資源簡介

專題06 分數的混合運算（二）
（新知講練+高頻易錯點+四考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復習到預習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內容！結合變式訓練提升知識點應用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對常考題型易錯點內容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節內容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結合變式演練，舉一反三訓練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎夯實+沖刺拔高】真題練：結合近兩年常考真題，易錯題，經典題型等進一步鞏固所學內容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
考點01：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少 5
考點02：整數乘法運算定律推廣到分數乘法 7
考點03：分數除法相關的簡便計算 8
考點04：已知總量及一部分分率，求另一部分量 9
基礎達標練 10
能力拔高練 10
1.結合具體情境，會畫圖表示“增加幾分之幾”或“減少幾分之幾”的意義。
2.會用分數混合運算解決實際問題，發展應用意識。
3.體會整數中的乘法運算律在分數運算中同樣適用，并能應用運算律進行運算。
條件：第一天成交50輛，第二天成交量比第一天增加了。
思考01：第二天的成交量是多少輛呢？說說你是如何思考的
第二天的成交量是（50+）輛。
思考02：“增加了 ”你是怎樣理解的 與同伴說說你的想法。
把第一天的成交量看作單位“1”，平均分成5份，增加的部分相當于這其中的一份。
第二天的成交量＝第一天的成交量＋增加的輛數
第二天的成交量=第一天的成交量×（1+）
50×（1+）
=50 ×
=60( 輛）答：第二天的成交量是60輛。
“求比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少”的解題關鍵是找準單位“1”。
小結：比一個數多(或少)幾分之幾的數＝單位“1”的量±單位“1”的量×幾分之幾
比一個數多(或少)幾分之幾的數＝單位“1”的量×(1±幾分之幾)。
六（1）班有學生40人，其中女生人數占全班人數的，男生有多少人？
學習任務：畫圖表示出男生和女生的人數關系。
算一算，說說你有什么發現。
知識點01：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少
這個知識點主要考察的是對分數增減運算的理解。假設我們有一個數A，要求比A多或少幾分之幾（例如）的數，我們可以按照以下步驟進行計算：
確定基數A。確定增減的分數（例如）。
如果要求比A多的數，則計算 A + A ×；如果要求比A少的數，則計算 A - A ×。
知識點02：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
:整數乘法的運算定律（如交換律、結合律、分配律）在分數乘法中同樣適用。這些定律的推廣使得分數乘法的計算更加簡便和靈活。
交換律：a × b = b × a（其中a和b都是分數）。
結合律：(a × b) × c = a × (b × c)（其中a、b、c都是分數）。
分配律：a × (b + c) = a × b + a × c（其中a、b、c都是分數）。
知識點03：分數除法相關的簡便計算
分數除法的簡便計算主要依賴于將除法轉換為乘法的逆運算。即，除以一個數等于乘以這個數的倒數。例如，a ÷ b = a ×（其中a和b都是分數，且b不為0）。
此外，當遇到多個分數連續相除時，可以一次性地將所有除數轉換為它們的倒數，然后進行乘法運算。例如，a ÷ b ÷ c = a × × 。
知識點04：已知總量及一部分分率，求另一部分量
:這個知識點主要考察的是對分數應用題的理解。假設我們知道總量為T，其中一部分的分率為p（以分數形式表示），那么這一部分的量就是 T × p。要求另一部分的量，我們可以用總量T減去已知部分的量，即 T - T × p。
易錯知識點01：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少
理解錯誤：學生可能不理解“多幾分之幾”或“少幾分之幾”的含義，導致計算方向錯誤。
計算錯誤：在計算增加或減少的部分時，學生可能會忘記乘以基數，或者計算錯誤。
易錯知識點02：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
定律混淆：學生可能會混淆交換律、結合律和分配律，導致計算錯誤。
分數乘法計算錯誤：在進行分數乘法時，學生可能會忘記約分，或者計算錯誤。
易錯知識點03：分數除法相關的簡便計算
忘記轉換為乘法：學生可能會忘記將分數除法轉換為乘法進行計算。
計算錯誤：在轉換為乘法后，學生可能會忘記乘以除數的倒數，或者計算錯誤。
易錯知識點04：已知總量及一部分分率，求另一部分量
理解錯誤：學生可能不理解題目中的“總量”和“一部分分率”的含義，導致計算方向錯誤。
計算錯誤：在計算已知部分或未知部分時，學生可能會忘記乘以總量或分率，或者計算錯誤。
考點01：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少
【典例精講】（23-24六年級上·廣東湛江·期末）六（1）班男生人數比女生人數多，下面的數量關系表示正確的是（ ）。
A．②④ B．①②③ C．①③ D．①③④
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·課后作業）
（1）畫圖表示三人體重之間的關系。
（2）小剛和小明的體重分別是多少千克？算一算。
【變式演練02】（23-24六年級上·遼寧·課后作業）夾克比防寒服便宜，夾克是多少元？
【變式演練03】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）
考點02：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
【典例精講】（23-24六年級上·遼寧·課后作業）計算。
（2） （3） （4）
（6） （7） （8）
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）先說出運算順序，再計算。


【變式演練02】（21-22六年級上·陜西咸陽·期末）計算下面各題，能簡算的要簡算。

【變式演練03】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）越野賽跑全程12千米，其中環山路段占，海濱路段占，其余的是公路路段。
（1）環山路段比海濱路段長多少千米？
（2）如果明年把賽跑全程延長，將是多少千米？
考點03：分數除法相關的簡便計算
【典例精講】（23-24六年級上·山西呂梁·期末）計算下面各題，能簡算的要簡算。


【變式演練01】（23-24六年級上·陜西西安·期末）脫式計算。
16÷÷ （1÷－）×0.75
【變式演練02】（23-24六年級上·遼寧葫蘆島·期末）計算下列各題。（能簡算的要簡算）


考點04：已知總量及一部分分率，求另一部分量
【典例精講】（23-24六年級上·遼寧·課后作業）某化工廠每天產生27噸的工業污水，其中有經過處理，未經處理的污水有多少噸？
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）一本故事書有140頁，奇思已經看了這本書的，還剩多少頁沒有看？
【變式演練02】（21-22六年級上·廣東湛江·期中）淘氣要錄入一份2400字的稿件，已經錄入了。還剩多少字未錄入？
【變式演練03】（23-24六年級上·陜西西安·期末）一根鐵絲長10米，截去它的后，還剩( )米，如果截去米，還剩( )米。
基礎達標練
1．（2023六上·上思） 一根綢帶長3米，先剪下它的的，再剪下米，還剩下（　　）米。
A．2 B．1.5 C．1
2．（2022六上·鹿城期末）下列問題不能用算式20×(1- )解決的是（　　）。
A．繩操社團購買繩子，繩子長20分米，用去，還剩多少分米
B．書法社團購買的毛筆每支原價20元，降價了，現價每支多少元
C．舞蹈社團人圍爵士舞決賽有20人，男生占，那么女生有幾人
D．勞動社團需要美化20m2展區．現在已經完成了，已經完成了多少m2
3．（2023六上·臨平期中）下面說法中正確的有（　　）句。
①計算（）×17× 12時可以用乘法分配律進行簡算：②一個數乘假分數，積一定不小于這個數；③一臺電視機先提價，再降價，則現價與原價一樣：④若M×=N÷（M、N均不為0），則M> N。
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023六上·興仁月考）一條路，第一周修了全長的，第二周修了余下的，第二周修的更多。（　　）
5．（2023六上·漯河月考）一根長20米的繩子，剪去了它的，剩下米。（　　）
6．（2023六上·惠陽月考）有200輛自行車，賣出，還剩　 　輛。
7．（2023六上·惠來月考）實驗小學四年級向希望小學捐書200本，五年級比四年級多捐，五年級捐書　 　本；四年級比六年級少捐，六年級捐書　 　本。
8．（2023六上·榆林月考）某工廠9月計劃生產電視機400臺，結果第一周生產了原計劃的，第二周生產了原計劃的，第二周比第一周多生產了　 　臺電視機。
9．（2023六上·龍崗月考）用你喜歡的方法計算。
10．（2023六上·榆林月考）看圖列式計算。
（1）
11．（2024六上·惠來期末）一本書有120頁，小明第一天看了全書的，第二天看了全書的，兩天一共看了多少頁？
12．（2023六上·期末）北京頤和園占地約300公頃，其中陸地面積相當于水域面積的，頤和園的陸地面積和水域面積分別是多少公頃？
13．（2023六上·杭州）只列式不計算
①紅旗小學有男生360人，女生人數是男生的，紅旗小學有學生多少人？
列式：　 　
②農場有小牛40頭，正好是大牛數量的，小牛比大牛少多少頭？
列式：　 　
③做一套學生裝用布米，現有布240米，用它的做學生裝，可以做多少套？
列式：　 　
④修一段120千米的公路，由甲獨修需8天，乙獨修需10天。甲、乙合修3天可修這段公路的幾分之幾？
列式：　 　
能力拔高練
14．（2023六上·黃島期末）一箱梨15千克，第一周吃了箱，第二周吃了余下的，還剩（　　）千克。
A．1.5 B．4.5 C．10.5
15．（2021六上·信陽月考）兩根2米長的繩子，第一根用去米，第二根用去，剩下的繩子相比較，（　　）
A．第一根長 B．第二根長 C．一樣長
16．（2020六上·泗洪期末）將一個長6厘米，寬4厘米的長方形長和寬各增加 ，新長方形的面積是原來長方形面積的（　　）。
A．1：2 B．9：4 C．3：2
17．（2023六上·巴州月考）《詩經》是中國古代最早的一部詩歌總集，共305篇。詩經在內容上分為《風》《雅》《頌》三個部分，其中《雅》占總篇數的，《風》與《頌》篇數的比為4：1，詩經中的《風》有　 　篇。
18．（2021六上·南召期中）有一批5噸的救災物資，第一次運走噸，此時還剩　 　噸，第二次運走剩下的，此時剩下　 　噸。
19．（2020六上·巴彥淖爾期中）桃樹的棵數比梨樹少 ，這句話中，把　 　看作單位“1”.數量間的相等關系是　 　×　 　 =　 　
20．張華有180張畫片，李明的畫片張數比張華的 多一些、 少一些。李明最少有　 　張畫片，最多有　 　張畫片。
21．甲、乙、丙三人共同購買一輛90000元的汽車，甲支付的錢是其余兩人的，乙支付的錢是其余兩人的，丙應該支付多少錢？
22．（2023六上·哈爾濱月考）如圖，長方形ABCD，點E在邊BC上，CE的長度為4厘米，CD的長度為8厘米，BE的長度比CD的長度多。
（1）求長方形的周長。
（2）求圖中陰影部分面積？
23．（2023六上·臨漳月考）A、B相地相距1080米，甲、乙兩人同時從兩地相向而行， 6分鐘相遇。已知甲的速度比乙的速度慢，相遇時，甲比乙少行多少米？
24．學校在六年級兩個班開展古詩文誦讀活動，要求每名學生購買一本單價為5元的《古詩文讀本》，某書商給予學校大力支持，進行優惠銷售。優惠方案：一次購買50本及50本以上，每本優惠；一次購買100本及100本以上，每本優惠。現在六(1)班有48人。六(2)班有49人準備購書。請你設計最佳購買方案，并算一算，按這種方案每人要付多少元錢？
25．水果店運來蘋果、香蕉和梨共180筐，其中蘋果的筐數是其他兩種水果筐數和的，香蕉的筐數是其他兩種水果筐數和的，梨有多少筐？
26．王叔叔體重80千克，過春節吃的好，運動少，體重增加了；春節過后，王叔叔經過鍛煉，注意飲食，體重減少了。王叔叔現在的體重是多少千克？
27．社區工作者在端午節前夕開展“端午粽飄香”的活動，組織社區工作人員一共包了640個粽子，端午節當天發放給社區每家每戶。上午發放了這些粽子的，下午比上午多發放，還剩下多少個粽子沒有發放？專題06 分數的混合運算（二）
（新知講練+高頻易錯點+四考點講練+難度分層練）
編者的話：
同學你好，這份講義包含：
①新課講授知識精講：從復習到預習，典例精講，理解知識點運用方法，逐步掌握新課內容！結合變式訓練提升知識點應用能力，自學效果也很好！
②高頻易錯點撥精講：對常考題型易錯點內容指點，強化學生對知識點的理解和運用，查漏補缺，給出解決方案，提高學生的解題謹慎度、細心度！
③考點精講練：對本節內容進行細致劃分，逐個學習新知，學生理解更透徹，結合變式演練，舉一反三訓練，掌握知識點的運用技巧！
④【基礎夯實+沖刺拔高】真題練：結合近兩年常考真題，易錯題，經典題型等進一步鞏固所學內容，提升解題能力，熟悉考點考察題型，達到事半功倍！
考點01：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少 5
考點02：整數乘法運算定律推廣到分數乘法 9
考點03：分數除法相關的簡便計算 14
考點04：已知總量及一部分分率，求另一部分量 18
基礎達標練 20
能力拔高練 26
1.結合具體情境，會畫圖表示“增加幾分之幾”或“減少幾分之幾”的意義。
2.會用分數混合運算解決實際問題，發展應用意識。
3.體會整數中的乘法運算律在分數運算中同樣適用，并能應用運算律進行運算。
條件：第一天成交50輛，第二天成交量比第一天增加了。
思考01：第二天的成交量是多少輛呢？說說你是如何思考的
第二天的成交量是（50+）輛。
思考02：“增加了 ”你是怎樣理解的 與同伴說說你的想法。
把第一天的成交量看作單位“1”，平均分成5份，增加的部分相當于這其中的一份。
第二天的成交量＝第一天的成交量＋增加的輛數
第二天的成交量=第一天的成交量×（1+）
50×（1+）
=50 ×
=60( 輛）答：第二天的成交量是60輛。
“求比一個數多(或少)幾分之幾的數是多少”的解題關鍵是找準單位“1”。
小結：比一個數多(或少)幾分之幾的數＝單位“1”的量±單位“1”的量×幾分之幾
比一個數多(或少)幾分之幾的數＝單位“1”的量×(1±幾分之幾)。
六（1）班有學生40人，其中女生人數占全班人數的，男生有多少人？
學習任務：畫圖表示出男生和女生的人數關系。
40－40×
=40－16
=24( 人）答：男生有24人。
40×（1－）
=40 ×
=24( 人）答：男生有24人。
算一算，說說你有什么發現。
運用了乘法結合律
運用了乘法分配律
知識點01：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少
這個知識點主要考察的是對分數增減運算的理解。假設我們有一個數A，要求比A多或少幾分之幾（例如）的數，我們可以按照以下步驟進行計算：
確定基數A。確定增減的分數（例如）。
如果要求比A多的數，則計算 A + A ×；如果要求比A少的數，則計算 A - A ×。
知識點02：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
:整數乘法的運算定律（如交換律、結合律、分配律）在分數乘法中同樣適用。這些定律的推廣使得分數乘法的計算更加簡便和靈活。
交換律：a × b = b × a（其中a和b都是分數）。
結合律：(a × b) × c = a × (b × c)（其中a、b、c都是分數）。
分配律：a × (b + c) = a × b + a × c（其中a、b、c都是分數）。
知識點03：分數除法相關的簡便計算
分數除法的簡便計算主要依賴于將除法轉換為乘法的逆運算。即，除以一個數等于乘以這個數的倒數。例如，a ÷ b = a ×（其中a和b都是分數，且b不為0）。
此外，當遇到多個分數連續相除時，可以一次性地將所有除數轉換為它們的倒數，然后進行乘法運算。例如，a ÷ b ÷ c = a × × 。
知識點04：已知總量及一部分分率，求另一部分量
:這個知識點主要考察的是對分數應用題的理解。假設我們知道總量為T，其中一部分的分率為p（以分數形式表示），那么這一部分的量就是 T × p。要求另一部分的量，我們可以用總量T減去已知部分的量，即 T - T × p。
易錯知識點01：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少
理解錯誤：學生可能不理解“多幾分之幾”或“少幾分之幾”的含義，導致計算方向錯誤。
計算錯誤：在計算增加或減少的部分時，學生可能會忘記乘以基數，或者計算錯誤。
易錯知識點02：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
定律混淆：學生可能會混淆交換律、結合律和分配律，導致計算錯誤。
分數乘法計算錯誤：在進行分數乘法時，學生可能會忘記約分，或者計算錯誤。
易錯知識點03：分數除法相關的簡便計算
忘記轉換為乘法：學生可能會忘記將分數除法轉換為乘法進行計算。
計算錯誤：在轉換為乘法后，學生可能會忘記乘以除數的倒數，或者計算錯誤。
易錯知識點04：已知總量及一部分分率，求另一部分量
理解錯誤：學生可能不理解題目中的“總量”和“一部分分率”的含義，導致計算方向錯誤。
計算錯誤：在計算已知部分或未知部分時，學生可能會忘記乘以總量或分率，或者計算錯誤。
考點01：求比一個數多或少幾分之幾的數是多少
【典例精講】（23-24六年級上·廣東湛江·期末）六（1）班男生人數比女生人數多，下面的數量關系表示正確的是（ ）。
A．②④ B．①②③ C．①③ D．①③④
【答案】D
【思路點撥】“男生人數比女生人數多”表示把女生看作單位“1”，平均分成6份，男生人數是女生人數的（1＋），男生有7份；一共有13份，據此判斷每個選項即可。
【規范解答】①女生有6份，男生有7份，符合題意；
②女生有5份，男生有6份，不符合題意；
③女生有6份，男生有7份，符合題意；
④全班有13份，女生占6份，男生占7份，符合題意；
所以數量關系表示正確的是①③④。
故答案為：D
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·課后作業）
（1）畫圖表示三人體重之間的關系。
（2）小剛和小明的體重分別是多少千克？算一算。
【答案】（1）見詳解
（2）小剛42千克；小明30千克
【思路點撥】（1）先畫一條線段表示小華的體重，把它平均分成5份，小剛的體重比小華多一份，據此畫出表示小剛體重的線段；
再把小華的體重平均分成7份，小明的體重比小華少一份，據此畫出表示小明體重的線段；
并在線段圖上標注信息和數據，完成表示三人體重之間關系的線段圖。
（2）把小華的體重看作單位“1”，小剛比小華重，則小剛的體重是小華的（1＋），單位“1”已知，用小華的體重乘（1＋），求出小剛的體重。
把小華的體重看作單位“1”，小明的體重比小華輕，則小明的體重是小華的（1－），單位“1”已知，用小華的體重乘（1－），求出小明的體重。
【規范解答】（1）如下圖：
（2）小剛：
35×（1＋）
＝35×
＝42（千克）
小明：
35×（1－）
＝35×
＝30（千克）
答：小剛的體重是42千克，小明的體重是30千克。
【變式演練02】（23-24六年級上·遼寧·課后作業）夾克比防寒服便宜，夾克是多少元？
【答案】160.8元
【思路點撥】把防寒服的價格看作單位“1”，夾克比防寒服便宜，則夾克的價格是防寒服的（1－），單位“1”已知，用防寒服的價格乘（1－），即可求出夾克的價格。
【規范解答】268×（1－）
＝268×
＝160.8（元）
答：夾克是160.8元。
【變式演練03】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）
【答案】淘氣的體重是45千克；笑笑的體重是40千克
【思路點撥】（1）已知笑笑的體重是40千克，淘氣比笑笑重，所以淘氣的體重是笑笑的（1＋），把笑笑的體重看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用40×（1＋）即可求出淘氣的體重；
（2）已知淘氣的體重是45千克，笑笑比淘氣輕，所以笑笑的體重是淘氣的（1－），把淘氣的體重看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用45×（1－）即可求出笑笑的體重。
【規范解答】（1）40×（1＋）
＝40×
＝45（千克）
答：淘氣的體重是45千克。
（2）45×（1－）
＝45×
＝40（千克）
答：笑笑的體重是40千克。
考點02：整數乘法運算定律推廣到分數乘法
【典例精講】（23-24六年級上·遼寧·課后作業）計算。
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）
【答案】（1）；（2）10.5；（3）；（4）5；
（5）12.5；（6）；（7）；（8）
【思路點撥】（1）根據運算順序，先計算括號里的除法，再計算括號外的除法；
（2）根據乘法交換律，把式子轉化為進行簡算；
（3）根據運算順序，從左往右進行計算即可；
（4）根據乘法分配律，把式子轉化為進行簡算；
（5）根據運算順序，先計算括號里的除法，再計算括號外的除法；
（6）根據運算順序，先計算乘法，再計算減法；
（7）根據運算順序，先計算括號里的減法，再計算括號外的乘法；
（8）根據運算順序，先計算乘法，再計算加法。
【規范解答】（1）
＝
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝10.5
（3）
＝
＝
（4）
＝
＝1×5
＝5
（5）
＝
＝
＝
＝
（6）
＝
＝
（7）
＝
＝
（8）
＝
＝
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）先說出運算順序，再計算。


【答案】26；50；；
；；56
【思路點撥】，根據乘法分配律，將算式變為進行簡算即可；
，根據乘法交換律，將算式變為進行簡算即可；
，根據乘法結合律，將算式變為進行簡算即可；
，根據乘法分配律，將算式變為進行簡算即可；
，根據乘法分配律，將算式變為進行簡算即可；
，先把98拆分為14×7，然后根據乘法結合律，將算式變為進行簡算即可。
【規范解答】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【變式演練02】（21-22六年級上·陜西咸陽·期末）計算下面各題，能簡算的要簡算。


【答案】13；
3；3
【思路點撥】，根據乘法分配律去括號即可簡便運算；
，根據分數除法的計算方法，除以一個數等于乘這個數的倒數，即原式變為：，再根據乘法分配律即可簡便運算；
，根據運算順序，按照從左到右的順序計算即可；
，根據運算順序，先算括號里的加法，之后再按照除法的性質即可簡便運算。
【規范解答】
＝
＝4＋9
＝13
＝
＝
＝×1
＝
＝
＝3
＝
＝
＝
＝
＝3
【變式演練03】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）越野賽跑全程12千米，其中環山路段占，海濱路段占，其余的是公路路段。
（1）環山路段比海濱路段長多少千米？
（2）如果明年把賽跑全程延長，將是多少千米？
【答案】（1）2千米；（2）17千米
【思路點撥】（1）把全程看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用全程的長度×即可求出環山路段的長度，用全程的長度×即可求出海濱路段的長度，然后用環山路段的長度減去海濱路段的長度即可。
（2）把今年全程看作單位“1”，明年全程的長度是今年的（1＋），根據分數乘法的意義，用今年的長度×（1＋）即可求出明年全程的長度。
【規范解答】（1）12×－12×
＝12×（－）
＝12×
＝2（千米）
答：環山路段比海濱路段長2千米。
（2）12×（1＋）
＝12×
＝17（千米）
答：如果明年把賽跑全程延長，將是17千米。
考點03：分數除法相關的簡便計算
【典例精講】（23-24六年級上·山西呂梁·期末）計算下面各題，能簡算的要簡算。


【答案】；；
36；
【思路點撥】第一小題先去括號，括號里面的加法要變為減法，將0.75化為分數，運用加法的交換律、結合律可簡便計算得出答案；
第二小題運用分數乘法的交換律、結合律，先計算、，最后作分數乘法得出答案；
第三小題可運用分數乘法的分配律展開括號，再進行分數乘法得出答案；
第四小題先將括號內的化為，計算分數減法，再運用分數除法運算法則計算得出答案。
【規范解答】
【變式演練01】（23-24六年級上·陜西西安·期末）脫式計算。
16÷÷ （1÷－）×0.75
【答案】80；；
【思路點撥】16÷÷，根據除法的性質，將后兩個數先乘起來再計算；
，將除法改寫成乘法，利用乘法分配律進行簡算；
（1÷－）×0.75，先算除法，再算減法，最后算乘法。
【規范解答】16÷÷
＝16÷（×）
＝16÷
＝16×5
＝80
（1÷－）×0.75
＝（1×－）×
＝（－）×
＝×
＝
【變式演練02】（23-24六年級上·遼寧葫蘆島·期末）計算下列各題。（能簡算的要簡算）


【答案】9；
4；
【思路點撥】（1）根據乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c進行簡算；
（2）先把除法轉化成乘法，再根據乘法分配律逆運算a×c＋b×c＝（a＋b）×c進行簡算；
（3）先把除法轉化成乘法，再根據乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c進行簡算；
（4）先把除法轉化成乘法，再根據乘法交換律a×b＝b×a進行簡算。
【規范解答】（1）
（2）
（3）
（4）
考點04：已知總量及一部分分率，求另一部分量
【典例精講】（23-24六年級上·遼寧·課后作業）某化工廠每天產生27噸的工業污水，其中有經過處理，未經處理的污水有多少噸？
【答案】2.7噸
【思路點撥】將工業污水總噸數看作單位“1”，其中有經過處理，未經處理的污水占（1－），工業污水總噸數×未經處理的對應分率＝未經處理的污水噸數。
【規范解答】27×（1－）
＝27×
＝2.7（噸）
答：未經處理的污水有2.7噸。
【變式演練01】（23-24六年級上·遼寧·隨堂練習）一本故事書有140頁，奇思已經看了這本書的，還剩多少頁沒有看？
【答案】60頁
【思路點撥】把這本書的總頁數看作單位“1”，已知看了這本書的，則剩下這本書的（1－）沒看，根據分數乘法的意義，用140×（1－）即可求出有多少頁沒看。
【規范解答】140×（1－）
＝140×
＝60（頁）
答：還剩60頁沒有看。
【變式演練02】（21-22六年級上·廣東湛江·期中）淘氣要錄入一份2400字的稿件，已經錄入了。還剩多少字未錄入？
【答案】900字
【思路點撥】將稿件總字數看作單位“1”，已經錄入了，還剩（1－）未錄入，稿件總字數×未錄入的對應分率＝未錄入的字數，據此列式解答。
【規范解答】2400×（1－）
＝2400×
＝900（字）
答：還剩900字未錄入。
【變式演練03】（23-24六年級上·陜西西安·期末）一根鐵絲長10米，截去它的后，還剩( )米，如果截去米，還剩( )米。
【答案】 6 //9.6
【思路點撥】將鐵絲長度看作單位“1”，截去它的后，還剩它的（1－），鐵絲長度×還剩的對應分率＝還剩的長度；鐵絲長度－截去的長度＝還剩的長度，據此列式計算。
【規范解答】10×（1－）
＝10×
＝6（米）
10－＝（米）
一根鐵絲長10米，截去它的后，還剩6米，如果截去米，還剩米。
基礎達標練
1．（2023六上·上思） 一根綢帶長3米，先剪下它的的，再剪下米，還剩下（　　）米。
A．2 B．1.5 C．1
【答案】C
【規范解答】解：3-3×-
=3-（＋）
=3-2
=1（米）。
故答案為：C。
【思路點撥】還剩下的米數=這根綢帶的總米數-這根綢帶的總米數×先剪下的分率-再剪下的長度。
2．（2022六上·鹿城期末）下列問題不能用算式20×(1- )解決的是（　　）。
A．繩操社團購買繩子，繩子長20分米，用去，還剩多少分米
B．書法社團購買的毛筆每支原價20元，降價了，現價每支多少元
C．舞蹈社團人圍爵士舞決賽有20人，男生占，那么女生有幾人
D．勞動社團需要美化20m2展區．現在已經完成了，已經完成了多少m2
【答案】D
【規范解答】解：A：還剩 20×(1- ) 分米， 能用算式20×(1- )解決 ；
B：現價每支20×(1- ) 元， 能用算式20×(1- )解決 ；
C：女生有20×(1- ) 人， 能用算式20×(1- )解決 ；
D：已經完成的面積是20× ， 不能用算式20×(1- )解決 。
故答案為：D。
【思路點撥】求比一個數少幾分之幾的數是多少，方法是：這個數×（1-少的幾分之幾）；求一個數的幾分之幾是多少用乘法。
3．（2023六上·臨平期中）下面說法中正確的有（　　）句。
①計算（）×17× 12時可以用乘法分配律進行簡算：②一個數乘假分數，積一定不小于這個數；③一臺電視機先提價，再降價，則現價與原價一樣：④若M×=N÷（M、N均不為0），則M> N。
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【規范解答】解：①計算（）×17× 12時可以用乘法交換律和結合律簡便計算；原來說法錯誤；
②一個數乘假分數，積一定不小于這個數；此選項正確；
③一臺電視機先提價，再降價，則現價比原價低；此選項錯誤；
④若M×=N÷（M、N均不為0），則M> N。此選項正確。
故答案為：C。
【思路點撥】①運用乘法交換律和結合律，把分母是17的分數與17相乘，分母是12的分數與12相乘；
②如果這個數不是0且假分數大于1，則積大于這個數；如果這個數是0或者假分數等于1，則積等于這個數；所以積一定不小于這個數；
③把電視機的原價看作“1”，則現價：1×（1+）×（1-）=，所以現價比原價低；
④假設M×=N÷=1，則M=，N=，所以M＞N。
4．（2023六上·興仁月考）一條路，第一周修了全長的，第二周修了余下的，第二周修的更多。（　　）（判斷對錯）
【答案】錯誤
【規范解答】解：（1-）×
=×
=
=，兩周修的同樣多。
故答案為：錯誤。
【思路點撥】第二周修的分率=（1-第一周修的分率）×余下的分率，然后比較大小。
5．（2023六上·漯河月考）一根長20米的繩子，剪去了它的，剩下米。（　　）（判斷對錯）
【答案】錯誤
【規范解答】解：1-=，剩下的占的分率是。原題說法錯誤。
故答案為：錯誤。
【思路點撥】把繩子的總長度看作單位“1”，1-剪去的分率=剩下的分率；如果要求剩下的長度，用繩子的長度×（1-剪去的分率）即可得出。
6．（2023六上·惠陽月考）有200輛自行車，賣出，還剩　 　輛。
【答案】60
【規范解答】解：200×（1-）=60（輛），所以還剩60輛。
故答案為：60。
【思路點撥】還剩的輛數=一共有自行車的輛數×（1-賣出幾分之幾），據此代入數值作答即可。
7．（2023六上·惠來月考）實驗小學四年級向希望小學捐書200本，五年級比四年級多捐，五年級捐書　 　本；四年級比六年級少捐，六年級捐書　 　本。
【答案】240；250
【規范解答】解：五年級：200+200×=200+40=240（本）；
六年級：200÷（1-）=200÷=250（本）。
故答案為：240；250。
【思路點撥】五年級捐書數為單位“1”，根據分數乘法的意義求出五年級比四年級多捐的本數，用四年級捐的本數加上五年級比四年級多捐的本數即可求出五年級捐的本數。以六年級捐的本數為單位“1”，四年級捐的本數是六年級的（1-），根據分數除法的意義求出六年級捐的本數。
8．（2023六上·榆林月考）某工廠9月計劃生產電視機400臺，結果第一周生產了原計劃的，第二周生產了原計劃的，第二周比第一周多生產了　 　臺電視機。
【答案】25
【規范解答】解：400×（-）
=400×
=25（臺）
故答案為：25。
【思路點撥】以總數為單位“1”，用第二周生產的分率減去第一周生產的分率求出第二周比第一周多生產的占總數的分率，然后根據分數乘法的意義求出第二周比第一周多生產的臺數即可。
9．（2023六上·龍崗月考）用你喜歡的方法計算。
【答案】解：＋×
=＋
=
×÷×
=（÷）×（×）
=1×
=
12×（-）×7
=12××7-×7×12
=63-24
=39
【思路點撥】先算乘法，再算加法；
應用乘法交換律、乘法結合律簡便運算；
應用乘法分配律簡便運算。
10．（2023六上·榆林月考）看圖列式計算。
（1）
（2）
【答案】（1）解：104× +104
=65+104
=169（噸）
（2）解：100×（1+ ）
=100×
=120（臺）
【思路點撥】（1）用香蕉的重量乘求出蘋果的重量，然后把香蕉和蘋果重量相加求出總重量；
（2）以冰箱的臺數為單位“1”，電視機的臺數是冰箱的（1+），根據分數乘法的意義求出電視機的臺數即可。
11．（2024六上·惠來期末）一本書有120頁，小明第一天看了全書的，第二天看了全書的，兩天一共看了多少頁？
【答案】解：120×＋120×
=15＋70
=85（頁）
答：兩天一共看了85頁。
【思路點撥】兩天一共看的頁數=這本書的總頁數×小明第一天看的分率＋這本書的總頁數×小明第二天看的分率。
12．（2023六上·期末）北京頤和園占地約300公頃，其中陸地面積相當于水域面積的，頤和園的陸地面積和水域面積分別是多少公頃？
【答案】解：300÷（1+）
=300÷
=300×
=225（公頃）
225×=75（公頃）
答：水域面積是225公頃，陸地面積是75公頃。
【思路點撥】將水域面積看作單位“1”，則頤和園的總面積相當于水域面積的（1+），已知頤和園的總占地面積，頤和園總占地面積÷（1+陸地面積相當于水域面積的分率）=水域面積，水域面積×陸地面積相當于水域面積的分率=陸地面積。
13．（2023六上·杭州）只列式不計算
①紅旗小學有男生360人，女生人數是男生的，紅旗小學有學生多少人？
列式：　 　
②農場有小牛40頭，正好是大牛數量的，小牛比大牛少多少頭？
列式：　 　
③做一套學生裝用布米，現有布240米，用它的做學生裝，可以做多少套？
列式：　 　
④修一段120千米的公路，由甲獨修需8天，乙獨修需10天。甲、乙合修3天可修這段公路的幾分之幾？
列式：　 　
【答案】360×+360；40÷-40；240×；() ×3
【規范解答】解：①求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算，然后把男、女生的人數相加，列式是：360×+360；
②大牛的頭數未知，用除法計算，然后再相減，列式是：40÷-40；
③求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算，然后再除以每套用布的米數，列式是：240×；
④1÷8=
1÷10=
3天修的分率是：（＋）×3。
故答案為：①360×+360；②40÷-40；③240×；④（＋）×3。
【思路點撥】①紅旗小學有學生的人數=男生人數＋女生人數，其中，女生人數=男生人數×；
②小牛比大牛少的頭數=大牛的頭數-小牛的頭數；
③可以做的套數=布的總米數×用去的分率÷平均每套用布的米數；
④甲、乙修3天可修這段公路的分率=工作效率的和×修的天數。
能力拔高練
14．（2023六上·黃島期末）一箱梨15千克，第一周吃了箱，第二周吃了余下的，還剩（　　）千克。
A．1.5 B．4.5 C．10.5
【答案】B
【規范解答】解：15-15×
=15-7.5
=7.5（千克）
7.5×=3（千克）
15-7.5-3
=7.5-3
=4.5（千克）。
故答案為：B。
【思路點撥】還剩下的質量=（一箱梨的總質量-第一周吃的質量-第二周吃的質量）；其中，第一周吃的質量=這箱梨的總質量×第一周吃的分率，第二周吃的質量=（一箱梨的總質量-第一周吃的質量）×吃的分率。
15．（2021六上·信陽月考）兩根2米長的繩子，第一根用去米，第二根用去，剩下的繩子相比較，（　　）
A．第一根長 B．第二根長 C．一樣長
【答案】A
【規范解答】解：2-=（米）
2×（1-）
=2×
=（米）
米＞米，剩下的繩子第一根長。
故答案為：A。
【思路點撥】第一根剩下的長度=繩子的總長度-用去的長度；第二根剩下的長度=繩子的總長度×（1-用去的分率）。
16．（2020六上·泗洪期末）將一個長6厘米，寬4厘米的長方形長和寬各增加 ，新長方形的面積是原來長方形面積的（　　）。
A．1：2 B．9：4 C．3：2
【答案】B
【規范解答】解：新長方形的長=6+6×
=6+3
=9（厘米）；
新長方形的寬=4+4×
=4+2
=6（厘米）；
新長方形的面積：原來長方形面積=（9×6）：（6×4）
=54：24
=9：4。
故答案為：B。
【思路點撥】新長方形的長（寬）=原來長方形的長（寬）×（1+增加的幾分之幾）；再根據長方形的面積=長×寬，分別計算出新長方形和原來長方形的面積，再進行相比即可得出答案。
17．（2023六上·巴州月考）《詩經》是中國古代最早的一部詩歌總集，共305篇。詩經在內容上分為《風》《雅》《頌》三個部分，其中《雅》占總篇數的，《風》與《頌》篇數的比為4：1，詩經中的《風》有　 　篇。
【答案】160
【規范解答】解：305×（1-）
=305×
=200（篇）
200÷（4＋1）×4
=200÷5×4
=40×4
=160（篇）。
故答案為：160。
【思路點撥】詩經中的《風》的篇數=《詩經》總篇數×（1-《雅》占的分率） ÷《風》與《頌》篇數的總份數×《風》占的份數。
18．（2021六上·南召期中）有一批5噸的救災物資，第一次運走噸，此時還剩　 　噸，第二次運走剩下的，此時剩下　 　噸。
【答案】；3
【規范解答】解：5-=（噸）
-×
=-
=3（噸）。
故答案為：；3。
【思路點撥】第一次運走后還剩下的噸數=一批救災物資的總噸數-第一次運走的噸數；第二次運走后還剩下的噸數=第一次運走后還剩下的噸數-第一次運走后還剩下的噸數×第二次運走的分率。
19．（2020六上·巴彥淖爾期中）桃樹的棵數比梨樹少 ，這句話中，把　 　看作單位“1”.數量間的相等關系是　 　×　 　 =　 　
【答案】梨樹的棵數；梨樹的棵數；（1-）；桃樹的棵數
【規范解答】 桃樹的棵數比梨樹少，這句話中，把梨樹的棵數看作單位“1”，數量間的相等關系是梨樹的棵數×（1-） = 桃樹的棵數。
故答案為：梨樹的棵數；梨樹的棵數；（1-）； 桃樹的棵數。
【思路點撥】桃樹的棵數=梨樹的棵數×（1-桃樹的棵數比梨樹少的比份）。
20．張華有180張畫片，李明的畫片張數比張華的 多一些、 少一些。李明最少有　 　張畫片，最多有　 　張畫片。
【答案】121；143
【規范解答】解：180×+1
=120+1
=121（張），
所以李明最少有121張畫片；
180×-1
=144-1
=143（張），
所以李明最多有143張畫片。
故答案為：121；143。
【思路點撥】李明最少有畫片的張數=李明畫片的總張數×+1；李明最多有畫片的張數=李明畫片的總張數×-1，代入數值計算即可。
21．甲、乙、丙三人共同購買一輛90000元的汽車，甲支付的錢是其余兩人的，乙支付的錢是其余兩人的，丙應該支付多少錢？
【答案】解：90000×（1--）
=90000×
=3000（元）
答：丙應該支付3000元。
【思路點撥】甲支付的錢是三人的幾分之幾=，乙支付的錢是三人的幾分之幾=，所以丙應該支付的錢數=甲、乙、丙三人一共花的錢數×（1-甲支付的錢是三人的幾分之幾-乙支付的錢是三人的幾分之幾），據此代入數值作答即可。
22．（2023六上·哈爾濱月考）如圖，長方形ABCD，點E在邊BC上，CE的長度為4厘米，CD的長度為8厘米，BE的長度比CD的長度多。
（1）求長方形的周長。
（2）求圖中陰影部分面積？
【答案】（1）解：BE的長度是8×（1+）
=8×
=10（厘米）
BC的長度10+4=14（厘米）
長方形的周長（14+8）×2
=22×2
=44（厘米）
答：長方形的周長是44厘米。
（2）解：14×8÷2=56（平方厘米）
答：圖中陰影部分面積是56平方厘米。
【思路點撥】（1）求比一個數多幾分之幾的數是多少，方法是：這個數×（1+多的幾分之幾）；長方形的周長=（長+寬）×2；
（2）三角形面積=底×高÷2。
23．（2023六上·臨漳月考）A、B相地相距1080米，甲、乙兩人同時從兩地相向而行， 6分鐘相遇。已知甲的速度比乙的速度慢，相遇時，甲比乙少行多少米？
【答案】解：1080÷6=180（米/分）
180×=80（米/分）
180×=100（米/分）
（100-80）×6
=20×6
=120（米）
答：相遇時，甲比乙少行120米。
【思路點撥】甲的速度比乙的速度慢，把乙的速度看做5，甲的速度就是5-5×=4；
甲乙的速度比是4：5，甲占兩人速度和的，乙占兩人速度和的，
兩人速度和×=甲的速度，兩人速度和×=乙的速度，
甲乙兩人的速度差×相遇時間=相遇時甲比乙少行的路程。
24．學校在六年級兩個班開展古詩文誦讀活動，要求每名學生購買一本單價為5元的《古詩文讀本》，某書商給予學校大力支持，進行優惠銷售。優惠方案：一次購買50本及50本以上，每本優惠；一次購買100本及100本以上，每本優惠。現在六(1)班有48人。六(2)班有49人準備購書。請你設計最佳購買方案，并算一算，按這種方案每人要付多少元錢？
【答案】解：方案1：
48＋49＝97(本)
5×（1-）×97
=485×
＝436.5(元)
方案2：
5×（1-）×100
=500×
＝425(元)
436.5＞425
425÷97≈4.38(元)
答：最佳購買方案是買100本，每人要付約4.38元。
【思路點撥】方案一：原單價×（1－）=現單價，原單價× （1－）×數量=總價；方案二：原單價×（1－）=現單價，原單價× （1－）×數量=總價。據此關系式計算出兩個方案的總價，比較兩個方案的總價就可以得出哪個方案最佳，最后再根據總價÷數量=單價，算出每人要付多少錢。
25．水果店運來蘋果、香蕉和梨共180筐，其中蘋果的筐數是其他兩種水果筐數和的，香蕉的筐數是其他兩種水果筐數和的，梨有多少筐？
【答案】解：180×
=180×（1--）
=180×
＝75(筐)
答：梨有75筐。
【思路點撥】根據題意把三種水果的總筐數看作單位“1”，那么蘋果的筐數就是三種水果總筐數的，香蕉的筐數就是三種水果總筐數的，由此可以計算出梨的筐數是三種水果總筐數的1--；最后用三種水果總筐數乘上1--即可求出梨的筐數。
26．王叔叔體重80千克，過春節吃的好，運動少，體重增加了；春節過后，王叔叔經過鍛煉，注意飲食，體重減少了。王叔叔現在的體重是多少千克？
【答案】解：80×（1＋）×（1-）
=80××
=88×
=79.2（千克）
答：王叔叔現在的體重是79.2千克。
【思路點撥】王叔叔現在的體重=王叔叔原來的體重×（1＋春節時增重的分率）×（1-春節后減少的分率）。
27．社區工作者在端午節前夕開展“端午粽飄香”的活動，組織社區工作人員一共包了640個粽子，端午節當天發放給社區每家每戶。上午發放了這些粽子的，下午比上午多發放，還剩下多少個粽子沒有發放？
【答案】解：640×＝160(個)
160×(1+)
=160×
＝192(個)
640－160－192
=480-192
＝288(個)
答：還剩下288個粽子沒有發放。
【思路點撥】還剩下沒有發放粽子的個數=社區工作人員一共包粽子的個數-上午發放粽子的個數-下午發放粽子的個數；其中，上午發放粽子的個數=社區工作人員一共包粽子的個數×上午發放的分率；下午發放粽子的個數=上午發放粽子的個數×（1＋多的分率）。

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