資源簡介

專題03 分數乘法混合運算和簡便運算
（新知講練+高頻易錯點+七大考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復習到預習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內容！結合變式訓練提升知識點應用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對常考題型易錯點內容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節內容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結合變式演練，舉一反三訓練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎夯實+沖刺拔高】真題練：結合近兩年常考真題，易錯題，經典題型等進一步鞏固所學內容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
考點一：分數混合運算的計算方法 5
考點二：分數混合運算中單位“1”的量連續增加或減少問題 6
考點三：結合線段圖解決實際問題 7
考點四：求比一個量多幾分之幾和少幾分之幾的問題 8
考點五：較復雜的分數乘法混合運算應用題 8
考點六：分數乘法混合運算簡便運算的計算 9
考點六：判斷簡便運算算式中運用的運算律 10
考點七：比較分數乘法簡便運算算式結果大小 10
基礎達標練 11
能力拔高練 13
1.知道分數混合運算的順序與整數混合運算的順序相同，能熟練進行分數混合運算；理解整數乘法運算定律對于分數乘法同樣適用，并能應用運算定律進行簡便計算。
2.在觀察、遷移、嘗試練習、交流反饋等活動中，培養學生的推理能力及思維的靈活性。
3.在自主探索、合作交流的學習活動中，讓學生體會算法的多樣性及學習的樂趣。
重點：會計算分數的混合運算，能利用乘法的運算定律進行簡便計算。
難點：根據題目特點，靈活地運用運算定律進行簡便計算。
提問：
（1）分數混合運算的順序和整數混合運算的順序是否相同？
（2）整數乘法運算定律能不能推廣到分數？
知識點1：分數乘加、乘減的運算順序
問題：一個畫框的尺寸如右圖，做這個畫框需要多長的木條？
列式：
① ②
分數混合運算的順序和整數混合運算的順序相同嗎？你會自己計算這兩道算式嗎？
發現：分數混合運算的順序與整數混合運算的順序相同。
知識點2：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
問題：1. 觀察每組的兩個算式，看看它們有什么關系。
小結：
知識點3：運用乘法的運算定律，進行簡便計算
一、分數乘法混合運算
1. 運算順序
分數混合運算的運算順序與整數混合運算的運算順序相同，即：
先算乘法，后算加減法；
如果有括號，先算括號里面的，再算括號外面的。
2. 運算定律
整數乘法的運算定律對于分數乘法也同樣適用，包括：
乘法交換律：a×b=b×a
乘法結合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c
這些定律可以幫助我們簡化復雜的分數乘法運算。
二、分數乘法簡便運算
1. 分數乘整數
分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。
計算方法：用分子乘整數的積作分子，分母不變。能約分的可以先約分，再計算。
2. 分數乘分數
分數乘分數的意義是求一個分數的幾分之幾是多少。
計算方法：用分子相乘的積做分子，用分母相乘的積做分母。如果含有帶分數，需要先將帶分數化成假分數再進行計算。
3. 簡便運算技巧
在計算過程中，能約分的要先約分，這樣可以減少計算量，使計算更加簡便。
如果分數乘法算式中含有帶分數，要先把帶分數化成假分數再計算。
分數化簡的方法是：分子、分母同時除以它們的最大公因數，得到最簡分數。
4. 分數的基本性質
分子、分母同時乘或者除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變。這是分數的基本性質，可以在簡便運算中靈活應用。
一、分數乘法混合運算易錯知識點
運算順序混淆
學生在進行分數混合運算時，容易混淆運算順序，尤其是當題目中同時包含乘法和加減法時。
易錯點：未按照“先乘除后加減”的原則進行計算，或者未先計算括號內的內容。
解決方法：強調運算順序的重要性，通過大量練習加深理解。
分數與整數相乘時的約分錯誤
學生在將整數與分數相乘時，容易誤將整數與分數的分子進行約分，而不是與分母約分。
易錯點：整數與分數的約分對象混淆。
解決方法：明確整數只能與分數的分母進行約分，通過實例進行說明和練習。
分數乘分數時的計算錯誤
學生在計算分數乘分數時，容易忽略分子乘分子、分母乘分母的規則，或者忘記將結果約分到最簡形式。
易錯點：分子與分母的計算混淆，或者忘記約分。
解決方法：強調分子乘分子、分母乘分母的規則，并在計算后提醒學生約分。
二、分數乘法簡便運算易錯知識點
帶分數與假分數之間的轉換錯誤
在進行帶分數乘法時，學生容易忘記將帶分數轉換為假分數進行計算，或者轉換過程中出現錯誤。
易錯點：帶分數與假分數的轉換不準確。
解決方法：強調帶分數與假分數轉換的必要性，并通過練習鞏固轉換技巧。
簡便運算技巧的應用錯誤
學生在嘗試應用簡便運算技巧時，容易混淆不同的情況，或者在不適當的情況下使用這些技巧。
易錯點：簡便運算技巧的使用不當。
解決方法：明確各種簡便運算技巧的使用條件和范圍，并通過實例進行說明和練習。
對分數基本性質的理解不足
學生對分數的基本性質理解不足，導致在簡便運算中無法正確應用這些性質。
易錯點：對分數基本性質的理解不深刻。
解決方法：加強對分數基本性質的教學和練習，使學生深入理解這些性質并能夠靈活應用。
考點一：分數混合運算的計算方法
【典例精講】（2024六上·瑤海期末）直接寫出得數。
【變式演練01】（2024六上·確山期末）直接寫得數。
60÷80%= 0.125××8= （+）×12= -×=
【變式演練02】（2024六上·淮濱月考）選擇合適的方法計算。
①＋8× ②×－×
③－86× ④36×（＋－）
考點二：分數混合運算中單位“1”的量連續增加或減少問題
【典例精講】（2024六上·坪山期末）一條6米長的彩帶，先剪去，再剪去米，還剩（　　）米。
A．5.2 B．4.8 C．3.2 D．1.2
【變式演練01】（2024六上·東源期末） 兩根同樣長的鐵絲，第一根剪去m，第二段剪去，（　　）剩余的鐵絲長。
A．第一段 B．第二段 C．一樣 D．無法比較
【變式演練02】（2024六上·慈溪期末）兩條同樣長2米的繩子，第一條截去米，第二條截去全長的，這兩條繩子剩余的部分一樣長。（　　）
【變式演練03】（2023六上·丘北月考）一桶水有5L，先用去，又用去了L，還剩4.6L。（　　）
考點三：結合線段圖解決實際問題
【典例精講】（2024六上·海口期末）看圖列式計算。
【變式演練01】（2023六上·期末）看圖列式計算。
【變式演練02】（2023六上·郯城月考）看圖列式計算。（每題3分，共6分）
（1）
（2）
考點四：求比一個量多幾分之幾和少幾分之幾的問題
【典例精講】（2024六上·沐川期末）算式20×（1－）可以解決下面的（　　）問題。
A．一條繩子用去20m，用去的比剩下的少，剩下多少米？
B．一條繩子長20m，用去了m，還剩下多少米？
C．一條繩子長20m，用去它的后，還剩下多少米？
D．一條繩子長20m，另一條繩子的長度是它的，另一條繩子長多少米？
【變式演練01】（2023六上·福田月考）紅球的個數比白球多，白球比紅球少（　　）。
A． B． C． D．
【變式演練02】（2024六上·天臺期末）比30噸多是　 　噸。
56平方米比　 　平方米少
【變式演練03】（2024六上·英山期末）　 　m比24m多；60kg比　 　kg少 40%；75m增加是　 　m。
考點五：較復雜的分數乘法混合運算應用題
【典例精講】（2024六上·天臺期末）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是：一根一尺長的木棒（尺，中國古代長度單位），今天截取它的一半，明天接著截取它剩下的一半，即這樣一直取下去，永遠也取不完。照這樣計算，取完3天后，這根木棒還剩下　 　尺。
【變式演練01】（2024六上·丹江口期末）甲乙丙三個小組共植樹144棵，甲組植了總數的，乙組和丙組植樹的棵數之比是5∶3，丙組植了多少棵樹？
【變式演練02】（2024六上·蒲城月考）某村收獲的小麥放在甲、乙兩個倉庫，已知甲、乙兩個倉庫共有小麥400噸，甲倉庫運出100噸后，甲倉庫剩余小麥質量是乙倉庫的，原來甲、乙兩倉庫各有小麥多少噸？
考點六：分數乘法混合運算簡便運算的計算
【典例精講】（2024六上·三門期末）遞等式計算。
【變式演練】（2024六上·鄆城期末）脫式計算，能簡算的要簡算。
考點六：判斷簡便運算算式中運用的運算律
【典例精講】（2023六上·上思）計算 時，運用（　　）可以使計算簡便。
A．乘法交換律 B．乘法結合律 C．乘法分配律
【變式演練01】6×- = ×（6-1）應用了乘法分配律。（　　）（判斷正誤）
【變式演練02】（2022六上·鎮原期中）計算87×=（86+1）×=86×+時，運用了乘法分配律。（　　）（判斷正誤）
【變式演練03】（2023六上·臨漳月考） ， 這是運用了乘法　 　律；
，這是運用了乘法　 　律。
考點七：比較分數乘法簡便運算算式結果大小
【典例精講】（2023六上·錢塘）在橫線上填上“>、<或=”。
　 　 4.8×（）　 　4.8×
【變式演練】（2023六上·惠陽月考）在橫線里填上“>”“<”或“=”。
　 　 25×（1-）　 　25×1-
　 　 24×　 　24×（）
基礎達標練
1．（2024六上·平湖期末）如下圖，要求一共有多少冊？列式錯誤的是（　　）。
A．360÷8 B．360÷5×8 C．x=360 D．360×(1-)
2．（2024六上·天臺期末）算式：，這一過程運用了（　　）。
A．乘法結合律 B．加法結合律 C．乘法分配律 D．加法分配律
3．（2024六上·坪山期末）下面各式中，與 ×10的值不相等的是（　　）。
A．（ + ）×5 B． ×5+3
C． ×9+ D． ×9+1
4．（2023·祁陽）1立方米的水結成冰，體積比水增加，這塊冰再融化成水，休粉減小。（　　）（判斷正誤）
5．（2023六上·漢川期中）一件商品，先漲價，后又降價，價格不變。（　　）（判斷正誤）
6．30米剪去它的，又增加剩下的，結果還是30米。（　　）（判斷正誤）
7．（2024六上·蕭山月考）小明一家都很喜歡吃糍粑，小明吃了千克的糍粑，媽媽比小明多吃了，爸爸比小明多吃了千克，媽媽吃了　 　千克，爸爸吃了　 　千克。
8．（2024六上·天臺期末）一項工程，如果甲隊單獨做，10天完成；如果乙隊單獨做，15天完成，甲乙兩隊合做3天后，還剩下這項工程的　 　；在這里，算式能解決的問題是　 　。
9．（2023六上·如皋月考）一塊長方形菜地，寬是3米，長比寬多，長是　 　米。若長增加，寬增加，則現在的面積是原來菜地面積的　 　；若長增加，寬減少。則現在的面積與原來菜地的面積的比是　 　。
10．（2024六上·深圳期末）學校的閱讀角準備補充一些書籍，其中科普類書籍購買了240本，文學類書籍的數量比科普類多，學校采購了多少本文學類書籍？
11．（2024六上·亭湖期末）中國四大名著之一的《水滸傳》中梁山好漢共有108將，其中正將占總數的，其余是副將。這108將中男將105員，女將3員。
（1）副將有多少員
（2）小莉根據上面的信息，解決了一個問題，下面虛線方框里是她列的算式：
根據這道算式，你認為小莉解決了什么問題？寫在下面的橫線上。
　 　
能力拔高練
1．（2024六上·連南期末） 學校合唱隊有男生24人，女生人數比男生多。女生有（　　）人。
A．32 B．30 C．16 D．8
2．（2023六上·錢塘期末）笑笑同學在計算20-n×時，錯誤地計算成了(20-n)×，比正確的得數少（　　）
A．10 B．8 C．15 D．4
3.（2023六上·增城期末）一雙鞋的原價是200元，先將它的價格漲價，然后又降低，現在的價格（　　）。
A．與原價相等 B．比原價高 C．比原價低 D．無法比較
4．（2022六上·平橋期中）房價漲幅就是說目前的房價相比之前房價的上漲幅度，其計算公式如下：漲幅比例＝（現售房價﹣原售房價）÷原售房價。同理，降幅就是目前的房價相比之前房價的下降幅度。A市某樓盤9月份房價相對于8月份每平方米降幅為，該樓盤10月份相對于9月份每平方米漲幅為，下列判斷正確的是（　　）
A．10月份房價與8月份持平
B．10月份房價與8月份相比略有上漲
C．10月份房價與8月份相比略有下降
D．相比之下這三個月10月份房價最高
5．（2023六上·方城月考）五(2)班有學生58人，選出男生人數的和5名女生參加學校活動，這時班級還剩47人，五(2)班原有男生　 　人，女生　 　人。
6．（2023六上·離石期末）加工一批零件，第一天加工了這批零件的，第二天加工了剩下的，第二天加工了總數的　 　，還剩　 　沒加工。
7．（2020六上·濱海期末）科技興趣小組人數在40~50之間，女生人數占全組總人數的 ，科技小組的男生有　 　人。
8．用簡便方法計算。
41 × +51 × +61 ×
（2023六上·南海月考）有一批木材共重4038噸，第一次運走，第二次運走余下的，第三次運走余下的，最后一次運走余下的，這批木材還剩下多少噸？
10．（2023六上·臨朐）根據要求選擇合適的信息并解答。
①陽光小學六年級有學生280人 ⑤五年級的人數比四年級多40人
②五年級的人數比四年級多⑥四年級有多少人？
③三年級人數比六年級少⑦二年級有多少人？
④六年級人數比二年級多⑧三年級有多少人？
（1） 要求“二年級有多少人”需要選擇的信息是（　　）（填序號），畫出線段圖分析數量關系，只列算式或方程不解答。
（2）自己再選擇一個問題，根據問題選擇合適的條件解答。
我選擇的問題是（　　），信息是（　　）。（填序號）
我的解答：專題03 分數乘法混合運算和簡便運算
（新知講練+高頻易錯點+七大考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復習到預習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內容！結合變式訓練提升知識點應用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對常考題型易錯點內容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節內容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結合變式演練，舉一反三訓練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎夯實+沖刺拔高】真題練：結合近兩年常考真題，易錯題，經典題型等進一步鞏固所學內容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
考點一：分數混合運算的計算方法 5
考點二：分數混合運算中單位“1”的量連續增加或減少問題 8
考點三：結合線段圖解決實際問題 10
考點四：求比一個量多幾分之幾和少幾分之幾的問題 11
考點五：較復雜的分數乘法混合運算應用題 14
考點六：分數乘法混合運算簡便運算的計算 15
考點六：判斷簡便運算算式中運用的運算律 18
考點七：比較分數乘法簡便運算算式結果大小 19
基礎達標練 20
能力拔高練 26
1.知道分數混合運算的順序與整數混合運算的順序相同，能熟練進行分數混合運算；理解整數乘法運算定律對于分數乘法同樣適用，并能應用運算定律進行簡便計算。
2.在觀察、遷移、嘗試練習、交流反饋等活動中，培養學生的推理能力及思維的靈活性。
3.在自主探索、合作交流的學習活動中，讓學生體會算法的多樣性及學習的樂趣。
重點：會計算分數的混合運算，能利用乘法的運算定律進行簡便計算。
難點：根據題目特點，靈活地運用運算定律進行簡便計算。
提問：
（1）分數混合運算的順序和整數混合運算的順序是否相同？
（2）整數乘法運算定律能不能推廣到分數？
知識點1：分數乘加、乘減的運算順序
問題：一個畫框的尺寸如右圖，做這個畫框需要多長的木條？
列式：
① ②
分數混合運算的順序和整數混合運算的順序相同嗎？你會自己計算這兩道算式嗎？
發現：分數混合運算的順序與整數混合運算的順序相同。
知識點2：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
問題：1. 觀察每組的兩個算式，看看它們有什么關系。
小結：
知識點3：運用乘法的運算定律，進行簡便計算
一、分數乘法混合運算
1. 運算順序
分數混合運算的運算順序與整數混合運算的運算順序相同，即：
先算乘法，后算加減法；
如果有括號，先算括號里面的，再算括號外面的。
2. 運算定律
整數乘法的運算定律對于分數乘法也同樣適用，包括：
乘法交換律：a×b=b×a
乘法結合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c
這些定律可以幫助我們簡化復雜的分數乘法運算。
二、分數乘法簡便運算
1. 分數乘整數
分數乘整數的意義與整數乘法的意義相同，就是求幾個相同加數的和的簡便運算。
計算方法：用分子乘整數的積作分子，分母不變。能約分的可以先約分，再計算。
2. 分數乘分數
分數乘分數的意義是求一個分數的幾分之幾是多少。
計算方法：用分子相乘的積做分子，用分母相乘的積做分母。如果含有帶分數，需要先將帶分數化成假分數再進行計算。
3. 簡便運算技巧
在計算過程中，能約分的要先約分，這樣可以減少計算量，使計算更加簡便。
如果分數乘法算式中含有帶分數，要先把帶分數化成假分數再計算。
分數化簡的方法是：分子、分母同時除以它們的最大公因數，得到最簡分數。
4. 分數的基本性質
分子、分母同時乘或者除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變。這是分數的基本性質，可以在簡便運算中靈活應用。
一、分數乘法混合運算易錯知識點
運算順序混淆
學生在進行分數混合運算時，容易混淆運算順序，尤其是當題目中同時包含乘法和加減法時。
易錯點：未按照“先乘除后加減”的原則進行計算，或者未先計算括號內的內容。
解決方法：強調運算順序的重要性，通過大量練習加深理解。
分數與整數相乘時的約分錯誤
學生在將整數與分數相乘時，容易誤將整數與分數的分子進行約分，而不是與分母約分。
易錯點：整數與分數的約分對象混淆。
解決方法：明確整數只能與分數的分母進行約分，通過實例進行說明和練習。
分數乘分數時的計算錯誤
學生在計算分數乘分數時，容易忽略分子乘分子、分母乘分母的規則，或者忘記將結果約分到最簡形式。
易錯點：分子與分母的計算混淆，或者忘記約分。
解決方法：強調分子乘分子、分母乘分母的規則，并在計算后提醒學生約分。
二、分數乘法簡便運算易錯知識點
帶分數與假分數之間的轉換錯誤
在進行帶分數乘法時，學生容易忘記將帶分數轉換為假分數進行計算，或者轉換過程中出現錯誤。
易錯點：帶分數與假分數的轉換不準確。
解決方法：強調帶分數與假分數轉換的必要性，并通過練習鞏固轉換技巧。
簡便運算技巧的應用錯誤
學生在嘗試應用簡便運算技巧時，容易混淆不同的情況，或者在不適當的情況下使用這些技巧。
易錯點：簡便運算技巧的使用不當。
解決方法：明確各種簡便運算技巧的使用條件和范圍，并通過實例進行說明和練習。
對分數基本性質的理解不足
學生對分數的基本性質理解不足，導致在簡便運算中無法正確應用這些性質。
易錯點：對分數基本性質的理解不深刻。
解決方法：加強對分數基本性質的教學和練習，使學生深入理解這些性質并能夠靈活應用。
考點一：分數混合運算的計算方法
【典例精講】（2024六上·瑤海期末）直接寫出得數。
【答案】
6

【思路點撥】除以一個數等于乘這個數的倒數；分數與分數相乘，分子與分子相乘的積做分子，分母與分母相乘的積作分母，能約分的要約分；乘百分數可以將百分數轉化成分數再計算；分數的混合運算與整數相同。
【變式演練01】（2024六上·確山期末）直接寫得數。
60÷80%= 0.125××8= （+）×12= -×=
【答案】60÷80%=75 0.125××8= （+）×12=5 -×=
【思路點撥】在含有百分數的計算中，可以把百分數化成小數或分數，然后進行計算即可；
分數乘分數，用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母，能約分的要約分；
乘法交換律：兩個數相乘，交換兩個因數的位置，積不變；0.125××8=0.125×8×；
乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，可以先把它們分別與這個數相乘，再相加；（+）×12=×12+×12=3+2=5。
【變式演練02】（2024六上·淮濱月考）選擇合適的方法計算。
①＋8×②×－×
③－86×④36×（＋－）
【答案】解： ＋8×
=＋
=1
×－×
=×（－）
=×
=
－86×
=12－（87－1）×
=12－87×＋1×
=12－11＋
=1
36×（＋－）
=36×＋36×－36×
=16＋30－10
=46－10
=36
【思路點撥】整數乘法分配律推廣到分數：a（b＋c）=ab＋ac
第一題：沒有括號，不同級運算，先算乘法，再算加法；
第二題：有相同因數，可以使用乘法分配律的逆運用進行簡便運算；
第三題：因為分數較大，可以想到約去分母，而因數86只需要寫成87－1就可以利用乘法分配律進行簡便運算；
第四題：通過觀察可知括號外的數是括號內分數的分母的倍數，因此利用乘法分配律去掉括號后計算將更簡便。
考點二：分數混合運算中單位“1”的量連續增加或減少問題
【典例精講】（2024六上·坪山期末）一條6米長的彩帶，先剪去，再剪去米，還剩（　　）米。
A．5.2 B．4.8 C．3.2 D．1.2
【答案】C
【規范解答】解：先剪去的長度：6×=2.4（米）
還剩的長度：6-2.4-=3.2（米）
故答案為：C。
【思路點撥】彩帶長×=第一次剪去的長度，彩帶長-第一次剪去的長度-第二次剪去的長度=還剩的長度。
【變式演練01】（2024六上·東源期末） 兩根同樣長的鐵絲，第一根剪去m，第二段剪去，（　　）剩余的鐵絲長。
A．第一段 B．第二段 C．一樣 D．無法比較
【答案】D
【規范解答】解：因為兩根鐵絲的總長未知，所以剩余的長度無法比較大小。
故答案為：D。
【思路點撥】剩下的長度=鐵絲的總長-用去的長度，因為兩根鐵絲的總長未知，所以剩余的長度無法比較大小。
【變式演練02】（2024六上·慈溪期末）兩條同樣長2米的繩子，第一條截去米，第二條截去全長的，這兩條繩子剩余的部分一樣長。（　　）
【答案】錯誤
【規范解答】解：第一條：2－=（米）
第二條：2×（1-）
=2×
=（米）
>
所以第一條繩子剩余的部分比第二條長。
故答案為：錯誤。
【思路點撥】“第一條截去米”中的“”是具體的長度，全長－截去的長度=剩余的長度；
“第二條截去全長的”中的“”表示把繩子全長看作單位“1”平均分成5份，截去的占其中的2份，所以：1－截去的份數=剩余部分占全長的份數，全長×（1－截去的份數）=剩余的長度；最后比較兩條繩子的剩余長度即可解答。
【變式演練03】（2023六上·丘北月考）一桶水有5L，先用去，又用去了L，還剩4.6L。（　　）
【答案】錯誤
【規范解答】解：5×（1-）-
=4-
=3.5（L）
故答案為：錯誤。
【思路點撥】這桶水先用去的升數=這桶水的升數×先用去幾分之幾，所以還剩的升數=這桶水的升數-先用去的升數-再用去的升數。
考點三：結合線段圖解決實際問題
【典例精講】（2024六上·海口期末）看圖列式計算。
【答案】解：20×（1+）
＝20×
＝24（人）
【思路點撥】女生的人數=男生的人數×（1+女生比男生多幾分之幾），據此列式作答即可。
【變式演練01】（2023六上·期末）看圖列式計算。
【答案】解：168×（1＋）
＝168×
＝216（t）
【思路點撥】已知白菜的重量和土豆的重量比白菜多，求土豆有多少噸。把白菜的重量看作單位“1”，白菜的重量×（1+土豆的重量比白菜多的分率）=土豆的重量。
【變式演練02】（2023六上·郯城月考）看圖列式計算。（每題3分，共6分）
（1）
（2）
【答案】（1）解：75×（1＋）
=75×
=125（朵）
（2）解：140××
=100×
=50（棵）
【思路點撥】（1）玫瑰花的朵數=菊花的朵數×（1＋多的分率）；
（2）松樹的棵數=柳樹的棵數×，其中，柳樹的棵數=楊樹的棵數×。
考點四：求比一個量多幾分之幾和少幾分之幾的問題
【典例精講】（2024六上·沐川期末）算式20×（1－）可以解決下面的（　　）問題。
A．一條繩子用去20m，用去的比剩下的少，剩下多少米？
B．一條繩子長20m，用去了m，還剩下多少米？
C．一條繩子長20m，用去它的后，還剩下多少米？
D．一條繩子長20m，另一條繩子的長度是它的，另一條繩子長多少米？
【答案】C
【規范解答】解：A項中，求剩下多少米，列式是：20÷（1-）；
B項中，求還剩下多少米，列式是：20-；
C項中，求還剩下多少米，列式是：20×（1-）；
D項中，求另一條繩子長多少米，列式是：20×。
故答案為：C。
【思路點撥】A項中，剩下的長度=用去的長度÷（1-用去的比剩下的少幾分之幾），據此列式作答即可；
B項中，還剩下的長度=繩子的長度-用去的長度，據此列式作答即可；
C項中，還剩下的長度=繩子的長度×（1-用去幾分之幾），據此列式作答即可；
D項中，另一條繩子的長度=這條繩子的長度×另一條繩子的長度是這條繩子的幾分之幾，據此列式作答即可。
【變式演練01】（2023六上·福田月考）紅球的個數比白球多，白球比紅球少（　　）。
A． B． C． D．
【答案】B
【規范解答】解：÷（1+）
=÷
=
故答案為：B。
【思路點撥】把白球看作單位“1”，紅球就是（1+）。求一個數比另一個數少幾分之幾，方法是：兩個數的差÷比后面的數。
【變式演練02】（2024六上·天臺期末）比30噸多是　 　噸。
56平方米比　 　平方米少
【答案】55；64
【規范解答】解：30×（1+）
=30×
=55（噸）
56÷（1-）
=56÷
=64（平方米）
故答案為：55；64。
【思路點撥】求比一個量多幾分之幾是多少，用這個量×（1+幾分之幾）
一個量比另一個量少幾分之幾，那么另一個量=這個量÷（1-幾分之幾）。
【變式演練03】（2024六上·英山期末）　 　m比24m多；60kg比　 　kg少 40%；75m增加是　 　m。
【答案】28；100；90
【規范解答】解：24×（1+）
=24×
=28（m）
60÷（1-40%）
=60÷60%
=100（kg）
75×（1+）
=75×
=90（m）
故答案為：28；100；90。
【思路點撥】求比一個數多幾分之幾的數是多少，用乘法計算，這個數×（1+幾分之幾）=對應的數；
已知比一個數少百分之幾的數是多少，要求這個數，用除法計算，一個數÷（1-百分之幾）=這個數；
求一個數增加幾分之幾是多少，用乘法計算，一個數×（1+幾分之幾）=對應的數。
考點五：較復雜的分數乘法混合運算應用題
【典例精講】（2024六上·天臺期末）“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”意思是：一根一尺長的木棒（尺，中國古代長度單位），今天截取它的一半，明天接著截取它剩下的一半，即這樣一直取下去，永遠也取不完。照這樣計算，取完3天后，這根木棒還剩下　 　尺。
【答案】
【規范解答】解：1×（1-）=（尺）
×（1-）=（尺）
×（1-）=（尺）
故答案為：。
【思路點撥】取完1天后還剩下的長度=木棒的長度×（1-截取幾分之幾），取完2天后還剩下的長度=取完1天后還剩下的長度×（1-截取幾分之幾），取完3天后還剩下的長度=取完2天后還剩下的長度×（1-截取幾分之幾），據此作答即可。
【變式演練01】（2024六上·丹江口期末）甲乙丙三個小組共植樹144棵，甲組植了總數的，乙組和丙組植樹的棵數之比是5∶3，丙組植了多少棵樹？（4分）
【答案】解：144×（1-）
=144×
=80（棵）
80×=30（棵）
答：丙組植了30棵樹。
【思路點撥】乙組和丙組植樹的棵數=甲乙丙三個小組共植樹的棵樹×（1-甲組植了總數的幾分之幾），所以丙組植樹的棵樹=乙組和丙組植樹的棵數×，據此代入數值作答即可。
【變式演練02】（2024六上·蒲城月考）某村收獲的小麥放在甲、乙兩個倉庫，已知甲、乙兩個倉庫共有小麥400噸，甲倉庫運出100噸后，甲倉庫剩余小麥質量是乙倉庫的，原來甲、乙兩倉庫各有小麥多少噸？
【答案】解：400－100=300（噸）
3＋2=5
300×=180（噸）
300×＋100
=120＋100
=220（噸）
答：甲倉庫有小麥220噸、乙倉庫有小麥180噸。
【思路點撥】根據“甲倉庫運出100噸后”可知甲、乙兩個倉庫現有小麥400－100=300（噸），
再根據“甲倉庫剩余小麥質量是乙倉庫的”可知：甲倉庫剩余小麥占2份，乙倉庫占3份，兩個倉庫現有小麥一共平均分成3＋2=5份，那么根據分數的意義可知甲倉庫剩余小麥占兩個倉庫現有小麥總量的，乙倉庫小麥占兩個倉庫現有小麥總量的，因此，兩個倉庫現有小麥×乙倉庫占的份數=乙倉庫原有小麥數量，兩個倉庫現有小麥×甲倉庫剩余小麥占的份數=甲倉庫剩余小麥數量，甲倉庫剩余小麥數量＋甲倉庫運出的小麥數量=甲倉庫原有小麥數量。
考點六：分數乘法混合運算簡便運算的計算
【典例精講】（2024六上·三門期末）遞等式計算。
【答案】解：
=÷
=
=0.75+0.2
=0.95
=（+）×
=1×
=
=7.2×-7.2×
=4-2.7
=1.3
=（2.5×0.4）×（×8.5）
=1×
=
=20÷[×]
=20÷
=60
【思路點撥】在沒有小括號，只有乘除法的計算中，要按照順序從左往右依次計算；
在沒有小括號，既有乘除法，又有加減法的計算中，要先算乘除法，再算加減法；
乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）；
小數的連乘計算中，可以把乘起來是整數的數利用乘法交換律和結合律進行簡便計算；
在既有小括號，又有中括號的計算中，要先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算中括號外面的。
【變式演練】（2024六上·鄆城期末）脫式計算，能簡算的要簡算。
【答案】解：
=÷
=
=×（+）
=×
=
=÷[×]
=÷
=
=÷+
=+=
【思路點撥】在沒有小括號，只有乘除法的計算中，要按照順序從左往右依次計算；
乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）；
在既有小括號，又有中括號的計算中，要先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算中括號外面的；
在有小括號的計算中，要先算小括號里面的，再算小括號外面的。
考點六：判斷簡便運算算式中運用的運算律
【典例精講】（2023六上·上思）計算 時，運用（　　）可以使計算簡便。
A．乘法交換律 B．乘法結合律 C．乘法分配律
【答案】C
【規范解答】解：（＋）×45
=×45＋×45
=20＋6
=26，應用乘法分配律簡便運算。
故答案為：C。
【思路點撥】乘法分配律：兩個數的和與一個數相乘，等于這兩個數分別與這個數相乘，再把所得的積相加；計算（＋）×45時，括號里面的兩個數分別與45相乘后，再把所得的積相加，是應用乘法分配律簡便運算的。
【變式演練01】6×- = ×（6-1）應用了乘法分配律。（　　）（判斷正誤）
【答案】正確
【規范解答】解：6×-
=6×- ×1
= ×（6-1），應用了乘法分配律。
故答案為：正確。
【思路點撥】計算6×- 時，可以先用乘（6-1），應用了乘法分配律。
【變式演練02】（2022六上·鎮原期中）計算87×=（86+1）×=86×+時，運用了乘法分配律。（　　）（判斷正誤）
【答案】正確
【規范解答】解：這個計算過程用的是乘法分配律。
故答案為：正確。
【思路點撥】乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c），據此作答即可。
【變式演練03】（2023六上·臨漳月考） ， 這是運用了乘法　 　律；
，這是運用了乘法　 　律。
【答案】交換；分配
【規范解答】解：第一個算式運用了乘法交換律；
第二個算式運用了乘法分配律。
故答案為：交換；分配。
【思路點撥】乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變；
乘法分配律：一個相同的數分別同兩個不同的數相乘，積相加，等于這個相同的數乘另外兩個不同數的和。
考點七：比較分數乘法簡便運算算式結果大小
【典例精講】（2023六上·錢塘）在橫線上填上“>、<或=”。
　 　 4.8×（）　 　4.8×
【答案】>；>
【規范解答】解：因為＜1，所以 ＞ ；
4.8×（）=4.8×＋4.8×，因為4.8＞1，所以4.8×（）＞4.8×。
故答案為：＞；＞。
【思路點撥】一個數（0和負數除外）除以小于1的數，所得的商大于原來的數；反之，商小于原來的數；一個數（0和負數除外）乘小于1的數，所得的積小于原來的數，反之，積大于原來的數。
【變式演練】（2023六上·惠陽月考）在橫線里填上“>”“<”或“=”。
　 　 25×（1-）　 　25×1-
　 　 24×　 　24×（）
【答案】>；<；>；＜
【規范解答】解：×（1+）=×=＜，＞，所以×（1+）＞；
25×（1-）=25×=10，25×1-=24，所以25×（1-）＜25×1-；
++＞，＜，所以++＞；
24×（+）=24×+24×，所以24×+＜24×（+）。
故答案為：＞；＜；＞；＜。
【思路點撥】先計算，再根據計算的結果比較大小。
基礎達標練
1．（2024六上·平湖期末）如下圖，要求一共有多少冊？列式錯誤的是（　　）。
A．360÷8 B．360÷5×8 C．x=360 D．360×(1-)
【答案】B
【規范解答】解：每份是：360÷5=72(冊)
總冊數：72×8=576(冊)
列成綜合算式就是：360÷5×8=576(冊)
故答案為：B。
【思路點撥】由圖可知，全部平均分成8份，360冊占了其中的5份，因此可以先用除法求出每份是多少冊，再乘8就是總冊數。
2．（2024六上·天臺期末）算式：，這一過程運用了（　　）。
A．乘法結合律 B．加法結合律 C．乘法分配律 D．加法分配律
【答案】C
【規范解答】解：運用了乘法分配律。
故答案為：C。
【思路點撥】乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c），據此作答即可。
3．（2024六上·坪山期末）下面各式中，與 ×10的值不相等的是（　　）。
A．（ + ）×5 B． ×5+3
C． ×9+ D． ×9+1
【答案】D
【規范解答】解：×10=6；
A項：（＋）×5
=×5
=6；
B項：×5＋3
=3＋3
=6；
C項：×9＋
=×（9＋1）
=×10
=6；
D項：×9＋1
=5.4＋1
=6.4。
故答案為：D。
【思路點撥】A項：先算括號里面的，再算括號外面的；
B項：先算乘法，再算加法；
C項：運用乘法分配律簡便運算；
D項：先算乘法，再算加法。
4．（2023·祁陽）1立方米的水結成冰，體積比水增加，這塊冰再融化成水，休粉減小。（　　）（判斷正誤）
【答案】正確
【規范解答】解：水結成冰的體積：1×（1+）=（立方米），
冰再融化成水減少的體積：（-1）÷=×=，
原題說法正確。
故答案為：正確。
【思路點撥】求比一個數多幾分之幾的數是多少，方法是：這個數×（1+多的幾分之幾），據此求出冰的體積；求一個數比另一個數少幾分之幾，方法是：兩個數的差÷比后面的數；據此求出冰再融化成水減少的體積。
5．（2023六上·漢川期中）一件商品，先漲價，后又降價，價格不變。（　　）（判斷正誤）
【答案】錯誤
【規范解答】解：1×（1＋）×（1-）
=×
=
＜1，價格降低。
故答案為：錯誤。
【思路點撥】把這件商品的原價看作單位“1”，現價=原價×（1＋漲價的分率）×（1-降價的分率），然后和原價比較大小。
6．30米剪去它的，又增加剩下的，結果還是30米。（　　）（判斷正誤）
【答案】錯誤
【規范解答】解：30-30×
=30-15
=15（米）
15＋15×
=15＋7.5
=22.5（米）。
故答案為：錯誤。
【思路點撥】結果還剩下的米數=第一次剩下的米數＋第一次剩下的米數×增加的分率；其中，第一次剩下的米數=30米-30×剪去的分率。
7．（2024六上·蕭山月考）小明一家都很喜歡吃糍粑，小明吃了千克的糍粑，媽媽比小明多吃了，爸爸比小明多吃了千克，媽媽吃了　 　千克，爸爸吃了　 　千克。
【答案】；
【規范解答】解：×（1+）
=×
=（千克）；
+=（千克）。
故答案為：；。
【思路點撥】媽媽吃的質量=小明吃的質量×（1+媽媽比小明多吃幾分之幾）；
爸爸吃的質量=小明吃的質量+爸爸比小明多吃的質量。
8．（2024六上·天臺期末）一項工程，如果甲隊單獨做，10天完成；如果乙隊單獨做，15天完成，甲乙兩隊合做3天后，還剩下這項工程的　 　；在這里，算式能解決的問題是　 　。
【答案】；甲乙兩人合作完成這項工程的需要的天數
【規范解答】解：1-（+）×3=1-=；
算式能解決的問題是：甲乙兩人合作完成這項工程的需要的天數。
故答案為：；甲乙兩人合作完成這項工程的需要的天數。
【思路點撥】把這項工程看成單位“1”，那么甲乙兩隊合做3天后，還剩下這項工程的幾分之幾=1-兩隊每天一共完成這項工程的幾分之幾×3；
+表示兩隊每天一共完成這項工程的幾分之幾，那么能解決的問題是：甲乙兩人合作完成這項工程的需要的天數。
9．（2023六上·如皋月考）一塊長方形菜地，寬是3米，長比寬多，長是　 　米。若長增加，寬增加，則現在的面積是原來菜地面積的　 　；若長增加，寬減少。則現在的面積與原來菜地的面積的比是　 　。
【答案】4；；1：1
【規范解答】解：3×（1＋）
=3×
=4（米）；
4×3=12（平方米）
4×（1＋）
=4×
=5（米）
3×（1＋）×5
=3××5
=20（米）
20÷12=；
4×（1＋）
=4×
=6（米）
3×（1-）
=3×
=2（米）
（6×2）：12=1：1。
故答案為：4；；1：1。
【思路點撥】求比單位“1”多或少幾分之幾的數是多少，用乘加或乘減計算；分別計算出變化后長方形的長、寬，長方形的面積=長×寬，然后求出面積，再寫出比。
10．（2024六上·深圳期末）學校的閱讀角準備補充一些書籍，其中科普類書籍購買了240本，文學類書籍的數量比科普類多，學校采購了多少本文學類書籍？
【答案】解：240×（1+）
=240×
=336（本）
答：學校采購了336本文學類書籍。
【思路點撥】根據條件可知，把科普類的數量看作單位“1”，科普類的數量×（1+）=文學類的書籍數量。
11．（2024六上·亭湖期末）中國四大名著之一的《水滸傳》中梁山好漢共有108將，其中正將占總數的，其余是副將。這108將中男將105員，女將3員。
（1）副將有多少員
（2）小莉根據上面的信息，解決了一個問題，下面虛線方框里是她列的算式：
根據這道算式，你認為小莉解決了什么問題？寫在下面的橫線上。
　 　
【答案】（1）解：108×（1－）
=108×
=72（員）
答：副將有72員。
（2）女將比男將少幾分之幾或女將比男將少百分之幾？
【規范解答】解：（2）105-3表示女將比男將少的部分，然后除以105，表示女將比男將少幾分之幾或女將比男將少百分之幾？
故答案為：女將比男將少幾分之幾或女將比男將少百分之幾？
【思路點撥】（1）副將的人數=梁山好漢×（1-正將占總數的幾分之幾），據此代入數值作答即可；
（2）105表示男將，3表示女將，105-3表示男將比女將多的人數，所以（105-3）÷105解決的問題是女將比男將少幾分之幾或女將比男將少百分之幾？
能力拔高練
1．（2024六上·連南期末） 學校合唱隊有男生24人，女生人數比男生多。女生有（　　）人。
A．32 B．30 C．16 D．8
【答案】A
【規范解答】解：24×(1+)
=24×
=32(人)
故答案為：A。
【思路點撥】女生人數比男生人數多，是把男生人數看作單位“1”，那么女生人數就是男生人數的(1+)，求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算。
2．（2023六上·錢塘期末）笑笑同學在計算20-n×時，錯誤地計算成了(20-n)×，比正確的得數少（　　）
A．10 B．8 C．15 D．4
【答案】B
【規范解答】解：20-n×-（20-n）×
=20-n×-20×＋n×
=20-12
=8。
故答案為：B。
【思路點撥】計算（20-n）×時，運用乘法分配律，（20-n）×=20×＋n×，然后再相減。
3.（2023六上·增城期末）一雙鞋的原價是200元，先將它的價格漲價，然后又降低，現在的價格（　　）。
A．與原價相等 B．比原價高 C．比原價低 D．無法比較
【答案】C
【規范解答】解：200×（1＋）×（1-）
=200××
=220×
=198（元）
200元＞198元。
故答案為：C。
【思路點撥】現在的價格=原價×（1＋漲價的分率）×（1-降價的分率），然后和原價比較大小。
4．（2022六上·平橋期中）房價漲幅就是說目前的房價相比之前房價的上漲幅度，其計算公式如下：漲幅比例＝（現售房價﹣原售房價）÷原售房價。同理，降幅就是目前的房價相比之前房價的下降幅度。A市某樓盤9月份房價相對于8月份每平方米降幅為，該樓盤10月份相對于9月份每平方米漲幅為，下列判斷正確的是（　　）
A．10月份房價與8月份持平
B．10月份房價與8月份相比略有上漲
C．10月份房價與8月份相比略有下降
D．相比之下這三個月10月份房價最高
【答案】C
【規范解答】解：1×（1-）×（1＋）
=×
=
＜1。
故答案為：C。
【思路點撥】把8月份的房價看作單位“1”，10月份的房價=1×（1-降價的分率）×（1＋漲價的分率），然后比較大小。
5．（2023六上·方城月考）五(2)班有學生58人，選出男生人數的和5名女生參加學校活動，這時班級還剩47人，五(2)班原有男生　 　人，女生　 　人。
【答案】30；28
【規范解答】解：58-47-5=6（人），6÷=30（人），所以原來男生有30人，58-30=28（人），所以原來女生有28人。
故答案為：30；28。
【思路點撥】選出的男生人數=一共有學生的人數-選出后還剩的人數-選出女生的人數，所以原來男生人數=選出的男生人數÷選出的男生人數占幾分之幾，那么原來女生人數=一共有學生的人數-選出的男生人數。
6．（2023六上·離石期末）加工一批零件，第一天加工了這批零件的，第二天加工了剩下的，第二天加工了總數的　 　，還剩　 　沒加工。
【答案】；
【規范解答】解：第一問：（1-）×=×=；
第二問：1--=。
故答案為：；。
【思路點撥】第一問：把這批零件看作單位“1”，用1減去第一天用去的分率求出還剩的分率，用還剩的分率乘即可求出第二天加工了總數的幾分之幾。
第二問：用1減去第一天用去的分率，再減去第二天用去了總數的分率即可求出沒有加工的分率。
7．（2020六上·濱海期末）科技興趣小組人數在40~50之間，女生人數占全組總人數的 ，科技小組的男生有　 　人。
【答案】20
【規范解答】解：40到50之間只有44是11的倍數，所以總人數是44人，男生人數：44-44×=44-24=20（人）。
故答案為：20。
【思路點撥】要把總人數平均分成11份，所以總人數是44人。用總人數乘女生占的分率求出女生人數，再用總人數減去女生人數求出男生人數。
8．用簡便方法計算。
41 × +51 × +61 ×
【答案】解：原式=（40+ ）× +（50+ ）× +（60+ ）×
=30+1+40+1+50+1
=123
【思路點撥】觀察數據可知，先把帶分數寫成整數與分數相加的形式，然后應用乘法分配律簡算，據此解答。
9．（2023六上·南海月考）有一批木材共重4038噸，第一次運走，第二次運走余下的，第三次運走余下的，最后一次運走余下的，這批木材還剩下多少噸？
【答案】解：4038×（1-）×（1-）×（1-）×……×（1-）
＝4038
＝4038
＝2（噸）
答：這批木材還剩下2噸。
【思路點撥】這批木材還剩下的質量=這批木材的總質量×剩下的分率。其中，剩下的分率=1-分別運走的分率。
10．（2023六上·臨朐）根據要求選擇合適的信息并解答。
①陽光小學六年級有學生280人 ⑤五年級的人數比四年級多40人
②五年級的人數比四年級多⑥四年級有多少人？
③三年級人數比六年級少⑦二年級有多少人？
④六年級人數比二年級多⑧三年級有多少人？
（1） 要求“二年級有多少人”需要選擇的信息是（　　）（填序號），畫出線段圖分析數量關系，只列算式或方程不解答。
（2）自己再選擇一個問題，根據問題選擇合適的條件解答。
我選擇的問題是（　　），信息是（　　）。（填序號）
我的解答：
【答案】（1）解：要求“二年級有多少人”需要選擇的信息是①④，
列式：280÷（1+）
（2）解：我選擇的問題是三年級有多少人，信息是①③。
我的解答：280×（1-）
=280×
=252（人）
答：三年級有252人。
【思路點撥】（1）二年級的人數看作單位1，六年級的人數÷六年級的人數對應二年級人數的分率=二年級的人數；
（2）求比一個數少幾分之幾的數是多少，方法是：這個數×（1-少的幾分之幾）；據此解答，答案不唯一。

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