資源簡(jiǎn)介

2024年北師大數(shù)學(xué)五升六暑假銜接培優(yōu)精講練過(guò)關(guān)講義
（知識(shí)梳理+易錯(cuò)精講+真題拔高卷）
第3講 分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算及應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)01：分?jǐn)?shù)乘法
1.理解分?jǐn)?shù)乘法的意義：分?jǐn)?shù)乘法可以理解為求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，或者是幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)的和。這種理解方式有助于我們解決一些實(shí)際問(wèn)題。
2.計(jì)算方法的運(yùn)用：
分?jǐn)?shù)乘整數(shù)：直接用分?jǐn)?shù)的分子與整數(shù)相乘，分母保持不變。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)：分子相乘作為新的分子，分母相乘作為新的分母。
分?jǐn)?shù)乘小數(shù)：可以將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為小數(shù)，或?qū)⑿?shù)轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算。這有助于我們處理混合數(shù)（整數(shù)和分?jǐn)?shù)）的問(wèn)題。
分?jǐn)?shù)的約分：在進(jìn)行分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算時(shí)，能約分的要先約分，這有助于簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，避免得到過(guò)于復(fù)雜的答案。
知識(shí)點(diǎn)02：分?jǐn)?shù)除法
1.倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的一種特殊關(guān)系，因此必須說(shuō)一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不能孤立地說(shuō)某個(gè)數(shù)是倒數(shù)。
2.求倒數(shù)的方法：將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置即可得到其倒數(shù)。如的倒數(shù)是。
特殊數(shù)的倒數(shù)：1的倒數(shù)仍是1；0沒(méi)有倒數(shù)，因?yàn)樵诜謹(jǐn)?shù)中，0不能做分母。
3.分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則
分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則基于除法是乘法的逆運(yùn)算這一原理。具體來(lái)說(shuō)，甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。例如，÷＝×＝。
在進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：
當(dāng)除數(shù)小于1時(shí)，商大于被除數(shù)；當(dāng)除數(shù)等于1時(shí)，商等于被除數(shù)；當(dāng)除數(shù)大于1時(shí)，商小于被除數(shù)。
被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)時(shí)，如果能約分，要先進(jìn)行約分。
4.分?jǐn)?shù)除法的意義
分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，都是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)求另一個(gè)因數(shù)。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，分?jǐn)?shù)除法可以幫助我們理解數(shù)量之間的比例關(guān)系。
5.實(shí)際應(yīng)用
分?jǐn)?shù)除法在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。例如，在分配任務(wù)、計(jì)算成本、比較數(shù)量等方面，我們經(jīng)常需要用到分?jǐn)?shù)除法。
知識(shí)點(diǎn)03：分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算
1.加減：對(duì)于同分母的分?jǐn)?shù)，加減時(shí)分母不變，只需對(duì)分子進(jìn)行加減。對(duì)于異分母的分?jǐn)?shù)，需要先找到兩個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)進(jìn)行通分，然后再按照同分母分?jǐn)?shù)的加減法則進(jìn)行計(jì)算。
2.乘法：乘法時(shí)，分子乘分子作為結(jié)果的分子，分母乘分母作為結(jié)果的分母。同時(shí)，如果分子和分母有公因數(shù)，可以先進(jìn)行約分，再計(jì)算。
3.除法：除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。也就是說(shuō)，要將除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算。
4.運(yùn)算順序
在混合運(yùn)算中，我們遵循“先乘除，后加減”的原則。也就是說(shuō)，如果有乘法和除法運(yùn)算，我們需要先完成它們，然后再進(jìn)行加法和減法運(yùn)算。
如果存在括號(hào)，我們需要先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容。在括號(hào)中，也是先乘除后加減。
對(duì)于同一級(jí)運(yùn)算（如都是乘法或都是除法），我們按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算。
5.簡(jiǎn)便運(yùn)算
在混合運(yùn)算中，如果滿足運(yùn)算定律（如乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律等），我們可以利用這些定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。
例如，對(duì)于乘法分配律，我們知道a×(b+c) = a×b + a×c。這可以幫助我們簡(jiǎn)化一些復(fù)雜的運(yùn)算。
6.實(shí)際問(wèn)題解決
使用分?jǐn)?shù)乘除法混合運(yùn)算可以解決許多實(shí)際問(wèn)題，如“求比已知量多（或少）幾分之幾的量是多少”的問(wèn)題。這類問(wèn)題通常需要先找出多（或少）的具體量，然后用單位“1”的量加（或減）去多（或少）的部分，以求出最終答案。
易錯(cuò)點(diǎn)01：混淆分?jǐn)?shù)與小數(shù):
學(xué)生可能會(huì)將分?jǐn)?shù)與小數(shù)混淆，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。例如，他們可能會(huì)錯(cuò)誤地將3/4誤認(rèn)為是0.75或?qū)?/5誤認(rèn)為是0.6。因此，在運(yùn)算之前，需要確保學(xué)生正確地將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為小數(shù)（如果需要的話），或者保持分?jǐn)?shù)形式不變。
易錯(cuò)點(diǎn)02：約分與通分概念不清
約分是將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以它們的最大公約數(shù)，使分?jǐn)?shù)變得更簡(jiǎn)單。而通分是將兩個(gè)或多個(gè)分?jǐn)?shù)的分母變成相同的數(shù)，以便于進(jìn)行加減運(yùn)算。學(xué)生可能會(huì)混淆這兩個(gè)概念，導(dǎo)致在約分或通分時(shí)出錯(cuò)。
易錯(cuò)點(diǎn)03：運(yùn)算順序錯(cuò)誤
分?jǐn)?shù)乘除法的運(yùn)算順序與整數(shù)相同，即先進(jìn)行乘法和除法運(yùn)算，再進(jìn)行加法和減法運(yùn)算。然而，學(xué)生可能會(huì)忽略這個(gè)順序，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。特別是當(dāng)存在多個(gè)運(yùn)算步驟時(shí)，他們需要格外注意運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)。
易錯(cuò)點(diǎn)04：乘法與除法的逆運(yùn)算混淆
在進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忘記將除法轉(zhuǎn)換為乘法。具體來(lái)說(shuō)，他們應(yīng)該將被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)。然而，學(xué)生可能會(huì)直接進(jìn)行約分或忽略這一步驟，導(dǎo)致錯(cuò)誤。
易錯(cuò)點(diǎn)05：整數(shù)與分?jǐn)?shù)的乘法
當(dāng)整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忘記將整數(shù)視為一個(gè)分?jǐn)?shù)（即分母為1的分?jǐn)?shù)）。這可能會(huì)導(dǎo)致他們?cè)谟?jì)算過(guò)程中出錯(cuò)。
易錯(cuò)點(diǎn)06：運(yùn)算符號(hào)看錯(cuò)
學(xué)生可能會(huì)將乘法符號(hào)（×）誤認(rèn)為是加法（+）或?qū)⒊ǚ?hào)（÷）誤認(rèn)為是減法（-）或加法（+）。這種錯(cuò)誤會(huì)直接影響計(jì)算結(jié)果。
易錯(cuò)點(diǎn)07：結(jié)果化簡(jiǎn)：
在完成分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算后，學(xué)生需要將結(jié)果化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式。然而，他們可能會(huì)忘記這一步或無(wú)法正確找出最大公約數(shù)進(jìn)行約分。
易錯(cuò)點(diǎn)08：帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換：
在運(yùn)算過(guò)程中，可能需要將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為假分?jǐn)?shù)或?qū)⒓俜謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為帶分?jǐn)?shù)。然而，學(xué)生可能會(huì)忘記這一步驟或轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤。
檢測(cè)時(shí)間：90分鐘 試題滿分：100分 難度系數(shù)：51（較難）
一、慎重選擇(共6題；共12分)
1．（2分）（2024五下·武江期中）食堂有面粉540千克，大米的重量是面粉的，大米有（　　）千克。
A．108 B．180 C．900 D．324
2．（2分）（2023五下·長(zhǎng)順期末）已知A的倒數(shù)小于B的倒數(shù)，則A（　　）B。
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定
3．（2分）（2023五下·武功期末）淘氣讀一本75頁(yè)的故事書，前3天讀了全書的。照這樣的速度，淘氣讀完這本書一共需要（　　） 天。
A．25 B．15 C．10 D．5
4．（2分）（2024五下·期中）甲每小時(shí)行12千米，乙每小時(shí)行8千米。某日甲從東村到西村，乙同時(shí)從西村到東村，已知乙到東村時(shí)，甲已先到西村5小時(shí)，東西兩村的距離是（　　）千米。
A．10 B．120 C．80 D．200
5．（2分）（2023五下·金東期末）在計(jì)算÷2的結(jié)果時(shí)，下面四種計(jì)算方法，不合理的是（　　）。
A． B．÷2=（×5）÷（2×5）
C．÷2=（×）÷（2×） D．÷2=5÷4÷2
6．（2分）（2024五下·龍崗期中）五(3)班人數(shù)占全校總?cè)藬?shù)的，其中五(3)班男生占全班人數(shù)的，則五(3)班男生占全校總?cè)藬?shù)的(　　)。
A． B． C． D．
二、判斷正誤(共5題；共10分)
7．（2分）（2024五下·邯鄲期中）a，b，c是三個(gè)不為零的數(shù)，且a＞b＞c，則a×＞a×。（　　）
8．（2分）（2024五下·武江期中）7千克的與1千克的相等。（　　）
9．（2分）（2023五下·榕城）kg的食用油，每天用去，一共可以用4天。（　　）
10．（2分）（2021五下·大埔期末）一個(gè)數(shù)除以 ，商一定比這個(gè)數(shù)大。（　　）
11．（2分）（2021五下·惠城月考）六（1）班男生有20人，占全班人數(shù)的 ，六（1）班有多少人？列試為20÷ 。（　　）
三、仔細(xì)想，認(rèn)真填(共8題；共19分)
12．（4分）（2024五下·龍崗期中）12個(gè)的和是　 　； 噸的是　 　噸；
米比　 　米多米； 最小的合數(shù)的倒數(shù)是　 　。
13．（2分）（2024五下·湛江期中）一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是15 dm ，寬是5dm ，高是長(zhǎng)的，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 　 　dm，表面積是　 　dm。
14．（2分）（2024五下·湛江期中）一桶食用油重6L，每天用去這桶油的，4天用去這桶油　 　，用去了　 　L。
15．（2分）（2024五下·威縣期中）張叔叔承包了一片山地，他準(zhǔn)備用這片山地的 種農(nóng)作物， 種果樹(shù)。如果農(nóng)作物的 是玉米， 玉米地占整塊地的　 　， 如果果樹(shù)的 是棗樹(shù)， 棗樹(shù)占整塊地的　 　。
16．（2分）（2023五下·惠州期末）把米長(zhǎng)的繩子平均剪成4段，每段長(zhǎng)是　 　米，每段是全長(zhǎng)的　 　。
17．（3分）（2023五下·福田期末）在 ▲ 里填上“>”“<”或“=”
　 　 　 　 　 　
18．（2分）（2023五下·桂平期末） 一件工藝品按原價(jià)的售出是140元，這件工藝品原價(jià)是 　 　元，如果按原價(jià)的售出，售價(jià)是 　 　元。
19．（2分）明明做8道應(yīng)用題用 小時(shí)，平均每道題用　 　 小時(shí)？合　 　分鐘？
四、計(jì)算能手(共1題；共8分)
20．（8分）（2023五下·城固期末）直接寫出得數(shù)。
1÷= 45×= ÷4=
五、解決問(wèn)題(共10題；共51分)
21．（5分）（2024五下·徐聞期中）某班男生有30人，女同學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的，全班有多少人？
22．（5分）（2024五下·邯鄲期中）濟(jì)南到南京的鐵路長(zhǎng)663千米。一列火車從濟(jì)南開(kāi)往南京，已經(jīng)行了全程。
（1）（2分）在圖上標(biāo)出此時(shí)火車的大致位置。
（2）（3分）此時(shí)火車行駛了多少千米？離南京還有多少千米？
23．（2分）（2024五下·坪山期中）魯班鎖起源于中國(guó)古建筑中首創(chuàng)的梆卯(凹凸)結(jié)構(gòu)。某創(chuàng)客社團(tuán)最近舉辦了“傳承工匠精神，解密非遺風(fēng)采”的魯班鎖主題活動(dòng)。在魯班鋇速解比賽中，小鳴用時(shí)分，小娟用時(shí)分，小洋用時(shí)84秒，請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)最快
24．（6分）（2024五下·威縣期中）2023年12月27 日， 隨著杭昌高鐵黃山至南昌段（黃昌鐵路） 正式建成通車， 杭昌高鐵全線貫通運(yùn)營(yíng)。已知本次建成通車的黃昌段鐵路全長(zhǎng)288千米， 杭昌高鐵全長(zhǎng)560千米。
（1）（3分） 如果高鐵駛過(guò)黃昌段的鄱陽(yáng)湖特大橋約占黃昌段鐵路的 ，那么這段鄱陽(yáng)湖特大橋約長(zhǎng)多少千米 （用小數(shù)表示）
（2）（3分）如果張叔叔乘坐G4016次列車（從南昌東-杭州西）走了全程的 時(shí)，李叔叔乘坐的 G4015 次列車（從杭州西-南昌東）走了全程的，此時(shí)這兩輛列車相距多少千米？
25．（5分）（2024五下·海門月考）媽媽的年齡比小玲的3倍多4歲。媽媽今年40歲，小玲今年多少歲
26．（5分）（2024五下·上思）每千克西瓜3.6元，買4千克蘋果比買6千克西瓜多花2.4元，每千克蘋果多少元？ （列方程解決問(wèn)題）
27．（5分）（2024五下·威縣月考）媽媽下班回家要走20分鐘，爸爸下班回家要走小時(shí)。如果爸爸和媽媽走路的速度相同，誰(shuí)離單位近一些
28．（6分）（2022五下·期末）蜂鳥是目前世界上所發(fā)現(xiàn)的最小的鳥，它 分鐘可以飛行 km。蜂鳥平均每分鐘飛行多少千米？
29．（6分）（2020五下·榆陽(yáng)期末）王叔叔家有一塊地，他把整塊地的 種了西紅柿， 種了黃瓜，其余的種了茄子。
（1）（3分）種茄子的地占整塊地的幾分之幾？
（2）（3分）已知種茄子的面積是26平方米，那么這塊地一共是多少平方米？
30．（6分）（2024五下·徐州經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)月考）近年來(lái)，網(wǎng)購(gòu)的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活。某快遞分派站現(xiàn)有包裹若干件需快遞員派送。若每個(gè)快遞員派送10件，還剩6件；若每個(gè)快遞員派送12件，還差6件。該分派站現(xiàn)有包裹多少件？快遞員多少名？2024年北師大數(shù)學(xué)五升六暑假銜接培優(yōu)精講練過(guò)關(guān)講義
（知識(shí)梳理+易錯(cuò)精講+真題拔高卷）
第3講 分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算及應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)01：分?jǐn)?shù)乘法
1.理解分?jǐn)?shù)乘法的意義：分?jǐn)?shù)乘法可以理解為求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，或者是幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)的和。這種理解方式有助于我們解決一些實(shí)際問(wèn)題。
2.計(jì)算方法的運(yùn)用：
分?jǐn)?shù)乘整數(shù)：直接用分?jǐn)?shù)的分子與整數(shù)相乘，分母保持不變。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)：分子相乘作為新的分子，分母相乘作為新的分母。
分?jǐn)?shù)乘小數(shù)：可以將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為小數(shù)，或?qū)⑿?shù)轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算。這有助于我們處理混合數(shù)（整數(shù)和分?jǐn)?shù)）的問(wèn)題。
分?jǐn)?shù)的約分：在進(jìn)行分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算時(shí)，能約分的要先約分，這有助于簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，避免得到過(guò)于復(fù)雜的答案。
知識(shí)點(diǎn)02：分?jǐn)?shù)除法
1.倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的一種特殊關(guān)系，因此必須說(shuō)一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不能孤立地說(shuō)某個(gè)數(shù)是倒數(shù)。
2.求倒數(shù)的方法：將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母交換位置即可得到其倒數(shù)。如的倒數(shù)是。
特殊數(shù)的倒數(shù)：1的倒數(shù)仍是1；0沒(méi)有倒數(shù)，因?yàn)樵诜謹(jǐn)?shù)中，0不能做分母。
3.分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則
分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則基于除法是乘法的逆運(yùn)算這一原理。具體來(lái)說(shuō)，甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。例如，÷＝×＝。
在進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：
當(dāng)除數(shù)小于1時(shí)，商大于被除數(shù)；當(dāng)除數(shù)等于1時(shí)，商等于被除數(shù)；當(dāng)除數(shù)大于1時(shí)，商小于被除數(shù)。
被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)時(shí)，如果能約分，要先進(jìn)行約分。
4.分?jǐn)?shù)除法的意義
分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，都是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)求另一個(gè)因數(shù)。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，分?jǐn)?shù)除法可以幫助我們理解數(shù)量之間的比例關(guān)系。
5.實(shí)際應(yīng)用
分?jǐn)?shù)除法在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。例如，在分配任務(wù)、計(jì)算成本、比較數(shù)量等方面，我們經(jīng)常需要用到分?jǐn)?shù)除法。
知識(shí)點(diǎn)03：分?jǐn)?shù)乘除混合運(yùn)算
1.加減：對(duì)于同分母的分?jǐn)?shù)，加減時(shí)分母不變，只需對(duì)分子進(jìn)行加減。對(duì)于異分母的分?jǐn)?shù)，需要先找到兩個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)進(jìn)行通分，然后再按照同分母分?jǐn)?shù)的加減法則進(jìn)行計(jì)算。
2.乘法：乘法時(shí)，分子乘分子作為結(jié)果的分子，分母乘分母作為結(jié)果的分母。同時(shí)，如果分子和分母有公因數(shù)，可以先進(jìn)行約分，再計(jì)算。
3.除法：除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。也就是說(shuō)，要將除數(shù)變?yōu)樗牡箶?shù)，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算。
4.運(yùn)算順序
在混合運(yùn)算中，我們遵循“先乘除，后加減”的原則。也就是說(shuō)，如果有乘法和除法運(yùn)算，我們需要先完成它們，然后再進(jìn)行加法和減法運(yùn)算。
如果存在括號(hào)，我們需要先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容。在括號(hào)中，也是先乘除后加減。
對(duì)于同一級(jí)運(yùn)算（如都是乘法或都是除法），我們按照從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算。
5.簡(jiǎn)便運(yùn)算
在混合運(yùn)算中，如果滿足運(yùn)算定律（如乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律等），我們可以利用這些定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。
例如，對(duì)于乘法分配律，我們知道a×(b+c) = a×b + a×c。這可以幫助我們簡(jiǎn)化一些復(fù)雜的運(yùn)算。
6.實(shí)際問(wèn)題解決
使用分?jǐn)?shù)乘除法混合運(yùn)算可以解決許多實(shí)際問(wèn)題，如“求比已知量多（或少）幾分之幾的量是多少”的問(wèn)題。這類問(wèn)題通常需要先找出多（或少）的具體量，然后用單位“1”的量加（或減）去多（或少）的部分，以求出最終答案。
易錯(cuò)點(diǎn)01：混淆分?jǐn)?shù)與小數(shù):
學(xué)生可能會(huì)將分?jǐn)?shù)與小數(shù)混淆，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。例如，他們可能會(huì)錯(cuò)誤地將3/4誤認(rèn)為是0.75或?qū)?/5誤認(rèn)為是0.6。因此，在運(yùn)算之前，需要確保學(xué)生正確地將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為小數(shù)（如果需要的話），或者保持分?jǐn)?shù)形式不變。
易錯(cuò)點(diǎn)02：約分與通分概念不清
約分是將一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)除以它們的最大公約數(shù)，使分?jǐn)?shù)變得更簡(jiǎn)單。而通分是將兩個(gè)或多個(gè)分?jǐn)?shù)的分母變成相同的數(shù)，以便于進(jìn)行加減運(yùn)算。學(xué)生可能會(huì)混淆這兩個(gè)概念，導(dǎo)致在約分或通分時(shí)出錯(cuò)。
易錯(cuò)點(diǎn)03：運(yùn)算順序錯(cuò)誤
分?jǐn)?shù)乘除法的運(yùn)算順序與整數(shù)相同，即先進(jìn)行乘法和除法運(yùn)算，再進(jìn)行加法和減法運(yùn)算。然而，學(xué)生可能會(huì)忽略這個(gè)順序，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。特別是當(dāng)存在多個(gè)運(yùn)算步驟時(shí)，他們需要格外注意運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)。
易錯(cuò)點(diǎn)04：乘法與除法的逆運(yùn)算混淆
在進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忘記將除法轉(zhuǎn)換為乘法。具體來(lái)說(shuō)，他們應(yīng)該將被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)。然而，學(xué)生可能會(huì)直接進(jìn)行約分或忽略這一步驟，導(dǎo)致錯(cuò)誤。
易錯(cuò)點(diǎn)05：整數(shù)與分?jǐn)?shù)的乘法
當(dāng)整數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，學(xué)生可能會(huì)忘記將整數(shù)視為一個(gè)分?jǐn)?shù)（即分母為1的分?jǐn)?shù)）。這可能會(huì)導(dǎo)致他們?cè)谟?jì)算過(guò)程中出錯(cuò)。
易錯(cuò)點(diǎn)06：運(yùn)算符號(hào)看錯(cuò)
學(xué)生可能會(huì)將乘法符號(hào)（×）誤認(rèn)為是加法（+）或?qū)⒊ǚ?hào)（÷）誤認(rèn)為是減法（-）或加法（+）。這種錯(cuò)誤會(huì)直接影響計(jì)算結(jié)果。
易錯(cuò)點(diǎn)07：結(jié)果化簡(jiǎn)：
在完成分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算后，學(xué)生需要將結(jié)果化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式。然而，他們可能會(huì)忘記這一步或無(wú)法正確找出最大公約數(shù)進(jìn)行約分。
易錯(cuò)點(diǎn)08：帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換：
在運(yùn)算過(guò)程中，可能需要將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為假分?jǐn)?shù)或?qū)⒓俜謹(jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為帶分?jǐn)?shù)。然而，學(xué)生可能會(huì)忘記這一步驟或轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤。
檢測(cè)時(shí)間：90分鐘 試題滿分：100分 難度系數(shù)：51（較難）
一、慎重選擇(共6題；共12分)
1．（2分）（2024五下·武江期中）食堂有面粉540千克，大米的重量是面粉的，大米有（　　）千克。
A．108 B．180 C．900 D．324
【答案】D
【規(guī)范解答】解：540×=324（千克）
故答案為：D。
【思路分析】以面粉的質(zhì)量為單位“1”，求大米的質(zhì)量就是求面粉質(zhì)量的是多少。用面粉的質(zhì)量乘即可求出大米的質(zhì)量。
2．（2分）（2023五下·長(zhǎng)順期末）已知A的倒數(shù)小于B的倒數(shù)，則A（　　）B。
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能確定
【答案】A
【規(guī)范解答】 已知A的倒數(shù)小于B的倒數(shù)，則A大于B，例如A是3，B是2時(shí)，3的倒數(shù)是，2的倒數(shù)是，＜，則3＞2。
故答案為：A。
【思路分析】乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，據(jù)此舉例即可解答。
3．（2分）（2023五下·武功期末）淘氣讀一本75頁(yè)的故事書，前3天讀了全書的。照這樣的速度，淘氣讀完這本書一共需要（　　） 天。
A．25 B．15 C．10 D．5
【答案】B
【規(guī)范解答】解：3÷=3×5=15（天）
故答案為：B。
【思路分析】已經(jīng)讀的天數(shù)÷已經(jīng)讀的對(duì)應(yīng)全書的分率=讀完全書需要的天數(shù)。
4．（2分）（2024五下·期中）甲每小時(shí)行12千米，乙每小時(shí)行8千米。某日甲從東村到西村，乙同時(shí)從西村到東村，已知乙到東村時(shí)，甲已先到西村5小時(shí)，東西兩村的距離是（　　）千米。
A．10 B．120 C．80 D．200
【答案】B
【規(guī)范解答】解：解：設(shè)兩村的距離是x千米，
+5=
-=5
x=5
x=5×24
x=120
故答案為：B。
【思路分析】等量關(guān)系：甲走的時(shí)間+5小時(shí)=乙走的時(shí)間，根據(jù)等量關(guān)系列方程，根據(jù)等式性質(zhì)解方程。
5．（2分）（2023五下·金東期末）在計(jì)算÷2的結(jié)果時(shí)，下面四種計(jì)算方法，不合理的是（　　）。
A． B．÷2=（×5）÷（2×5）
C．÷2=（×）÷（2×） D．÷2=5÷4÷2
【答案】D
【規(guī)范解答】解：不合理的是÷2=5÷4÷2 。
故答案為：D。
【思路分析】A項(xiàng)：÷2表示把單位“1”平均分成5份，涂色部分占4份，然后把平均分成2份，涂色部分占1份；
B、C項(xiàng)：應(yīng)用商不變的性質(zhì)計(jì)算；
D項(xiàng)：計(jì)算錯(cuò)誤。
6．（2分）（2024五下·龍崗期中）五(3)班人數(shù)占全校總?cè)藬?shù)的，其中五(3)班男生占全班人數(shù)的，則五(3)班男生占全校總?cè)藬?shù)的(　　)。
A． B． C． D．
【答案】D
【規(guī)范解答】解：×= 。
故答案為：D。
【思路分析】求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算，五(3)班男生占全校總?cè)藬?shù)的分率=五(3)班男生占全班人數(shù)的分率×五(3)班人數(shù)占全校總?cè)藬?shù)的分率。
二、判斷正誤(共5題；共10分)
7．（2分）（2024五下·邯鄲期中）a，b，c是三個(gè)不為零的數(shù)，且a＞b＞c，則a×＞a×。（　　）
【答案】錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：因?yàn)閍＞b＞c，則＜，那么a×＜a×。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路分析】同分子分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)大，因?yàn)閍＞b＞c，則＜，又因?yàn)橐粋€(gè)因數(shù)a相同，另一個(gè)因數(shù)大的積就大。
8．（2分）（2024五下·武江期中）7千克的與1千克的相等。（　　）
【答案】正確
【規(guī)范解答】解：7千克的與1千克的相等。原題說(shuō)法正確。
故答案為：正確。
【思路分析】7千克的與1千克的都是千克，所以它們是相等的。
9．（2分）（2023五下·榕城）kg的食用油，每天用去，一共可以用4天。（　　）
【答案】錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：1÷=5（天）。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路分析】可以用的天數(shù)=單位“1”÷平均每天用去的分率。
10．（2分）（2021五下·大埔期末）一個(gè)數(shù)除以 ，商一定比這個(gè)數(shù)大。（　　）
【答案】錯(cuò)誤
【規(guī)范解答】解：因?yàn)椋?，所以一個(gè)非0的數(shù)除以 ，商一定比這個(gè)數(shù)大。
故答案為：錯(cuò)誤。
【思路分析】一個(gè)非0的數(shù)除以小于1的數(shù)，所得的商大于原來(lái)的數(shù)；反之，商小于原來(lái)的數(shù)。
11．（2分）（2021五下·惠城月考）六（1）班男生有20人，占全班人數(shù)的 ，六（1）班有多少人？列試為20÷ 。（　　）
【答案】正確
【規(guī)范解答】解：20÷=35（人）。
故答案為：正確。
【思路分析】 六（1）班的總?cè)藬?shù)=男生人數(shù)÷男生占的分率。
三、仔細(xì)想，認(rèn)真填(共8題；共19分)
12．（4分）（2024五下·龍崗期中）12個(gè)的和是　 　； 噸的是　 　噸；
米比　 　米多米； 最小的合數(shù)的倒數(shù)是　 　。
【答案】10；；；
【規(guī)范解答】解：第一題：12×=10；
第二題：×=（噸）；
第三題：-=（米）；
第四題：最小的合數(shù)的倒數(shù)是。
故答案為：10；；；。
【思路分析】第一題：根據(jù)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義求出12個(gè)的和；
第二題：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算；
第三題：一只一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多多少，求另一個(gè)數(shù)用減法計(jì)算；
第四題：最小的合數(shù)是4，乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，根據(jù)倒數(shù)的意義判斷4的倒數(shù)。
13．（2分）（2024五下·湛江期中）一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是15 dm ，寬是5dm ，高是長(zhǎng)的，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是 　 　dm，表面積是　 　dm。
【答案】225；270
【規(guī)范解答】解：高：15×=3（dm）；
體積：15×5×3=225（dm3）；
表面積：（15×5+15×3+5×3）×2
=（75+45+15）×2
=135×2
=270（dm2）
故答案為：225；270。
【思路分析】長(zhǎng)方體表面積=（長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高）×2，長(zhǎng)方體體積=長(zhǎng)×寬×高，先求出高，然后分別求出體積和表面積即可。
14．（2分）（2024五下·湛江期中）一桶食用油重6L，每天用去這桶油的，4天用去這桶油　 　，用去了　 　L。
【答案】；2
【規(guī)范解答】解：第一問(wèn)：×4=；
第二問(wèn)：6×=2（L）。
故答案為：；2。
【思路分析】第一問(wèn)：用每天用去這桶油的分率乘4即可求出4天用去這桶油的幾分之幾；
第二問(wèn)：用這桶油的總重量乘4天用去的分率即可求出4天用去的量。
15．（2分）（2024五下·威縣期中）張叔叔承包了一片山地，他準(zhǔn)備用這片山地的 種農(nóng)作物， 種果樹(shù)。如果農(nóng)作物的 是玉米， 玉米地占整塊地的　 　， 如果果樹(shù)的 是棗樹(shù)， 棗樹(shù)占整塊地的　 　。
【答案】；
【規(guī)范解答】解：×=
×=。
故答案為：；。
【思路分析】玉米地占整塊地的分率=農(nóng)作物占的分率×玉米占的分率，棗樹(shù)占整塊地的分率=果樹(shù)占的分率×棗樹(shù)占的分率。
16．（2分）（2023五下·惠州期末）把米長(zhǎng)的繩子平均剪成4段，每段長(zhǎng)是　 　米，每段是全長(zhǎng)的　 　。
【答案】；
【規(guī)范解答】解：÷4=（米），1÷4=。
故答案為：；。
【思路分析】把繩子的長(zhǎng)度看做單位1，單位1÷平均分的段數(shù)=每段繩子是這根繩子的幾分之幾；繩子的長(zhǎng)度÷平均分的段數(shù)=每段繩子的長(zhǎng)度。
17．（3分）（2023五下·福田期末）在 ▲ 里填上“>”“<”或“=”
　 　 　 　 　 　
【答案】＜；＞；＞
【規(guī)范解答】解：因?yàn)椋?，所以×＜÷；
因?yàn)椋?，所以×＞；
因?yàn)椋?，所以＞×。
故答案為：＜；＞；＞。
【思路分析】一個(gè)數(shù)（0和負(fù)數(shù)除外）除以小于1的數(shù)，所得的商大于原來(lái)的數(shù)；反之，商小于原來(lái)的數(shù)；一個(gè)數(shù)（0和負(fù)數(shù)除外）乘小于1的數(shù)，所得的積小于原來(lái)的數(shù)，反之，積大于原來(lái)的數(shù)。
18．（2分）（2023五下·桂平期末） 一件工藝品按原價(jià)的售出是140元，這件工藝品原價(jià)是 　 　元，如果按原價(jià)的售出，售價(jià)是 　 　元。
【答案】160；144
【規(guī)范解答】解：140÷ =160（元）
160×=144（元）。
故答案為：160；144。
【思路分析】這件工藝品原價(jià)=現(xiàn)價(jià)÷折扣；售價(jià)=原價(jià)×。
19．（2分）明明做8道應(yīng)用題用 小時(shí)，平均每道題用　 　 小時(shí)？合　 　分鐘？
【答案】；6
【規(guī)范解答】÷8=小時(shí)，60=6分鐘。
【思路分析】把一個(gè)數(shù)平均分成幾份用除法，大單位化小單位乘以進(jìn)率。
四、計(jì)算能手(共1題；共8分)
20．（8分）（2023五下·城固期末）直接寫出得數(shù)。
1÷= 45×= ÷4=
【答案】
1÷= 45×=36 ÷4=
【思路分析】異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法進(jìn)行計(jì)算；
分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘作分子，分母不變，能約分的先約分后計(jì)算，不能約分的直接計(jì)算；
分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，能約分的先約分，然后分子和分子相乘的結(jié)果做分子，分母和分母相乘的結(jié)果做分母；
除以分?jǐn)?shù)，等于乘上這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，然后再按照分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的方法計(jì)算；
除以整數(shù)，等于乘上這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，然后再按照分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)的方法計(jì)算。
五、解決問(wèn)題(共10題；共51分)
21．（5分）（2024五下·徐聞期中）某班男生有30人，女同學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的，全班有多少人？
【答案】解：30+30×
=30+20
=50（人）
答：全班有50人。
【思路分析】先用男生的人數(shù)乘 女同學(xué)的人數(shù)占男生人數(shù)的 分?jǐn)?shù)，求出女同學(xué)的人數(shù)，再用男生的人數(shù)加上女同學(xué)的人數(shù)，即可求出全班的人數(shù)。
22．（5分）（2024五下·邯鄲期中）濟(jì)南到南京的鐵路長(zhǎng)663千米。一列火車從濟(jì)南開(kāi)往南京，已經(jīng)行了全程。
（1）（2分）在圖上標(biāo)出此時(shí)火車的大致位置。
（2）（3分）此時(shí)火車行駛了多少千米？離南京還有多少千米？
【答案】（1）解：
（2）解：663×＝442（千米）
663-442＝221（千米）
答：此時(shí)火車行駛了442千米，離南京還有221千米。
【思路分析】（1）此時(shí)火車的大致位置在從濟(jì)南開(kāi)始到南京的 處；
（2）此時(shí)火車行駛的路程=濟(jì)南到南京的鐵路長(zhǎng)×，離南京還有的路程=濟(jì)南到南京的鐵路長(zhǎng)-火車行駛的路程。
23．（2分）（2024五下·坪山期中）魯班鎖起源于中國(guó)古建筑中首創(chuàng)的梆卯(凹凸)結(jié)構(gòu)。某創(chuàng)客社團(tuán)最近舉辦了“傳承工匠精神，解密非遺風(fēng)采”的魯班鎖主題活動(dòng)。在魯班鋇速解比賽中，小鳴用時(shí)分，小娟用時(shí)分，小洋用時(shí)84秒，請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)最快
【答案】解：小鳴：=1分+分=60秒+45秒=105秒
小娟：秒=88秒
105秒>88秒>84秒
答：小洋最快。
【思路分析】1分=60秒，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法把分都換算成秒，比較三人的用時(shí)，確定誰(shuí)最快即可。用時(shí)最短的最快。
24．（6分）（2024五下·威縣期中）2023年12月27 日， 隨著杭昌高鐵黃山至南昌段（黃昌鐵路） 正式建成通車， 杭昌高鐵全線貫通運(yùn)營(yíng)。已知本次建成通車的黃昌段鐵路全長(zhǎng)288千米， 杭昌高鐵全長(zhǎng)560千米。
（1）（3分） 如果高鐵駛過(guò)黃昌段的鄱陽(yáng)湖特大橋約占黃昌段鐵路的 ，那么這段鄱陽(yáng)湖特大橋約長(zhǎng)多少千米 （用小數(shù)表示）
（2）（3分）如果張叔叔乘坐G4016次列車（從南昌東-杭州西）走了全程的 時(shí)，李叔叔乘坐的 G4015 次列車（從杭州西-南昌東）走了全程的，此時(shí)這兩輛列車相距多少千米？
【答案】（1）解：（千米）
答：這段鄱陽(yáng)湖特大橋約長(zhǎng)46.08千米。
（2）解：560×（1--）
=560×
=378（千米）
答：此時(shí)這兩輛列車相距378千米。
【思路分析】（1）這段鄱陽(yáng)湖特大橋大約的長(zhǎng)度=本次建成通車的黃昌段鐵路全長(zhǎng)×黃昌段鐵路占的分率；
（2）此時(shí)這兩輛列車相距的路程=杭昌高鐵的全長(zhǎng)×（1--）。
25．（5分）（2024五下·海門月考）媽媽的年齡比小玲的3倍多4歲。媽媽今年40歲，小玲今年多少歲
【答案】解：設(shè)小玲今年x歲。
3x+4=40
3x=40-4
3x=36
x=36÷3
x=12
答：小玲今年12歲。
【思路分析】等量關(guān)系：小玲的年齡×3倍+4歲=媽媽的年齡；根據(jù)等量關(guān)系列方程，根據(jù)等式性質(zhì)解方程。
26．（5分）（2024五下·上思）每千克西瓜3.6元，買4千克蘋果比買6千克西瓜多花2.4元，每千克蘋果多少元？ （列方程解決問(wèn)題）
【答案】解：設(shè)每千克蘋果x元。
4x-3.6×6=2.4
4x-21.6=2.4
4x=24
x=24÷4
x=6
答：每千克蘋果6元。
【思路分析】設(shè)每千克蘋果x元。依據(jù)等量關(guān)系式：蘋果的單價(jià)×買蘋果的質(zhì)量-西瓜的單價(jià)×買西瓜的質(zhì)量=買蘋果比買西瓜多花的錢數(shù)，列方程，解方程。
27．（5分）（2024五下·威縣月考）媽媽下班回家要走20分鐘，爸爸下班回家要走小時(shí)。如果爸爸和媽媽走路的速度相同，誰(shuí)離單位近一些
【答案】解：20÷60=（小時(shí)）
<
答：媽媽離單位近一些。
【思路分析】單位換算20分鐘=小時(shí)，然后比較大小，用的時(shí)間少的距離較近。
28．（6分）（2022五下·期末）蜂鳥是目前世界上所發(fā)現(xiàn)的最小的鳥，它 分鐘可以飛行 km。蜂鳥平均每分鐘飛行多少千米？
【答案】解： ÷
= ×
= （千米）
答：蜂鳥平均每分鐘飛行 千米。
【思路分析】蜂鳥平均每分鐘飛行的千米數(shù)=蜂鳥總共飛行的千米數(shù)÷蜂鳥飛行的時(shí)間，代入數(shù)值計(jì)算即可。
29．（6分）（2020五下·榆陽(yáng)期末）王叔叔家有一塊地，他把整塊地的 種了西紅柿， 種了黃瓜，其余的種了茄子。
（1）（3分）種茄子的地占整塊地的幾分之幾？
（2）（3分）已知種茄子的面積是26平方米，那么這塊地一共是多少平方米？
【答案】（1）解：1－ －
＝ － －
＝ －
＝
答：種茄子的地占整塊地的 。
（2）解：26÷
＝26×
＝2×35
＝70（平方米）
答：這塊地一共有70平方米。
【思路分析】（1）根據(jù)題意可知，把這塊地的總面積看作單位“1”，單位“1”-種西紅柿的占總面積的分率-種黃瓜占總面積的分率=種茄子的地占整塊地的幾分之幾，據(jù)此列式解答；
（2）根據(jù)題意可知，種茄子的面積÷種茄子的地占總面積的分率=這塊地的總面積，據(jù)此列式解答。
30．（6分）（2024五下·徐州經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)月考）近年來(lái)，網(wǎng)購(gòu)的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活。某快遞分派站現(xiàn)有包裹若干件需快遞員派送。若每個(gè)快遞員派送10件，還剩6件；若每個(gè)快遞員派送12件，還差6件。該分派站現(xiàn)有包裹多少件？快遞員多少名？
【答案】解：設(shè)該分派站現(xiàn)有快遞員x名。
10x＋6=12x-6
2x=12
x=12÷2
x=6
10×6＋6
=60＋6
=66（件）
答：該分派站現(xiàn)有包裹66件，快遞員6名。
【思路分析】設(shè)該分派站現(xiàn)有派遞員x名。依據(jù)原來(lái)平均每個(gè)快遞員派送的件數(shù)×快遞員的人數(shù)＋還剩下的件數(shù)=現(xiàn)在平均每個(gè)快遞員派送的件數(shù)×快遞員的人數(shù)-還差的件數(shù)，列方程，解方程。

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