資源簡介

專題07 分數的混合運算（三）
（新知講練+高頻易錯點+三考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復習到預習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內容！結合變式訓練提升知識點應用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對常考題型易錯點內容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節內容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結合變式演練，舉一反三訓練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎夯實+沖刺拔高】真題練：結合近兩年常考真題，易錯題，經典題型等進一步鞏固所學內容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
考點01：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數 6
考點02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量 9
考點03：用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題 11
基礎達標練 15
能力拔高練 22
1.用方程表達分數混合運算問題中的等量關系。
2.解決相應的實際問題，發展分析和解決問題的能力。
3.構建數學模型，教育學生節約用水，培養勤儉節約的好習慣。
思考：估一估，哪個月份用水少？哪個月份用水多？
說一說：要求八月用水多少噸？你是如何思考的？
思考：八月份的用水量不知道，能不能找一下等量關系，用方程來解決這個問題？
解：設八月用水x噸。
x－x=12
x=12
x=14 答：八月用水14噸。
解：設八月用水x噸。
（1－)x=12
x=12
x=14 答：八月用水14噸。
小結： 利用方程解決與分數運算有關的實際問題，根據我們的分析和數量關系式，已知比一個數多（或少）幾分之幾，求這個數，我們一般可以用方程來解決。
淘氣家八月用水14噸，比九月多用了 ，九月用水多少噸？
解：設九月用水x噸
x+x=14
x=14
x=12 答：九月用水12噸。
書店運來一批文藝書，售出后，還剩下1260本。這批文藝書共有多少本？
學習任務：找出題中的等量關系，畫一畫、說一說。
解：設九月用水x噸。
x－x=1260
x=1260
x=3360 答：這批文藝書共有3360本。
解：設九月用水x噸。
（1－）x=1260
x=1260
x=3360 答：這批文藝書共有3360本。
知識點01：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數
這個知識點主要考察的是對分數增減運算的逆向應用。題目通常會給出某個數比另一個數多或少幾分之幾，然后給出具體的結果，要求求出原來的數。
解題步驟：
理解題意：明確題目中給出的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”以及具體的結果。
設立未知數：設原來的數為x。
建立方程：根據題目描述，建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知識點02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量
這個知識點主要考察的是對分數比例的應用。題目會給出總量中的一部分量所占的比例以及另一部分量的具體數值，要求求出總量。
解題步驟：
理解題意：明確題目中給出的比例和具體數值。
設立未知數：設總量為x。
建立方程：根據題目描述，利用比例關系建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知識點03：運用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題
在解決稍復雜的分數應用題時，轉化法和倒推法是非常有效的解題技巧。
轉化法：
轉化法是將題目中的復雜條件或問題轉化為簡單、易于理解的形式。例如，可以將分數轉化為小數，或將復雜的比例關系轉化為簡單的等式。
倒推法：
倒推法是從問題的結果出發，逆向推導出問題的初始條件或已知條件。這種方法在解決逆向思維問題時特別有效。
易錯知識點01：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數
易錯點：
理解題意不清：學生可能沒有正確理解題目中的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”的含義，導致解題方向錯誤。
設立方程錯誤：在設立未知數時，學生可能會將未知數設立在錯誤的位置，導致方程建立不正確。
計算錯誤：在解方程的過程中，學生可能會出現計算錯誤，導致最終答案不正確。
解題策略：
仔細審題，明確題目中的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”是指哪個數與哪個數之間的關系。
設立未知數，通常設要求的數為未知數。
根據題目描述，建立包含未知數的方程。
解方程，得出未知數的值。
易錯知識點02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量求總量
易錯點：
比例關系理解不清：學生可能沒有正確理解題目中給出的比例關系，導致解題方向錯誤。
計算錯誤：在根據比例關系計算總量時，學生可能會出現計算錯誤。
解題策略：
仔細審題，明確題目中給出的比例關系以及另一部分量的具體數值。
設立未知數，通常設總量為未知數。
根據比例關系，建立包含未知數的方程。
解方程，得出未知數的值，即總量。
易錯知識點03：運用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題
易錯點：
轉化方法不當：學生可能沒有找到合適的轉化方法，導致問題復雜化。
倒推步驟錯誤：在使用倒推法時，學生可能會出現步驟錯誤，導致最終答案不正確。
解題策略：
轉化法：
仔細審題，找出題目中的關鍵信息。
嘗試將題目中的復雜條件或問題轉化為簡單、易于理解的形式。
轉化后，按照常規方法解題。
倒推法：
從問題的結果出發，逆向推導出問題的初始條件或已知條件。
逐步倒推，每一步都要確保正確無誤。
得出最終答案后，檢查是否符合題目要求。
考點01：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數
【典例精講】（23-24六年級上·廣東湛江·期末）學校圖書館有故事書420本，______，科技書有多少本？為了解決這個問題，樂樂補充一條信息后，設科技書有x本，列出的方程是“”，樂樂補充的信息是（ ）。
A．故事書比科技書少 B．故事書比科技書多
C．科技書比故事書少 D．科技書比故事書多
【答案】A
【思路點撥】A．如果補充“故事書比科技書少”，科技書本數是單位“1”，故事書是科技書的（1－），設科技書有x本，根據科技書本數×故事書對應分率＝故事書本數，列方程；
B．如果補充“故事書比科技書多”， 科技書本數是單位“1”，故事書是科技書的（1＋），設科技書有x本，根據科技書本數×故事書對應分率＝故事書本數，列方程；
C．如果補充“科技書比故事書少”，故事書本數是單位“1”，科技書是故事書的（1－），故事書本數×科技書對應分率＝科技書本數；
D．如果補充“科技書比故事書多”， 故事書本數是單位“1”，科技書是故事書的（1＋），故事書本數×科技書對應分率＝科技書本數。
【規范解答】A．補充“故事書比科技書少”，設科技書有x本，可以列出方程：；
B．補充“故事書比科技書多”，設科技書有x本，可以列出方程：；
C．補充“科技書比故事書少”，可以直接列式：420×（1－）；
D．補充“科技書比故事書多”，可以直接列式：420×（1＋）。
樂樂補充的信息是故事書比科技書少。
故答案為：A
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·課后作業）說一說圖意，再列式計算。
【答案】說一說見詳解；20支
【思路點撥】從圖中可知，鋼筆有25支，鋼筆比中性筆的支數多，把中性筆的支數看作單位“1”，則鋼筆的支數是中性筆的（1＋），單位“1”未知，用鋼筆的支數除以（1＋），即可求出中性筆的支數。
【規范解答】圖意：鋼筆有25支，鋼筆比中性筆的支數多，中性筆有多少支？
25÷（1＋）
＝25÷
＝25×
＝20（支）
即中性筆有20支。
【變式演練02】（23-24六年級上·陜西商洛·期末）元旦假期，奇奇和爸爸媽媽一起去姥姥家。請你根據下面的信息幫奇奇解決問題。
（1）如果今年還坐火車去姥姥家，那么需要用（ ）小時。
（2）如果今年坐高鐵去姥姥家，那么需要用多長時間？
【答案】（1）20
（2）8小時
【思路點撥】（1）去年乘火車用了24小時，今年火車比去年提前的時間到達。把去年乘火車用的時間看作單位“1”，則今年乘火車用的時間是去年的（1－），根據“求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算”，用24乘（1－），即可求出今年坐火車需要的時間。
（2）現在火車比高鐵多花的時間，把坐高鐵花的時間看作單位“1”，則現在坐火車需要的時間是高鐵時間的（1＋），根據“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數，用除法計算”，用求得的現在坐火車需要的時間除以（1＋），即可求出坐高鐵需要的時間。
【規范解答】（1）24×（1－）
＝24×
＝20（小時）
則如果今年還坐火車去姥姥家，需要用20小時。
（2）20÷（1＋）
＝20÷
＝20×
＝8（小時）
答：如果今年坐高鐵去姥姥家，需要8小時。
【變式演練03】（23-24六年級上·廣東湛江·期末）“面人”是一種民間傳統的手工藝品。手工課上淘氣捏一個唐僧用了250克面粉，捏一個唐僧需要的面粉比捏一個豬八戒少。捏一個豬八戒需要多少克面粉？
【答案】300克
【思路點撥】把捏一個豬八戒需要的面粉看作單位“1”，捏一個唐僧需要的面粉是捏一個豬八戒的（1－），根據分數除法的意義，用250÷（1－）即可求出捏一個豬八戒需要多少克面粉。
【規范解答】250÷（1－）
＝250÷
＝250×
＝300（克）
答：捏一個豬八戒需要300克面粉。
考點02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量
【典例精講】（22-23六年級上·山西忻州·期末）一堆貨物，運走了，還剩30噸，這堆貨物原來有 噸。
【答案】180
【思路點撥】將原來噸數看作單位“1”，運走了，還剩（1－），剩下的噸數÷對應分率＝原來的噸數，據此列式計算。
【規范解答】30÷（1－）
＝30÷
＝30×6
＝180（噸）
這堆貨物原來有180噸。
【變式演練01】（23-24六年級上·福建莆田·期末）為了豐富學生的課余生活，逸夫小學開展了學生課后社團活動。六年級原來參加圍棋社的女生人數是男生人數的，后來又增加了10名女生，這時男生人數是女生的。原來參加圍棋社的女生有多少名？
【答案】10名
【思路點撥】男生人數沒變，將男生人數看作單位“1”，后來又增加了10名女生，這時男生人數是女生的，則女生人數是男生人數的，增加的女生人數對應分率是（－），增加的女生人數÷對應分率＝男生人數，男生人數×原來女生對應分率＝原來女生人數，據此列式解答。
【規范解答】10÷（－）
＝10÷
＝10×
＝15（名）
15×＝10（名）
答：原來參加圍棋社的女生有10名。
【變式演練02】（23-24六年級上·河南南陽·期中）為美化校園環境，學校粉刷宣傳長廓，已刷了，還剩50平方米沒有刷，宣傳長廓的總面積是多少平方米？
【答案】300平方米
【思路點撥】由題意可知，已刷了是將整個宣傳長廊需要粉刷的面積看作單位“1”，沒有刷的面積占總面積的（），已知還剩50平方米沒有刷，求單位“1”的量，總面積等于沒有刷的面積除以沒有刷的部分所占的分率，據此解答。
【規范解答】
（平方米）
答：宣傳長廓的總面積是300平方米。
【變式演練03】（23-24六年級上·河南周口·期末）食堂新買來一批大米，第一周吃了總數的，后來又吃了總數的，現在還剩130kg，食堂新買來的這批大米有（ ）kg。
A．360 B．290 C．450 D．440
【答案】C
【思路點撥】第一周吃了總數的，后來又吃了總數的，則剩下的大米所占的分率為1－－，將大米總數量看作單位“1”，根據分數除法的意義，已知剩下大米所占的分率，也知道剩下大米的具體數值，求單位“1”用除法，即用剩下大米的具體數值除以其所占的分率，即可求出這批大米的總數量。
【規范解答】由分析可得：
130÷（1－－）
＝130÷（－）
＝130÷（－）
＝130÷
＝130×
＝450（kg）
食堂新買來的這批大米有450kg。
故答案為：C
考點03：用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題
【典例精講】三個袋中各裝一些球，現從甲袋中取出的小球放入乙袋，然后乙袋中取出現在的放入丙袋，最后再從丙袋中取出現在的放入甲袋，那么各袋中的球都是18個，原來甲袋中有（ ）個球。
A．21 B．24 C．27 D．40
【答案】B
【思路點撥】各袋中的球數都是18個為突破口，已知從丙袋中取出放入甲袋后，丙袋球數是18個，則丙袋把球拿走之前是18÷（1－）＝20（個），則可知從丙袋中放入甲袋的球的是20×＝2（個）；
因為現在各袋中的球都是18個，則甲袋放入2個球之前是18－2＝16（個）球，又知先從甲袋中取出了的小球放入乙袋，即從甲袋中拿走后是16個球，那么甲袋中原有球的個數是16÷（1－）＝24（個）球。
【規范解答】18÷（1－）
＝18÷
＝18×
＝20（個）
18－20×
＝18－2
＝16（個）
16÷（1－）
＝16÷
＝16×
＝24（個）
則原來甲袋中有球24個。
故答案為：B
【考點評析】本題重在區分好拿走前和放入后的單位“1”，是不同的，還要靈活應用倒推法。
【變式演練01】（21-22六年級上·山東德州·期末）有一根繩子，第一次剪下一半又1米，第二次剪下剩下的一半又1米，還剩1米。這根繩子原來有多長？（ ）
A．7米 B．8米 C．9米 D．10米
【答案】D
【思路點撥】假設原來有x米，根據題意可列方程為：（x÷2－1）÷2－1＝1，據此解出方程即可。
【規范解答】解：設繩子原來有x米。
（x÷2－1）÷2－1＝1
（x÷2－1）÷2－1＋1＝1＋1
（x÷2－1）÷2＝2
（x÷2－1）÷2×2＝2×2
x÷2－1＝4
x÷2－1＋1＝4＋1
x÷2＝5
x÷2×2＝5×2
x＝10
繩子原來有10米。
故答案為：D
【考點評析】本題可用列方程解決問題，也可用逆推法解決問題。
【變式演練02】（21-22六年級上·湖南永州·期中）修一段路，第一天修了300米，第二天修了余下的一半少200米，第三天修了余下的多100米，這時還余下500米沒有修。這段路全長多少米？
【答案】4700米
【思路點撥】先把第二天修完后余下的長度看作單位“1”，則（500＋100）米占它的（1－），單位“1”未知，用除法求出第二天修完后余下的長度；
再把第一天修完后余下的長度看作單位“1”，則第二天修完后余下長度減去200米的長度占它的（1－），單位“1”未知，用除法求出第一天修完后余下的長度；
最后用第一天修的長度加上第一天修完后余下的長度，即是這段路的全長。
【規范解答】第二天修完后余下的長度：
（500＋100）÷（1－）
＝600÷
＝600×4
＝2400（米）
第一天修完后余下的長度：
（2400－200）÷（1－）
＝2200÷
＝2200×2
＝4400（米）
全長：4400＋300＝4700（米）
答：這段路全長4700米。
【考點評析】本題考查分數除法的應用，利用“倒推法”解題，找出單位“1”，區分單位“1”的不同，單位“1”未知，根據分數除法的意義解答。
【變式演練03】（21-22六年級上·湖北武漢·期末）風采大賽之后，老師拿了一箱獎品發給獲獎的同學們。將其中的發給一等獎的同學，剩下的發給二等獎的同學，一、二等獎發完后剩下的發給三等獎的同學，這時箱子里還剩下15份獎品，問箱子里原來有多少份獎品？
【答案】45份
【思路點撥】先把一、二等獎發完后剩下獎品的份數看作單位“1”，那么箱子里還剩下15份獎品占它的，單位“1”未知，用除法計算，求出一、二等獎發完后剩下獎品的份數；
再把一等獎發完后剩下獎品的份數看作單位“1”，那么一、二等獎發完后剩下獎品的份數占它的，單位“1”未知，用除法計算，求出一等獎發完后剩下獎品的份數；
最后把箱子里原來有獎品的總數看作單位“1”，那么一等獎發完后剩下獎品的份數占它的，單位“1”未知，用除法計算，求出箱子里原來有獎品的總數。
【規范解答】一、二等獎發完后剩下：
（份）
一等獎發完后剩下：
（份）
原來的獎品總數：
（份）
答：箱子里原來有45份獎品。
【考點評析】本題考查復雜的分數除法的應用，找出單位“1”，單位“1”未知，根據分數除法的意義列式計算；注意三個單位“1”的不同，采用倒推法解答。
基礎達標練
1．（2024六上·慈溪期末）修一段100米長的路，甲單獨修10天完成，乙單獨修15天完成。現在甲、乙合作6天，下列說法正確的是（　　）。
A．還沒有完成 B．正好完成
C．已經提前完成 D．無法確定
【答案】B
【規范解答】解：（100÷10＋100÷15）×6
=×6
=100（米）
故答案為：B。
【思路點撥】工作總量÷甲獨修用的時間=甲的工作效率，工作總量÷乙獨修用的時間=乙的工作效率，（工作總量÷甲獨修用的時間+工作總量÷乙獨修用的時間）×合作時間=甲乙合修的工作總量，最后比較合修的工作總量與要修的路長進行比較即可解答。
2．（2024六上·天臺期末）甲商品的單價是360元，乙商品的單價與甲商品單價的關系如圖所示。關于甲乙兩件商品單價之間的關系，下列說法正確的是（　　）。
A．乙和甲的單價比是6：5 B．乙的單價是
C．乙的單價比甲少 D．甲的單價比乙多
【答案】D
【規范解答】解：A項中，乙和甲的單價比是5：6；
B項中， 乙的單（6-5）÷6=價是360×；
C項中，（6-5）÷6=，所以乙的單價比甲少；
D項中，（6-5）÷5=，所以甲的單價比乙多。
故答案為：D。
【思路點撥】甲商品是6份，乙商品是5份，所以乙和甲的單價比是5：6；
乙的單價=甲的單價×乙是甲的幾分之幾；
乙的單價比甲少幾分之幾=（甲的單價占的份數-乙的單價占的份數）÷甲的單價占的份數；
甲的單價比乙多幾分之幾=（甲的單價占的份數-乙的單價占的份數）÷乙的單價占的份數。
3．（2024六上·印江期末） 加工400個零件，師傅單獨加工要8小時才能完成，徒弟單獨加工要10小時才能完成。如果列式為“”，要解決的問題是（　　）。
A．師徒合作1小時完成這批零件的幾分之幾
B．師徒合作1小時加工多少個零件
C．師徒合作完成400個零件需要多少小時
【答案】C
【規范解答】解：(+)表示師傅和徒弟兩人合作的工作效率，1表示工作總量，工作總量÷工作效率=工作時間，因此，1÷(+)表示師徒合作完成400個零件需要多少小時；
故答案為：C。
【思路點撥】把工作總量看做單位“1”，因此，表示師傅的工作效率，表示徒弟的工作效率，據此解答。
4．（2024六上·象山期末）一項工程，甲隊單獨做需20天完成，乙隊單獨做需30天完成。甲、乙的工作效率之比是　 　。甲、乙兩隊合做，　 　天可以完成這項工程的。
【答案】3：2；8
【規范解答】解：第一問：：=3：2；
第二問：
÷（+）
=÷
=8（天）。
故答案為：3：2；8。
【思路點撥】第一問：把這項工程看作“1”，用分子是1的分數表示出兩隊的工作效率，寫出工作效率的比并化成最簡整數比；
第二問：用需要完成的工作量除以兩隊的工作效率和即可求出完成的天數。
5．（2024六上·丹江口期末）在通常情況下，物體都具有熱脹冷縮的特性。但是水是一種特殊的液體，溫度在4℃ 以上時，遵循熱脹冷縮規律。4℃以下時，水會熱縮冷脹。溫度低于0℃，水會凝固成冰，體積會明顯變大。所以在生活中，我們不能把瓶裝飲料和啤酒放到冰箱冷凍，否則會凍裂。
（1）夏季常溫下1 L水，放入冰箱后水溫變成了3℃，這是水的體積　 　1 L。（填大于、等于、小于）
（2）體積相等的冰和水，冰的質量比水的質量少。現在有一塊重9kg的冰，如果一桶水的體積和這塊冰的體積相同，這桶水重　 　kg。
【答案】（1）大于
（2）10
【規范解答】解：（1）這時水的體積大于1L；
（2）9÷（1-）
=9÷
=10（kg）。
故答案為：（1）大于；（2）10。
【思路點撥】（1）因為放入冰箱后水溫變成了3℃，小于4℃，水會熱縮冷脹，那么這時水的體積大于1L；
（2）這桶水的重量=等體積的冰的重量÷（1-等體積的冰的質量比水的質量少幾分之幾），據此作答即可。
6．（2024六上·澤普期末）圖書館共有科技書和故事書630本，其中科技書的本數是故事書的，科技書有　 　本，故事書有　 　本。
【答案】140；490
【規范解答】解：故事書的本數看做7份，科技書的本數是7×=2；
630÷（7+2）
=630÷9
=70（本）
70×2=140（本）
70×7=490（本）
故答案為：140；490。
【思路點撥】科技書和故事書的總本數÷總份數=一份的本數，一份的本數×2=科技書的本數，一份的本數×7=故事書的本數。
7．（2024六上·義烏期末）遞等式計算，能簡便的要簡便計算。
【答案】解：
=×48+×48-×48
=12+8-4
=16
=÷[×2]
=÷
=
=58×+×43-
=×（58+43-1）
=×100
=80
=7.8×+2.2×
=（7.8+2.2）×
=10×
=2.5
=×
=
=×15×17+×15×17
=17+15
=32
【思路點撥】（1）（3）（4）（6）運用乘法分配律計算；
（2）先算加法，再算乘法，最后算除法；
（5）從左到右依次計算。
8．（2024六上·平湖期末）張師傅帶了一些錢去購買辦公桌椅。這些錢如果全部用來購買桌子，可以買20張；如果全部用來購買椅子，可以買30把。這些錢可以買多少套辦公桌椅？（一張桌子和一把椅子是1套）
【答案】解：1÷(+)
=1÷
=12(套)
答：這些錢可以買12套辦公桌椅。
【思路點撥】把總錢數看作單位“1”，那么一張桌子的錢數就占總錢數的，一把椅子的錢數就占總錢數的；一套桌椅的錢數就占總錢數的(+)，用單位“1”除以一套桌椅的分率即可解答。
9．（2024六上·鄆城期末）C919大型客機是中國首款完全按照最新國際適航標準研制的單通道大型干線客機，具有中國完全的自主知識產權。C919大型客機的翼展約36m， 翼展比機身的長度短。C919大型客機的機身的長度約多少米？
【答案】解：36÷（1-）
=36÷
=39（米）
答：C919大型客機的機身的長度約39
【思路點撥】C919大型客機的機身的長度=C919大型客機的翼展的長度÷（1-翼展比機身的長度短幾分之幾），據此代入數值作答即可。
10．（2024六上·黃巖期末）“一年好景君須記，最是橙黃橘綠時”，果園里橘子大豐收了！今年王奶奶還嘗試了“直播帶貨”，銷量大增，一共賣出了3500千克，其中通過直播賣出的橘子數量是線下的。線上直播賣出了多少千克
【答案】解：3500÷（1＋）×
=3500÷×
=2000×
=1500（千克）
答：線上直播賣出了1500千克。
【思路點撥】線上直播賣出的質量=賣出的總質量÷（1＋線上直播占的分率）×線上直播占的分率。
11．（2024六上·確山期末）兩位師傅給一間房貼地磚。張師傅單獨做5天可以貼完，李師傅單獨做4天可以貼完，他們合做2天后，還剩下8平方米沒有貼。這間房有多少平方米
【答案】解：（+）×2
=×2
=
8÷（1-）
=8÷
=80（平方米）
答：這間房有80平方米。
【思路點撥】他們合做2天，完成這間房幾分之幾=張師傅和李師傅每天一共貼幾分之幾×2，他們合做2天后還剩這間房的幾分之幾=1-他們合做2天完成這間房的幾分之幾，所以所以這間房的面積=還剩的面積÷他們合做2天后還剩這間房的幾分之幾。
12．（2024六上·涼州期末）一項工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊的工作效率是甲隊的。如果甲、乙兩隊合做，幾天可以完成這項工程的？
【答案】解：×=
÷（+）
=÷
=5（天）
答：5天可以完成這項工程的。
【思路點撥】乙隊的工作效率=甲隊的工作效率×乙隊的工作效率是甲隊的幾分之幾，把這項工程看成單位“1”，那么完成這項工程的需要的天數=÷甲隊和乙隊的工作效率之和，據此代入數值作答即可。
13．（2024六上·亭湖期末）為迎接新年，實驗小學六(3)班布置教室，買了一個大燈籠和12個小燈籠，一共花費112元.已知一個小燈籠是一個大燈籠單價的。小燈籠和大燈籠的單價各是多少元
【答案】解：1÷=4（個）
112÷（4+12）
=112÷16
＝7（元）
7÷=28（元）
答：小燈籠的單價是7元，大燈籠的單價是28元。
【思路點撥】一個大燈籠相當于小燈籠的個數=1÷一個小燈籠是一個大燈籠單價的幾分之幾，所以小燈籠的單價=一個大燈籠和12個小燈籠一共的錢數÷（12+4），大燈籠的單價=小燈籠的單價÷乙個小燈籠是一個大燈籠單價的幾分之幾，據此代入數值作答即可。
能力拔高練
14．（2023六上·郯城月考）今年的產量比去年多，今年的產量相當于去年的（　　）。
A． B． C． D．
【答案】C
【規范解答】解：1＋=
÷1=。
故答案為：C。
【思路點撥】把去年的產量看作單位“1”，今年的產量=1＋=，今年的產量相當于去年的分率=今年的產量÷去年的產量。
15．（2023六上·龍崗期中）一瓶牛奶，如果喝掉后，連瓶重800g；如果喝掉一半后，連瓶重700g。則瓶子重（　　）g
A．300 B．400 C．500 D．600
【答案】B
【規范解答】解：（800-700）÷（-）
=100÷
=600（克）
700-600×
=700-300
=400（克）。
故答案為：B。
【思路點撥】瓶子的質量=喝掉一半后連瓶的總質量-總質量×；其中，總質量=（喝掉后連瓶的質量-喝掉一半后連瓶的質量）÷（-）。
16．學校一次課外活動，缺勤人數是出勤人數的10％，后來又有2人因病請假，這時缺勤人數是出勤人數的 ，這個學校課外活動小組共有（　　）
A．99人 B．90人 C．100人
【答案】A
【規范解答】解：10＋1=11
8＋1=9
2÷（-）
=2÷
=99（人）。
故答案為：A。
【思路點撥】學校組織這次課外活動的總人數是一定的，原來缺勤人數是出勤人數的10%（即），也就是缺勤人數是出勤人數的，后來又有2人因病請假，這時缺勤人數是出勤人數的 ，這時缺勤人數占總人數的，那么這個學校課外活動小組共有的人數=2÷（-）。
17．（2024六上·沐川期末）在一個減法算式里，被減數、減數和差的和是140，減數是差的。這個減法算式的差是　 　，減數是　 　。
【答案】42；28
【規范解答】解：（1+）++1=，140÷=42，所以減法算式的差是42；42×=28，所以減數是28。
故答案為：42；28。
【思路點撥】把差看成單位“1”，減數則是，所以被減數是1+=，所以差=被減數、減數和差的和÷（++1），減數=差×減數是差的幾分之幾。
18．（2023六上·如皋月考）六（1）班的同學上體育課時整齊的排列成兩隊，樂樂數了數，排在他前面的人數是總人數的，排在他后面的人數是總人數的。樂樂這一隊一共有　 　人，從前往后數，樂樂排在第　 　位。
【答案】15；7
【規范解答】解：1÷（1--）
=1÷（-）
=1÷
=15（人）
15×＋1
=6＋1
=7（位）。
故答案為：15；7。
【思路點撥】樂樂這一隊的總人數=樂樂1人÷（1-樂樂前面人數占的分率-樂樂后面人數占的分率）；樂樂排的位次數=樂樂這一隊的總人數×樂樂前面人數占的分率＋1人。
19．（2023六上·漢川期中）印度也像中國一樣有著燦爛的文化，古代印度有這樣一道有趣的數學題：有一群蜜蜂，其中落在牡丹花上，落在梔子花上，這兩者的差的三倍，飛向月季花，最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉蘭花之間飛來飛去，共有　 　只蜜蜂。
【答案】15
【規范解答】解：（-）×3
=×3
=
1---
=--
=-
=
1÷=15（只）。
故答案為：15。
【思路點撥】共有蜜蜂的只數=最后剩下蜜蜂的只數÷最后一只蜜蜂占的分率；其中，最后一只蜜蜂占的分率=1-落在牡丹花上的分率-落在梔子花上的分率-飛向月季花的分率。
20．（2020六上·武侯期末）用遞等式計算。
（1）（3.5+ ）÷ -1.5
（2）[ +（ -1.21× ）]÷40%
【答案】（1）（3.5+ ）÷ -1.5
=（+）×-1.5
=（+）×-1.5
=×-1.5
=-1.5
=0
（2）[ +（ -1.21×）]÷40%
= [21.15+（5.4 -0.55）]÷0.4
= [21.15+4.85]÷0.4
=26÷0.4
=65
【思路點撥】（1）將帶分數化為假分數，再根據分數四則混合運算，先算括號里的，再算括號外的，能夠約分的要約分；（2）將帶分數化為小數進行計算，再根據小數四則混合運算，先算小括號里的，再算中括號里的，最后算括號外的，能約分的要約分。
21．（2024·一外）在某大壩截流時，用載重卡車將一堆石料運到圍堰龍口，第一次運了這堆石料的少2萬方，第二次運了剩下的多3萬方，此時還剩下12萬方未運，則這堆石料共有多少萬方？
【答案】解：（12＋3）÷（1-）
=15÷
=30（萬方）
（30-2）÷（1-）
=28÷
=42（萬方）
答：這堆石料共有42萬方。
【思路點撥】用逆推法：先把余下的質量看作單位“1”，假設第二天運來剩下的，則還剩下余下的1-=，還剩12＋3=15萬方，則余下15÷=30萬方；進而把這堆石料看作單位“1”，第一次運了這堆石料的少2萬方，然后用除法求出這堆石料共有多少萬方。
22．（2024六上·英山期末）小明看一本書，第一次看的比全書的少7頁，第二次看的比全書的多5頁，還剩下267頁沒看。這本書一共有多少頁？
【答案】解：（267-7+5）÷（1--）
=265÷
=300（頁）
答：這本書一共有300頁。
【思路點撥】這本書一共的頁數=（還剩下的頁數-7頁＋5頁）÷（1-第一次看的分率-第二次看的分率）。
23．（2024六上·蓮湖期末）快遞公司配送一批加急件，已配送的件數與剩下的件數比是3：4，如果再配送80件，剩下的比已經配送的少 ，這批加急件一共有多少件？
【答案】解：3÷（3＋4）
=3÷7
=
1-=
1÷（1＋）
=1÷
=
80÷（-）
=80÷
=280（件）
答：這批加急件一共有280件。
【思路點撥】這批加急件一共的件數=再配送的件數÷所占的分率，其中，再配送的件數所占的分率=-原來配送的占的分率。
24．（2023.10.11·渝北）有一條線段AB，以端點A為起點量出全長的 在線段上做記號M，以端點B為起點量出全長的 在線段上做記號N．如果M和N之間的長度是14cm，那么整條線段AB的長度是多少？
【答案】解：1﹣ ＝
1﹣ ＝
14÷（1﹣ ﹣ ）
＝14÷
＝30（厘米）
答：整條線段AB的長度是30厘米。
【思路點撥】此題可以借助畫圖的方法，關鍵是找準14厘米線段的對應分率，把線段AB的全長看作單位“1”，已知AM占，則MB占1-=，已知BN占，則NA占1-=，那么線段MN占全長的1--，最后用線段MN的長度÷線段MN占全長的分率=線段AB的長度，據此列式解答。
25．（2023六上·玉環期中）一件工程，如果甲隊單獨做要15天完成，乙隊2天可以完成這件工程的，甲隊單獨做5天后，甲乙合作還需要幾天完成？
【答案】解：÷2=
（1-×5）÷（＋）
=（1-）÷
=÷
=4（天）
答：甲乙合作還需要4天完成。
【思路點撥】甲、乙合作完成還需要的天數=（1-甲隊的工作效率×甲單獨做的天數）÷（甲隊的工作效率＋乙隊的工作效率）。專題07 分數的混合運算（三）
（新知講練+高頻易錯點+三考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復習到預習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內容！結合變式訓練提升知識點應用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對常考題型易錯點內容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節內容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結合變式演練，舉一反三訓練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎夯實+沖刺拔高】真題練：結合近兩年常考真題，易錯題，經典題型等進一步鞏固所學內容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
考點01：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數 6
考點02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量 9
考點03：用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題 11
基礎達標練 15
能力拔高練 22
1.用方程表達分數混合運算問題中的等量關系。
2.解決相應的實際問題，發展分析和解決問題的能力。
3.構建數學模型，教育學生節約用水，培養勤儉節約的好習慣。
思考：估一估，哪個月份用水少？哪個月份用水多？
說一說：要求八月用水多少噸？你是如何思考的？
思考：八月份的用水量不知道，能不能找一下等量關系，用方程來解決這個問題？
解：設八月用水x噸。
x－x=12
x=12
x=14 答：八月用水14噸。
解：設八月用水x噸。
（1－)x=12
x=12
x=14 答：八月用水14噸。
小結： 利用方程解決與分數運算有關的實際問題，根據我們的分析和數量關系式，已知比一個數多（或少）幾分之幾，求這個數，我們一般可以用方程來解決。
淘氣家八月用水14噸，比九月多用了 ，九月用水多少噸？
書店運來一批文藝書，售出后，還剩下1260本。這批文藝書共有多少本？
學習任務：找出題中的等量關系，畫一畫、說一說。
知識點01：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數
這個知識點主要考察的是對分數增減運算的逆向應用。題目通常會給出某個數比另一個數多或少幾分之幾，然后給出具體的結果，要求求出原來的數。
解題步驟：
理解題意：明確題目中給出的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”以及具體的結果。
設立未知數：設原來的數為x。
建立方程：根據題目描述，建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知識點02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量
這個知識點主要考察的是對分數比例的應用。題目會給出總量中的一部分量所占的比例以及另一部分量的具體數值，要求求出總量。
解題步驟：
理解題意：明確題目中給出的比例和具體數值。
設立未知數：設總量為x。
建立方程：根據題目描述，利用比例關系建立包含x的方程。
解方程：解出x的值。
知識點03：運用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題
在解決稍復雜的分數應用題時，轉化法和倒推法是非常有效的解題技巧。
轉化法：
轉化法是將題目中的復雜條件或問題轉化為簡單、易于理解的形式。例如，可以將分數轉化為小數，或將復雜的比例關系轉化為簡單的等式。
倒推法：
倒推法是從問題的結果出發，逆向推導出問題的初始條件或已知條件。這種方法在解決逆向思維問題時特別有效。
易錯知識點01：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數
易錯點：
理解題意不清：學生可能沒有正確理解題目中的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”的含義，導致解題方向錯誤。
設立方程錯誤：在設立未知數時，學生可能會將未知數設立在錯誤的位置，導致方程建立不正確。
計算錯誤：在解方程的過程中，學生可能會出現計算錯誤，導致最終答案不正確。
解題策略：
仔細審題，明確題目中的“多幾分之幾”或“少幾分之幾”是指哪個數與哪個數之間的關系。
設立未知數，通常設要求的數為未知數。
根據題目描述，建立包含未知數的方程。
解方程，得出未知數的值。
易錯知識點02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量求總量
易錯點：
比例關系理解不清：學生可能沒有正確理解題目中給出的比例關系，導致解題方向錯誤。
計算錯誤：在根據比例關系計算總量時，學生可能會出現計算錯誤。
解題策略：
仔細審題，明確題目中給出的比例關系以及另一部分量的具體數值。
設立未知數，通常設總量為未知數。
根據比例關系，建立包含未知數的方程。
解方程，得出未知數的值，即總量。
易錯知識點03：運用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題
易錯點：
轉化方法不當：學生可能沒有找到合適的轉化方法，導致問題復雜化。
倒推步驟錯誤：在使用倒推法時，學生可能會出現步驟錯誤，導致最終答案不正確。
解題策略：
轉化法：
仔細審題，找出題目中的關鍵信息。
嘗試將題目中的復雜條件或問題轉化為簡單、易于理解的形式。
轉化后，按照常規方法解題。
倒推法：
從問題的結果出發，逆向推導出問題的初始條件或已知條件。
逐步倒推，每一步都要確保正確無誤。
得出最終答案后，檢查是否符合題目要求。
考點01：已知比一個數多或少幾分之幾是多少，求這個數
【典例精講】（23-24六年級上·廣東湛江·期末）學校圖書館有故事書420本，______，科技書有多少本？為了解決這個問題，樂樂補充一條信息后，設科技書有x本，列出的方程是“”，樂樂補充的信息是（ ）。
A．故事書比科技書少 B．故事書比科技書多
C．科技書比故事書少 D．科技書比故事書多
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·課后作業）說一說圖意，再列式計算。
【變式演練02】（23-24六年級上·陜西商洛·期末）元旦假期，奇奇和爸爸媽媽一起去姥姥家。請你根據下面的信息幫奇奇解決問題。
（1）如果今年還坐火車去姥姥家，那么需要用（ ）小時。
（2）如果今年坐高鐵去姥姥家，那么需要用多長時間？
【變式演練03】（23-24六年級上·廣東湛江·期末）“面人”是一種民間傳統的手工藝品。手工課上淘氣捏一個唐僧用了250克面粉，捏一個唐僧需要的面粉比捏一個豬八戒少。捏一個豬八戒需要多少克面粉？
考點02：已知一部分量占總量的幾分之幾及另一部分量，求總量
【典例精講】（22-23六年級上·山西忻州·期末）一堆貨物，運走了，還剩30噸，這堆貨物原來有 噸。
【變式演練01】（23-24六年級上·福建莆田·期末）為了豐富學生的課余生活，逸夫小學開展了學生課后社團活動。六年級原來參加圍棋社的女生人數是男生人數的，后來又增加了10名女生，這時男生人數是女生的。原來參加圍棋社的女生有多少名？
【變式演練02】（23-24六年級上·河南南陽·期中）為美化校園環境，學校粉刷宣傳長廓，已刷了，還剩50平方米沒有刷，宣傳長廓的總面積是多少平方米？
【變式演練03】（23-24六年級上·河南周口·期末）食堂新買來一批大米，第一周吃了總數的，后來又吃了總數的，現在還剩130kg，食堂新買來的這批大米有（ ）kg。
A．360 B．290 C．450 D．440
考點03：用轉化法或倒推法解決稍復雜的分數應用題
【典例精講】三個袋中各裝一些球，現從甲袋中取出的小球放入乙袋，然后乙袋中取出現在的放入丙袋，最后再從丙袋中取出現在的放入甲袋，那么各袋中的球都是18個，原來甲袋中有（ ）個球。
A．21 B．24 C．27 D．40
【變式演練01】（21-22六年級上·山東德州·期末）有一根繩子，第一次剪下一半又1米，第二次剪下剩下的一半又1米，還剩1米。這根繩子原來有多長？（ ）
A．7米 B．8米 C．9米 D．10米
【變式演練02】（21-22六年級上·湖南永州·期中）修一段路，第一天修了300米，第二天修了余下的一半少200米，第三天修了余下的多100米，這時還余下500米沒有修。這段路全長多少米？
【變式演練03】（21-22六年級上·湖北武漢·期末）風采大賽之后，老師拿了一箱獎品發給獲獎的同學們。將其中的發給一等獎的同學，剩下的發給二等獎的同學，一、二等獎發完后剩下的發給三等獎的同學，這時箱子里還剩下15份獎品，問箱子里原來有多少份獎品？
基礎達標練
1．（2024六上·慈溪期末）修一段100米長的路，甲單獨修10天完成，乙單獨修15天完成。現在甲、乙合作6天，下列說法正確的是（　　）。
A．還沒有完成 B．正好完成
C．已經提前完成 D．無法確定
2．（2024六上·天臺期末）甲商品的單價是360元，乙商品的單價與甲商品單價的關系如圖所示。關于甲乙兩件商品單價之間的關系，下列說法正確的是（　　）。
A．乙和甲的單價比是6：5 B．乙的單價是
C．乙的單價比甲少 D．甲的單價比乙多
3．（2024六上·印江期末） 加工400個零件，師傅單獨加工要8小時才能完成，徒弟單獨加工要10小時才能完成。如果列式為“”，要解決的問題是（　　）。
A．師徒合作1小時完成這批零件的幾分之幾
B．師徒合作1小時加工多少個零件
C．師徒合作完成400個零件需要多少小時
4．（2024六上·象山期末）一項工程，甲隊單獨做需20天完成，乙隊單獨做需30天完成。甲、乙的工作效率之比是　 　。甲、乙兩隊合做，　 　天可以完成這項工程的。
5．（2024六上·丹江口期末）在通常情況下，物體都具有熱脹冷縮的特性。但是水是一種特殊的液體，溫度在4℃ 以上時，遵循熱脹冷縮規律。4℃以下時，水會熱縮冷脹。溫度低于0℃，水會凝固成冰，體積會明顯變大。所以在生活中，我們不能把瓶裝飲料和啤酒放到冰箱冷凍，否則會凍裂。
（1）夏季常溫下1 L水，放入冰箱后水溫變成了3℃，這是水的體積　 　1 L。（填大于、等于、小于）
（2）體積相等的冰和水，冰的質量比水的質量少。現在有一塊重9kg的冰，如果一桶水的體積和這塊冰的體積相同，這桶水重　 　kg。
6．（2024六上·澤普期末）圖書館共有科技書和故事書630本，其中科技書的本數是故事書的，科技書有　 　本，故事書有　 　本。
7．（2024六上·義烏期末）遞等式計算，能簡便的要簡便計算。
8．（2024六上·平湖期末）張師傅帶了一些錢去購買辦公桌椅。這些錢如果全部用來購買桌子，可以買20張；如果全部用來購買椅子，可以買30把。這些錢可以買多少套辦公桌椅？（一張桌子和一把椅子是1套）
9．（2024六上·鄆城期末）C919大型客機是中國首款完全按照最新國際適航標準研制的單通道大型干線客機，具有中國完全的自主知識產權。C919大型客機的翼展約36m， 翼展比機身的長度短。C919大型客機的機身的長度約多少米？
10．（2024六上·黃巖期末）“一年好景君須記，最是橙黃橘綠時”，果園里橘子大豐收了！今年王奶奶還嘗試了“直播帶貨”，銷量大增，一共賣出了3500千克，其中通過直播賣出的橘子數量是線下的。線上直播賣出了多少千克
11．（2024六上·確山期末）兩位師傅給一間房貼地磚。張師傅單獨做5天可以貼完，李師傅單獨做4天可以貼完，他們合做2天后，還剩下8平方米沒有貼。這間房有多少平方米
12．（2024六上·涼州期末）一項工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊的工作效率是甲隊的。如果甲、乙兩隊合做，幾天可以完成這項工程的？
（2024六上·亭湖期末）為迎接新年，實驗小學六(3)班布置教室，買了一個大燈籠和12個小燈籠，一共花費112元.已知一個小燈籠是一個大燈籠單價的。小燈籠和大燈籠的單價各是多少元
能力拔高練
14．（2023六上·郯城月考）今年的產量比去年多，今年的產量相當于去年的（　　）。
A． B． C． D．
15．（2023六上·龍崗期中）一瓶牛奶，如果喝掉后，連瓶重800g；如果喝掉一半后，連瓶重700g。則瓶子重（　　）g
A．300 B．400 C．500 D．600
16．學校一次課外活動，缺勤人數是出勤人數的10％，后來又有2人因病請假，這時缺勤人數是出勤人數的 ，這個學校課外活動小組共有（　　）
A．99人 B．90人 C．100人
17．（2024六上·沐川期末）在一個減法算式里，被減數、減數和差的和是140，減數是差的。這個減法算式的差是　 　，減數是　 　。
18．（2023六上·如皋月考）六（1）班的同學上體育課時整齊的排列成兩隊，樂樂數了數，排在他前面的人數是總人數的，排在他后面的人數是總人數的。樂樂這一隊一共有　 　人，從前往后數，樂樂排在第　 　位。
19．（2023六上·漢川期中）印度也像中國一樣有著燦爛的文化，古代印度有這樣一道有趣的數學題：有一群蜜蜂，其中落在牡丹花上，落在梔子花上，這兩者的差的三倍，飛向月季花，最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉蘭花之間飛來飛去，共有　 　只蜜蜂。
20．（2020六上·武侯期末）用遞等式計算。
（1）（3.5+ ）÷ -1.5 （2）[ +（ -1.21× ）]÷40%
（2024·一外）在某大壩截流時，用載重卡車將一堆石料運到圍堰龍口，第一次運了這堆石料的少2萬方，第二次運了剩下的多3萬方，此時還剩下12萬方未運，則這堆石料共有多少萬方？
（2024六上·英山期末）小明看一本書，第一次看的比全書的少7頁，第二次看的比全書的多5頁，還剩下267頁沒看。這本書一共有多少頁？
（2024六上·蓮湖期末）快遞公司配送一批加急件，已配送的件數與剩下的件數比是3：4，如果再配送80件，剩下的比已經配送的少 ，這批加急件一共有多少件？
（2023.10.11·渝北）有一條線段AB，以端點A為起點量出全長的 在線段上做記號M，以端點B為起點量出全長的 在線段上做記號N．如果M和N之間的長度是14cm，那么整條線段AB的長度是多少？
25．（2023六上·玉環期中）一件工程，如果甲隊單獨做要15天完成，乙隊2天可以完成這件工程的，甲隊單獨做5天后，甲乙合作還需要幾天完成？

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