資源簡介

(共72張PPT)
第二節　二項式定理
目 錄
CONTENTS
1
2
3
知識 體系構建
課時 跟蹤檢測
考點 分類突破
PART
1
知識 體系構建
課前自修
　
1. （1＋ x ）10的展開式中 x 2的系數為（　　）
A. 1 B. 10
C. 45 D. 120
解析：　（1＋ x ）10的展開式的通項公式為 Tr ＋1＝ xr ，令 r ＝2
得 x 2的系數為 ＝45，故選C.
2. （2022·北京高考8題）若（2 x －1）4＝ a 4 x 4＋ a 3 x 3＋ a 2 x 2＋ a 1 x ＋
a 0，則 a 0＋ a 2＋ a 4＝（　　）
A. 40 B. 41
C. －40 D. －41
解析：　法一（賦值法）　依題意，令 x ＝1，可得1＝ a 4＋ a 3＋
a 2＋ a 1＋ a 0，令 x ＝－1，可得81＝ a 4－ a 3＋ a 2－ a 1＋ a 0，以上兩式
相加可得82＝2（ a 4＋ a 2＋ a 0），所以 a 0＋ a 2＋ a 4＝41，故選B.
法二（通項公式法）　二項式（2 x －1）4的通項為 Tr ＋1＝ （2
x ）4－ r （－1） r ，分別令 r ＝4，2，0，可分別得 a 0＝1， a 2＝24，
a 4＝16，所以 a 0＋ a 2＋ a 4＝41，故選B.
3. （2024·宜賓模擬）在二項式（ x 2－ ） n 的展開式中，二項式系數
的和是32，則展開式中各項系數的和為（　　）
A. －32 B. －1
C. 1 D. 32
解析：　∵二項式系數的和是32，則2 n ＝32，∴ n ＝5，令 x ＝1，
則展開式中各項系數的和為（－1）5＝－1，故選B.
4. （ ）9的展開式中常數項為 .（用數字作答）
解析：根據通項公式 Tk ＋1＝ （ ）9－ k （－ ） k ＝（－1） k
，令 ＝0，解得 k ＝6，所以 T 7＝（－1）6 ＝84.
84
1. 若二項展開式的通項為 Tr ＋1＝ g （ r ）· xh （ r ）（ r ＝0，1，2，…，
n ）， g （ r ）≠0，則：
（1） h （ r ）＝0 Tr ＋1是常數項；
（2） h （ r ）是非負整數 Tr ＋1是整式項；
（3） h （ r ）是負整數 Tr ＋1是分式項；
（4） h （ r ）是整數 Tr ＋1是有理項.
2. 常用公式
（1） ＋…＋ ＝2 n ；
（2） ＋…＝ ＋…＝2 n －1.
1. 二項式（ x ＋ ） n （ n ∈N*）的展開式中只有一項的系數為有
理數，則 n 的可能取值為（　　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析：　 · · · ，由結論1可知： n － r 是2的倍
數， r 是3的倍數， n ＝7， r ＝3符合題意，故選B.
2. 已知 ＋2 ＋22 ＋23 ＋…＋2 n ＝243，則
＋…＋ ＝ .
解析：逆用二項式定理得 ＋2 ＋22 ＋23 ＋…＋2 n ＝
（1＋2） n ＝243，3 n ＝35，所以 n ＝5，由結論2得，
＋…＋ ＝25－1＝31.
31
PART
2
考點 分類突破
精選考點 典例研析 技法重悟通
課堂演練
1. （2 x － ）5的展開式中 x 的系數是（　　）
A. －40 B. 40
C. －80 D. 80
解析：　（2 x － ）5展開式的通項公式為 Tr ＋1＝ （2 x ）5－ r
（－ ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5－2 r
＝1，可得 r ＝2.即含 x 的項為第3項，∴ T 3＝80 x ，故 x 的系數為80.
故選D.
二項式中的特定項及系數問題
2. （ ）30的展開式中無理項的項數為（　　）
A. 27 B. 24
C. 26 D. 25
解析：　（ ）30展開式的通項為 Tr ＋1＝ ·（ ）30－
r ·（ ） r ＝ · ， r ＝0，1，2，…，30，若 x 的指數15－
r 為整數，則 r 是6的倍數，所以當 r ＝0，6，12，18，24，30時為有
理項，共6項，故無理項的項數為31－6＝25，故選D.
3. 的展開式中常數項是 （用數字作答）.
解析：（ x 2＋ ）6展開式的通項 Tr ＋1＝C （ x 2）6－ r ·（ ） r ＝
2 rx 12－3 r ，令12－3 r ＝0，解得 r ＝4，所以常數項為 24＝240.
240
練后悟通
求二項展開式中特定項的策略
　　求二項展開式的特定項問題，實質是考查通項 Tk ＋1＝ an － kbk
的特點，一般需要建立方程求 k ，再將 k 的值代回通項求解，注意 k 的
取值范圍（ k ＝0，1，2，…， n ）.
提醒　兩類系數的區別：二項式系數是指 ， ，…， ，它只與
各項的項數有關，而與 a ， b 的值無關；項的系數是指該項中除變量
外的常數部分，與各項的項數有關，也與 a ， b 的值有關.
二項式系數的性質與各項系數的和
考向1　二項展開式中的系數和問題
【例1】　（1）（2024·惠州一模）已知（2 x －1）5＝ a 5 x 5＋ a 4 x 4＋ a
3 x 3＋ a 2 x 2＋ a 1 x ＋ a 0，則｜ a 0｜＋｜ a 1｜＋…＋｜ a 5｜＝（　　）
A. 1 B. 243
C. 121 D. 122
解析：令 x ＝1，得 a 5＋ a 4＋ a 3＋ a 2＋ a 1＋ a 0＝1，①.
令 x ＝－1，得－ a 5＋ a 4－ a 3＋ a 2－ a 1＋ a 0＝－243，②.
①＋②，得2（ a 4＋ a 2＋ a 0）＝－242，即 a 4＋ a 2＋ a 0＝－121.
①－②，得2（ a 5＋ a 3＋ a 1）＝244，即 a 5＋ a 3＋ a 1＝122.所
以｜ a 0｜＋｜ a 1｜＋…＋｜ a 5｜＝122＋121＝243.
（2）在（2 x －3 y ）10的展開式中，奇數項系數的和為 .

解析：設（2 x －3 y ）10＝ a 0 x 10＋ a 1 x 9 y ＋ a 2 x 8 y 2＋…＋ a 10 y
10，令 x ＝ y ＝1，得 a 0＋ a 1＋ a 2＋…＋ a 10＝1，①.令 x ＝1， y
＝－1得 a 0－ a 1＋ a 2－ a 3＋…＋ a 10＝510，②.①＋②得2（ a 0＋
a 2＋…＋ a 10）＝1＋510，所以奇數項的系數和為 .
解題技法
賦值法的應用
（1）對形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N*）的式子求其展開式的各項系數之和，只
需令 x ＝1即可；
（3）一般地，若 f （ x ）＝ a 0＋ a 1 x ＋ a 2 x 2＋…＋ anxn ，則 f （ x ）展
開式中各項系數之和為 f （1），奇數項系數之和為 a 0＋ a 2＋ a 4
＋…＝ ，偶數項系數之和為 a 1＋ a 3＋ a 5＋…＝
.
（2）對形如（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展開式
各項系數之和，只需令 x ＝ y ＝1即可；
考向2　系數的最值問題
【例2】　在（ x － ） n 的展開式中，只有第5項的二項式系數最
大，則展開式中系數最小的項的系數為（　　）
A. －126 B. －70
C. －56 D. －28
解析：　∵只有第5項的二項式系數最大，∴ n ＝8，（ x － ） n 的
展開式的通項為 Tk ＋1＝（－1） k （ k ＝0，1，2，…，8），
∴展開式中奇數項的二項式系數與相應奇數項的系數相等，偶數項的
二項式系數與相應偶數項的系數互為相反數，而展開式中第5項的二
項式系數最大，因此展開式中第4項和第6項的系數相等且最小，為
（－1）3 ＝－56.
解題技法
1. 求二項式系數最大項
（1）如果 n 是偶數，那么中間一項（第 ＋1項）的二項式系數最
大，最大值為 ；
（2）如果 n 是奇數，那么中間兩項（第 項與第 ＋1項）的二
項式系數相等且最大，最大值為 或 .
2. 求展開式系數最大項
求（ a ＋ bx ） n （ a ， b ∈R）的展開式中系數最大的項，一般是采
用待定系數法，設展開式各項系數分別為 A 1， A 2，…， An ＋1，且
第 k 項系數最大，應用解出 k .
1. （多選）在（ － x ）6的展開式中，下列說法正確的是（　　）
A. 常數項為160
B. 第4項的二項式系數最大
C. 第3項的系數最大
D. 所有項的系數和為64
解析：　展開式的通項為 ·（ ）6－ k ·（－ x ） k ＝26－ k
（－1） k · x 2 k －6，由2 k －6＝0，得 k ＝3，所以常數項為23（－
1）3 ＝－160，A錯誤；展開式共有7項，所以第4項的二項式系
數最大，B正確；第3項的系數最大，C正確；令 x ＝1，得（ －1）
6＝1，所有項的系數和為1，D錯誤.
2. 設 m 為正整數，（ x ＋ y ）2 m 展開式的二項式系數的最大值為 a ，
（ x ＋ y ）2 m ＋1展開式的二項式系數的最大值為 b ，若13 a ＝7 b ，則
m ＝ .
解析：根據二項式系數的性質，知（ x ＋ y ）2 m 展開式中二項式系
數的最大值為 ，而（ x ＋ y ）2 m ＋1展開式中二項式系數的最大
值為 ，則 ＝ a ， ＝ b .又13 a ＝7 b ，所以13 ＝7
，即13× ＝7× ，解得 m ＝6.
6
多項式展開式中特定項（系數）問題
考向1　幾個多項式和的展開式中特定項（系數）問題
【例3】　在1＋（1＋ x ）＋（1＋ x ）2＋（1＋ x ）3＋（1＋ x ）4＋（1
＋ x ）5＋（1＋ x ）6的展開式中，含 x 3項的系數是（　　）
A. 25 B. 30
C. 35 D. 40
解析：　法一　（1＋ x ） n 的通項公式為 Tr ＋1＝ xr ，當 n 依次取
3，4，5，6， r 取3得到含 x 3的系數為 ＝35.
法二　多項式可化為 ，二項式（ x ＋1）7的通
項公式為 Tr ＋1＝ x 7－ r ，令7－ r ＝4 r ＝3，含 x 3項的系數為 ＝
35.故選C.
解題技法
　　對于幾個二項式和的展開式中的特定項（系數）問題，只需依據
二項展開式的通項，從每一個二項式中分別得到特定的項，再求和即
可.也可以先對二項式求和，化簡后再依據通項公式確定特定項（系
數）.
考向2　幾個多項式積的展開式中特定項（系數）問題
【例4】　（2022·新高考Ⅰ卷13題） （ x ＋ y ）8的展開式中 x 2 y
6的系數為 （用數字作答）.
解析：（ x ＋ y ）8展開式的通項 Tr ＋1＝ x 8－ ryr ， r ＝0，1，…，7，
8.令 r ＝6，得 T 6＋1＝ x 2 y 6，令 r ＝5，得 T 5＋1＝ x 3 y 5，所以
（ x ＋ y ）8的展開式中 x 2 y 6的系數為 ＝－28.
－28
解題技法
　　對于幾個多項式積的展開式中的特定項（系數）問題，一般都可
以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分
類方法，以免重復或遺漏.
考向3　三項式展開式中特定項（系數）問題
【例5】　（ x －3 y ＋2）5的展開式中，常數項為 ，所有不含字
母 x 的項的系數之和為 .
解析：由多項式知常數項為25＝32.令 x ＝0， y ＝1，即得所有不含字
母 x 的項的系數之和，所以所求系數之和為（0－3×1＋2）5＝（－1）
5＝－1.
32
－1
解題技法
（ a ＋ b ＋ c ） n 展開式中特定項的求解方法
1. （ x ＋ y ）5的展開式中 x 3 y 3的系數為（　　）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
解析：　因為（ x ＋ y ）5的展開式的第 r ＋1項 Tr ＋1＝ x 5－
ryr ，所以 （ x ＋ y ）5的展開式中 x 3 y 3的系數為
＝15.故選C.
2. （ x 2－ ＋ y ）6的展開式中， x 3 y 3的系數是 .（用數
字作答）
解析：（ x 2－ ＋ y ）6表示6個因式 x 2－ ＋ y 的乘積，在這6個因式
中，有3個因式選 y ，其余的3個因式中有2個選 x 2，剩下一個選－
，即可得到 x 3 y 3的系數，即 x 3 y 3的系數是 ×（－2）＝
20×3×（－2）＝－120.
－120
3. （2021·浙江高考13題）已知多項式（ x －1）3＋（ x ＋1）4＝ x 4＋ a
1 x 3＋ a 2 x 2＋ a 3 x ＋ a 4，則 a 1＝ ； a 2＋ a 3＋ a 4＝ .
解析：（ x －1）3展開式的通項 Tr ＋1＝ x 3－ r ·（－1） r ，（ x ＋
1）4展開式的通項 Tk ＋1＝ x 4－ k ，則 a 1＝ ＝1＋4＝5； a 2
＝ （－1）1＋ ＝3； a 3＝ （－1）2＋ ＝7； a 4＝ （－
1）3＋ ＝0.所以 a 2＋ a 3＋ a 4＝3＋7＋0＝10.
5
10
PART
3
課時 跟蹤檢測
關鍵能力 分層施練 素養重提升
課后練習
1. （2024·棗莊模擬）在（2 x ＋ ）6的展開式中，含 x 4項的系數為
（　　）
A. 160 B. 192
C. 184 D. 186
解析：　二項式（2 x ＋ ）6的展開式的通項是 Tr ＋1＝ （2 x ）6
－ r （ ） r ＝ 26－ rx 6－2 r ，當 r ＝1時， T 2＝ ×25× x 4＝192 x 4，含
x 4項的系數為192.故選B.
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2. （2024·益陽模擬）設（1＋2 x ） n ＝ a 0＋ a 1 x ＋ a 2 x 2＋…＋ anxn ，
若 a 3＝2 a 2，則 n ＝（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析：　二項式（1＋2 x ） n 的展開式的通項為 Tr ＋1＝ 1 n － r （2
x ） r ＝ 2 rxr ，所以 a 2＝ 22， a 3＝ 23，又 a 3＝2 a 2，所以
23＝2× 22，所以 n ＝5，故選B.
3. 已知（1＋2 x ） n （ n ∈N*）的展開式中第4項與第6項的二項式系數
相等，則（1＋2 x ） n 的展開式的各項系數和為（　　）
A. 38 B. 310
C. 28 D. 210
解析：　由題知 ，由組合數性質得 n ＝8，則（1＋2 x ） n
＝（1＋2 x ）8.令 x ＝1，則（1＋2 x ）8的展開式各項系數和為38.
4. （2＋ ）（1＋ x ）6的展開式中含 x 2的項的系數為（　　）
A. 55 B. 50
C. 135 D. 270
解析：　（1＋ x ）6的展開式的通項為 Tk ＋1＝ · xk ，令 k ＝3，則
T 4＝ · x 3＝20 x 3，令 k ＝2，則 T 3＝ · x 2＝15 x 2，所以（2＋ ）
（1＋ x ）6的展開式中含 x 2的項的系數為20＋2×15＝50.故選B.
5. 已知（1－ ） n 的展開式中所有項的系數和等于 ，則展開式中項
的系數的最大值是（　　）
A. B.
C. 7 D. 70
解析：　令 x ＝1得，（1－ ） n ＝ ，∴ n ＝8，∴（1－ ）8的
展開式的通項公式為 Tr ＋1＝ （－ ） r ，要求展開式中項的系數
的最大值，則 r 必為偶數，∴ T 1＝ （－ ）0＝1， T 3＝ （－
）2＝7 x 2， T 5＝ （－ ）4＝ x 4， T 7＝ （－ ）6＝ x 6， T
9＝ （－ ）8＝ x 8，故選C.
6. （多選）已知（ x －1）5＝ a 0＋ a 1（ x ＋1）＋ a 2（ x ＋1）2＋…＋ a
5（ x ＋1）5，則（　　）
A. a 0＝－32 B. a 2＝－80
C. a 3＋4 a 4＝0 D. a 0＋ a 1＋…＋ a 5＝1
解析：　令 x ＝－1得（－1－1）5＝ a 0，即 a 0＝－32，故
A正確.令 x ＝0得（－1）5＝ a 0＋ a 1＋…＋ a 5，即 a 0＋ a 1＋…
＋ a 5＝－1，故D不正確.令 x ＋1＝ y ，則（ x －1）5＝ a 0＋ a 1
（ x ＋1）＋ a 2（ x ＋1）2＋…＋ a 5（ x ＋1）5就變為（ y －2）5
＝ a 0＋ a 1 y ＋ a 2 y 2＋…＋ a 5 y 5，根據二項式定理知， a 2即二
項式（ y －2）5展開式中 y 2項的系數， y 5－ k （－2）
k ，故 a 2＝ （－2）3＝－80，故B正確. a 4＝ （－2）1＝－
10， a 3＝ （－2）2＝40，故C正確.
7. 在（ x 2＋2 x ＋ y ）5的展開式中， x 5 y 2的系數為 .
解析：（ x 2＋2 x ＋ y ）5＝[（ x 2＋2 x ）＋ y ]5，由通項公式可得
（ x 2＋2 x ）5－ kyk ，∵要求 x 5 y 2的系數，故 k ＝2，此時
（ x 2＋2 x ）3＝ x 3·（ x ＋2）3，其對應 x 5的系數為 ×21＝6.∴ x 5 y 2
的系數為 ×6＝60.
60
8. 在①只有第6項的二項式系數最大，②第4項與第8項的二項式系數
相等，③所有二項式系數的和為210，這三個條件中任選一個，補充
在下面（橫線處）問題中，并解決問題.
已知（2 x －1） n ＝ a 0＋ a 1 x 1＋ a 2 x 2＋ a 3 x 3＋…＋ anxn （ n ∈N*），
若（2 x －1） n 的展開式中， 　　　　.
（1）求 n 的值；
解：選擇條件①：若（2 x －1） n 的展開式中只有第6項
的二項式系數最大，則 ＝5.所以 n ＝10.
選擇條件②：若（2 x －1） n 的展開式中第4項與第8項的二項
式系數相等，則 .所以 n ＝10.
選擇條件③：若（2 x －1） n 的展開式中所有二項式系數的和
為210，則2 n ＝210.所以 n ＝10.
解：由（1）知 n ＝10，則（2 x －1）10＝ a 0＋ a 1 x 1＋ a 2 x 2＋ a
3 x 3＋…＋ a 10 x 10，
令 x ＝0，則 a 0＝1，令 x ＝－1，則310＝ a 0－ a 1＋ a 2－ a 3＋…＋ a 10
＝1＋｜ a 1｜＋｜ a 2｜＋｜ a 3｜＋…＋｜ a 10｜，
所以｜ a 1｜＋｜ a 2｜＋｜ a 3｜＋…＋｜ a 10｜＝310－1.
（2）求｜ a 1｜＋｜ a 2｜＋｜ a 3｜＋…＋｜ an ｜的值.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
9. 如果今天是星期三，經過7天后還是星期三，那么經過82 023天后是
（　　）
A. 星期二 B. 星期三
C. 星期四 D. 星期五
解析：　82 023＝（1＋7）2 023＝ 70＋ 7＋ 72＋…
＋ 72 023，則82 023除以7的余數為1，所以是星期四.
10. 已知函數 f （ x ）＝ x ＋ x 3＋ x 5＋…＋ xk ＋…
＋ xn （ k ， n 為正奇數），f'（ x ）是 f （ x ）的導函數，則f'
（1）＋ f （0）＝（　　）
A. 2 n B. 2 n －1
C. 2 n ＋1 D. 2 n －1＋1
解析：　因為 f （ x ）＝ x ＋ x 3＋ x 5＋…＋ xk
＋…＋ xn ，令 x ＝0，則 f （0）＝ ＝1，由于f'（ x ）＝
x 2＋ x 4＋…＋ xk －1＋…＋ xn －1，令 x ＝1，則f'（1）＝
＋…＋ ＋…＋ ＝2 n －1，所以f'（1）＋ f （0）＝
2 n －1＋1.故選D.
11. （多選）若（1＋ x ）＋（1＋ x ）2＋…＋（1＋ x ） n ＝ a 0＋ a 1 x ＋
a 2 x 2＋…＋ anxn ，且 a 1＋ a 2＋…＋ an －1＝125－ n ，則下列結論正
確的是（　　）
A. n ＝6
B. a 1＝21
C. （1＋2 x ） n 展開式中二項式系數和為729
D. a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋ nan ＝321
解析：　對于A，因為（1＋ x ）＋（1＋ x ）2＋…＋（1＋ x ）
n ＝ a 0＋ a 1 x ＋ a 2 x 2＋…＋ anxn ，令 x ＝1，得2＋22＋…＋2 n ＝ a 0
＋ a 1＋ a 2＋…＋ an ＝ ＝2 n ＋1－2，令 x ＝0，得 n ＝ a 0，
因為（1＋ x ） n 中 xn 項為 xn ＝ xn ，所以 an ＝1，所以 a 1＋ a 2
＋…＋ an －1＝2 n ＋1－2－ n －1＝125－ n ，解得 n ＝6，故A正確；
對于B， a 1＝1＋ ＝21，故B正確；對于C，
（1＋2 x ）6展開式中二項式系數和為26＝64，故C錯誤；
對于D，令 f （ x ）＝（1＋ x ）＋（1＋ x ）2＋…＋（1＋ x ）6＝ a 0＋ a
1 x ＋ a 2 x 2＋…＋ a 6 x 6，f'（ x ）＝1＋2（ x ＋1）＋…＋6（ x ＋1）5＝ a
1＋2 a 2 x ＋…＋6 a 6 x 5，令 x ＝1得f'（1）＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋
5×24＋6×25＝ a 1＋2 a 2＋3 a 3＋4 a 4＋5 a 5＋6 a 6＝321，故D正確.
12. 已知（ x ） n （ n ∈N*，1≤ n ≤12）的展開式中有且僅有
兩項的系數為有理數，試寫出符合題意的一個 n 的值為
.
解析：（ x ） n 的展開式的通項為 Tr ＋1＝ ·（ ） n －
r ·（ ） rxr ， r ≤ n ， r ∈N. 若系數為有理數，則 ∈Z，且
∈Z. 當 n ＝3時 r ＝0； n ＝4時 r ＝4； n ＝5時 r ＝2； n ＝6時 r ＝0，
6； n ＝7時 r ＝4； n ＝8時 r ＝2，8； n ＝9時 r ＝0，6； n ＝10時 r
＝4，10； n ＝11時 r ＝2，8； n ＝12時 r ＝0，6，12.所以 n 可取6，
8，9，10，11中的任意一個值.
6（答案
不唯一， n 取6，8，9，10，11中任意一個值均可）
13. 設（ x 2＋1）（4 x －3）8＝ a 0＋ a 1（2 x －1）＋ a 2（2 x －1）2＋…
＋ a 10（2 x －1）10，則 a 1＋ a 2＋…＋ a 10＝ .
解析：令 x ＝ ，得 a 0＝［（ ）2＋1］×（4× －3）8＝ ，令 x
＝1，得 a 0＋ a 1＋ a 2＋…＋ a 10＝（12＋1）×（4×1－3）8＝2，所
以 a 1＋ a 2＋…＋ a 10＝ a 0＋ a 1＋ a 2＋…＋ a 10－ a 0＝2－ .

14. 若（ ） n 的展開式中沒有比第10項的二項式系數更大的
項，求其第5項.
解：依題意，（ ） n 的展開式的通項為 Tk ＋1＝ ）
n － k （ ） k ，當 n 為偶數時，只有第10項的二項式系數最大，即 ＋1＝10，則 n ＝18，此時 T 5＝ ）18－4·（ ）4＝3 060 x 4.
當 n 為奇數時，第10，11項的二項式系數最大或第9，10項的二項
式系數最大，即 ＝10或 ＝9，解得 n ＝19或 n ＝17.
當 n ＝19時， T 5＝ ）19－4·（ ）4＝3 876 ；
當 n ＝17時， T 5＝ ）17－4（ ）4＝2 380 .
綜上，當 n ＝18時，第5項為3 060 x 4；當 n ＝19時，第5項為3 876
；當 n ＝17時，第5項為2 380 .
15. 已知 Sn 是數列{ an }的前 n 項和，若（1－2 x ）2 024＝ b 0＋ b 1 x ＋ b 2 x
2＋…＋ b 2 024 x 2 024，數列{ an }的首項 a 1＝ ＋…＋
＝ Sn · ，則 S 2 024＝（　　）
A. － B. C. 2 024 D. －2 024
解析：　令 x ＝ ，得（1－2× ）2 024＝ b 0＋ ＋…＋
＝0.令 x ＝0，得 b 0＝1，所以 a 1＝ ＋…＋ ＝－1.由 an ＋
1＝ SnSn ＋1＝ Sn ＋1－ Sn ，得 ＝1，所以
＝－1，所以數列{ }是首項為 ＝－1，公差為－1的等差數列，
所以 ＝－1＋（ n －1）·（－1）＝－ n ，所以 Sn ＝－ ，所以 S 2
024＝－ .
16. 已知函數 f （ x ）＝（1＋ x ） n ＋2（1＋ x ） n ＋1＋…＋ m （1＋ x ） n
＋ m －1，其中 m ， n ∈N*， m ＜ n .
（1）求函數 f （ x ）中含 xn 項的系數；
解：由二項式定理知，函數 f （ x ）中含有 xn 項的系數
為 ＋2 ＋3 ＋…＋ m .
（2）求證： ＋2 ＋3 ＋…＋ m
.
解：證明：函數 f （ x ）＝（1＋ x ） n ＋2（1＋ x ） n ＋1＋…＋
m （1＋ x ） n ＋ m －1，　①
則由（1）知，函數 f （ x ）中含 xn 項的系數為 ＋2 ＋3
＋…＋ m .
又因為（1＋ x ） f （ x ）＝（1＋ x ） n ＋1＋2（1＋ x ） n ＋2＋…＋
（ m －1）（1＋ x ） n ＋ m －1＋ m （1＋ x ） n ＋ m ，　②
①－②得－ xf （ x ）＝（1＋ x ） n ＋（1＋ x ） n ＋1＋…＋（1＋ x ） n
＋ m －1－ m （1＋ x ） n ＋ m ＝ － m （1＋
x ） n ＋ m ＝ ，
即 f （ x ）＝ .
函數 f （ x ）中含 xn 項的系數即為多項式（ mx －1）·（1＋ x ） n ＋ m
＋（1＋ x ） n 中含 xn ＋2項的系數，為 m ，
所以 ＋2 ＋3 ＋…＋ m ＝ m ＝ m
＝ m · ＝ m ＝（ m － ） .
感 謝 觀 看!2025年高考數學一輪復習-9.2-二項式定理
[考試要求]　能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．
1．二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝___________________________(n∈N＊)；
(2)通項公式：Tk＋1＝an－kbk，0≤k≤n，k，n∈Z，它表示展開式的第______項；
(3)二項式系數：二項展開式中各項的系數為.
提醒：(a＋b)n的展開式與(b＋a)n的展開式的項完全相同，但對應的項不相同，而且兩個展開式的通項不同．
2．二項式系數的性質
(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數____．
(2)增減性與最大值：當n是偶數時，中間的一項取得最大值；當n是奇數時，中間的兩項與相等，且同時取得最大值．
(3)各二項式系數的和：(a＋b)n的展開式的各二項式系數的和為＝____．
[常用結論]
．＋…＝＋…＝2n-1.
．＝.
一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
an－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項． (　　)
(2)二項展開式中，系數最大的項為中間一項或中間兩項． (　　)
(3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數與a，b無關． (　　)
(4)通項Tk＋1＝an－kbk中的a和b不能互換． (　　)
二、教材經典衍生
1．(人教A版選擇性必修第三冊P30例2改編)(1－2x)4展開式中第3項的二項式系數為(　　)
A．6　　 B．－6　
C．24　　 D．－24
2．(人教A版選擇性必修第三冊P34習題6.3T5(3)改編)的展開式的中間項為(　　)
A．－40 　 B．－40x2
C．40 　 D．40x2
3．(人教A版選擇性必修第三冊P35習題6.3T8改編)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，那么此展開式中二項式系數最大的項為(　　)
A．252x3 　 B．210x4
C．252x5 　 D．210x6
4．(人教A版選擇性必修第三冊P34習題6.3T2改編)(x＋1)5(x－2)的展開式中x2的系數為________．
考點一　二項展開式的通項公式的應用
　形如(a＋b)n的展開式問題
[典例1]　(1)(2023·北京高考)的展開式中，x的系數是(　　)
A．－40　 　B．40　 　C．－80　 　D．80
(2)在二項式(＋x)9的展開式中，常數項是________；系數為有理數的項的個數是________．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題
[典例2]　(1)(2024·廣東佛山開學考試)在(x＋1)·(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展開式中，含x3的項的系數是(　　)
A．－23 　 B．－3
C．3 　 D．15
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展開式中x2y6的系數為______．(用數字作答)
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　形如(a＋b＋c)n的展開式問題
[典例3]　(2024·河北滄州模擬)(x2－x＋y)5的展開式中x5y2的系數為(　　)
A．－10 　 B．10
C．－30 　 D．30
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　幾種求展開式特定項的解法
(1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等)，解出項數k＋1，代回通項即可．
(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏．
(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決或從組合角度求特定項．
[跟進訓練]
1．(1)(2024·廣東揭陽開學考試)已知(ax－2)(x＋1)4的展開式中x3的系數為－2，則實數a的值為(　　)
A．2 　 B．－1
C．1 　 D．－2
(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數是(　　)
A．60 　 B．80
C．84 　 D．120
(3)(1＋2x－3x2)5的展開式中x5的系數為______________．
考點二　二項式系數與項的系數問題
　二項式系數和與系數和
[典例4]　(1)(多選)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，下列命題正確的是(　　)
A．展開式中所有項的二項式系數和為22 023
B．展開式中所有偶數項系數的和為
C．展開式中所有奇數項系數的和為
D．＋…＋＝－1
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數m的值為________．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二項式系數的性質
[典例5]　若(mx－1)n(n∈N*)的展開式中，所有項的系數和與二項式系數和相等，且第6項的二項式系數最大，則有序實數對(m，n)共有________組不同的解．
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　賦值法的應用
(1)在二項式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xk＋…＋xn.
(2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則
①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
②奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝.
③偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
提醒：①注意項的系數與二項式系數的區別；②理解奇數項與偶數項，奇次冪與偶次冪．
[跟進訓練]
2．(1)(多選)在二項式的展開式中，下列說法正確的是(　　)
A．常數項是
B．各項的系數和是64
C．第4項的二項式系數最大
D．奇數項的二項式系數和為－32
(2)(2024·廣東廣州模擬)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，則a2＋a4＋a6＝________．
考點三　二項式定理的應用
[典例6]　(1)設a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，則a等于(　　)
A．0 　 B．1
C．11 　 D．12
(2)1.026的近似值(精確到0.01)為(　　)
A．1.12 　 B．1.13
C．1.14 　 D．1.20
[聽課記錄]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　二項式定理應用的題型及解法
(1)在證明整除問題或求余數問題時要進行合理的變形，使被除式(數)展開后的每一項都含有除式的因式．
(2)二項式定理的一個重要用途是做近似計算：當n不很大，|x|比較小時，(1＋x)n≈1＋nx.
[跟進訓練]
(2024·華中師大一附中模擬)組合數被9除的余數是________．
參考答案與解析
[考試要求]　能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．
1．二項式定理
(1)二項式定理：(a＋b)n＝an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N＊)；
(2)通項公式：Tk＋1＝an－kbk，0≤k≤n，k，n∈Z，它表示展開式的第k＋1項；
(3)二項式系數：二項展開式中各項的系數為.
提醒：(a＋b)n的展開式與(b＋a)n的展開式的項完全相同，但對應的項不相同，而且兩個展開式的通項不同．
2．二項式系數的性質
(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．
(2)增減性與最大值：當n是偶數時，中間的一項取得最大值；當n是奇數時，中間的兩項與相等，且同時取得最大值．
(3)各二項式系數的和：(a＋b)n的展開式的各二項式系數的和為＝2n．
[常用結論]
．＋…＝＋…＝2n-1.
．＝.
一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
an－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項． (　　)
(2)二項展開式中，系數最大的項為中間一項或中間兩項． (　　)
(3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數與a，b無關． (　　)
(4)通項Tk＋1＝an－kbk中的a和b不能互換． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材經典衍生
1．(人教A版選擇性必修第三冊P30例2改編)(1－2x)4展開式中第3項的二項式系數為(　　)
A．6　　 B．－6　
C．24　　 D．－24
A　[(1－2x)4展開式中第3項的二項式系數為＝6.故選A.]
2．(人教A版選擇性必修第三冊P34習題6.3T5(3)改編)的展開式的中間項為(　　)
A．－40 　 B．－40x2
C．40 　 D．40x2
B　[的展開式的中間項為(2x)3·＝－40x2.故選B.]
3．(人教A版選擇性必修第三冊P35習題6.3T8改編)已知(1＋x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數相等，那么此展開式中二項式系數最大的項為(　　)
A．252x3 　 B．210x4
C．252x5 　 D．210x6
C　[由題意可得，二項式的展開式滿足Tk＋1＝xk，且有＝，因此n＝10.故二項式系數最大的項為x5＝252x5.故選C.]
4．(人教A版選擇性必修第三冊P34習題6.3T2改編)(x＋1)5(x－2)的展開式中x2的系數為________．
－15　[(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展開式中含有x2的項為5x2－20x2＝－15x2.
故x2的系數為－15．]
考點一　二項展開式的通項公式的應用
　形如(a＋b)n的展開式問題
[典例1]　(1)(2023·北京高考)的展開式中，x的系數是(　　)
A．－40　 　B．40　 　C．－80　 　D．80
(2)在二項式(＋x)9的展開式中，常數項是________；系數為有理數的項的個數是________．
(1)D　(2)16　5　[(1)由二項式定理可知展開式的第k＋1項，
Tk＋1＝(2x)5-k＝x5-2k(k＝0，1，…，5)，令5－2k＝1，可得k＝2．即含x的項為第3項，
所以T3＝80x，故x的系數為80.故選D.
(2)由題意，(＋x)9的通項為Tk＋1＝)9-kxk(k＝0，1，2，…，9)，當k＝0時，可得常數項為T1＝)9＝16；若展開式的系數為有理數，則k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10共5個項．]
　形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題
[典例2]　(1)(2024·廣東佛山開學考試)在(x＋1)·(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展開式中，含x3的項的系數是(　　)
A．－23 　 B．－3
C．3 　 D．15
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展開式中x2y6的系數為______．(用數字作答)
(1)A　(2)－28　[(1)由組合知識可知，含x3的求解，需要從5個因式中，3個因式選擇x，2個因式選擇常數，則含x3的項的系數是(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23.故選A.
(2)因為(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，
所以(x＋y)8的展開式中含x2y6的項為x2y6－x3y5＝－28x2y6，
所以(x＋y)8的展開式中x2y6的系數為－28．]
　形如(a＋b＋c)n的展開式問題
[典例3]　(2024·河北滄州模擬)(x2－x＋y)5的展開式中x5y2的系數為(　　)
A．－10 　 B．10
C．－30 　 D．30
C　[(x2－x＋y)5表示5個因式x2－x＋y的乘積，在這5個因式中，有2個因式選y，其余的3個因式中有2個選x2，剩下一個選－x，即可得到x5y2的系數，所以展開式中含x5y2的項為(x2)2×(－x)＝－30x5y2，故展開式中x5y2的系數為－30.故選C.]
　幾種求展開式特定項的解法
(1)求二項展開式中的特定項，一般是化簡通項后，令字母的指數符合要求(求常數項時，指數為零；求有理項時，指數為整數等)，解出項數k＋1，代回通項即可．
(2)對于幾個多項式積的展開式中的特定項問題，一般都可以根據因式連乘的規律，結合組合思想求解，但要注意適當地運用分類方法，以免重復或遺漏．
(3)對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決或從組合角度求特定項．
[跟進訓練]
1．(1)(2024·廣東揭陽開學考試)已知(ax－2)(x＋1)4的展開式中x3的系數為－2，則實數a的值為(　　)
A．2 　 B．－1
C．1 　 D．－2
(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數是(　　)
A．60 　 B．80
C．84 　 D．120
(3)(1＋2x－3x2)5的展開式中x5的系數為______________．
(1)C　(2)D　(3)92　[(1)(x＋1)4的展開式中x2的系數為＝6，x3的系數為＝4，所以(ax－2)·(x＋1)4的展開式中x3的系數為6a－2×4＝6a－8，依題意得6a－8＝－2，得a＝1.故選C.
(2)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝＝，
所以x2的系數為＝120.故選D.
(3)法一：(1＋2x－3x2)5＝(1－x)5(1＋3x)5，所以x5的系數為35＋(－1)34＋(－1)233＋(－1)332＋(－1)431＋(－1)530＝92.
法二：(1＋2x－3x2)5＝[(1＋2x)－3x2]5＝(1＋2x)5＋(1＋2x)4(－3x2)＋(1＋2x)3(－3x2)2＋(1＋2x)2(－3x2)3＋(1＋2x)(－3x2)4＋(－3x2)5，
所以x5的系數為25＋×23×(－3)＋×2×(－3)2＝92.]
考點二　二項式系數與項的系數問題
　二項式系數和與系數和
[典例4]　(1)(多選)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，下列命題正確的是(　　)
A．展開式中所有項的二項式系數和為22 023
B．展開式中所有偶數項系數的和為
C．展開式中所有奇數項系數的和為
D．＋…＋＝－1
(2)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數m的值為________．
(1)ACD　(2)－3或1　[(1)由二項式知＝22 023，A正確；
當x＝1時，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，
當x＝－1時，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023＝32 023，
由上可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝＝－，B錯誤；
由上可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝， C正確；
令x＝可得a0＋＋…＋＝0，
又a0＝1，
所以＋…＋＝－1，D正確．故選ACD.
(2)令x＝0，則(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，則m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1．]
　二項式系數的性質
[典例5]　若(mx－1)n(n∈N*)的展開式中，所有項的系數和與二項式系數和相等，且第6項的二項式系數最大，則有序實數對(m，n)共有________組不同的解．
4　[根據二項式系數的性質知：由第6項的二項式系數最大知n的可能取值為9，10，11，令x＝1，有(m－1)n＝2n，當n＝9，11時，m＝3；當n＝10時，m＝3或－1，故有序實數對(m，n)共有4組不同的解，分別為(3，9)，(3，11)，(－1，10)，(3，10)．]
　賦值法的應用
(1)在二項式定理中，令a＝1，b＝x，得(1＋x)n＝＋x＋x2＋…＋xk＋…＋xn.
(2)若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則
①a0＋a1＋a2＋…＋an＝f (1)．
②奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝.
③偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
提醒：①注意項的系數與二項式系數的區別；②理解奇數項與偶數項，奇次冪與偶次冪．
[跟進訓練]
2．(1)(多選)在二項式的展開式中，下列說法正確的是(　　)
A．常數項是
B．各項的系數和是64
C．第4項的二項式系數最大
D．奇數項的二項式系數和為－32
(2)(2024·廣東廣州模擬)若(2x＋1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，則a2＋a4＋a6＝________．
(1)AC　(2)364　[(1)二項式的展開式通項為Tk＋1＝＝.
令3－k＝0，可得k＝2，故常數項是＝，A正確；各項的系數和是＝，B錯誤；
二項式展開式共7項，故第4項的二項式系數最大，C正確；奇數項的二項式系數和為25＝32，D錯誤．故選AC.
(2)令x＝1得：a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝36＝729，
令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝(－1)6＝1，
兩式相加，除以2，得：a0＋a2＋a4＋a6＝365，當x＝0時，a0＝1，
所以a2＋a4＋a6＝364．]
考點三　二項式定理的應用
[典例6]　(1)設a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，則a等于(　　)
A．0 　 B．1
C．11 　 D．12
(2)1.026的近似值(精確到0.01)為(　　)
A．1.12 　 B．1.13
C．1.14 　 D．1.20
(1)B　(2)B　[(1)因為a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 023＋a＝(52－1)2 023＋a
＝522 023－522 022＋522 021－…＋52－
＋a，因為512 023＋a能被13整除，結合選項，
所以－＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1.
(2)1.026＝(1＋0.02)6＝1＋×0.02＋×0.022＋×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.]
　二項式定理應用的題型及解法
(1)在證明整除問題或求余數問題時要進行合理的變形，使被除式(數)展開后的每一項都含有除式的因式．
(2)二項式定理的一個重要用途是做近似計算：當n不很大，|x|比較小時，(1＋x)n≈1＋nx.
[跟進訓練]
3．(2024·華中師大一附中模擬)組合數被9除的余數是________．
8　＝，＝×234＝233＝811＝(9－1)11＝·91－C1111·90＝9k－1＝9(k－1)＋8，其中k∈N，∴該組合數被9除的余數是8．]
課時分層作業(六十四)　二項式定理
一、單項選擇題
1．若展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為(　　)
A．10　　 B．20　　 C．30　　 D．120
B　[因為展開式的二項式系數之和為2n＝64，所以n＝6，所以Tk＋1＝·x6-k·＝x6-2k，當6－2k＝0，即當k＝3時為常數項，T4＝＝20．]
2．(2024·廣東廣州模擬)若(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a4－a3＋a2－a1＋a0＝(　　)
A．1 　 B．－1
C．15 　 D．－15
A　[由于(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，
故令x＝－1，可得a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－1＋2)4＝1.故選A.]
3．(2024·四川成都模擬)已知(x－2y)n的展開式中第4項與第5項的二項式系數相等，則展開式中的x5y2項的系數為(　　)
A．―4 　 B．84
C．―280 　 D．560
B　[因為(x－2y)n的展開式中第4項與第5項的二項式系數相等，所以＝，則n＝7.
又因為(x－2y)7的展開式的通項公式為Tk＋1＝x7-k(－2y)k，
令k＝2，所以展開式中的x5y2項的系數為(－2)2＝84.
故選B.]
4．(2024·浙江杭州模擬)在(x2＋x＋y)6的展開式中，x5y2的系數為(　　)
A．60 　 B．15
C．120 　 D．30
A　[在(x2＋x＋y)6的展開式中，含y2的項為·(x2＋x)4·y2，
故含x5y2的系數為＝60.
故選A.]
5．(2024·安徽宿州模擬)設(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a7＝a8，則n＝(　　)
A．8 　 B．9
C．10 　 D．11
D　[已知(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
若a7＝a8，即·27＝·28，
即＝2×，
化簡可得2(n－7)＝8，解得n＝11.故選D.]
6．(2024·湖南長沙一中模擬)若的展開式中共有n個有理項，則n的值為(　　)
A．1 　 B．2
C．3 　 D．4
C　[因為展開式的通項公式為Tk＋1＝＝，k＝0，1，…，6，當且僅當k＝0，3，6時，為整數，可得T1，T4，T7為有理項.
故選C.]
7．在二項式(1－2x)n的展開式中，偶數項的二項式系數之和為128，則展開式的中間項的系數為(　　)
A．－960 　 B．960
C．1 120 　 D．1 680
C　[因為偶數項的二項式系數之和為2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，則展開式共有9項，中間項為第5項，因為(1－2x)8的展開式的通項Tk＋1＝(－2x)k＝(－2)kxk，所以T5＝(－2)4x4，其系數為(－2)4＝1 120.故選C.]
8．(x2－x＋1)(1＋x)9展開式中含x5的系數是(　　)
A．28 　 B．－28
C．84 　 D．－84
C　[(1＋x)9展開式的通項為Tk＋1＝·19-k·xk＝·xk，k＝0，1，2，…，9，
當x2－x＋1選取x2時，由已知可得，應選取(1＋x)9展開式中含x3的項，
由k＝3，可得T4＝·x3＝84x3；
當x2－x＋1選取－x時，由已知可得，應選取(1＋x)9展開式中含x4的項，
由k＝4，可得T5＝·x4＝126x4；
當x2－x＋1選取1時，由已知可得，應選取(1＋x)9展開式中含x5的項，
由k＝5，可得T6＝·x5＝126x5，
所以(x2－x＋1)(1＋x)9展開式中含x5的系數是1×84－1×126＋1×126＝84.
故選C.]
9．(2023·山東德州三模)若(2x－3)12＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，則(　　)
A．a0＝－1
B．a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝－312
C．a1＋a2＋…＋a12＝－2
D．＋…＋＝－1
D　[令x＝1，可得a0＝1，A錯誤；
令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝312，B錯誤；
令x＝2，則a0＋a1＋a2＋…＋a12＝(4－3)12＝1，
故a1＋a2＋…＋a12＝1－a0＝1－1＝0，C錯誤；
令x＝，則＝a0＋＋…＋＝0，
故＋…＋＝0－a0＝－1，D正確．故選D.]
10．已知二項式(1＋2x)13的展開式中第k項系數最大，則(2＋x)k展開式的二項式系數和是(　　)
A．210 　 B．310
C．29 　 D．39
A　[用Tk表示二項式(1＋2x)13中第k項系數，
若二項式(1＋2x)13的展開式中第k項系數最大，則有Tk－1Tk＋1，其中Tk＝2k-1，k∈N*，
即＜k＜，
因為k∈N*，所以k＝10，
所以(2＋x)k展開式的二項式系數和為210.
故選A.]
二、多項選擇題
11．在的展開式中，下列說法正確的是(　　)
A．常數項是1 120　
B．第4項和第6項的系數相等
C．各項的二項式系數之和為256
D．各項的系數之和為256
AC　[根據二項式定理，的通項公式為Tk＋1＝28-k(－1)kx8-2k，
常數項為24(－1)4＝1 120，A正確；
第4項的系數為28-3(－1)3＝－1 792，第6項的系數為28-5(－1)5＝－448，B錯誤；
因為n＝8，所以各項的二項式系數之和為28＝256，C正確；
令x＝1，各項的系數之和為1，故D錯誤．
故選AC.]
12．已知的展開式中各項系數的和為2，則下列結論正確的有(　　)
A．a＝1
B．展開式中常數項為160
C．展開式系數的絕對值的和為1 458
D．展開式中含x2項的系數為240
ACD　[令x＝1，所以的展開式中各項系數的和為(1＋a)(2－1)6＝2，解得a＝1，故A正確；展開式通項為Tk＋1＝(2x)6－k＝(－1)k26－kx6－2k，當6－2k＝0時，k＝3；當6－2k＝1時，k＝(舍去)，
所以展開式中常數項為(－1)3×23＝－160；
當6－2k＝2時，k＝2；當6－2k＝3時，k＝(舍去)，
所以展開式中含x2項的系數為(－1)2×24＝240，B錯誤，D正確；二項式展開式系數的絕對值的和可看作是二項式展開式系數的和，所以令x＝1，則展開式系數的和為(1＋1)(2＋1)6＝1 458，C正確．故選ACD.]
三、填空題
13．(2023·天津高考)在的展開式中，x2項的系數為 ________．
60　[二項式的展開式的通項為Tk＋1＝(2x3)6-k·＝·26-k·(－1)k·x18-4k，
令18－4k＝2，得k＝4，所以x2項的系數為＝60．]
14．已知(1＋x)n的展開式中，唯有x3的系數最大，則(1＋x)n的系數和為________．
64　[由題意，且，
所以n＝6，所以令x＝1，(1＋x)6的系數和為26＝64．]
15．(2022·浙江高考)已知多項式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．
8　－2　[x2系數之和為(－1)2＝8，即a2＝8；
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0；令x＝0，得a0＝2，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2．]
16．(2024·海南海口模擬)在(x＋1)4(y＋z)6的展開式中，系數最大的項為________．
120x2y3z3　[因為(x＋1)4的通項為x4-k，(y＋z)6的通項為y6-rzr，
所以(x＋1)4展開式系數最大的項為x2＝6x2，
(y＋z)6展開式系數最大的項為y3z3＝20y3z3，
所以在(x＋1)4(y＋z)6的展開式中，系數最大的項為120x2y3z3．]
17．(2024·江蘇揚州模擬)若(x＋5)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，T＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，則T被5除所得的余數為________．
1　[由題知x＝1時，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝62 023＝(5＋1)2 023,
故T＝52 023＋52 022＋…＋51＋1，
＝52 023＋52 022＋…＋51＋1)
＝52 023＋52 022＋…＋51)＋.
所以被5除得的余數是1．]
18．如圖，在由二項式系數構成的“楊輝三角”中，記第2行的第3個數字為a1，第3行的第3個數字為a2，…，第n＋1行的第3個數字為an，則a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________，＋…＋＝________．
220　　[法一：由題意知an＝，
a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝220.
＋…＋＝＋…＋＝＋…＋＝2＝2＝.
法二：由題意知an＝，所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝＝＝＝＝…＝＝＝＝＝220.
＋…＋＝＝＋…＋＝2＝2＝.

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