資源簡介

專題05 分數的混合運算（一）
（新知講練+高頻易錯點+四考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復習到預習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內容！結合變式訓練提升知識點應用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對常考題型易錯點內容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節內容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結合變式演練，舉一反三訓練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎夯實+沖刺拔高】真題練：結合近兩年常考真題，易錯題，經典題型等進一步鞏固所學內容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
考點01：分數的乘、除法的混合運算 5
考點02：分數的連乘運算 10
考點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題 13
考點04：分數的連除問題 14
基礎達標練 17
能力拔高練 23
1.在解決問題的過程中，會用畫圖的策略直觀呈現數量關系。
2.結合具體情境體會分數混合運算的順序與整數混合運算一樣。
3.會正確計算分數混合運算，并在計算中養成認真的良好習慣。
思考：航模小組有多少人呢？說說你是如何思考的。你從圖中獲得了哪些數學信息？
答案：航模小組的人數與誰有直接的關系？
思考：攝影小組的人數除了和航模小組的人數有直接的關系，還與誰有直接的關系？
答案：還與氣象小組有關。
答：航模小組有3人。
在計算過程中，能約分的可以一次同時約分，但是要清楚的表示出約分的過程。
你能看懂他的方法嗎？
請你試著做一做。
從左到右 從左到右 先算括號里面的
小結：分數混合運算的順序與整數混合運算的順序是一樣。
同級運算，從左到右依次計算；有括號的，要先算括號里面的，再算括號外面的。
知識點01：分數的乘除法的混合運算
運算順序：與整數混合運算的運算順序相同，都是先算乘除，再算加減，有括號的先算括號里的。
轉換方法：當遇到分數乘除混合運算時，要先把除法轉換成乘法（即除以一個數等于乘上這個數的倒數）。
約分與計算：在轉換成乘法后，可以根據需要進行約分，再進行計算。
知識點02：分數的連乘運算
運算順序：從左到右依次計算。
約分：如果是分數連乘，可先進行約分（交叉約分），再進行計算。
知識點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題
解題思路：首先確定單位“1”的量，然后根據題目描述，確定需要求解的未知數是單位“1”的幾分之幾。
解題方法：
方法一：先求出多或少的具體量，再用單位“1”的量加或減去多或少的部分，求出要求的問題。
方法二：用單位“1”加或減去多或少的幾分之幾，求出未知數占單位“1”的幾分之幾，再用單位“1”的量乘這個分數。
知識點04：分數的連除運算
轉換方法：分數連除可以轉化為乘法運算，即除以一個數等于乘上這個數的倒數。
計算方法：
方法一：可以先分步轉化為乘法，再約分計算。
方法二：可以一次都轉化成乘法，再約分計算。
易錯知識點01：分數的乘除法的混合運算
運算順序的混淆：學生可能會忘記先乘除后加減的原則，或者在有括號的情況下，沒有先計算括號內的內容。
易錯提示：確保遵循運算的優先級，即先乘除后加減，有括號先算括號內的內容。
分數除法的轉換：學生可能忘記將分數除法轉換為分數乘法，即除以一個數等于乘以這個數的倒數。
易錯提示：在進行分數除法運算時，始終記得將除法轉換為乘法。
約分與計算的混淆：學生可能在乘除運算過程中忘記約分，或者在約分后忘記繼續完成計算。
易錯提示：在乘除運算中，先進行約分，然后再進行計算。
易錯知識點02：分數的連乘運算
運算順序的錯誤：學生可能會從左到右依次計算時出錯，或者忘記乘法的結合律和交換律。
易錯提示：從左到右依次計算，并充分利用乘法的結合律和交換律進行簡化。
約分的錯誤：在連乘運算中，學生可能會忘記約分，或者約分錯誤。
易錯提示：在連乘運算中，注意尋找公共因子進行約分。
易錯知識點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題
單位“1”的確定：學生可能會在確定單位“1”的量時出錯，導致后續計算錯誤。
易錯提示：仔細理解題目，確定正確的單位“1”的量。
計算方法的錯誤：學生可能會在計算過程中出錯，如忘記先求多或少的部分，或者忘記用單位“1”的量乘上對應的分數。
易錯提示：按照題目要求，先求出多或少的部分，再用單位“1”的量乘上對應的分數。
易錯知識點04：分數的連除運算
轉換方法的錯誤：學生可能會忘記將連除運算轉換為連乘運算，即將除法轉換為乘法。
易錯提示：在連除運算中，始終記得將除法轉換為乘法。
計算方法的錯誤：在連除運算轉換為連乘運算后，學生可能會在計算過程中出錯。
易錯提示：確保在轉換為連乘運算后，按照乘法運算的規則進行計算。
考點01：分數的乘、除法的混合運算
【典例精講】（23-24六年級上·安徽阜陽·期中）面粉廠小時可以磨面粉噸，照這樣計算，小時可以磨面粉多少噸？下面列式正確的是（ ）。
A． B． C． D．××
【答案】A
【思路點撥】根據小時可以磨面粉噸，用除以即可求出每小時磨多少面粉，再乘即可。
【規范解答】A．，÷表示1小時磨的面粉量，再乘小時，表示小時磨面粉的量。故符合題意。
B．，表示磨1噸面粉需要的時間，再乘小時，無法表示小時磨面粉的量。故不符合題意。
C．，÷表示1小時磨的面粉量，再除以小時，無法表示小時磨面粉的量。故不符合題意。
D．，無實際意義，再乘小時，無法表示小時磨面粉的量。故不符合題意。
故答案為：A
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）計算。


【答案】；；20；
8；；
【思路點撥】，把除法化為乘法，從左往右依次計算即可；
，從左往右依次計算即可；
，先計算小括號里面的乘法，再計算括號外面的除法；
，先計算小括號里面的除法，再計算括號外面的乘法；
，先計算小括號里面的除法，再計算括號外面的除法；
，從左往右依次計算即可。
【規范解答】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【變式演練02】（23-24六年級上·遼寧大連·期末）計算下列各題（能簡算的要簡算）。


【答案】

【思路點撥】（1）把所有分數通分乘分母為12的分數，然后從左往右依次計算即可；
（2）先把除以通過分數除法的意義換成乘法，然后進行約分計算即可；
（3）把分數全部換成小數，然后先算括號內，再計算括號外；
（4）把除以用分數除法的意義換成乘法，再提取公因數進行簡便計算；
（5）把括號內進行通分計算即可；
（6）先把除以換成乘法，然后再添括號進行簡便計算即可。
【規范解答】
【變式演練03】（21-22六年級上·廣東湛江·期中）果園里有桃樹240棵，蘋果樹的棵數是桃樹的，也是梨樹的，梨樹有多少棵？
【答案】540棵
【思路點撥】根據求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算，即用240乘即可求出蘋果樹的棵數；再用蘋果樹的棵數除以即可求出梨樹的棵數。
【規范解答】240×÷
＝180÷
＝180×3
＝540（棵）
答：梨樹有540棵。
考點02：分數的連乘運算
【典例精講】（20-21六年級上·陜西榆林·期中）國慶節前，學校買來了360盆鮮花布置教室，其中菊花占總盆數的，月季花的盆數是菊花的，學校買了( )盆月季花。
【答案】110
【思路點撥】根據題意，菊花占總盆數的，先把總盆數看作單位“1”，根據已知一個數的幾分之幾是多少，用總盆數乘，求出菊花的盆數；
又已知月季花的盆數是菊花的，再把菊花的盆數看作單位“1”，單位“1”已知，用菊花的盆數乘，求出月季花的盆數。
【規范解答】360××
＝80×
＝110（盆）
學校買了110盆月季花。
【考點評析】本題考查分數乘法的應用，找出單位“1”，區分兩個單位“1”的不同，單位“1”已知，根據分數乘法的意義解答。
【變式演練01】（22-23五年級下·四川成都·期末）有一個長方體金魚缸，從里面測量，長米，寬米，高米，里面裝有米深的水，魚缸里水的體積是( )立方分米。
【答案】60
【思路點撥】根據長方體體積公式：體積＝長×寬×高，代入數據，求出米深的水的體積，再化成立方分米，即可解答。
【規范解答】××
＝×
＝（立方米）
立方米＝60立方分米
有一個長方體金魚缸，從里面測量，長米，寬米，高米，里面裝有米深的水，魚缸里水的體積是60立方分米。
【考點評析】熟練掌握長方體體積公式是解答本題的關鍵。
【變式演練02】（22-23六年級上·廣東茂名·期中）學校合唱隊有90人，舞蹈隊的人數是合唱隊的，管樂隊的人數是舞蹈隊的。
（1）畫圖表示合唱隊、舞蹈隊、管樂隊之間的人數關系。
（2）算一算管樂隊有多少人？
【答案】（1）見詳解
（2）36人
【思路點撥】（1）合唱隊有90人，舞蹈隊的人數是合唱隊的，是把合唱隊的人數看作單位“1”，先畫一條線段表示合唱隊的人數，把它平均分成3份，舞蹈隊的人數占2份，據此畫出表示舞蹈隊的人數的線段長度；
又已知管樂隊的人數是舞蹈隊的，是把舞蹈隊的人數看作單位“1”，把它平均分成5份，管樂隊的人數占3份，據此畫出表示管樂隊的人數的線段長度；并在線段圖上標注信息和數據，完成線段圖。
（2）已知合唱隊有90人，舞蹈隊的人數是合唱隊的，先把合唱隊的人數看作單位“1”，根據求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算，即可求出舞蹈隊的人數；
又已知管樂隊的人數是舞蹈隊的，再把舞蹈隊的人數看作單位“1”，根據求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算，即可求出管樂隊的人數。
【規范解答】（1）如圖：
（2）90××
＝60×
＝36（人）
答：管樂隊有36人。
【考點評析】本題考查畫線段圖表示數量關系以及分數乘法的應用，找出單位“1”，區分兩個單位“1”的不同，單位“1”已知，根據分數乘法的意義解答。
【變式演練03】（2024六年級下·全國·專題練習）母親節當天，實驗小學六年級組織了“愛心感恩”活動，每位同學自己動手做一件手工作品送給母親。
①為媽媽折花的人數占六年級總人數的。②做賀卡的人數是折花的。
③折一朵花需要張彩紙。④六年級一共有350人。
（1）要求做賀卡的人數，需要知道的信息是（ ）。（填序號）
（2）請你根據選擇的信息，進行解答。
【答案】（1）①②④
（2）84人
【思路點撥】（1）要求做賀卡的人數，必須知道信息：①為媽媽折花的人數占六年級總人數的；②做賀卡的人數是折花的；④六年級一共有350人。
（2）已知六年級一共有350人，為媽媽折花的人數占六年級總人數的，把六年級總人數看作單位“1”，單位“1”已知，用總人數乘，求出折花的人數；
又已知做賀卡的人數是折花的，把折花的人數看作單位“1”，單位“1”已知，用折花的人數乘，即可求出做賀卡的人數。
【規范解答】（1）要求做賀卡的人數，需要知道的信息是①②④。
（2）350××
＝140×
＝84（人）
答：做賀卡的有84人。
考點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題
【典例精講】（23-24六年級上·福建南平·期中）實驗小學五年級有288名同學，參加學校“六一匯演”的人數是年級總人數的，其中的同學參加了合唱表演。288×是求( )，288××是求( )。
【答案】 參加學校“六一匯演”的人數 參加了合唱表演的人數
【思路點撥】將年級總人數看作單位“1”，年級總人數×參加學校“六一匯演”的對應分率＝參加學校“六一匯演”的人數，再將參加學校“六一匯演”的人數看作單位“1”，參加學校“六一匯演”的人數×參加合唱表演的對應分率＝參加了合唱表演的人數，據此分析。
【規范解答】288是年級總人數，是參加學校“六一匯演”的對應分率，288×是求參加學校“六一匯演”的人數；是參加合唱表演的對應分率，288××是求參加了合唱表演的人數。
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）看圖列式計算。
【答案】18個
【思路點撥】通過觀察可知，排球有36個，足球的數量是排球的，把排球的數量看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用排球的數量×即可求出足球的數量；籃球的數量是足球的，把足球的數量看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用足球的數量×即可求出籃球的數量。
【規范解答】36××
＝24×
＝18（個）
籃球有18個。
【變式演練02】（23-24六年級上·山西呂梁·期中）看圖列出方程或算式。
【答案】144本
【思路點撥】由線段圖可知，故事書有360本，文藝書的本數是故事書的，科技書的本數是文藝書的，再根據求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算即可。
【規范解答】
＝288×
＝144（本）
則科技書有144本。
【變式演練03】（23-24六年級上·廣東清遠·期末）環保小組通過調查了解，某小區一日產生2000千克垃圾，其中廚余垃圾占，其他垃圾占廚余垃圾的，這個小區一日產生的其他垃圾有多少千克？
【答案】800千克
【思路點撥】先把總垃圾看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用2000×即可求出廚余垃圾的質量，再把廚余垃圾看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用2000××即可求出其他垃圾的質量。
【規范解答】2000××＝800（千克）
答：這個小區一日產生的其他垃圾有800千克。
考點04：分數的連除問題
【典例精講】（21-22六年級上·遼寧沈陽·期末）笑笑家八月的用水量是63噸，八月的用水量是七月的，七月是六月的，笑笑家六月的用水量是( )噸。
【答案】45
【思路點撥】根據題意，把七月份的用水量看作單位“1”，八月份的用水量是七月份的，求單位“1”，用八月份的用水量÷，求出七月份的用水量；再把六月份的用水量看作單位“1”，七月份的用水量是六月份的，求單位“1”，用七月份的用水量÷，即可求出六月份的用水量。
【規范解答】63÷÷
＝63×÷
＝54×
＝45（噸）
笑笑家八月的用水量是63噸，八月的用水量是七月的，七月是六月的，笑笑家六月的用水量是45噸。
【考點評析】利用已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數的知識進行解答，注意單位“1”的確定。
【變式演練01】（22-23六年級上·遼寧丹東·期末）武漢建造火神山醫院時，甲、乙兩個工廠接到了生產一批活動板房的任務。甲工廠分到的任務占這批生產任務的，當甲工廠生產了360套時，正好完成了分到任務的，甲、乙兩個工廠共需要生產多少套活動板房？
【答案】810套
【思路點撥】先把甲工廠分到的生產活動板房的套數看作“1”，完成分到任務的，對應的是甲工廠生產的360套活動板房，求單位“1”，用360÷，求甲工廠分到生產活動板房的套數；再把甲、乙兩個工廠接到了生產活動板房的總套數看作單位“1”，甲工廠分到的任務占這批生產任務的，對應的是甲工廠生產的活動板房的套數，求單位“1”，用甲工廠分到生產活動板房的數量÷，求出甲、乙兩個工廠接到了生產活動板房的總套數。
【規范解答】360÷÷
＝360××
＝450×
＝810（套）
答：甲、乙兩個工廠共需要生產810套活動板房。
【變式演練02】（23-24六年級上·廣東揭陽·期中）六年級有三好學生68人，是六年級學生人數的，六年級學生人數占全校學生人數的，全校有學生多少人？
【答案】1836人
【思路點撥】將六年級學生人數看作單位“1”，68人對應的分率是，根據分數除法的意義，已知一個數的具體數值和其對應的分率，用除法可以求出單位“1”，即68除以可求出六年級學生人數；
再將全校學生人數作單位“1”，六年級學生人數對應的分率是，根據分數除法的意義，已知一個數的具體數值和其對應的分率，用除法可以求出單位“1”，即六年級學生人數除以可求出全校學生人數。
【規范解答】由分析可得：
68÷÷
＝68×6×
＝408×
＝1836（人）
答：全校有學生1836人。
【考點評析】解答此題的關鍵是分清兩個單位“1”的區別，已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”用除法。
【變式演練03】（20-21六年級上·福建南平·單元測試）王叔叔店里進了一批飲料，已知可樂進的箱數是雪碧的，雪碧進的箱數是椰汁的。
（1）如果椰汁進了96箱，則可樂進了多少箱？
（2）如果可樂進了96箱，則椰汁進了多少箱？
【答案】（1）48箱
（2）192箱
【思路點撥】（1）根據題意，雪碧進的箱數是椰汁的，用椰汁的箱數×，求出雪碧的箱數；可樂的箱數是雪碧的，再用雪碧的箱數×，即可求出可樂進多少箱；
（2）用可樂的箱數÷，求出雪碧的進的箱數，再用雪碧進的箱數÷，即可求出椰汁進的箱數，即可解答。
【規范解答】（1）96××
＝60×
＝48（箱）
答：可樂進了48箱。
（2）96÷÷
＝96××
＝120×
＝192（箱）
答：椰汁進了192箱。
【考點評析】本題考查求一個數的幾分之幾是多少；已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數。
基礎達標練
1．（2024六上·義烏期末）甲班人數比乙班人數多，乙班人數是甲班人數的（　　）。
A． B． C． D．
【答案】A
【規范解答】解：1÷（1+）
=1÷
=
故答案為：A。
【思路點撥】先把乙班人數看作單位“1”，那么甲班人數就是（1+）；用乙班人數除以甲班人數即可。
2．（2023六上·錢塘） 小紅小時走了千米，則小紅走千米需要多少小時？列式錯誤的是（　　）。
A． B．
C． D．
【答案】D
【規范解答】解：÷（×）不能表示小紅走千米需要多少小時。
故答案為：D。
【思路點撥】先求出小紅走的千米是小時走的千米數的幾分之幾，那么小紅走千米需要的小時數=×幾分之幾；
先求出小紅每小時走的距離，那么小紅走千米需要的小時數=÷小紅每小時走的距離；
先求出小紅走1千米用的時間，那么小紅紅走千米需要的小時數=×小紅走1千米用的時間。
3．（2023六上·拱墅月考）把一根絲帶對折兩次，每段長m。如果將這根絲帶對折三次，那么每段長（　　） m。
A． B． C． D．
【答案】C
【規范解答】解：×4÷8
=÷8
=（米）。
故答案為：C。
【思路點撥】把一根絲帶對折兩次，是平均分成了4段，如果將這根絲帶對折三次，是平均分成了8段；如果將這根絲帶對著三次，那么每段的長度=平均對折2次后每段的長度×4÷8。
4．一件商品降價后又漲價，這件商品現在的價格比原來的價格貴。（　　）（判斷對錯）
【答案】錯誤
【規范解答】解：1×（1-）×（1＋）
=×
=
1-=，這件商品現在的價格比原來的價格便宜，原題干說法錯誤。
故答案為：錯誤。
【思路點撥】把這件商品的原價看作單位“1”，這件商品現在的價格比原來的價格便宜=原來的價格-現在的價格；其中，其中，現價=原價×（1-降價的分率）×（1＋漲價的分率）。
5．（2023六上·月考）一個數的是60，這個數的是多少？列式為60÷×。（　　）（判斷對錯）
【答案】正確
【規范解答】解：列式為：60÷×；原題說法正確。
故答案為：正確。
【思路點撥】已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數用除法計算；根據求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算；據此列式解答。
6．（2023·紅旗）甲比乙多 ，乙比甲少 ．（　　）（判斷對錯）
【答案】正確
【規范解答】設乙為5，甲：5×（1+）=5×=6，乙比甲少：（6-5）÷6=1÷6=。
故答案為：正確．
【思路點撥】甲=乙×（乙+），乙比甲少幾分之幾=（甲-乙）÷甲。
7．（2024六下·期中）一批貨物，甲車單獨運需要6次運完， 乙車單獨運需要8次運完．如果兩車一起運，每次運走這批貨物的　 　．
【答案】
【規范解答】解：1÷6+1÷8= + =
答：每次運走這批貨物的 ．
故答案為： ．
【思路點撥】首先把運這批貨物的任務看作單位“1”，分別用1除以甲乙單獨運的次數，求出甲乙的工作效率各是多少，進而求出甲乙的工作效率之和是多少即可．
8．（2024六上·金東期末）明明排隊做操，他數了數人數，發現排在他前面的人數是總人數的，排在他后面的人數是總人數的，這個隊一共有　 　人。
【答案】20
【規范解答】解：1÷[1-（+）]
=1÷[1-]
=1÷
=20（人）
故答案為：20。
【思路點撥】 根據條件“ 排在他前面的人數是總人數的，排在他后面的人數是總人數的 ”可知，除了明明之外的其他人占了總數的（+） ，把總人數看作單位“1”，明明1個人÷明明占總人數的分率=總人數，據此列式解答。
9．（2024六上·連南期末） 學校義賣會上，六（1）班籌到義賣款240元，比六（2）班的義賣款少，六（2）班籌到義賣款　 　元。
【答案】300
【規范解答】解：240÷(1-)
=240÷
=240×
=300(元)
故答案為：300。
【思路點撥】六(1)班比六(2)班的義賣款少 ，是把六(2)班的義賣款看作單位“1”，則六(1)班的義賣款占六(2)班的(1-)，求單位“1”，用除法計算。
10．（2024六上·丹江口期末）脫式計算，能簡算的要簡算。
【答案】解：
=（-）+
=1+
=
=×
=
=×（0.4+0.6）
=×1
=
=÷
=
=（1+94）×
=+94×
=+3
=
=×[÷]
=×
=
【思路點撥】在分數的加減混合計算中，可以把分母相同的分數利用加法交換律和結合律進行簡便計算；
在有小括號的計算中，要先算小括號里面的，再算小括號外面的；
乘法分配律：a×b+a×c=a×（b+c）；
在沒有小括號，只有乘除法的計算中，要按照順序從左往右依次計算；
在既有小括號，又有中括號的計算中，要先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算中括號外面的。
11．（2024六上·慈溪期末）李老師從家出發開車去杭州奧體中心觀看亞運會開幕式，平均每小時行駛75千米。當行駛小時的時候，正好行了全程的，李老師家到杭州奧體中心全程多少千米
【答案】解：75×÷
=60÷
=108（千米）
答：李老師家到杭州奧體中心全程108千米。
【思路點撥】速度×時間=行了的路程，速度×時間÷行了的路程占全程的分率=全程的距離。
12．（2024六上·印江期末） 2022年北京冬殘奧會，我國參賽運動員96人，比本屆冬殘奧會中國代表團總人數少，本屆冬殘奧會中國代表團一共有多少人？
【答案】解：96÷（1－）
＝96÷
＝96×
＝217（人）
答：本屆冬殘奧會中國代表團一共有217人。
【思路點撥】參賽運動員比本屆冬殘奧會中國代表團總人數少，說明參賽運動員是總人數的(1-)，求總人數，用除法計算。
13．（2024六上·印江期末） 一列高速列車的速度是300千米/時。一輛小汽車的速度是這列高速列車的，是一架噴氣式飛機的。這架噴氣式飛機的速度是多少？
【答案】解：300×÷
＝100
＝100×9
＝900（千米/時）
答：這架噴氣式飛機的速度是900千米/時。
【思路點撥】小汽車的速度是高速列車的，已知高速列車速度，求小汽車速度用乘法計算；小汽車速度是噴氣式飛機的，已知小汽車速度，求噴氣式飛機的速度，用除法計算。
能力拔高練
14．（2020六上·香坊期末）根據線段示意圖列出的正確算式的是（　　）
A．4000× B．4000÷
C．4000×（1- ） D．4000÷（1+ ）
【答案】D
【規范解答】由題可得：計劃產煤×（1+）=實際產煤，代入數值得：計劃產煤=4000÷（1+）；
故答案為：D。
【思路點撥】根據圖示信息，實際產煤比計劃產煤多，求計劃產煤量，用實際產煤除以（1+）即可。
15．（2020六上·海安期中）一根繩子，先剪去它的 ，再接上 米，現在的繩長比原來短。下列說法中正確的是（　　）。
A．原來這根繩子比1米長 B．原來這根繩子比1米短
C．原來這根繩子長1米 D．無法確定
【答案】A
【規范解答】解：設這根繩子長x米，根據題意可知：x×＞，根據積的變化規律，一個數（0除外）乘大于1的數，所得的積比原來的數大，可判斷x的值大于1，也就數這根繩子的長大于1米。
故答案為：A。
【思路點撥】把這根繩子的總長看作單位“1”，剪去它的，再接上米，現在繩子比原來短，說明米比這根繩子的短，根據積的變化規律，一個數（0除外）乘大于1的數，所得的積比原來的數大，可判斷x的值大于1，也就是這根繩子的長大于1米。
16．（2020六上·洛陽期中）兩根同樣長的鐵絲，一根用去了 ，另一根用去了 米，剩下的鐵絲（　　）.
A．第一根長 B．第二根長 C．一樣長 D．無法比較
【答案】D
【規范解答】解：分三種情況：
（1）總長小于1米時，假設全長米，則第一根剩下：
=×
=（米）
第二根剩下：-=（米）
米＞米
第一根剩下的長；
（2）總長等于1米時，第一根剩下：
1×（1-）
=1×
=（米）
第二根剩下：1-=（米）
米=米
兩根剩下的一樣長；
（3）總長大于1米時，假設總長是3米，第一根剩下：
3×（1-）
=3×
=2（米）
第二根剩下：3-=（米）
2米＜米
第二根剩下的長；
所以剩下的無法比較長短。
故答案為：D。
【思路點撥】因為總長度不知道，要分三種情況，所以剩下的長度也不能確定長短。
17．（2023.12.13·育才中學）把五個連續的自然數按從大到小的順序排列，已知這五個連續自然數的和的 比第三個數還多18．在這五個連續自然數中，三個較大數的平均數是　 　．
【答案】28
【規范解答】解：這五個數的和：18÷（）=18÷=135，中間的數：135÷5=27，三個較大數的平均數是27+1=28。
故答案為：28。
【思路點撥】這五個連續自然數的平均數是中間的數字，也就是第三個數字；第三個數字是五個數和的，那么18就是這五個數和的（），根據分數除法的意義求出這五個數的和；用和除以5即可求出中間的數。三個較大的數的平均數是三個較大數中間的數字，所以這個平均數比第三個數大1。
18．（2020六上·成都月考）水結成冰后，體積增加它的 ，那么冰化成水后，體積將減少冰的　 　。
【答案】
【規范解答】設水的體積為1，則冰的體積為：1+=，
冰化成水后，體積將減少冰的：
（-1）÷
=÷
=
故答案為：
【思路點撥】“ 水結成冰后，體積增加 ”對應的單位“1”是水的體積；“冰化成水后，體積將減少”對應的單位“1”是冰的體積。
19．（2020六上·沙河口期中）甲、乙兩隊合挖一條水渠，甲隊挖了全長的 ，剩下的360米由乙隊挖，這條水渠一共　 　米。
【答案】600
【規范解答】360÷（1-）
=360÷
=360×
=600（米）
故答案為：600。
【思路點撥】根據題意，把這條水渠看作單位“1”，乙隊挖的長度=這條水渠總長度×（1-），代入數值計算即可。
20．（2024六上·三門期末）直接寫出得數。
1-25%=
【答案】
3.18
3.5
0.92
1-25%=0.75
【思路點撥】小數乘分數，先用小數除以分數的分母，然后乘分子即可；
分數乘分數，用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母，能約分的要約分；
除以一個不為0的數，等于乘整個數的倒數。
21．（2023六上·期末）看圖列式計算。
【答案】解：120××
＝96×
＝60（元）
【思路點撥】外套的價格是120元，褲子的價格是外套的，鞋子的價格是褲子的，求鞋子的價格。鞋子的價格=外套的價格×褲子的價格是外套的幾分之幾×鞋子的價格是褲子的幾分之幾。
22．（2024六上·淮濱月考）兩個工程隊要共同完成鋪設一條電纜線的工程任務，甲工程隊4天鋪了全長的，乙工程隊4天鋪了全長的，還剩2100米沒有鋪。
（1）這條電纜線全長有多少米？
（2）照這樣的速度，兩個工程隊合干幾天可以全部完成任務
【答案】（1）解：2100÷（1－－）
=2100÷
=4500（米）
答：這條電纜線全長有4500米。
（2）解：1÷（÷4+÷4）
=1÷（+）
=1÷
=7.5（天）
答：兩個工程隊合干7.5天可以全部完成任務。
【思路點撥】（1）把電纜全長看作單位“1”，1－甲工程隊鋪的－乙工程隊鋪的=剩下的占全長的分率，剩下的電纜÷剩下的占全長的分率=這條電纜的全長；
（2）根據“甲工程隊4天鋪了全長的”求出甲工程隊的工作效率，根據“乙工程隊4天鋪了全長的”求出乙工程隊的工作效率，工作總量1÷（甲工程隊的工作效率+乙工程隊的工作效率）=兩個工程隊合干需要的天數。
23．（2022六上·福清月考）醫學專家研究發現一個正常人的總血量約占體重的，每次獻血只要不超過總血量的就不會影響人體健康。一個體重60kg的成年人，一次獻血400毫升會影響他的健康嗎？（1毫升血液約等于1克）
【答案】解：400毫升＝0.4升
0.4÷（60×）
＝0.4÷4.8
＝
＞
答：一個體重60千克的人，一次獻血400毫升，不超過總血液的，不會影響她的健康。
【思路點撥】先單位換算400毫升＝0.4升，0.4升÷（這個成年人的體重×正常人的總血量約占體重的分率）=獻血的分率，然后比較大小。
24．（2022六上·汝陽期中）世界上最小的洲是大洋洲，面積大約是900萬平方千米。歐洲的面積是大洋洲的，是北美洲的。北美洲的面積是亞洲的，是南極洲的。歐洲的面積是南美洲的，南美洲的面積是非洲的。南美洲的面積大約是多少萬平方千米？
【答案】解：900×÷
=1000÷
=1800（萬平方千米）
答：南美洲的面積大約是1800萬平方千米。
【思路點撥】南美洲的面積大約=歐洲的面積÷；其中，歐洲的面積=大洋洲的的面積×。專題05 分數的混合運算（一）
（新知講練+高頻易錯點+四考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復習到預習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內容！結合變式訓練提升知識點應用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對常考題型易錯點內容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節內容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結合變式演練，舉一反三訓練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎夯實+沖刺拔高】真題練：結合近兩年常考真題，易錯題，經典題型等進一步鞏固所學內容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
考點01：分數的乘、除法的混合運算 5
考點02：分數的連乘運算 7
考點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題 8
考點04：分數的連除問題 9
基礎達標練 10
能力拔高練 10
1.在解決問題的過程中，會用畫圖的策略直觀呈現數量關系。
2.結合具體情境體會分數混合運算的順序與整數混合運算一樣。
3.會正確計算分數混合運算，并在計算中養成認真的良好習慣。
思考：航模小組有多少人呢？說說你是如何思考的。你從圖中獲得了哪些數學信息？
答案：航模小組的人數與誰有直接的關系？
思考：攝影小組的人數除了和航模小組的人數有直接的關系，還與誰有直接的關系？
答案：還與氣象小組有關。
答：航模小組有3人。
在計算過程中，能約分的可以一次同時約分，但是要清楚的表示出約分的過程。
你能看懂他的方法嗎？
請你試著做一做。
小結：分數混合運算的順序與整數混合運算的順序是一樣。
同級運算，從左到右依次計算；有括號的，要先算括號里面的，再算括號外面的。
知識點01：分數的乘除法的混合運算
運算順序：與整數混合運算的運算順序相同，都是先算乘除，再算加減，有括號的先算括號里的。
轉換方法：當遇到分數乘除混合運算時，要先把除法轉換成乘法（即除以一個數等于乘上這個數的倒數）。
約分與計算：在轉換成乘法后，可以根據需要進行約分，再進行計算。
知識點02：分數的連乘運算
運算順序：從左到右依次計算。
約分：如果是分數連乘，可先進行約分（交叉約分），再進行計算。
知識點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題
解題思路：首先確定單位“1”的量，然后根據題目描述，確定需要求解的未知數是單位“1”的幾分之幾。
解題方法：
方法一：先求出多或少的具體量，再用單位“1”的量加或減去多或少的部分，求出要求的問題。
方法二：用單位“1”加或減去多或少的幾分之幾，求出未知數占單位“1”的幾分之幾，再用單位“1”的量乘這個分數。
知識點04：分數的連除運算
轉換方法：分數連除可以轉化為乘法運算，即除以一個數等于乘上這個數的倒數。
計算方法：
方法一：可以先分步轉化為乘法，再約分計算。
方法二：可以一次都轉化成乘法，再約分計算。
易錯知識點01：分數的乘除法的混合運算
運算順序的混淆：學生可能會忘記先乘除后加減的原則，或者在有括號的情況下，沒有先計算括號內的內容。
易錯提示：確保遵循運算的優先級，即先乘除后加減，有括號先算括號內的內容。
分數除法的轉換：學生可能忘記將分數除法轉換為分數乘法，即除以一個數等于乘以這個數的倒數。
易錯提示：在進行分數除法運算時，始終記得將除法轉換為乘法。
約分與計算的混淆：學生可能在乘除運算過程中忘記約分，或者在約分后忘記繼續完成計算。
易錯提示：在乘除運算中，先進行約分，然后再進行計算。
易錯知識點02：分數的連乘運算
運算順序的錯誤：學生可能會從左到右依次計算時出錯，或者忘記乘法的結合律和交換律。
易錯提示：從左到右依次計算，并充分利用乘法的結合律和交換律進行簡化。
約分的錯誤：在連乘運算中，學生可能會忘記約分，或者約分錯誤。
易錯提示：在連乘運算中，注意尋找公共因子進行約分。
易錯知識點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題
單位“1”的確定：學生可能會在確定單位“1”的量時出錯，導致后續計算錯誤。
易錯提示：仔細理解題目，確定正確的單位“1”的量。
計算方法的錯誤：學生可能會在計算過程中出錯，如忘記先求多或少的部分，或者忘記用單位“1”的量乘上對應的分數。
易錯提示：按照題目要求，先求出多或少的部分，再用單位“1”的量乘上對應的分數。
易錯知識點04：分數的連除運算
轉換方法的錯誤：學生可能會忘記將連除運算轉換為連乘運算，即將除法轉換為乘法。
易錯提示：在連除運算中，始終記得將除法轉換為乘法。
計算方法的錯誤：在連除運算轉換為連乘運算后，學生可能會在計算過程中出錯。
易錯提示：確保在轉換為連乘運算后，按照乘法運算的規則進行計算。
考點01：分數的乘、除法的混合運算
【典例精講】（23-24六年級上·安徽阜陽·期中）面粉廠小時可以磨面粉噸，照這樣計算，小時可以磨面粉多少噸？下面列式正確的是（ ）。
A． B． C． D．××
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）計算。


【變式演練02】（23-24六年級上·遼寧大連·期末）計算下列各題（能簡算的要簡算）。


【變式演練03】（21-22六年級上·廣東湛江·期中）果園里有桃樹240棵，蘋果樹的棵數是桃樹的，也是梨樹的，梨樹有多少棵？
考點02：分數的連乘運算
【典例精講】（20-21六年級上·陜西榆林·期中）國慶節前，學校買來了360盆鮮花布置教室，其中菊花占總盆數的，月季花的盆數是菊花的，學校買了( )盆月季花。
【變式演練01】（22-23五年級下·四川成都·期末）有一個長方體金魚缸，從里面測量，長米，寬米，高米，里面裝有米深的水，魚缸里水的體積是( )立方分米。
【變式演練02】（22-23六年級上·廣東茂名·期中）學校合唱隊有90人，舞蹈隊的人數是合唱隊的，管樂隊的人數是舞蹈隊的。
（1）畫圖表示合唱隊、舞蹈隊、管樂隊之間的人數關系。
（2）算一算管樂隊有多少人？
【變式演練03】（2024六年級下·全國·專題練習）母親節當天，實驗小學六年級組織了“愛心感恩”活動，每位同學自己動手做一件手工作品送給母親。
①為媽媽折花的人數占六年級總人數的。②做賀卡的人數是折花的。
③折一朵花需要張彩紙。④六年級一共有350人。
（1）要求做賀卡的人數，需要知道的信息是（ ）。（填序號）
（2）請你根據選擇的信息，進行解答。
考點03：連續求一個數的幾分之幾是多少的問題
【典例精講】（23-24六年級上·福建南平·期中）實驗小學五年級有288名同學，參加學校“六一匯演”的人數是年級總人數的，其中的同學參加了合唱表演。288×是求( )，288××是求( )。
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）看圖列式計算。
【變式演練02】（23-24六年級上·山西呂梁·期中）看圖列出方程或算式。
【變式演練03】（23-24六年級上·廣東清遠·期末）環保小組通過調查了解，某小區一日產生2000千克垃圾，其中廚余垃圾占，其他垃圾占廚余垃圾的，這個小區一日產生的其他垃圾有多少千克？
考點04：分數的連除問題
【典例精講】（21-22六年級上·遼寧沈陽·期末）笑笑家八月的用水量是63噸，八月的用水量是七月的，七月是六月的，笑笑家六月的用水量是( )噸。
【變式演練01】（22-23六年級上·遼寧丹東·期末）武漢建造火神山醫院時，甲、乙兩個工廠接到了生產一批活動板房的任務。甲工廠分到的任務占這批生產任務的，當甲工廠生產了360套時，正好完成了分到任務的，甲、乙兩個工廠共需要生產多少套活動板房？
【變式演練02】（23-24六年級上·廣東揭陽·期中）六年級有三好學生68人，是六年級學生人數的，六年級學生人數占全校學生人數的，全校有學生多少人？
【變式演練03】（20-21六年級上·福建南平·單元測試）王叔叔店里進了一批飲料，已知可樂進的箱數是雪碧的，雪碧進的箱數是椰汁的。
（1）如果椰汁進了96箱，則可樂進了多少箱？
（2）如果可樂進了96箱，則椰汁進了多少箱？
基礎達標練
1．（2024六上·義烏期末）甲班人數比乙班人數多，乙班人數是甲班人數的（　　）。
A． B． C． D．
2．（2023六上·錢塘） 小紅小時走了千米，則小紅走千米需要多少小時？列式錯誤的是（　　）。
A． B．
C． D．
3．（2023六上·拱墅月考）把一根絲帶對折兩次，每段長m。如果將這根絲帶對折三次，那么每段長（　　） m。
A． B． C． D．
4．一件商品降價后又漲價，這件商品現在的價格比原來的價格貴。（　　）
5．（2023六上·月考）一個數的是60，這個數的是多少？列式為60÷×。（　　）
6．（2023·紅旗）甲比乙多 ，乙比甲少 ．（　　）
7．（2024六下·期中）一批貨物，甲車單獨運需要6次運完， 乙車單獨運需要8次運完．如果兩車一起運，每次運走這批貨物的　 　．
8．（2024六上·金東期末）明明排隊做操，他數了數人數，發現排在他前面的人數是總人數的，排在他后面的人數是總人數的，這個隊一共有　 　人。
9．（2024六上·連南期末） 學校義賣會上，六（1）班籌到義賣款240元，比六（2）班的義賣款少，六（2）班籌到義賣款　 　元。
10．（2024六上·丹江口期末）脫式計算，能簡算的要簡算。
（2024六上·慈溪期末）李老師從家出發開車去杭州奧體中心觀看亞運會開幕式，平均每小時行駛75千米。當行駛小時的時候，正好行了全程的，李老師家到杭州奧體中心全程多少千米
（2024六上·印江期末） 2022年北京冬殘奧會，我國參賽運動員96人，比本屆冬殘奧會中國代表團總人數少，本屆冬殘奧會中國代表團一共有多少人？
13．（2024六上·印江期末） 一列高速列車的速度是300千米/時。一輛小汽車的速度是這列高速列車的，是一架噴氣式飛機的。這架噴氣式飛機的速度是多少？
能力拔高練
14．（2020六上·香坊期末）根據線段示意圖列出的正確算式的是（　　）
A．4000× B．4000÷
C．4000×（1- ） D．4000÷（1+ ）
15．（2020六上·海安期中）一根繩子，先剪去它的 ，再接上 米，現在的繩長比原來短。下列說法中正確的是（　　）。
A．原來這根繩子比1米長 B．原來這根繩子比1米短
C．原來這根繩子長1米 D．無法確定
16．（2020六上·洛陽期中）兩根同樣長的鐵絲，一根用去了 ，另一根用去了 米，剩下的鐵絲（　　）.
A．第一根長 B．第二根長 C．一樣長 D．無法比較
17．（2023.12.13·育才中學）把五個連續的自然數按從大到小的順序排列，已知這五個連續自然數的和的 比第三個數還多18．在這五個連續自然數中，三個較大數的平均數是　 　．
18．（2020六上·成都月考）水結成冰后，體積增加它的 ，那么冰化成水后，體積將減少冰的　 　。
19．（2020六上·沙河口期中）甲、乙兩隊合挖一條水渠，甲隊挖了全長的 ，剩下的360米由乙隊挖，這條水渠一共　 　米。
20．（2024六上·三門期末）直接寫出得數。
1-25%=
21．（2023六上·期末）看圖列式計算。
22．（2024六上·淮濱月考）兩個工程隊要共同完成鋪設一條電纜線的工程任務，甲工程隊4天鋪了全長的，乙工程隊4天鋪了全長的，還剩2100米沒有鋪。
（1）這條電纜線全長有多少米？
（2）照這樣的速度，兩個工程隊合干幾天可以全部完成任務
（2022六上·福清月考）醫學專家研究發現一個正常人的總血量約占體重的，每次獻血只要不超過總血量的就不會影響人體健康。一個體重60kg的成年人，一次獻血400毫升會影響他的健康嗎？（1毫升血液約等于1克）
24．（2022六上·汝陽期中）世界上最小的洲是大洋洲，面積大約是900萬平方千米。歐洲的面積是大洋洲的，是北美洲的。北美洲的面積是亞洲的，是南極洲的。歐洲的面積是南美洲的，南美洲的面積是非洲的。南美洲的面積大約是多少萬平方千米？

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