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必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)
第六節(jié)　復(fù)數(shù)
第六章　平面向量、復(fù)數(shù)
核心考點(diǎn)·分類突破
【課標(biāo)解讀】
【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.通過方程的解,認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).
2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.
3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的四則運(yùn)算,了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象.
【命題說明】
考向 考法 高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查相對(duì)穩(wěn)定,為每年必考題型.復(fù)數(shù)的運(yùn)算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義是常考點(diǎn),以選擇題的形式考查.
預(yù)測(cè) 2025年高考仍會(huì)考查復(fù)數(shù)運(yùn)算,題型、位置不變.
必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)
知識(shí)梳理·歸納
1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的定義
把形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合
C={a+bi|a,b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.實(shí)部是___,虛部是___.
(2)復(fù)數(shù)的分類
復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)
a
b
(3)復(fù)數(shù)相等
a+bi=c+di __________(a,b,c,d∈R).
(4)共軛復(fù)數(shù)
a+bi與c+di互為共軛復(fù)數(shù) __________(a,b,c,d∈R).
(5)復(fù)數(shù)的模
向量的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模或絕對(duì)值,記作___或______,
即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).
微點(diǎn)撥
(1)虛數(shù)不能比較大小;
(2)復(fù)數(shù)集包含實(shí)數(shù)集與虛數(shù)集.
a=c且b=d
a=c且b=-d
|z|
|a+bi|
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)z=a+bi 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,b∈R).
(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R) 平面向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
微點(diǎn)撥
(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義:若復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量,不共線,則復(fù)數(shù)z1+z2是以,為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義:復(fù)數(shù)z1-z2是-=所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算
復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則
設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=____________;
②減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=___________;
③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=_______________;
④除法:===+i(c+di≠0).
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
(ac-bd)+(ad+bc)i
常用結(jié)論
1.i的乘方具有周期性
=1,=i,=-1,=-i,
+++=0,n∈N*.
2.(1±i)2=±2i;=i;=-i.
3.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系
z·=|z|2=||2.
4.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形
(1)a≤|z|≤b(a≠b且a,b>0)表示以原點(diǎn)O為圓心,a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán).
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心,r為半徑的圓.
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)方程x2+x+1=0沒有解.(　　)
提示:(1)方程x2+x+1=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有解.
(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)中,虛部為bi.(　　)
提示: (2)虛部為b.
(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大小,如4+3i>3+3i,3+4i>3+3i等.(　　)
提示: (3)虛數(shù)不可以比較大小.
類型 辨析 改編 易錯(cuò) 高考
題號(hào) 1 3 2 4
×
×
×
(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.(　　)
(5)復(fù)數(shù)z=-1+2i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限.(　　)
提示: (5)復(fù)數(shù)z=-1+2i的共軛復(fù)數(shù)是=-1-2i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.
√
×
2.(虛部概念掌握不清致誤)復(fù)數(shù)z=的虛部是(　　)
A.-　 B.-i　 C.-　 D.-i
【解析】選C.z====-,
故z=的虛部為-.
3.(必修第二冊(cè)P69例1·變條件)若a∈R,復(fù)數(shù)z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是純虛數(shù),則(　　)
A.a≠2且a≠-1　 B.a=0
C.a=2　 D.a=0或a=2
【解析】選B.復(fù)數(shù)z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是純虛數(shù),則解得a=0.
4.(2022·全國乙卷)設(shè)(1+2i)a+b=2i,其中a,b為實(shí)數(shù),則(　　)
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
【解析】選A.因?yàn)閍,b∈R,(a+b)+2ai=2i,
所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=-1.
核心考點(diǎn)·分類突破
考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
1.如果復(fù)數(shù)(b∈R)的實(shí)部與虛部相等,那么b=(　　)
A.-2 B.1 C.2 D.4
【解析】選A.==b-2i,所以實(shí)部為b,虛部為-2,故b的值為-2.
2.(多選題)若復(fù)數(shù)z=,其中i為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.z的虛部為-1 B.|z|=
C.z2為純虛數(shù) D.z的共軛復(fù)數(shù)為-1-i
【解析】選ABC.z====1-i.對(duì)于A,z的虛部為-1,正確;
對(duì)于B,|z|=,正確;
對(duì)于C,因?yàn)閦2=(1-i)2=-2i,故z2為純虛數(shù),正確;
對(duì)于D,z的共軛復(fù)數(shù)為1+i,錯(cuò)誤.
3.(2023·全國甲卷)若復(fù)數(shù)(a+i)(1-ai)=2,a∈R,則a=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】選C.因?yàn)?a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,
所以,解得a=1.
4.(2022·全國乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b為實(shí)數(shù),則(　　)
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
【解析】選A.=1+2i,
z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i,
由z+a+b=0,得,即.
5.若復(fù)數(shù)z=+m 為純虛數(shù),則= 　　　　.
【解析】由題可知z=22+-12i+m=m-5-12i 為純虛數(shù),所以m=5 ,故=
==.
解題技法
解決復(fù)數(shù)概念問題的常用方法
(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部,只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為a,虛部為b.
(2)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件:①z=a+bi∈R b=0(a,b∈R);②z∈R z=;③z∈R z2≥0.
(3)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù) a=0且b≠0(a,b∈R);②z是純虛數(shù) z+=0(z≠0);③z是純虛數(shù) z2<0.
(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為=a-bi,則z·=|z|2=||2,即|z|=||=,若z∈R,則=z.
考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
[例1](1)(2023·石家莊模擬)(1+i3)(2-i)=(　　)
A.3-i　 B.3+i
C.1-3i　 D.1+3i
【解析】選C.(1+i3)(2-i)=(1-i)(2-i)=2-i-2i-1=1-3i.
(2) 設(shè)z=,則=(　　)
A.1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i
【解析】選B.由題意可得z=====1-2i,
則=1+2i.
(3)已知z=,則z-=(　　)
A.-i B.i C.0 D.1
【解析】選A.因?yàn)閦====-i,所以=i,z-=-i-i=-i.
(4)|2+i2+2i3|=(　　)
A.1 B. 2 C. D. 5
【解析】選C.由題意可得2+i2+2i3=2-1-2i=1-2i,
則|2+i2+2i3|=|1-2i|==.
(5)若復(fù)數(shù)z滿足i·z=3-4i,則|z|=(　　)
A.1 B.5 C.7 D.25
【解析】選B.由已知,得z==-4-3i,
所以|z|=5.
解題技法
復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略
(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法類似于多項(xiàng)式的運(yùn)算(注意:i2=-1),可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng),不含i的看作另一類同類項(xiàng),分別合并即可.
(2)復(fù)數(shù)的除法:除法的關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),使分母實(shí)數(shù)化.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2022·全國甲卷)若z=-1+i,則=(　　)
A.-1+i B.-1-i
C.-+i D.--i
【解析】選C.因?yàn)閦=-1+i,
所以z·=|z|2=()2=4,
則==-+i.
2.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,則z+=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解析】選D.由題設(shè)有1-z===-i,
故z=1+i,故z+=(1+i)+(1-i)=2.
3.(一題多法)(2023·忻州模擬)若復(fù)數(shù)z=(1+i)(1+3i),則|z|=(　　)
A.2　 B.4　 C.20　 D.32
【解析】選A.方法一:由題意可得z=(1+i)(1+3i)=1+3i+i+3i2=-2+4i,
則|z|==2.
方法二:|z|=|1+i||1+3i|=×=2.
4.已知a,b∈R,a+i與3+bi互為共軛復(fù)數(shù),則|a-bi|=(　　)
A.2　 B.3　
C.　 D.4
【解析】選C.因?yàn)閍+i與3+bi互為共軛復(fù)數(shù),所以a=3,b=-1,所以|a-bi|=|3+i|=.
【加練備選】
1.(2+2i)(1-2i)=(　　)
A.-2+4i B.-2-4i
C.6+2i D.6-2i
【解析】選D.(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i.
2.若z=1+i.則|iz+3|=(　　)
A.4 B.4 C.2 D.2
【解析】選D.因?yàn)閦=1+i,
所以iz+3=i+3=2-2i,
所以==2.
考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義
[例2](1)復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=i(2+i)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
【解析】選C.復(fù)數(shù)z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,
復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為=-1-2i,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2),在第三象限.
(2)(2023·唐山模擬)已知復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)滿足x+y=0,則實(shí)數(shù)a=(　　)
A.-1　 B.0　 C.1　 D.2
【解析】選B.由z===,
復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(,)滿足x+y=0,
則+=0,解得a=0.
(3)(2023·景德鎮(zhèn)模擬)已知i為虛數(shù)單位,且|z-2i|=1,則|z|的最大值是　　　　　 .
【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R),
由|z-2i|=1的幾何意義知:z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a,b)的軌跡是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓,
即a2+(b-2)2=1,
因?yàn)閨z|的幾何意義為點(diǎn)(a,b)到坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)的距離,
所以|z|max=+1=3.
3
解題技法
復(fù)數(shù)幾何意義的解題策略
(1)已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置求參數(shù)范圍,可依據(jù)點(diǎn)所在位置建立不等式求解.
(2)研究復(fù)數(shù)模的問題,可利用數(shù)形結(jié)合法,考慮模的幾何意義求解:①|(zhì)z-z0|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離;
②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
1.(2023·北京高考)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,),則z的共軛復(fù)數(shù)=(　　)
A.1+i　 B.1-i
C.-1+i　 D.-1-i
【解析】選D.因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,),所以z=-1+i,則z的共軛復(fù)數(shù)=-1-i.
2.若i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足|z|≤1,則|z-(1+i)|的最大值為(　　)
A.-1 B.
C.+1 D.2
【解析】選C.設(shè)z=x+yi,x,y∈R,
則x2+y2≤1,表示以(0,0)為圓心,1為半徑的圓上和圓內(nèi)的點(diǎn),
|z-(1+i)|=|x-1+(y-1)i|=,表示以(0,0)為圓心,以1為半徑的圓上和圓內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)(1,1)的距離,故|z-(1+i)|的最大值為+1=+1.
考點(diǎn)四復(fù)數(shù)與方程
[例3]已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有實(shí)根b,且z=a+bi,則復(fù)數(shù)z等于(　　)
A.2-2i　 B.2+2i
C.-2+2i　 D.-2-2i
【解析】選A.由b是方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)的實(shí)根可得b2+(4+i)b+4+ai=0,
整理可得:(b+a)i+(b2+4b+4)=0,
所以,解得,
所以z=2-2i.
解題技法
復(fù)數(shù)與方程的解題策略
(1)對(duì)實(shí)系數(shù)二次方程來說,求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系、判別式的功能沒有變化,仍然適用.
(2)對(duì)復(fù)系數(shù)(至少有一個(gè)系數(shù)為虛數(shù))方程來說,判別式判斷根的功能失去了,其他仍適用.
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
(多選題)若關(guān)于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有兩個(gè)不等復(fù)數(shù)根x1和x2,其中x1=-+i(i是虛數(shù)單位),則下面四個(gè)選項(xiàng)正確的有(　　)
A.m=1　 B.x1>x2 C.=1　 D.=
【解析】選ACD.由題可知,x1+x2=-1,所以x2=--i,m=x1x2=(-+i)(--i)=1,故A正確;x1,x2均為虛數(shù),不能比較大小,故B錯(cuò)誤;
==1,故C正確;
==-+i=,故D正確.
謝謝觀賞！！六章-第六節(jié)-復(fù)數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練
一、單項(xiàng)選擇題
1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1，)，則z的共軛復(fù)數(shù)＝(　　)
A．1＋i　　　　　　 B．1－i
C．－1＋i 　 D．－1－i
2．|2＋i2＋2i3|＝(　　)
A．1　　 B．2　
C．　　 D．5
3．已知復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虛數(shù)單位，若z－＝2i，則復(fù)數(shù)z的虛部為(　　)
A．　　　 　 B．2　　　
C．i　　　 　 D．2i
4．已知i是虛數(shù)單位，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為(　　)
A．i 　 B．－i
C．－1 　 D．1
5．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝|1＋i|，則z＝(　　)
A．i 　 B．i
C．－i 　 D．－i
6．已知復(fù)數(shù)z＝(1＋i)·(m－2i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　)
A．(2，＋∞) 　 B．(0，2)
C．(－2，2) 　 D．(－∞，－2)
二、多項(xiàng)選擇題
7．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2＋px＋2＝0的兩根為x1，x2，其中x1＝1＋i，則(　　)
A．p＝2 　 B．x2＝1－i
C．x1·＝－2i 　 D．＝i
8．下列結(jié)論正確的是(　　)
A．若復(fù)數(shù)z滿足z＋＝0，則z為純虛數(shù)
B．若復(fù)數(shù)z滿足∈R，則z∈R
C．若復(fù)數(shù)z滿足z2≥0，則z∈R
D．若復(fù)數(shù)z1，z2滿足＝0，則z1＝z2＝0
三、填空題
9．在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i，若點(diǎn)A關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為B，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為________．
10．已知復(fù)數(shù)z＝3－ai(i為虛數(shù)單位)滿足|－2|＜2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
11．如圖，正方形OABC中，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是3＋5i，則頂點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(　　)
A．－2＋8i
B．2－8i
C．－1＋7i
D．－2＋7i
12．棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(i為虛數(shù)單位)是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667－1754)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，已知復(fù)數(shù)ω＝cos ＋i·sin，則ω4的值是(　　)
A．－ω 　 B．
C．ω 　 D．
13．(多選)在代數(shù)史上，代數(shù)基本定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一，它說的是：任何一元n(n∈N*)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程f (x)＝0在復(fù)數(shù)集中有n個(gè)復(fù)數(shù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì))．在復(fù)數(shù)集范圍內(nèi)，若ω是x3＝1的一個(gè)根，則ω2＋ω＋1＝(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
14．(多選)(2024年1月九省聯(lián)考卷)已知復(fù)數(shù)z，w均不為0，則(　　)
A．z2＝|z|2 　 B．＝
C．＝ 　 D．＝
15．請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足①；②＝2的復(fù)數(shù)z，即z＝________．
16．(2023·上海春季高考)已知z1，z2∈C且z1＝i·，|z1－1|＝1，則|z1－z2|的取值范圍為________
參考答案
1．D　[∵在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(－1，), ∴z＝－1＋i，則z的共軛復(fù)數(shù)＝－1－i，故選D.]
2．C　[|2＋i2＋2i3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝.故選C.]
3．A　[z－＝2bi＝2i，解得b＝.故選A.]
4．D　[因?yàn)椋剑剑絠，
所以＝i2 024＝1．]
5．B　[因?yàn)閦(1＋i)＝|1＋i|，所以z＝＝＝(1－i)＝i.故選B.]
6．A　[z＝(1＋i)·(m－2i)＝m＋2＋(m－2)i，對(duì)應(yīng)點(diǎn)(m＋2，m－2)，由于點(diǎn)(m＋2，m－2)在第一象限，所以解得m>2.故選A.]
7．BD　[因?yàn)閤1＝1＋i且實(shí)系數(shù)一元二次方程x2＋px＋2＝0的兩根為x1，x2，所以x1x2＝2，可得x2＝＝＝1－i，故B正確；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A錯(cuò)誤；由＝1＋i，所以x1·＝(1＋i)2＝2i≠－2i，故C錯(cuò)誤；＝＝＝＝i，故D正確．故選BD.]
8．BC　[設(shè)復(fù)數(shù)z＝0，z＋＝0，z不為純虛數(shù)，A錯(cuò)誤；
設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi，則＝＝∈R，所以b＝0，即z∈R，B正確；
設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi，則z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，所以ab＝0且a2－b2≥0，所以b＝0，即z∈R，C正確；
設(shè)復(fù)數(shù)z1＝1，z2＝i，滿足＝0，但z1＝z2＝0不成立，D錯(cuò)誤．故選BC.]
9．－2＋i　[因?yàn)锳(－1，2)關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)B(－2，1)，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋i.]
10．(－)　[由題知，－2|＜2，所以|1＋ai|＜2，即12＋a2＜22，解得－＜a＜.]
11．A　[由題意得＝(3，5)，不妨設(shè)C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為a＋bi(a<0，b>0)，則＝(a，b)，由⊥，||＝||，得 即C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－5＋3i，由＝，得B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋5i)＋(－5＋3i)＝－2＋8i.故選A.]
12．C　[依題意知，ω＝cos＋i·sin＝－i，由棣莫弗公式，得ω4＝＝cos ＋i·sin ＝cos ＋i·sin ＝－cos ＋i·sin ＝－i，所以ω4＝ω.故選C.]
13．AD　[因?yàn)閤3＝1，所以x3－1＝0，即(x－1)(x2＋x＋1)＝0，所以x＝1或x＝.
即ω＝1或ω＝.
當(dāng)ω＝1時(shí)，ω2＋ω＋1＝3；當(dāng)ω＝時(shí)，ω2＋ω＋1＝0.故選AD.]
14．BCD　[設(shè)z＝a＋bi，w＝c＋di.
對(duì)A：因?yàn)閦＝a＋bi，則z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
|z|2＝＝a2＋b2，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B: ＝·z＝，即有＝，故B正確；
對(duì)C：z－w＝a＋bi－c－di＝a－c＋(b－d)i，則＝a－c－(b－d)i，
＝a－bi－c＋di＝a－c－(b－d)i，
即有，故C正確；
對(duì)D：＝＝
＝
＝
＝
＝
＝，
＝＝
＝
＝，
故＝，故D正確．
故選BCD.]
15．1＋i或－1－i(任選一個(gè)作答即可)　[設(shè)z＝a＋bi，a，b∈R，由條件①可以得到＝，兩邊平方化簡(jiǎn)可得a＝b，由＝2 a2＋b2＝2 a＝b＝±1，z＝±(1＋i)．]
[0，2＋]　[設(shè)z1－1＝cos θ＋isin θ，則z1＝1＋cos θ＋isin θ.因?yàn)閦1＝i·，所以z2＝sin θ＋i(cos θ＋1)，所以|z1－z2|＝＝＝，顯然當(dāng)sin ＝時(shí)，原式取最小值0，當(dāng)sin ＝－1時(shí)，原式取最大值2＋，故|z1－z2|的取值范圍為[0，2＋].

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