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必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)
第七節(jié)　拋物線
第九章　直線與圓、圓錐曲線
核心考點(diǎn)·分類突破
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及它們的幾何性質(zhì).(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)
2.通過(guò)拋物線與方程的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.
3.了解拋物線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象.
【命題說(shuō)明】
考向 考法 拋物線的方程與性質(zhì)是高考?？純?nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),直線與拋物線的位置關(guān)系常以解答題的形式出現(xiàn),試題難度中等.
預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2025高考拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)仍會(huì)出題.一般在選擇題或填空題中出現(xiàn),直線與拋物線的考查比較靈活,各種題型都可能涉及.
必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)
知識(shí)梳理·歸納
1.拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離______的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.
點(diǎn)F叫做拋物線的______,直線l叫做拋物線的______.
微點(diǎn)撥 若點(diǎn)F在直線l上,則點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且與直線l垂直的直線.
相等
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py
(p>0)
p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 圖形
頂點(diǎn)坐標(biāo) ______ 對(duì)稱軸 x軸 y軸 O(0,0)
焦點(diǎn)坐標(biāo) ______ _______ ______ _______
離心率 e=1 準(zhǔn)線方程 _____ _____ _____ ____
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
F(,0)
F(-,0)
F(0,)
F(0,-)
x=-
x=
y=-
y=
微思考 開口向上或向下的拋物線的切線的斜率利用什么知識(shí)解決較簡(jiǎn)單
提示:利用導(dǎo)數(shù)求解較簡(jiǎn)單.
微點(diǎn)撥 四種不同拋物線方程的共同點(diǎn)
(1)原點(diǎn)都在拋物線上;
(2)焦點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上;
(3)準(zhǔn)線與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直,垂足與焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的,即=.
常用結(jié)論
1.焦半徑:拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)到焦點(diǎn)F(,0)的距離|PF|=x0+.
2.通徑:過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦,長(zhǎng)等于2p,通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
類型 辨析 改編 易錯(cuò) 高考
題號(hào) 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱.(　 　)
提示:(1)拋物線是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形;
(2)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱軸,無(wú)對(duì)稱中心.(　 　)
提示:(2)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱軸,無(wú)對(duì)稱中心;
×
√
(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.(　 　)
提示:(3)所有拋物線的離心率為1,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心
率都相同;
(4)拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是相同的,離
心率也相同.(　 　)
提示:(4)拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是相同
的,都為2,離心率也相同.
√
√
2.(弄錯(cuò)焦點(diǎn)位置)拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則該拋物線的方程為(　　)
A.x2=12y B.x2=10y
C.x2=8y D.x2=6y
【解析】選A.因?yàn)閽佄锞€x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,
則根據(jù)拋物線的定義可得2+=5,解得p=6,
所以拋物線的方程為x2=12y.
3.(人A選擇性必修第一冊(cè)P138習(xí)題3.3T1變條件)拋物線x=y2的焦點(diǎn)坐標(biāo)
為(　　)
A. (,0) B.(a,0)
C. (0,) D.(0,a)
【解析】選B.拋物線x=y2可化為y2=4ax,它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(a,0).
4. (2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)A(1,)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準(zhǔn)線的距離為
________.
【解析】由題意可得:=2p×1,則2p=5,拋物線的方程為y2=5x,準(zhǔn)線方程為
x=-,點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為1-(-)=.
核心考點(diǎn)·分類突破
考點(diǎn)一 拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
[例1](1)(一題多法)(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(　　)
A.2 B.2
C.3 D.3
【解析】選B.方法一:由題意可知F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)A(,y0),
由拋物線的定義可知|AF|=+1,又|BF|=3-1=2,
由|AF|=|BF|,可得+1=2,解得y0=±2,所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),
故|AB|==2.
方法二:由題意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,拋物線通徑為4,
所以|AF|=2為通徑的一半,所以AF⊥x軸,
所以|AB|==2.
(2)設(shè)圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則圓心C的軌跡為(　　)
A.拋物線 B.雙曲線
C.橢圓 D.圓
【解析】選A.由題意知,圓C的圓心到點(diǎn)(0,3)的距離比到直線y=0的距離大1,即圓C的圓心到點(diǎn)(0,3)的距離與到直線y=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可知,所求軌跡是一條拋物線.
(3)(2024·沈陽(yáng)模擬)已知P為拋物線y2=4x上的任意一點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)
為(3,2),則|PA|+|PF|的最小值為(　　)
A.4 B.3 C.2 D.
【解析】選A.由拋物線y2=4x知p=2,則F(1,0),準(zhǔn)線l方程為x=-1.如圖所示,點(diǎn)A在拋物
線內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段,垂足為點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H.由拋物線的
定義得|PF|=|PP'|,
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥|AH|,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段AH
與拋物線的交點(diǎn)(即A,P,H三點(diǎn)共線)時(shí)取等號(hào).
故|PA|+|PF|的最小值為|AH|=3+=4.
解題技法
1.利用拋物線的定義可解決的常見問題
(1)軌跡問題:用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線.
(2)距離問題:涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離問題時(shí),注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.
2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式,因此求拋物線方程時(shí),需先定位,再定量.
(2)因?yàn)槲粗獢?shù)只有p,所以只需利用待定系數(shù)法確定p的值.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2024·青島模擬)設(shè)拋物線C:x2=2py的焦點(diǎn)為F,M(x,4)在C上,|MF|=5,則C的方程
為(　　)
A.x2=4y B.x2=-4y
C.x2=-2y D.x2=2y
【解析】選A.拋物線x2=2py的開口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5,
根據(jù)拋物線的定義可知4+=5,p=2,所以拋物線C的方程為x2=4y.
2.(2024·北京模擬)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上.若M到直線x=-1的距離為3,則|MF|=(　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】選A.如圖所示:
根據(jù)題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,
若M到直線x=-1的距離為MM2=3,
則M到拋物線的準(zhǔn)線x=-2的距離為MM1=4,
利用拋物線定義可知MF=MM1=4.
3. (2023·岳陽(yáng)模擬)已知拋物線y=x2的焦點(diǎn)為F,P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q(1,1),
當(dāng)△PQF的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.
【解析】如圖,設(shè)l:y=-1是拋物線的準(zhǔn)線,過(guò)P作PH⊥l于H,作QN⊥l于N,
則=,F(0,1),=1,+=+,
易知當(dāng)Q,P,H三點(diǎn)共線時(shí),+的值最小,
且最小值為1+1=2,所以△PQF的周長(zhǎng)最小值為3,
此時(shí)xP=1,yP=,即P(1,).
(1,)
【加練備選】
　　1.(2024·杭州模擬)頂點(diǎn)在原點(diǎn)、坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線,過(guò)點(diǎn)(-1,2),則它的方程是(　　)
A.x2=y或y2=-4x
B.y2=-4x或x2=2y
C.x2=-y
D.y2=-4x
【解析】選A.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為y2=-2px(p>0).
因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)(-1,2),記為點(diǎn)P,如圖,
所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以拋物線的方程為y2=-4x;
當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0).
因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)(-1,2),
所以(-1)2=2p·2,所以p=,所以拋物線的方程為x2=y.
2.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的
中點(diǎn),則|FN|=________.
【解析】方法一:依題意可知,拋物線的焦點(diǎn)F(2,0),設(shè)N(0,t),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M(1,),|MF|=2+1=3,所以|FN|=2|MF|=6.
方法二:如圖,過(guò)M,N分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M1,N1,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與
x軸的交點(diǎn)為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.
因?yàn)镸為FN的中點(diǎn),所以|MM1|=3,
由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,
從而|FN|=2|FM|=6.
6
考點(diǎn)二 拋物線的幾何性質(zhì)
[例2](1)已知點(diǎn)F為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OFP的面積為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　)
A.x=- B.x=-1
C.x=-2 D.x=-4
【解析】選B.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(,0),
由y2=16p,可得y=±4,不妨令P(8,4),
則S△OFP=××4=p=2,解得p=2,則拋物線方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.
(2)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn).拋物線上有M,N兩點(diǎn),若
△MON為正三角形,則△MON的邊長(zhǎng)為________.
【解析】因?yàn)椤鱉ON為正三角形,
所以|OM|=|ON|=|MN|,由拋物線對(duì)稱性可知MN⊥x軸,設(shè)MN:x=t,則y2=2pt,
解得y1=,y2=-.所以|MN|=2,
所以tan 30°===,
解得t=6p.所以|MN|=4p.
4p
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上
一點(diǎn),PF與x軸垂直,Q為x軸上一點(diǎn),且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為
______________.
【解析】由題易得|OF|=,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,
所以=,即=,解得p=3,所以C的準(zhǔn)線方程為x=-.
x=-
解題技法
應(yīng)用拋物線幾何性質(zhì)的技巧
涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考,通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1. (2021·新高考Ⅱ卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+1的距離為,則p=(　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
【解析】選B.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
其到直線x-y+1=0的距離d==,
解得p=2(p=-6舍去).
2.(多選題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點(diǎn),以F為圓心,|FA|為半徑的圓交l于B,D兩點(diǎn),若∠ABD=90°,且△ABF的面積為9,則下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A.|BF|=3
B.△ABF是等邊三角形
C.點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3
D.拋物線C的方程為y2=12x
【解析】選BC.根據(jù)題意,作出滿足題意的幾何圖形如圖所示,
由拋物線及圓的定義可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等邊三角形,故B正確;
由△ABF的面積為|BF|2=9,
可知|BF|=6.故A錯(cuò)誤;∠FBD=30°,
又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin 30°=3=p,故C正確;
該拋物線的方程為y2=6x.故D錯(cuò)誤.
考點(diǎn)三 拋物線的綜合問題
考情提示
拋物線的綜合問題一直是高考命題的熱點(diǎn),重點(diǎn)考查直線與拋物線的位置關(guān)系,常與函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容相結(jié)合.
角度1 焦點(diǎn)弦問題
[例3](2024·貴陽(yáng)模擬)直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=6x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則|AB|=(　　)
A.4 B. C.8 D.
【解析】選C.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),準(zhǔn)線方程為x=-,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),=6x1,=6x2,
因?yàn)閨AF|=3|BF|,所以x1+=3(x2+),得x1=3x2+3,①
因?yàn)閨AF|=3|BF|,所以|y1|=3|y2|,即x1=9x2,②
由方程①②可得x1=,x2=,所以|AB|=x1++x2+=x1+x2+3=8.
解題技法
關(guān)于焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用技巧
(1)過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的直線方程常設(shè)為x=my+.
(2)拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為(θ為過(guò)焦點(diǎn)的直線的傾斜角),最小值為2p.
(3)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)作拋物線的切線,兩條切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上.
角度2 直線與拋物線的相交問題
[例4](2024·濰坊模擬)傾斜角為60°的直線l過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程;
【解析】(1)由已知可得,p=2,焦點(diǎn)在x軸上,所以,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.
[例4](2024·濰坊模擬)傾斜角為60°的直線l過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),
(2)求△OAB的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
【解析】(2)因?yàn)閽佄锞€的方程為y2=4x,所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0).
又因?yàn)閮A斜角為60°的直線l,所以斜率為,
所以直線AB的方程為y=(x-1).代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得3x2-10x+3=0.
方法一:解得x1=,x2=3,所以|AB|=|x1-x2|=×3-=.
又點(diǎn)O到直線x-y-=0的距離為d=,
所以S△OAB=|AB|·d=××=.
方法二:Δ=100-36=64>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,過(guò)A,B分別作準(zhǔn)線x=-1的垂線,設(shè)垂足分別為E,D如圖所示.
|AB|=|AF|+|BF|=|AE|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=.
點(diǎn)O到直線x-y-=0的距離為d=,
所以S△OAB=|AB|·d=××=.
解題技法
(1)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題
注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不過(guò)焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式.
(2)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.
提醒:涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2024·湛江模擬)已知F為拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn),過(guò)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),與圓x2+(y-2)2=4交于D,E兩點(diǎn),A,D在y軸的同側(cè),則|AD|·|BE|=(　　)
A.1 B.4
C.8 D.16
【解析】選B.由題可知F(0,2),直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得x2-8kx-16=0,故x1x2=-16.又y1=,y2=,
所以y1y2==4.圓x2+(y-2)2=4的圓心為F(0,2),半徑r=2,
所以|AD|=|AF|-r=|AF|-2,|BE|=|BF|-r=|BF|-2.
又|AF|=y1+2,|BF|=y2+2,所以|AD|=y1+2-2=y1,|BE|=y2+2-2=y2,
所以|AD|·|BE|=y1y2=4.
2. 已知拋物線方程為y2=4x,直線l:x+y+=0,拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最小
值為________________.
【解析】設(shè)與直線l平行且與拋物線相切的直線方程為x+y+m=0,
由,得y2+4y+4m=0,
則Δ=16-16m=0,得m=1,
所以切線方程為x+y+1=0,
所以拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為d==.
【加練備選】
　　(2024·西安模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=-.
(1)求拋物線的方程;
【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-, 所以 -=-, 解得p=1,
所以拋物線的方程為y2=2x.
(2)設(shè)直線y=k(x-2)(k≠0)與拋物線相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|=2,求實(shí)數(shù)k的值.
【解析】(2)如圖,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).
將y=k(x-2)代入y2=2x,消去y整理得 k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0.
當(dāng)Δ=4-4k2·4k2>0時(shí),x1+x2==, x1x2=4.
|MN|=|x1-x2|===2,
化簡(jiǎn)得:(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,
經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)Δ>0,故k=±1.
重難突破 拋物線的結(jié)論及其應(yīng)用
【考情分析】
(1)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線的關(guān)系尤為重點(diǎn),這是因?yàn)樵谶@一關(guān)系中具有很多性質(zhì),并通過(guò)這些性質(zhì)及運(yùn)算推導(dǎo)出很多有用的結(jié)論,常常是高考命題的切入點(diǎn).
(2)熟悉并記住拋物線焦點(diǎn)弦的結(jié)論,在解選擇題、填空題時(shí)可直接運(yùn)用,減少運(yùn)算量;在做解答題時(shí)也可迅速打開解題思路.
【常用結(jié)論】
我們以拋物線y2=2px(p>0)為例來(lái)研究
【探究】已知AB是過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦,α為直線AB與x軸正半軸的夾角,若A(x1,y1),B(x2,y2),則有下列結(jié)論:
結(jié)論1:y1y2=-p2,x1x2=.
結(jié)論2:|AB|=x1+x2+p=.
結(jié)論3:+=.
結(jié)論4:|AF|=x1+=,|BF|=x2+=.
結(jié)論5:S△AOB=|OF|·|y1-y2|=.
【結(jié)論證明】
通常在證明上述結(jié)論時(shí),設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系求解,特別地,還要討論斜率存在與否的情況,過(guò)程煩瑣,運(yùn)算量大.下面我們提供比較簡(jiǎn)單的證明結(jié)論的方法:
【證明】由圖可知|AF|-|AF|cos α=p,得|AF|=,
同理可得|BF|=.(結(jié)論4)
+=+=(結(jié)論3)
|AB|=|AF|+|BF|=+=.(結(jié)論2)
由圖可知y1=|AF|sin α,y2=-|BF|sin α,
則y1y2=-|AF||BF|sin2α=-·sin2α=-p2(結(jié)論1)
S△AOB=|AB|×sin α=××sin α=(結(jié)論5)
【典例研習(xí)】
類型一 +=的應(yīng)用
[例1]已知拋物線y2=4x,過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),則2|AF|+|BF|最小值
為(　　)
A.2 B.2+3
C.4 D.3+2
【解析】選D.因?yàn)閜=2,所以+==1,
所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·(+)=3++≥3+2=3+2,
當(dāng)且僅當(dāng)|BF|=|AF|時(shí),等號(hào)成立,
因此,2|AF|+|BF|的最小值為3+2.
類型二 焦半徑、弦長(zhǎng)問題
[例2]已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線l1,l2,直線l1與C相交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C相交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為(　　)
A.16 B.14
C.12 D.10
【解析】選A.如圖,設(shè)直線l1的傾斜角為θ,θ∈(0,),則直線l2的傾斜角為+θ,
由拋物線的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式知|AB|==,|DE|==,
所以|AB|+|DE|=+==≥16,
當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1,即θ=時(shí)取等號(hào).
所以|AB|+|DE|的最小值為16.
類型三 面積問題
[例3]設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.由2p=3,及|AB|=
得|AB|===12.
原點(diǎn)到直線AB的距離d=|OF|·sin 30°=,
故S△AOB=|AB|·d=×12×=.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2023·福州聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且傾斜角為的直線交C于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則|AB|=(　　)
A. B.4 C.8 D.24
【解析】選C.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以kAB===.
因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,所以y1+y2=2,又直線AB的傾斜角為,所以kAB=,即=,得p=3.所以拋物線C的方程為y2=6x,所以|AB|===8.
2.設(shè)拋物線E:y2=6x的弦AB過(guò)焦點(diǎn)F,|AF|=3|BF|,過(guò)A,B分別作E的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別是A',B',則四邊形AA'B'B的面積等于(　　)
A.4 B.8
C.16 D.32
【解析】選C.方法一:不妨令A(yù)在x軸上方,如圖所示,作BG⊥AA',垂足為G,
則=,|BG|=.
設(shè)|BF|=m,由|AF|=3|BF|,得|AF|=3m,所以|AB|=4m.
由拋物線的定義知=|AF|=3m,=|BF|=m,
則|AG|=2m,所以∠BAA'=.易知p=3,得|AB|===8,
所以|BG|=|AB|sin=4,
則S四邊形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=|AB|×|BG|=×8×4=16.
方法二:不妨令A(yù)在x軸上方,如圖所示,作BG⊥AA',垂足為G,
由拋物線的定義知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|,
由+==,|AF|=3|BF|得,|BF|=2,|AF|=6,
所以|AA'|+|BB'|=|AF|+|BF|=8,|AG|=|AA'|-|BB'|=4,
所以|A'B'|=|BG|==4,
則S四邊形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16.
方法三:設(shè)直線AB的傾斜角為α,不妨令A(yù)在x軸上方,
|AF|==,|BF|==,
由|AF|=3|BF|,得=3×,
解得cos α=,因?yàn)棣痢?0,π),所以α=,
由拋物線定義,得|AA'|=|AF|==6,|BB'|=|BF|==2,
所以|A'B'|=(|AF|+|BF|)sin α=8sin =4,
則S四邊形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16.
【加練備選】
　　已知A,B是過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與拋物線的交點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足=3,S△OAB=|AB|,則|AB|的值為(　　)
A. B.
C.4 D.2
【解析】選A.如圖,不妨令直線AB的傾斜角為α,α∈(0,),
因?yàn)?3,所以F為AB的三等分點(diǎn),
令|BF|=t,則|AF|=2t,由+=,得+= t=p,
所以|AB|=3t=p,又|AB|=,所以=p sin α=,
又S△AOB=|AB|,所以=|AB|,即=·p p=2,
所以|AB|=.
謝謝觀賞??！2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第九章-第七節(jié)-拋物線
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及它們的幾何性質(zhì).(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率)
2.通過(guò)拋物線與方程的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.
3.了解拋物線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象.
【命題說(shuō)明】
考向 考法 拋物線的方程與性質(zhì)是高考?？純?nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),直線與拋物線的位置關(guān)系常以解答題的形式出現(xiàn),試題難度中等.
預(yù)測(cè) 預(yù)計(jì)2025高考拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)仍會(huì)出題.一般在選擇題或填空題中出現(xiàn),直線與拋物線的考查比較靈活,各種題型都可能涉及.
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
1.拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
微點(diǎn)撥 若點(diǎn)F在直線l上,則點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且與直線l垂直的直線.
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
p的幾何意義:焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離
圖形
頂點(diǎn)坐標(biāo) O(0,0)
對(duì)稱軸 x軸 y軸
焦點(diǎn)坐標(biāo) F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-)
離心率 e=1
準(zhǔn)線方程 x=- x= y=- y=
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
微思考 開口向上或向下的拋物線的切線的斜率利用什么知識(shí)解決較簡(jiǎn)單
提示:利用導(dǎo)數(shù)求解較簡(jiǎn)單.
微點(diǎn)撥 四種不同拋物線方程的共同點(diǎn)
(1)原點(diǎn)都在拋物線上;
(2)焦點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上;
(3)準(zhǔn)線與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸垂直,垂足與焦點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的,即=.
常用結(jié)論
1.焦半徑:拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)到焦點(diǎn)F(,0)的距離|PF|=x0+.
2.通徑:過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦,長(zhǎng)等于2p,通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
類型 辨析 改編 易錯(cuò) 高考
題號(hào) 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱.(　 ×　)
提示:(1)拋物線是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形;
(2)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱軸,無(wú)對(duì)稱中心.(　 √　)
提示:(2)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱軸,無(wú)對(duì)稱中心;
(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.(　 √　)
提示:(3)所有拋物線的離心率為1,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同;
(4)拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是相同的,離心率也相同.(　 √　)
提示:(4)拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是相同的,都為2,離心率也相同.
2.(弄錯(cuò)焦點(diǎn)位置)拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則該拋物線的方程為(　　)
A.x2=12y B.x2=10y
C.x2=8y D.x2=6y
【解析】選A.因?yàn)閽佄锞€x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,
則根據(jù)拋物線的定義可得2+=5,解得p=6,
所以拋物線的方程為x2=12y.
3.(人A選擇性必修第一冊(cè)P138習(xí)題3.3T1變條件)拋物線x=y2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　)
A. (,0) B.(a,0)
C. (0,) D.(0,a)
【解析】選B.拋物線x=y2可化為y2=4ax,它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(a,0).
4. (2023·全國(guó)乙卷)已知點(diǎn)A(1,)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準(zhǔn)線的距離為________.
【解析】由題意可得:=2p×1,則2p=5,拋物線的方程為y2=5x,準(zhǔn)線方程為x=-,點(diǎn)A到C的準(zhǔn)線的距離為1-(-)=.
答案:
【核心考點(diǎn)·分類突破】
考點(diǎn)一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
[例1](1)(一題多法)(2022·全國(guó)乙卷)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A在C上,點(diǎn)B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(　　)
A.2 B.2 C.3 D.3
【解析】選B.方法一:由題意可知F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)A(,y0),
由拋物線的定義可知|AF|=+1,又|BF|=3-1=2,
由|AF|=|BF|,可得+1=2,解得y0=±2,
所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),
故|AB|==2.
方法二:由題意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,拋物線通徑為4,
所以|AF|=2為通徑的一半,所以AF⊥x軸,
所以|AB|==2.
(2)設(shè)圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則圓心C的軌跡為(　　)
A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓
【解析】選A.由題意知,圓C的圓心到點(diǎn)(0,3)的距離比到直線y=0的距離大1,即圓C的圓心到點(diǎn)(0,3)的距離與到直線y=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可知,所求軌跡是一條拋物線.
(3)(2024·沈陽(yáng)模擬)已知P為拋物線y2=4x上的任意一點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,2),則|PA|+|PF|的最小值為(　　)
A.4 B.3 C.2 D.
【解析】選A.由拋物線y2=4x知p=2,則F(1,0),準(zhǔn)線l方程為x=-1.如圖所示,點(diǎn)A在拋物線內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作拋物線準(zhǔn)線l的垂線段,垂足為點(diǎn)P',過(guò)點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H.由拋物線的定義得|PF|=|PP'|,
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥|AH|,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P是線段AH與拋物線的交點(diǎn)(即A,P,H三點(diǎn)共線)時(shí)取等號(hào).
故|PA|+|PF|的最小值為|AH|=3+=4.
解題技法
1.利用拋物線的定義可解決的常見問題
(1)軌跡問題:用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線.
(2)距離問題:涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和到準(zhǔn)線的距離問題時(shí),注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.
2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式,因此求拋物線方程時(shí),需先定位,再定量.
(2)因?yàn)槲粗獢?shù)只有p,所以只需利用待定系數(shù)法確定p的值.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2024·青島模擬)設(shè)拋物線C:x2=2py的焦點(diǎn)為F,M(x,4)在C上,|MF|=5,則C的方程為(　　)
A.x2=4y B.x2=-4y
C.x2=-2y D.x2=2y
【解析】選A.拋物線x2=2py的開口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5,
根據(jù)拋物線的定義可知4+=5,p=2,所以拋物線C的方程為x2=4y.
2.(2024·北京模擬)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上.若M到直線x=-1的距離為3,則|MF|=(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】選A.如圖所示:
根據(jù)題意可得拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,
若M到直線x=-1的距離為MM2=3,則M到拋物線的準(zhǔn)線x=-2的距離為MM1=4,
利用拋物線定義可知MF=MM1=4.
3. (2023·岳陽(yáng)模擬)已知拋物線y=x2的焦點(diǎn)為F,P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q(1,1),當(dāng)△PQF的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為________.
【解析】如圖,設(shè)l:y=-1是拋物線的準(zhǔn)線,過(guò)P作PH⊥l于H,作QN⊥l于N,
則=,F(0,1),=1,+=+,
易知當(dāng)Q,P,H三點(diǎn)共線時(shí),+的值最小,且最小值為1+1=2,所以△PQF的周長(zhǎng)最小值為3,此時(shí)xP=1,yP=,即P(1,).
答案: (1,)
【加練備選】
　　 1.(2024·杭州模擬)頂點(diǎn)在原點(diǎn)、坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線,過(guò)點(diǎn)(-1,2),則它的方程是(　　)
A.x2=y或y2=-4x
B.y2=-4x或x2=2y
C.x2=-y
D.y2=-4x
【解析】選A.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為y2=-2px(p>0).
因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)(-1,2),記為點(diǎn)P,如圖,
所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以拋物線的方程為y2=-4x;
當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0).
因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)(-1,2),
所以(-1)2=2p·2,所以p=,所以拋物線的方程為x2=y.
2.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=________.
【解析】方法一:依題意可知,拋物線的焦點(diǎn)F(2,0),設(shè)N(0,t),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M(1,),|MF|=2+1=3,所以|FN|=2|MF|=6.
方法二:如圖,過(guò)M,N分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M1,N1,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.
因?yàn)镸為FN的中點(diǎn),所以|MM1|=3,
由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,
從而|FN|=2|FM|=6.
答案:6
考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)
[例2](1)已知點(diǎn)F為拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OFP的面積為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為(　　)
A.x=- B.x=-1
C.x=-2 D.x=-4
【解析】選B.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(,0),
由y2=16p,可得y=±4,不妨令P(8,4),
則S△OFP=××4=p=2,解得p=2,則拋物線方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.
(2)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn).拋物線上有M,N兩點(diǎn),若△MON為正三角形,則△MON的邊長(zhǎng)為________.
【解析】因?yàn)椤鱉ON為正三角形,
所以|OM|=|ON|=|MN|,由拋物線對(duì)稱性可知MN⊥x軸,設(shè)MN:x=t,則y2=2pt,
解得y1=,y2=-.所以|MN|=2,
所以tan 30°===,
解得t=6p.所以|MN|=4p.
答案:4p
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上一點(diǎn),PF與x軸垂直,Q為x軸上一點(diǎn),且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為______________.
【解析】由題易得|OF|=,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,
所以=,即=,解得p=3,所以C的準(zhǔn)線方程為x=-.
答案: x=-
解題技法
應(yīng)用拋物線幾何性質(zhì)的技巧
涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考,通過(guò)圖形可以直觀地看出拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向等幾何特征,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1. (2021·新高考Ⅱ卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+1的距離為,則p=(　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
【解析】選B.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,
其到直線x-y+1=0的距離d==,
解得p=2(p=-6舍去).
2.(多選題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點(diǎn),以F為圓心,|FA|為半徑的圓交l于B,D兩點(diǎn),若∠ABD=90°,且△ABF的面積為9,則下列選項(xiàng)正確的是(　　)
A.|BF|=3
B.△ABF是等邊三角形
C.點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3
D.拋物線C的方程為y2=12x
【解析】選BC.根據(jù)題意,作出滿足題意的幾何圖形如圖所示,
由拋物線及圓的定義可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等邊三角形,故B正確;
由△ABF的面積為|BF|2=9,
可知|BF|=6.故A錯(cuò)誤;∠FBD=30°,
又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin 30°=3=p,故C正確;該拋物線的方程為y2=6x.故D錯(cuò)誤.
考點(diǎn)三 拋物線的綜合問題
考情提示
拋物線的綜合問題一直是高考命題的熱點(diǎn),重點(diǎn)考查直線與拋物線的位置關(guān)系,常與函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容相結(jié)合.
角度1 焦點(diǎn)弦問題
[例3](2024·貴陽(yáng)模擬)直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=6x的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則|AB|=(　　)
A.4 B. C.8 D.
【解析】選C.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),準(zhǔn)線方程為x=-,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),=6x1,=6x2,
因?yàn)閨AF|=3|BF|,所以x1+=3(x2+),得x1=3x2+3,①
因?yàn)閨AF|=3|BF|,所以|y1|=3|y2|,即x1=9x2,②
由方程①②可得x1=,x2=,
所以|AB|=x1++x2+=x1+x2+3=8.
解題技法
關(guān)于焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用技巧
(1)過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的直線方程常設(shè)為x=my+.
(2)拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為(θ為過(guò)焦點(diǎn)的直線的傾斜角),最小值為2p.
(3)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)弦的兩個(gè)端點(diǎn)作拋物線的切線,兩條切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上.
角度2 直線與拋物線的相交問題
[例4](2024·濰坊模擬)傾斜角為60°的直線l過(guò)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程;
(2)求△OAB的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
【解析】(1)由已知可得,p=2,焦點(diǎn)在x軸上,所以,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.
(2)因?yàn)閽佄锞€的方程為y2=4x,所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0).
又因?yàn)閮A斜角為60°的直線l,所以斜率為,
所以直線AB的方程為y=(x-1).代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得3x2-10x+3=0.
方法一:解得x1=,x2=3,所以|AB|=|x1-x2|=×3-=.
又點(diǎn)O到直線x-y-=0的距離為d=,
所以S△OAB=|AB|·d=××=.
方法二:Δ=100-36=64>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,過(guò)A,B分別作準(zhǔn)線x=-1的垂線,設(shè)垂足分別為E,D如圖所示.
|AB|=|AF|+|BF|=|AE|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=.
點(diǎn)O到直線x-y-=0的距離為d=,
所以S△OAB=|AB|·d=××=.
解題技法
(1)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題
注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不過(guò)焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式.
(2)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí),一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.
提醒:涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2024·湛江模擬)已知F為拋物線C:x2=8y的焦點(diǎn),過(guò)F的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),與圓x2+(y-2)2=4交于D,E兩點(diǎn),A,D在y軸的同側(cè),則|AD|·|BE|=(　　)
A.1 B.4 C.8 D.16
【解析】選B.由題可知F(0,2),直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
由得x2-8kx-16=0,故x1x2=-16.
又y1=,y2=,
所以y1y2==4.圓x2+(y-2)2=4的圓心為F(0,2),半徑r=2,
所以|AD|=|AF|-r=|AF|-2,|BE|=|BF|-r=|BF|-2.
又|AF|=y1+2,|BF|=y2+2,
所以|AD|=y1+2-2=y1,|BE|=y2+2-2=y2,
所以|AD|·|BE|=y1y2=4.
2. 已知拋物線方程為y2=4x,直線l:x+y+=0,拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為________________.
【解析】設(shè)與直線l平行且與拋物線相切的直線方程為x+y+m=0,
由,得y2+4y+4m=0,
則Δ=16-16m=0,得m=1,
所以切線方程為x+y+1=0,
所以拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的最小值為d==.
答案:
【加練備選】
　　(2024·西安模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=-.
(1)求拋物線的方程;
【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=-, 所以 -=-, 解得p=1,
所以拋物線的方程為y2=2x.
(2)設(shè)直線y=k(x-2)(k≠0)與拋物線相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|=2,求實(shí)數(shù)k的值.
【解析】(2)如圖,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).
將y=k(x-2)代入y2=2x,消去y整理得 k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0.
當(dāng)Δ=4-4k2·4k2>0時(shí),x1+x2==, x1x2=4.
|MN|=|x1-x2|===2,
化簡(jiǎn)得:(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,
經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)Δ>0,故k=±1.
重難突破 拋物線的結(jié)論及其應(yīng)用
【考情分析】
(1)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線的關(guān)系尤為重點(diǎn),這是因?yàn)樵谶@一關(guān)系中具有很多性質(zhì),并通過(guò)這些性質(zhì)及運(yùn)算推導(dǎo)出很多有用的結(jié)論,常常是高考命題的切入點(diǎn).
(2)熟悉并記住拋物線焦點(diǎn)弦的結(jié)論,在解選擇題、填空題時(shí)可直接運(yùn)用,減少運(yùn)算量;在做解答題時(shí)也可迅速打開解題思路.
【常用結(jié)論】
我們以拋物線y2=2px(p>0)為例來(lái)研究
【探究】已知AB是過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦,α為直線AB與x軸正半軸的夾角,若A(x1,y1),B(x2,y2),則有下列結(jié)論:
結(jié)論1:y1y2=-p2,x1x2=.
結(jié)論2:|AB|=x1+x2+p=.
結(jié)論3:+=.
結(jié)論4:|AF|=x1+=,|BF|=x2+=.
結(jié)論5:S△AOB=|OF|·|y1-y2|=.
【結(jié)論證明】
通常在證明上述結(jié)論時(shí),設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系求解,特別地,還要討論斜率存在與否的情況,過(guò)程煩瑣,運(yùn)算量大.下面我們提供比較簡(jiǎn)單的證明結(jié)論的方法:
【證明】由圖可知|AF|-|AF|cos α=p,得|AF|=,
同理可得|BF|=.(結(jié)論4)
+=+=(結(jié)論3)
|AB|=|AF|+|BF|=+=.(結(jié)論2)
由圖可知y1=|AF|sin α,y2=-|BF|sin α,
則y1y2=-|AF||BF|sin2α=-·sin2α=-p2(結(jié)論1)
S△AOB=|AB|×sin α=××sin α=(結(jié)論5)
【典例研習(xí)】
類型一 +=的應(yīng)用
[例1]已知拋物線y2=4x,過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),則2|AF|+|BF|最小值為(　　)
A.2 B.2+3
C.4 D.3+2
【解析】選D.因?yàn)閜=2,所以+==1,
所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·(+)=3++≥3+2=3+2,
當(dāng)且僅當(dāng)|BF|=|AF|時(shí),等號(hào)成立,
因此,2|AF|+|BF|的最小值為3+2.
類型二 焦半徑、弦長(zhǎng)問題
[例2]已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線l1,l2,直線l1與C相交于A,B兩點(diǎn),直線l2與C相交于D,E兩點(diǎn),則|AB|+|DE|的最小值為(　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
【解析】選A.如圖,設(shè)直線l1的傾斜角為θ,θ∈(0,),則直線l2的傾斜角為+θ,
由拋物線的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式知|AB|==,|DE|==,
所以|AB|+|DE|=+==≥16,
當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ=1,即θ=時(shí)取等號(hào).
所以|AB|+|DE|的最小值為16.
類型三 面積問題
[例3]設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為(　　)
A. B. C. D.
【解析】選D.由2p=3,及|AB|=
得|AB|===12.
原點(diǎn)到直線AB的距離d=|OF|·sin 30°=,
故S△AOB=|AB|·d=×12×=.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2023·福州聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)F且傾斜角為的直線交C于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則|AB|=(　　)
A. B.4 C.8 D.24
【解析】選C.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以kAB===.
因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,所以y1+y2=2,又直線AB的傾斜角為,所以kAB=,即=,得p=3.所以拋物線C的方程為y2=6x,所以|AB|===8.
2.設(shè)拋物線E:y2=6x的弦AB過(guò)焦點(diǎn)F,|AF|=3|BF|,過(guò)A,B分別作E的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別是A',B',則四邊形AA'B'B的面積等于(　　)
A.4 B.8 C.16 D.32
【解析】選C.方法一:不妨令A(yù)在x軸上方,如圖所示,作BG⊥AA',垂足為G,
則=,|BG|=.
設(shè)|BF|=m,由|AF|=3|BF|,得|AF|=3m,所以|AB|=4m.
由拋物線的定義知=|AF|=3m,=|BF|=m,
則|AG|=2m,所以∠BAA'=.易知p=3,得|AB|===8,
所以|BG|=|AB|sin=4,
則S四邊形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=|AB|×|BG|=×8×4=16.
方法二:不妨令A(yù)在x軸上方,如圖所示,作BG⊥AA',垂足為G,
由拋物線的定義知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|,
由+==,|AF|=3|BF|得,|BF|=2,|AF|=6,
所以|AA'|+|BB'|=|AF|+|BF|=8,|AG|=|AA'|-|BB'|=4,
所以|A'B'|=|BG|==4,
則S四邊形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16.
方法三:設(shè)直線AB的傾斜角為α,不妨令A(yù)在x軸上方,
|AF|==,|BF|==,
由|AF|=3|BF|,得=3×,
解得cos α=,因?yàn)棣痢?0,π),所以α=,
由拋物線定義,得|AA'|=|AF|==6,|BB'|=|BF|==2,
所以|A'B'|=(|AF|+|BF|)sin α=8sin =4,
則S四邊形AA'B'B=(|AA'|+|BB'|)×|A'B'|=×(6+2)×4=16.
【加練備選】
　　已知A,B是過(guò)拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與拋物線的交點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足=3,S△OAB=|AB|,則|AB|的值為(　　)
A. B. C.4 D.2
【解析】選A.如圖,不妨令直線AB的傾斜角為α,α∈(0,),
因?yàn)?3,所以F為AB的三等分點(diǎn),
令|BF|=t,則|AF|=2t,由+=,得+= t=p,
所以|AB|=3t=p,又|AB|=,所以=p sin α=,
又S△AOB=|AB|,所以=|AB|,即=·p p=2,所以|AB|=.

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