽期中）王叔叔用一根鋼材正好可以焊成棱長為6dm的正方體框架。（鋼材的寬度和厚度忽略不計）
（1）（2分）如果要給這個正方體框架安裝上玻璃隔板，已知每平方米玻璃隔板35元，制作這個正方體玻璃箱（無蓋）需要多少錢？
（2）（2分）這個正方體玻璃箱的容積是多少升？（玻璃隔板的厚度忽略不計）
（3）（2分）王叔叔準備用同樣長的鋼材再焊一個長8dm，寬3dm的長方體框架，這個長方體框架的高是多少分米？
28．（6分）（2024五下·萬載期中）有一個長方體水缸，從里面量長50cm，寬40cm，水缸中完全浸沒一塊石頭后，水缸中的水深30cm，把石頭拿出來后水面下降了20cm。
（1）（3分）這塊石頭的體積是多少立方分米？
（2）（3分）水缸里的水有多少升？
29．（6分）（2024五下·錢塘期末）如圖，有一個長方體物體，底面是正方形，中間是空心的正方形。如果把這個物體浸沒在水中，它與水接觸的面積是多少平方厘米
30．（6分）（2024五下·錢塘）甲、乙兩個容器，甲容器長64分米，寬3米，高3米，里面的水達到了2.9米高，乙容器長3.6米，寬和甲容器一樣，高6米，里面的水達到了2.4米，要從甲容器中取出多少米深度的水放到乙容器中，才能使兩個容器的水一樣高？

展開更多......

收起↑