資源簡介

專題03 圓的面積（一）
（新知講練+高頻易錯點+考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復習到預習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內容！結合變式訓練提升知識點應用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對常考題型易錯點內容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節(jié)內容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結合變式演練，舉一反三訓練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎夯實+沖刺拔高】真題練：結合近兩年常考真題，易錯題，經(jīng)典題型等進一步鞏固所學內容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
考點：圓的面積 6
基礎達標練 9
能力拔高練 15
1.學習目標描述：了解圓的面積的含義，經(jīng)歷圓面積計算公式的推導過程，掌握圓面積計算公式；在探究圓面積公式的活動中，體會“化曲為直”的思想。
2.學習內容分析：圓的面積是學生了解和掌握了圓的特征，學會計算圓的周長以及學習直線圍成的平面圖形的面積計算方法的基礎上進行教學的。由此教材在安排學習圓的面積公式時，運用了遷移和
同化的理念，將“化曲為直”的轉化思想確立為本節(jié)課的教學重點。通過一系列的活動將新的教學思想納入到學生原有的認識結構之中，從而完成新知的構建過程。
3.學科核心素養(yǎng)分析：在探究新知的過程中，組織學生利用學具開展探究性的數(shù)學活動，注重知識的發(fā)現(xiàn)和探究過程，讓學生從中獲得學習數(shù)學的積極情感體驗和感受數(shù)學的價值，增強學生的空間觀念、空間觀念和推理意識。
新課導入
1.說說什么是圖形的面積？
圖形所占平面的大小叫做圖形的面積。
2. 回憶一下，平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式是怎樣推到得出來的？
新課講授
圓所占平面的大小叫做圓的面積
思考：如何得到一個圓的面積呢？想一想
在圓中畫出一個最大的正方形。
我能求出正方形的面積，剩余的面積怎么辦呢？
畫方格數(shù)一數(shù)
不是整格的怎么辦呢？
思考：能否將圓轉化成以前學過的圖形？
想一想，圓等分的份數(shù)越多，拼出的圖形就越接近什么形狀？
拼成的平行四邊形與原來的圓之間有什么聯(lián)系呢？
思考提示：
1.圓的面積與平行四邊形的面積有什么關系？
2.平行四邊形的底相當于圓的什么？平行四邊形的高呢？
3.你能平行四邊形的面積推導出圓的面積公式嗎？
歸納總結：
知識點01：圓的面積概念
圓的面積是指圓所占平面的大小。
知識點02：圓的面積計算公式
圓的面積公式為：S = πr ，其中S表示圓的面積，r表示圓的半徑，π是一個常數(shù)，大約等于3.14159。
圓的面積公式也可以表示為：S = π(d/2) ，其中d表示圓的直徑。
當知道圓的周長C時，可以通過公式C = 2πr求出半徑r，進而使用面積公式S = πr 求出面積。
知識點03：圓的面積公式的推導
推導圓的面積公式時，通常采取“化曲為直”的思想。具體方法是：將圓分成若干等份，剪開后拼接成一個近似的長方形。這個長方形的長相當于圓周長的一半，即πr；寬相當于圓的半徑，即r。因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積= πr×r，即S = πr 。
知識點04：應用圓的面積公式
已知圓的半徑或直徑，可以直接使用圓的面積公式求出圓的面積。
已知圓的周長，可以先通過周長公式求出半徑，再使用面積公式求出面積。
在實際問題中，經(jīng)常需要用到圓的面積知識來解決與圓相關的面積問題。
知識點05：拓展知識點
半圓面積：半圓的面積等于圓的面積的一半，公式為S = πr /2。
環(huán)形面積：環(huán)形是由兩個半徑不同的同心圓所圍成的圖形。其面積等于外圓面積減去內圓面積，公式為S = π(R -r )，其中R為外圓半徑，r為內圓半徑。
易錯知識點01：圓的面積公式理解與應用
公式記憶：圓的面積公式是S = πr ，其中S表示面積，r表示半徑，π是圓周率，大約等于3.14。學生需要牢記這個公式，并能準確應用。
混淆周長與面積：學生容易混淆圓的周長和面積的概念。周長是圍繞圓一周的長度，而面積是圓所占的平面大小。兩者在計算公式和單位上都有所不同。
易錯知識點02：半徑、直徑與面積的關系
半徑與直徑的關系：半徑是直徑的一半，即r = d/2。在計算圓的面積時，需要使用半徑而不是直徑。學生需要明確這一點，避免在計算過程中混淆。
半徑變化對面積的影響：當圓的半徑擴大或縮小時，其面積會按照半徑平方的倍數(shù)擴大或縮小。例如，如果半徑擴大2倍，面積將擴大4倍（即2 倍）。學生需要理解這種倍數(shù)關系，并能在實際問題中正確應用。
易錯知識點03：半圓與圓環(huán)的面積計算
半圓面積：半圓的面積是整圓面積的一半，即S = πr /2。學生需要注意這個“一半”的關系，并避免在計算半圓面積時錯誤地使用整圓的面積公式。
圓環(huán)面積：圓環(huán)是由兩個半徑不同的同心圓所圍成的圖形。其面積等于外圓面積減去內圓面積，即S = π(R -r )，其中R為外圓半徑，r為內圓半徑。學生需要明確圓環(huán)面積的計算方法，并能在實際問題中正確應用。
易錯知識點04：單位換算與精確計算
單位換算：在計算圓的面積時，需要注意單位的一致性。如果題目中給出的半徑或直徑的單位不是米或厘米等常用單位，需要進行單位換算。學生需要掌握常見的長度單位換算關系，并能在計算過程中正確應用。
精確計算：在計算圓的面積時，需要注意保留足夠的精度。由于π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，因此在計算過程中需要保留一定的小數(shù)位數(shù)或使用近似值。學生需要了解這一點，并能在計算過程中根據(jù)實際情況選擇適當?shù)木取?br/>考點：圓的面積
【典例精講】（23-24六年級上·山西呂梁·期末）我是小小的裁剪師！先裁下一張周長是25.12cm的圓形紙片，這張紙片的直徑是( )cm，再沿直徑裁成兩個半圓，每個半圓的周長是( )cm。
【變式演練01】（23-24六年級上·四川成都·期末）笑笑在做手工時用卡紙剪下兩個圓片（如圖）。其中一個圓片的直徑是( )厘米，一個圓片周長是( )厘米，一個圓片的面積是( )平方厘米。
【答案】 6 18.84 28.26
【思路點撥】看圖可知，圓的直徑＝長方形的長÷2，根據(jù)圓的周長＝圓周率×直徑，圓的面積＝圓周率×半徑的平方，列式計算即可。
【規(guī)范解答】12÷2＝6（厘米）
3.14×6＝18.84（厘米）
3.14×（6÷2）2
＝3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
其中一個圓片的直徑是6厘米，一個圓片周長是18.84厘米，一個圓片的面積是28.26平方厘米。
【變式演練02】（23-24六年級上·四川成都·期末）在寬為2厘米、長是10厘米的長方形內，最多能剪( )個半徑是1厘米的圓，剩余部分的面積是( )平方厘米。
【答案】 5 4.3
【思路點撥】已知圓的直徑是（1×2）厘米，也就是2厘米，所以長方形的寬包含1個2厘米，長10厘米包含5個2厘米，所以用乘法1×5即可求出可以剪幾個圓，根據(jù)長方形的面積＝長×寬，求出長方形的面積，再根據(jù)圓面積公式：S＝πr2，代入數(shù)據(jù)求出一個圓的面積，再乘5即可求出5個圓面積，然后用長方形的面積減去5個圓面積，即可求出剩余部分的面積。
【規(guī)范解答】1×2＝2（厘米）
2÷2＝1（個）
10÷2＝5（個）
1×5＝5（個）
2×10＝20（平方厘米）
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
3.14×5＝15.7（平方厘米）
20－15.7＝4.3（平方厘米）
最多能剪5個半徑是1厘米的圓，剩余部分的面積是4.3平方厘米。
【變式演練03】（23-24六年級上·遼寧·課后作業(yè)）根據(jù)下面的條件，求各圓的面積。
（1）r＝4cm
（2）d＝1.4dm
（3）C＝6.28cm
【答案】（1）50.24cm2
（2）1.5386dm2
（3）3.14cm2
【思路點撥】（1）已知圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出圓的面積；
（2）已知圓的直徑，先根據(jù)r＝d÷2，求出圓的半徑，再根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出圓的面積；
（3）已知圓的周長，先根據(jù)r＝C÷π÷2，求圓的半徑；再根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出圓的面積。
【規(guī)范解答】（1）3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（cm2）
圓的面積是50.24cm2。
（2）3.14×（1.4÷2）2
＝3.14×0.72
＝3.14×0.49
＝1.5386（dm2）
圓的面積是1.5386dm2。
（3）6.28÷3.14÷2＝1（cm）
3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（cm2）
圓的面積是3.14cm2。
4．（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）如圖，把一個圓分成若干等份后，還可以拼成近似的長方形。拼成的圖形與原來的圓之間有什么聯(lián)系？推導一下圓的面積計算公式。
【答案】見詳解
【思路點撥】把一個圓分成若干等份后，拼成近似的長方形后，這個近似長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，長方形的面積相當于圓的面積。長方形的面積＝長×寬，則圓的面積＝圓周長的一半×半徑，圓的半徑用r表示，而圓的周長＝2πr，據(jù)此推導出圓的面積公式。
【規(guī)范解答】通過分析可得：近似長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于圓的半徑，長方形的面積相當于圓的面積。長方形的面積＝長×寬，則圓的面積＝圓周長的一半×半徑＝2πr÷2×r＝πr×r＝πr2。所以圓的面積公式為S＝πr2。
基礎達標練
1．（21-22六年級上·陜西咸陽·期末）在一張長為8cm，寬為6cm的長方形紙片上剪一個盡可能大的圓形，剪出的圓形紙片的面積是（ ）。
A．25.12cm2 B．28.26cm2 C．50.24cm2
【答案】B
【思路點撥】由于要剪一個盡可能大的圓形，那么圓的直徑等于長方形最短的邊，即等于寬的長度，直徑是6cm，用直徑除以2即可求出半徑，再根據(jù)圓的面積公式：S＝πr2，把數(shù)代入公式即可求解。
【規(guī)范解答】6÷2＝3（cm）
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（cm2）
所以剪出的圓形紙片的面積是28.26cm2。
故答案為：B
2．（23-24六年級上·江西吉安·期末）在一個長8厘米，寬6厘米的長方形中，畫一個最大的圓，這個圓的面積是（ ）平方厘米。
A．113.04 B．50.24 C．28.26 D．200.96
【答案】C
【思路點撥】在這個長方形內畫一個最大的圓，圓的直徑等于長方形的寬，根據(jù)圓的面積＝πr2，代入數(shù)值計算，據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】3.14×（6÷2）2
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
因此這個圓的面積是28.26平方厘米。
故答案為：C
3．（21-22六年級上·云南昭通·期末）如圖，半圓的面積是（ ）。
A． B． C．
【答案】C
【思路點撥】圓的直徑為d，則圓的半徑為，再根據(jù)圓的面積公式：S＝，把半徑的數(shù)據(jù)代入表示出圓的面積，再除以2即可求出半圓的面積。
【規(guī)范解答】
＝
＝
＝
即半圓的面積是。
故答案為：C
【考點評析】此題的解題關鍵是熟練運用圓的面積公式求解。
4．（22-23六年級上·四川樂山·期末）把一個圓的半徑擴大到原來的2倍，圓的面積擴大到原來的（ ）倍。
A．2 B．4 C．8 D．無法確定
【答案】B
【思路點撥】根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，以及積的變化規(guī)律：一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)乘幾或除以幾（0除外），積也乘（或除以）幾；
已知一個圓的半徑擴大到原來的2倍，那么圓的面積擴大到原來的（2×2）倍，據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】2×2＝4
把一個圓的半徑擴大到原來的2倍，圓的面積擴大到原來的4倍。
故答案為：B
【考點評析】本題考查圓的面積公式以及積的變化規(guī)律的應用，明確一個圓的半徑擴大到原來的n倍，則圓的面積擴大到原來的n2倍。
5．（22-23六年級上·河北保定·階段練習）半徑是5米的圓形鼓樓中心盤，它的周長是( )米，面積是( )平方米。
【答案】 31.4 78.5
【思路點撥】根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，圓的面積公式：面積＝π×半徑2，代入數(shù)據(jù)，即可求出周長和面積。
【規(guī)范解答】3.14×5×2
＝15.7×2
＝31.4（米）
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方米）
半徑是5米的圓形鼓樓中心盤，它的周長是31.4米，面積是78.5平方米。
6．（23-24六年級上·廣東肇慶·期末）用圓規(guī)畫圓時，如果圓規(guī)的兩腳叉開3厘米，則畫出的圓的周長是( )厘米，面積是( )平方厘米。
【答案】 18.84 28.26
【思路點撥】用圓規(guī)畫圓時，圓規(guī)的兩腳叉開的距離是圓的半徑，由此可知圓的半徑是3厘米，根據(jù)公式：圓的周長＝圓周率×半徑×2，圓的面積＝圓周率×半徑×半徑，代入數(shù)據(jù)計算即可解答。
【規(guī)范解答】3.14×3×2
＝3.14×6
＝18.84（厘米）
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方厘米）
答：圓的周長是18.84厘米，面積是28.26平方厘米。
7．（23-24六年級上·內蒙古通遼·期末）求下列圖形的面積和周長。
【答案】50.24平方厘米，25.12厘米；63.585平方分米，28.26分米
【思路點撥】圓的直徑÷2＝半徑，根據(jù)圓的面積＝圓周率×半徑的平方，圓的面積＝圓周率×直徑＝2×圓周率×半徑，列式計算即可。
【規(guī)范解答】3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
2×3.14×4＝25.12（厘米）
3.14×（9÷2）2
＝3.14×4.52
＝3.14×20.25
＝63.585（平方分米）
3.14×9＝28.26（分米）
8．（23-24六年級上·遼寧·課后作業(yè)）淘氣用兩根長度都是62.8厘米的鐵絲分別圍成正方形和圓，它們圍成的面積一樣大嗎？
【答案】不一樣大，圓的面積大
【思路點撥】鐵絲長度相當于正方形和圓的周長，根據(jù)正方形邊長＝周長÷4，正方形面積＝邊長×邊長，圓的半徑＝周長÷圓周率÷2，圓的面積＝圓周率×半徑的平方，分別求出正方形和圓的面積，比較即可。
【規(guī)范解答】正方形：62.8÷4＝15.7（厘米）
15.7×15.7＝246.49（平方厘米）
圓：62.8÷3.14÷2＝10（厘米）
3.14×102
＝3.14×100
＝314（平方厘米）
314＞246.49
答：它們圍成的面積不一樣大，圓的面積大。
9．（18-19六年級上·全國·單元測試）一個圓形池塘的半徑是25米，在它的周圍鋪一條環(huán)形水泥路，路寬3米。水泥路面的面積是多少平方米？
【答案】499.26平方米
【思路點撥】從題意分析可得：水泥路的面積就是一個圓環(huán)的面積。內圓半徑是25米，外圓半徑就是內圓半徑加上水泥路的寬即（25＋3）米。根據(jù)圓環(huán)的面積＝外圓面積－內圓面積，列式解答即可。據(jù)此解答。
【規(guī)范解答】25＋3=28（米）
3.14×282－3.14×252
＝3.14×784－3.14×625
＝3.14×（784－625）
＝3.14×159
＝499.26（平方米）
答：水泥路面的面積是499.26平方米。
10．（22-23六年級上·安徽淮北·期末）一個圓的周長是6.28米，半徑增加1米后，面積是多少平方米？
【答案】12.56平方米
【思路點撥】根據(jù)r＝C÷π÷2，加1求出新的半徑，再根據(jù)圓的面積S＝πr2，代入數(shù)據(jù)即可解答。
【規(guī)范解答】
＝2÷2
＝1（米）
＝4×3.14
＝12.56（平方米）
答：面積是12.56平方米。
11．（22-23六年級上·河北邢臺·期末）奶奶用20米長的籬笆正好圍成了一個圓形的雞舍，已知接頭處用了0.532米，奶奶圍成這個雞舍的占地面積是多少平方米？
【答案】30.1754平方米
【思路點撥】用籬笆的長度減去接口處用去的0.532米就得到圓形雞舍的周長，然后用周除以3.14，再除以2，就得到圓的半徑，然后根據(jù)圓的面積公式計算雞舍的面積。
【規(guī)范解答】
＝19.468÷3.14÷2
＝6.2÷2
＝3.1（米）
＝
＝30.1754（平方米）
答：奶奶圍成這個雞舍的占地面積是30.1754平方米。
12．（23-24六年級上·湖南株洲·期末）甲、乙兩人繞著一個圓形花壇散步，甲走一圈需要2分鐘，乙走一圈需要3分鐘。
（1）如果甲、乙同時從O點出發(fā)，相背而行，幾分鐘后兩人相遇？
（2）如果甲每分鐘走62.8米，那么這個圓形花壇的周長是多少米？
（3）如果在這個圓形花壇里面種鮮花，可以種多少平方米的鮮花？
【答案】（1）分鐘
（2）125.6米
（3）1256平方米
【思路點撥】（1）把圓形花壇的周長看作單位“1”，根據(jù)速度＝路程÷時間，用1÷2，求出甲的速度；用1÷3，求出乙速度；再根據(jù)時間＝路程÷速度，用圓形花壇的周長÷甲與乙速度和，即可求出幾分鐘后兩人相遇；
（2）根據(jù)路程＝速度×時間，用甲每分鐘走的速度×走一周需要的時間，即可求出圓形花壇的周長；
（3）根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，半徑＝周長÷2÷π，代入數(shù)據(jù)，求出這個圓形花壇的半徑；求花壇種花面積，就是求這個花壇的面積，根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【規(guī)范解答】（1）1÷（＋）
＝1÷（＋）
＝1÷
＝1×
＝（分鐘）
答：分鐘后兩人相遇。
（2）62.8×2＝125.6（米）
答：這個圓形花壇的周長是125.6米。
（3）125.6÷2÷3.14
＝62.8÷3.14
＝20（米）
3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方米）
答：可以種1256平方米的鮮花。
能力拔高練
13．（22-23六年級上·河南駐馬店·期末）用三根一樣長的鐵絲圍成一個正方形、一個長方形和一個圓，它們的面積相比，（ ）。
A．圓大 B．正方形大 C．長方形大 D．不確定
【答案】A
【思路點撥】根據(jù)題意，用同樣長的鐵絲圍成正方形、長方形和圓，那么正方形、長方形和圓的周長都等于鐵絲的長度，可以設鐵絲長6.28米；
①根據(jù)正方形的周長＝邊長×4可知，正方形的邊長＝周長÷4；再根據(jù)正方形的面積＝邊長×邊長，求出正方形的面積；
②根據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2可知，長方形的長、寬之和＝周長÷2，由此假設出長方形的長、寬，再根據(jù)長方形的面積＝長×寬，求出長方形的面積；
③根據(jù)圓的周長公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圓的半徑；再根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出圓的面積；
最后比較正方形、長方形和圓的面積大小，得出哪個圖形的面積最大。
【規(guī)范解答】設鐵絲長6.28米。
①正方形的邊長：6.28÷4＝1.57（米）
正方形的面積：1.57×1.57＝2.4649（平方米）
②長方形的長、寬之和：6.28÷2＝3.14（米）
假設長方形的長是2米，寬是1.14米；
長方形的面積：2×1.14＝2.28（平方米）
③圓的半徑：6.28÷3.14÷2＝1（米）
圓的面積：3.14×12＝3.14（平方米）
3.14＞2.4649＞2.28
圓的面積＞正方形的面積＞長方形的面積
所以，它們的面積相比，圓大。
故答案為：A
14．（22-23六年級上·河南南陽·期末）用三根都是37.68米的繩子，分別圍成三角形、圓、長方形和正方形，（ ）的面積最大。
A．三角形 B．圓 C．長方形 D．正方形
【答案】B
【思路點撥】根據(jù)三角形面積公式：面積＝底×高÷2，圓的面積公式：面積＝π×半徑2，長方形面積公式：面積＝長×寬；正方形面積公式：面積＝邊長×邊長；分別求出它們的面積，再進行比較，即可解答。
【規(guī)范解答】A．假設圍成等邊三角形：
等邊三角形的邊長為：37.68÷3＝12.56（米）
設底邊的高為h；h＜12.56米，
面積為：12.56×h÷2
＝6.28h（平方米）
6.28×12.56＝78.8768；
因為h＜12.56，所以三角形面積＜78.8768平方米。
B．圍成圓：
圓的半徑：37.68÷3.14÷2
＝12÷2
＝6（米）
面積為：3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（平方米）
C．圍成長方形：長方形的長與寬的和為：37.68÷2＝18.84（米）
長方形的長與寬越接近，長方形的面積越大。
設長為9.84米，寬為9米
面積為：9.84×9＝88.56（平方米）
D．圍成正方形：邊長為：37.68÷4＝9.42（米）
面積為：9.42×9.42＝88.7364（平方米）
由此可知：113.04＞88.7364＞88.56＞78.8768＞6.28h
所以：圓的面積＞正方形面積＞長方形面積＞三角形面積。
用三根都是37.68米的繩子，分別圍成三角形、圓、長方形和正方形，圓的面積最大。
故答案為：B
15．（22-23六年級上·河北邢臺·期中）如圖，一個三角形的三個頂點分別為三個半徑為3厘米的圓的圓心，則圖中陰影部分的面積是（ ）平方厘米。
A．π B．9π C．4.5π D．3π
【答案】C
【思路點撥】三角形內角和180°，因此陰影部分可以拼成一個半圓，根據(jù)半圓面積＝圓周率×半徑的平方÷2，列式計算即可。
【規(guī)范解答】π×32÷2
＝π×9÷2
＝4.5π（平方厘米）
圖中陰影部分的面積是4.5π平方厘米。
故答案為：C
16．（22-23六年級上·全國·期末）直徑2厘米的硬幣貼著一個長9厘米，寬6厘米長方形外圍滾動，從A點滾動到B點時，硬幣滾過的面積是( )平方厘米，硬幣圓心走過的路程是( )厘米。
【答案】 36.28 16.57
【思路點撥】如圖：，硬幣滾過的面積＝一個圓的面積＋個大圓的面積＋兩個長方形的面積，大圓的半徑為2厘米，圓的半徑為2÷2＝1厘米，利用圓的面積公式分別求出其面積；一個長方形的長為9厘米，寬為2厘米，另一個長方形的長為6厘米，寬為2厘米，利用長方形的面積公式求出兩個長方形的面積，代入數(shù)據(jù)即可求出硬幣滾過的面積。硬幣圓心走過的路程＝9厘米＋6厘米＋個圓的周長，利用圓的周長公式求出個圓的周長，代入數(shù)據(jù)即可求出硬幣圓心走過的路程。
【規(guī)范解答】2×9＋2×6＋＋
＝18＋12＋＋
＝18＋12＋3.14＋3.14
＝36.28（平方厘米）
9＋6＋×2×3.14
＝15＋1.57
＝16.57（厘米）
即硬幣滾過的面積是36.28平方厘米，硬幣圓心走過的路程是16.57厘米。
【考點評析】此題的解題關鍵是通過作圖，分析出硬幣的路線，靈活利用圓的面積、周長公式以及長方形的面積公式，解決問題。
17．（18-19五年級上·浙江·單元測試）圖中正方形的面積是12平方厘米，圓的面積是 平方厘米。
【答案】9.42
【思路點撥】看圖可知，圓的直徑＝正方形邊長，假設正方形邊長＝2厘米，根據(jù)正方形面積＝邊長×邊長，圓的面積＝圓周率×半徑的平方，分別求出正方形和圓的面積，用圓的面積÷正方形面積＝圓的面積是正方形面積的百分之幾，將正方形面積看作單位“1”，正方形面積×圓的面積的對應百分率＝圓的面積，據(jù)此分析。
【規(guī)范解答】假設正方形邊長＝2厘米
2×2＝4（平方厘米）
3.14×（2÷2）2
＝3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
3.14÷4＝0.785＝78.5%
12×78.5%＝12×0.785＝9.42（平方厘米）
圓的面積是9.42平方厘米。
【考點評析】關鍵是掌握并靈活運用正方形和圓的面積公式，確定正方形和圓之間的關系，根據(jù)求一個數(shù)的百分之幾是多少，用乘法求出圓的面積。
18．（20-21六年級上·廣東深圳·階段練習）一個圓的周長、直徑、半徑的和是92.8厘米，此圓的面積是( )平方厘米。
【答案】314
【思路點撥】將周長、直徑、半徑都用r表示，列方程求解。
【規(guī)范解答】解：設半徑是r，則直徑是2r，周長是6.28r；
【考點評析】半徑?jīng)Q定圓的大小，半徑已知的話，直徑、周長、面積都可以求出來。
19．（22-23六年級上·吉林長春·期末）求下圖陰影部分的面積。（單位：米。）

【答案】6平方米
【思路點撥】觀察圖形可知，陰影部分面積＝直徑是3米的圓的面積一半＋直徑是4米的圓的面積一半＋底是3米，高是4米的三角形面積－直徑是5米的圓的面積一半，根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，三角形面積公式：面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)，即可解答。
【規(guī)范解答】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2
＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋12÷2＋3.14×2.52÷2
＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6＋3.14×6.25÷2
＝3.5325＋6.28＋6－9.8125
＝6（平方米）
陰影部分的面積是6平方米。
20．（23-24六年級上·福建三明·期末）學習圓的知識后，小強說：“我有個直覺，把一個圓的半徑擴大到原來的2倍，它的周長和面積都會擴大到原來的2倍。”你贊同小強同學的說法嗎？請說明理由。
【答案】不贊成；理由見詳解
【思路點撥】設這個圓的半徑為1厘米，擴大后圓的半徑是1×2＝2厘米；根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，分別求出原來圓的周長和擴大后圓的周長；再用擴大后圓的周長÷原來圓的周長，即可求出它的周長擴大到原來的幾倍；
再根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，分別求出原來圓的面積和擴大后圓的面積，再用擴大后圓的面積÷原來圓的面積，即可解答。
【規(guī)范解答】設圓的半徑為1厘米，則擴大后圓的半徑是1×2＝2（厘米）
（3.14×2×2）÷（3.14×1×2）
＝（6.28×2）÷（3.14×2）
＝12.56÷6.28
＝2
它的周長擴大到原來的2倍；
（3.14×22）÷（3.14×12）
＝（3.14×4）÷（3.14×1）
＝12.56÷3.14
＝4
它的面積擴大到原來的4倍。
所以圓的半徑擴大到原來的2倍，周長擴大到原來的2倍，面積擴大到原來的4倍。
答：不贊成小強的說法。
21．（23-24六年級上·廣東清遠·期末）李勇家的掃地機器人，它的底面是個圓形，直徑是40厘米，將這個掃地機器人平放在地面上，它的占地面積是多少平方厘米？
【答案】1256平方厘米
【思路點撥】根據(jù)圓面積公式：S＝πr2，用3.14×（40÷2）2即可求出掃地機器人的占地面積。
【規(guī)范解答】3.14×（40÷2）2
＝3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方厘米）
答：占地面積是1256平方厘米。
22．（23-24六年級上·湖南張家界·期末）如圖，一個運動場兩端是半圓形，中間是長方形。這個運動場的周長是多少米？面積是多少平方米？
【答案】周長是300.96米，面積是4815.36平方米
【思路點撥】觀察圖形，這個運動場的周長可以看成由兩條長方形的長和一個圓的周長組成，根據(jù)圓的周長公式：，計算即可。這個運動場的面積等于一個長方形的面積和一個圓的面積的和。根據(jù)圓的面積公式：以及長方形的面積公式：長×寬，列式解答。
【規(guī)范解答】50×2＋2×32×3.14
＝100＋64×3.14
＝100＋200.96
＝300.96（米）
50×32＋
＝1600＋3.14×32×32
＝1600＋100.48×32
＝1600＋3215.36
＝4815.36（平方米）
答：這個運動場的周長是300.96米，面積是4815.36平方米。
23．（22-23六年級上·湖北武漢·期末）一塊長方形草地的一個角上有一根木樁，木樁上拴著一只羊，如果拴羊的繩子長4米，這只羊無法吃到的草地面積是多少平方米？
【答案】47.44平方米
【思路點撥】如圖：
觀察圖形可知，這只羊能吃到草的面積等于半徑為4米圓的的面積，那么這只羊無法吃到的草地面積＝長方形的面積－圓的面積；根據(jù)長方形的面積公式S＝ab，圓的面積公式S＝πr2，代入數(shù)據(jù)計算即可。
【規(guī)范解答】長方形草地的面積：
10×6＝60（平方米）
能吃到草的面積（圓的面積）：
3.14×42×
＝3.14×16×
＝3.14×4
＝12.56（平方米）
無法吃到的草地面積：
60－12.56＝47.44（平方米）
答：這只羊無法吃到的草地面積是47.44平方米。
【考點評析】畫出圖形幫助理解題意，先分析出羊能吃到草的面積是一個圓的面積，進而得出羊無法吃到的草地面積是由哪些圖形面積相加或相減得到，再根據(jù)圖形的面積公式解答。
24．（23-24六年級上·山西呂梁·期末）運城航天公園猶如一顆美麗的璀璨明珠，鑲嵌在大美運城航天英雄景海鵬的美麗家鄉(xiāng)。公園里有一個圓形草坪，草坪的周長是125.6米，種植草坪后需要澆水，現(xiàn)準備為草坪安裝自動旋轉噴灌裝置，有射程為20米、30米、40米的三種裝置。你認為選擇哪種裝置比較合適？草坪的面積是多少平方米？
【答案】選擇20米射程；1256平方米
【思路點撥】噴灌裝置噴射面為圓形，射程為圓的半徑，根據(jù)圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，半徑＝周長÷2÷半徑。根據(jù)草坪的周長計算出半徑，再選擇合適的；再根據(jù)圓的面積公式：面積＝π×半徑2，代入數(shù)據(jù)，求出草坪的面積。
【規(guī)范解答】125.6÷3.14÷2
＝40÷2
＝20（米）
選擇20米射程的裝置比較合適。
3.14×202
＝3.14×400
＝1256（平方米）
答：選擇20米射程的裝置比較合適，草坪的面積是1256平方米。專題03 圓的面積（一）
（新知講練+高頻易錯點+考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復習到預習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內容！結合變式訓練提升知識點應用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對常考題型易錯點內容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節(jié)內容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結合變式演練，舉一反三訓練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎夯實+沖刺拔高】真題練：結合近兩年常考真題，易錯題，經(jīng)典題型等進一步鞏固所學內容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
考點：圓的面積 6
基礎達標練 9
能力拔高練 15
1.學習目標描述：了解圓的面積的含義，經(jīng)歷圓面積計算公式的推導過程，掌握圓面積計算公式；在探究圓面積公式的活動中，體會“化曲為直”的思想。
2.學習內容分析：圓的面積是學生了解和掌握了圓的特征，學會計算圓的周長以及學習直線圍成的平面圖形的面積計算方法的基礎上進行教學的。由此教材在安排學習圓的面積公式時，運用了遷移和
同化的理念，將“化曲為直”的轉化思想確立為本節(jié)課的教學重點。通過一系列的活動將新的教學思想納入到學生原有的認識結構之中，從而完成新知的構建過程。
3.學科核心素養(yǎng)分析：在探究新知的過程中，組織學生利用學具開展探究性的數(shù)學活動，注重知識的發(fā)現(xiàn)和探究過程，讓學生從中獲得學習數(shù)學的積極情感體驗和感受數(shù)學的價值，增強學生的空間觀念、空間觀念和推理意識。
新課導入
1.說說什么是圖形的面積？
圖形所占平面的大小叫做圖形的面積。
2. 回憶一下，平行四邊形、三角形和梯形的面積計算公式是怎樣推到得出來的？
新課講授
圓所占平面的大小叫做圓的面積
思考：如何得到一個圓的面積呢？想一想
在圓中畫出一個最大的正方形。
我能求出正方形的面積，剩余的面積怎么辦呢？
畫方格數(shù)一數(shù)
不是整格的怎么辦呢？
思考：能否將圓轉化成以前學過的圖形？
想一想，圓等分的份數(shù)越多，拼出的圖形就越接近什么形狀？
拼成的平行四邊形與原來的圓之間有什么聯(lián)系呢？
思考提示：
1.圓的面積與平行四邊形的面積有什么關系？
2.平行四邊形的底相當于圓的什么？平行四邊形的高呢？
3.你能平行四邊形的面積推導出圓的面積公式嗎？
歸納總結：
知識點01：圓的面積概念
圓的面積是指圓所占平面的大小。
知識點02：圓的面積計算公式
圓的面積公式為：S = πr ，其中S表示圓的面積，r表示圓的半徑，π是一個常數(shù)，大約等于3.14159。
圓的面積公式也可以表示為：S = π(d/2) ，其中d表示圓的直徑。
當知道圓的周長C時，可以通過公式C = 2πr求出半徑r，進而使用面積公式S = πr 求出面積。
知識點03：圓的面積公式的推導
推導圓的面積公式時，通常采取“化曲為直”的思想。具體方法是：將圓分成若干等份，剪開后拼接成一個近似的長方形。這個長方形的長相當于圓周長的一半，即πr；寬相當于圓的半徑，即r。因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積= πr×r，即S = πr 。
知識點04：應用圓的面積公式
已知圓的半徑或直徑，可以直接使用圓的面積公式求出圓的面積。
已知圓的周長，可以先通過周長公式求出半徑，再使用面積公式求出面積。
在實際問題中，經(jīng)常需要用到圓的面積知識來解決與圓相關的面積問題。
知識點05：拓展知識點
半圓面積：半圓的面積等于圓的面積的一半，公式為S = πr /2。
環(huán)形面積：環(huán)形是由兩個半徑不同的同心圓所圍成的圖形。其面積等于外圓面積減去內圓面積，公式為S = π(R -r )，其中R為外圓半徑，r為內圓半徑。
易錯知識點01：圓的面積公式理解與應用
公式記憶：圓的面積公式是S = πr ，其中S表示面積，r表示半徑，π是圓周率，大約等于3.14。學生需要牢記這個公式，并能準確應用。
混淆周長與面積：學生容易混淆圓的周長和面積的概念。周長是圍繞圓一周的長度，而面積是圓所占的平面大小。兩者在計算公式和單位上都有所不同。
易錯知識點02：半徑、直徑與面積的關系
半徑與直徑的關系：半徑是直徑的一半，即r = d/2。在計算圓的面積時，需要使用半徑而不是直徑。學生需要明確這一點，避免在計算過程中混淆。
半徑變化對面積的影響：當圓的半徑擴大或縮小時，其面積會按照半徑平方的倍數(shù)擴大或縮小。例如，如果半徑擴大2倍，面積將擴大4倍（即2 倍）。學生需要理解這種倍數(shù)關系，并能在實際問題中正確應用。
易錯知識點03：半圓與圓環(huán)的面積計算
半圓面積：半圓的面積是整圓面積的一半，即S = πr /2。學生需要注意這個“一半”的關系，并避免在計算半圓面積時錯誤地使用整圓的面積公式。
圓環(huán)面積：圓環(huán)是由兩個半徑不同的同心圓所圍成的圖形。其面積等于外圓面積減去內圓面積，即S = π(R -r )，其中R為外圓半徑，r為內圓半徑。學生需要明確圓環(huán)面積的計算方法，并能在實際問題中正確應用。
易錯知識點04：單位換算與精確計算
單位換算：在計算圓的面積時，需要注意單位的一致性。如果題目中給出的半徑或直徑的單位不是米或厘米等常用單位，需要進行單位換算。學生需要掌握常見的長度單位換算關系，并能在計算過程中正確應用。
精確計算：在計算圓的面積時，需要注意保留足夠的精度。由于π是一個無限不循環(huán)小數(shù)，因此在計算過程中需要保留一定的小數(shù)位數(shù)或使用近似值。學生需要了解這一點，并能在計算過程中根據(jù)實際情況選擇適當?shù)木取?br/>考點：圓的面積
【典例精講】（23-24六年級上·山西呂梁·期末）我是小小的裁剪師！先裁下一張周長是25.12cm的圓形紙片，這張紙片的直徑是( )cm，再沿直徑裁成兩個半圓，每個半圓的周長是( )cm。
【變式演練01】（23-24六年級上·四川成都·期末）笑笑在做手工時用卡紙剪下兩個圓片（如圖）。其中一個圓片的直徑是( )厘米，一個圓片周長是( )厘米，一個圓片的面積是( )平方厘米。
【變式演練02】（23-24六年級上·四川成都·期末）在寬為2厘米、長是10厘米的長方形內，最多能剪( )個半徑是1厘米的圓，剩余部分的面積是( )平方厘米。
【答案】 5 4.3
【變式演練03】（23-24六年級上·遼寧·課后作業(yè)）根據(jù)下面的條件，求各圓的面積。
（1）r＝4cm
（2）d＝1.4dm
（3）C＝6.28cm
4．（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）如圖，把一個圓分成若干等份后，還可以拼成近似的長方形。拼成的圖形與原來的圓之間有什么聯(lián)系？推導一下圓的面積計算公式。
基礎達標練
1．（21-22六年級上·陜西咸陽·期末）在一張長為8cm，寬為6cm的長方形紙片上剪一個盡可能大的圓形，剪出的圓形紙片的面積是（ ）。
A．25.12cm2 B．28.26cm2 C．50.24cm2
2．（23-24六年級上·江西吉安·期末）在一個長8厘米，寬6厘米的長方形中，畫一個最大的圓，這個圓的面積是（ ）平方厘米。
A．113.04 B．50.24 C．28.26 D．200.96
3．（21-22六年級上·云南昭通·期末）如圖，半圓的面積是（ ）。
A． B． C．
4．（22-23六年級上·四川樂山·期末）把一個圓的半徑擴大到原來的2倍，圓的面積擴大到原來的（ ）倍。
A．2 B．4 C．8 D．無法確定
5．（22-23六年級上·河北保定·階段練習）半徑是5米的圓形鼓樓中心盤，它的周長是( )米，面積是( )平方米。
6．（23-24六年級上·廣東肇慶·期末）用圓規(guī)畫圓時，如果圓規(guī)的兩腳叉開3厘米，則畫出的圓的周長是( )厘米，面積是( )平方厘米。
7．（23-24六年級上·內蒙古通遼·期末）求下列圖形的面積和周長。
8．（23-24六年級上·遼寧·課后作業(yè)）淘氣用兩根長度都是62.8厘米的鐵絲分別圍成正方形和圓，它們圍成的面積一樣大嗎？
9．（18-19六年級上·全國·單元測試）一個圓形池塘的半徑是25米，在它的周圍鋪一條環(huán)形水泥路，路寬3米。水泥路面的面積是多少平方米？
10．（22-23六年級上·安徽淮北·期末）一個圓的周長是6.28米，半徑增加1米后，面積是多少平方米？
11．（22-23六年級上·河北邢臺·期末）奶奶用20米長的籬笆正好圍成了一個圓形的雞舍，已知接頭處用了0.532米，奶奶圍成這個雞舍的占地面積是多少平方米？
12．（23-24六年級上·湖南株洲·期末）甲、乙兩人繞著一個圓形花壇散步，甲走一圈需要2分鐘，乙走一圈需要3分鐘。
（1）如果甲、乙同時從O點出發(fā)，相背而行，幾分鐘后兩人相遇？
（2）如果甲每分鐘走62.8米，那么這個圓形花壇的周長是多少米？
（3）如果在這個圓形花壇里面種鮮花，可以種多少平方米的鮮花？
能力拔高練
13．（22-23六年級上·河南駐馬店·期末）用三根一樣長的鐵絲圍成一個正方形、一個長方形和一個圓，它們的面積相比，（ ）。
A．圓大 B．正方形大 C．長方形大 D．不確定
14．（22-23六年級上·河南南陽·期末）用三根都是37.68米的繩子，分別圍成三角形、圓、長方形和正方形，（ ）的面積最大。
A．三角形 B．圓 C．長方形 D．正方形
15．（22-23六年級上·河北邢臺·期中）如圖，一個三角形的三個頂點分別為三個半徑為3厘米的圓的圓心，則圖中陰影部分的面積是（ ）平方厘米。
A．π B．9π C．4.5π D．3π
16．（22-23六年級上·全國·期末）直徑2厘米的硬幣貼著一個長9厘米，寬6厘米長方形外圍滾動，從A點滾動到B點時，硬幣滾過的面積是( )平方厘米，硬幣圓心走過的路程是( )厘米。
17．（18-19五年級上·浙江·單元測試）圖中正方形的面積是12平方厘米，圓的面積是 平方厘米。
（20-21六年級上·廣東深圳·階段練習）一個圓的周長、直徑、半徑的和是92.8厘米，此圓的面積是( )平方厘米。
19．（22-23六年級上·吉林長春·期末）求下圖陰影部分的面積。（單位：米。）

20．（23-24六年級上·福建三明·期末）學習圓的知識后，小強說：“我有個直覺，把一個圓的半徑擴大到原來的2倍，它的周長和面積都會擴大到原來的2倍。”你贊同小強同學的說法嗎？請說明理由。
21．（23-24六年級上·廣東清遠·期末）李勇家的掃地機器人，它的底面是個圓形，直徑是40厘米，將這個掃地機器人平放在地面上，它的占地面積是多少平方厘米？
22．（23-24六年級上·湖南張家界·期末）如圖，一個運動場兩端是半圓形，中間是長方形。這個運動場的周長是多少米？面積是多少平方米？
23．（22-23六年級上·湖北武漢·期末）一塊長方形草地的一個角上有一根木樁，木樁上拴著一只羊，如果拴羊的繩子長4米，這只羊無法吃到的草地面積是多少平方米？
24．（23-24六年級上·山西呂梁·期末）運城航天公園猶如一顆美麗的璀璨明珠，鑲嵌在大美運城航天英雄景海鵬的美麗家鄉(xiāng)。公園里有一個圓形草坪，草坪的周長是125.6米，種植草坪后需要澆水，現(xiàn)準備為草坪安裝自動旋轉噴灌裝置，有射程為20米、30米、40米的三種裝置。你認為選擇哪種裝置比較合適？草坪的面積是多少平方米？

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